AVVIO ALLA PROBABILITÀ
Lezione n. 1
Finalità: Acquistare consapevolezza della continua evoluzione delle problematiche e delle conoscenze scientifiche.
Acquisire i quadri generali nei quali le conoscenze scientifiche
si collocano.
Metodo: Lettura di documentazione storica e discussione collettiva.
Materiali didattici: Schede individuali.
Contestualizzazione storica
La ricerca è iniziata avviando gli alunni ad una prima riflessione sulla
dimensione storica della probabilità, proponendo la lettura della nota riportata in “Storia della matematica” di G. Masini, Torino, S.E.I., 1997: “Nasce
tra il XVI e il XVII secolo grazie al gioco d’azzardo. Il Sig. Antoine Gobaud
de Méré sperimentò empiricamente il lancio dei dadi osservando alcuni giocatori d’azzardo intenti nelle loro scommesse. Egli osservò la frequenza con la
quale si combinavano i due dadi e quindi il numero più probabile sul quale
scommettere. Fu poi il matematico Pascal, nato a Clermont Ferrand, a generalizzare ciò che de Méré aveva osservato e dedusse che “la probabilità di un
avvenimento in una serie di casi ugualmente probabili e reciprocamente escludentisi è data dal numero dei casi favorevoli diviso quello dei casi possibili”.
Ovvero, nel caso pratico, nel lancio della monetina la probabilità che esca
testa o croce è 1/2, nel caso del lancio del dado, la probabilità che esca uno
dei sei numeri possibili è 1/6.
Laplace approfondì gli studi considerando “la teoria della probabilità,
buon senso ridotto a calcolo” e nel 1812 pubblicò “Théorie analytique des
probabilités”.
Nel XVIII secolo Bernoulli diede la proposizione del “teorema di
Bernoulli”: con il crescere del numero delle prove è da attendersi con probabilità sempre maggiore che un evento si verifichi con una frequenza effettiva
più vicina a quello che porterebbe a prevedere la sua probabilità teorica. Ad
esempio nel gioco del lotto risulta essere più conveniente giocare un numero che non esce da molto tempo di un numero che invece è uscito di recen-
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te, questo ci porta a dire che la frequenza reale è più veritiera della probabilità teorica.
Per chiarirci le idee si può dire che questo problema è proprio alla base
del gioco del Lotto quando si sente dire, per esempio, che il 74 ritarda da
centottanta settimane sulla ruota di Napoli e pertanto ai giocatori conviene
inseguirlo perché, più esso ritarda, “più ha possibilità di uscire”.
Effettivamente questo comune modo di dire non è corretto secondo il rigore matematico, ma lo citiamo per rendere più comprensibile il concetto formulato da Bernoulli.
Nel 1943 fu pubblicata “La teoria dei giochi classici” di J. Von Neumann
e O. Morgestern. Dallo studio dei giochi classici (Scacchi, Poker, Risiko) si
apprese che bisognava prendere in considerazione tutte le probabili mosse
dell’avversario per giungere a stabilire una propria strategia d’attacco. Queste
teorie furono tragicamente adoperate nella II Guerra Mondiale.
Oggi dal calcolo delle probabilità si è passati alla “Teoria delle decisioni”
per questioni di ordine organizzativo-economico e alle previsioni di ordine
sociale con i cosiddetti “futuribili”. Supportato dall’innovazione tecnologica
attraverso l’uso del computer, oggi il calcolo probabilistico viene utilizzato
per le più disparate esigenze, infatti spesso si sente parlare di proiezioni, previsioni e analisi del trend evolutivo. Grosse aziende investono capitali e risorse per analizzare la serie dei dati storici al fine di ottenere i possibili scenari
futuri. L’analisi statistica quindi trova notevoli applicazioni nel campo dell’ingegneria civile e delle discipline economiche fino ad arrivare alle più
banali “previsioni del tempo” per poter programmare le nostre vacanze o ai
sondaggi sul “campione” per prevedere il probabile vincitore di un’elezione
politica (ABACUS).”
Al termine della lettura si sono spronati gli alunni a commentare questo
testo ed a socializzare le loro impressioni. Si è aperta un’accesa discussione
dalla quale si è evinto una forte motivazione a comprendere meglio l’interpretazione di certi dati e/o fenomeni di cui hanno sentito parlare per TV,
radio, …, che si sono accorti di non saper gestire criticamente.
Alcuni esempi
Esposto l’iter storico della probabilità, i ragazzi, spontaneamente, sono
riusciti a fare dei collegamenti con le altre discipline, ad esempio con l’italia-
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no, associando Pascal a Leopardi per la loro precoce attitudine allo studio e
mortalità. Dalla lettura degli esempi riportati nelle “osservazioni” si è evinto
che gli alunni hanno noti i compiti svolti dall’ “Abacus” e dall’ “Istat”. Così,
dalla discussione nata in classe, pur non conoscendo le leggi probabilistiche,
i ragazzi si sono lasciati guidare dall’istinto provando a formulare concetti e
risposte riguardanti la probabilità. Tra queste osservazioni, spesso errate proprio perché frutto dell’istinto, ne è emersa una particolarmente veritiera.
Un ragazzo, basandosi sulla sua esperienza quotidiana, ha affermato:
“…il calcolo delle probabilità è qualcosa di non inventato...” ma non è riuscito
a darne una vera motivazione.
L’approccio alla materia attraverso le vicende storiche si è, quindi, rivelato una buona opportunità di discussione per la classe. L’attualità dell’argomento ha suscitato la loro curiosità stimolando l’interesse per questa nuova
scienza.
Si sono proposti ed analizzati diversi esempi pratici per dare concretezza
all’argomento.
Nel campo dell’urbanistica, attraverso le teorie decisionali viene redatta
quella che è definita “la matrice degli spostamenti”. Questa serve a scegliere
gli eventuali percorsi alternativi e ad affrontare così il problema del traffico
che congestiona i nostri centri urbani.
Si consideri, ad esempio, il quartiere residenziale A dove sono concentrati tutti gli appartamenti in cui vivono alcune famiglie di una città (Es.
Rione Poggio Tre Galli), e il centro amministrativo e commerciale B in cui
sono concentrati gli uffici, le scuole e i negozi (Es. Via Anzio).
La mattina, quando si esce di casa per raggiungere gli uffici o le scuole,
ogni componente della famiglia, partendo dal punto di origine (insieme A)
può raggiungere il punto di destinazione (insieme B) utilizzando diversi percorsi stradali, e sfruttando più mezzi di locomozione (auto, autobus, moto,
ecc). La scelta della strada è condizionata, però, dalla situazione del traffico o
del tempo di percorrenza.
Pertanto sarà possibile, attraverso uno studio probabilistico, realizzare
una matrice che in funzione di tutti i punti origine e destinazione determina la viabilità delle strade eliminando la possibilità di creare ingorghi o rallentamenti.
A titolo d’esempio si supponga d’aver eseguito uno studio statistico dal
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quale si evince che ogni mattina alle ore 8.00 dal rione Poggio Tre Galli si
spostano circa 50 persone di cui 25 sono dirette verso la scuola, 10 verso i
negozi e le rimanenti verso gli uffici. Ognuna di queste persone può utilizzare diversi percorsi stradali e diversi mezzi di locomozione.
Prima che il traffico venga regolamentato tutti prendono la strada principale per raggiungere nel minor tempo possibile le loro destinazioni, creando un ingorgo all’incrocio (cerchiato).
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Per evitare che tutti prendano la stessa strada, è necessario indirizzare
ogni gruppo di persone su percorsi alternativi in base agli orari e alle destinazioni. Quindi si indirizza il gruppo di persone dirette verso la scuola sul
percorso n°1 che è il più breve data la priorità dell’orario d’inizio delle lezioni alle 8.30. Le persone dirette in ufficio, dato l’inizio di lavoro alle ore 9.00
seguiranno il percorso 2. Per raggiungere i negozi si utilizzerà il percorso 3
che pur essendo il più lungo è quello meno trafficato.
Nella realtà le cose sono molto più complesse. Infatti in una città si deve
tener presente che vi sono diversi centri residenziali e diversi centri di destinazione.
Per poter rispettare le esigenze di tutti i cittadini si opera un’analisi degli
spostamenti che viene fatta attraverso una matrice detta appunto “Matrice
degli spostamenti”, come si vede dalla seguente tabella riportata alla pagina
seguente.
Infine con la raccolta dei dati e la risoluzione della matrice si otterrà il vero
percorso ideale per raggiungere ogni destinazione.
Un altro esempio di calcolo probabilistico è dato dalla “scienza dell’idrologia” con la quale oggi i tecnici gestiscono la risorsa idrica rendendo l’acqua disponibile alle utenze anche nei periodi di siccità (utilizzando le dighe)
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Punti di destinazione
B
Uffici
B
Scuole
B
Negozi
A
(Poggio Tre Galli)
2
1
3
A
(Santa Maria)
2
3
2
A
(San Rocco)
1
2
4
1
Punti d’origine
(centri residenziali)
1
2
3
2
3
ed evitando danni alle infrastrutture e alla popolazione in caso di eventi
calamitosi (argini dei fiumi).
Per queste sperimentazioni è risultata di grande importanza la raccolta
dei dati storici. Più grande è il campione che si ha a disposizione, più corretta risulta essere la previsione dell’evento.
Pensiamo, ora, di dover stimare la precipitazione piovosa a Potenza nei
mesi di aprile, maggio e giugno per poter prevedere la disponibilità idrica che
solitamente, in questo periodo dell’anno, procura non pochi problemi ai
contadini che irrigano i loro campi. È indubbio che per poter prevedere statisticamente una grandezza così aleatoria non possiamo fare altro che basarci sui dati storici. Infatti, attraverso alcuni strumenti scientifici come il pluviografo, il Servizio Idrografico e Mareografico d’Italia (SIMI) ha misurato
tutte le precipitazioni medie giornaliere che si sono verificate a partire dal
1920. In funzione della posizione geografica in cui è stato posizionato un
pluviografo e dei dati di pioggia che questo ha misurato nel corso degli anni,
con alcune valutazioni di tipo statistico, è possibile prevedere se il mese di
giugno sarà piovoso o meno (trend evolutivo dell’evento pioggia) e per esempio rassicurare o meno i contadini per la buona riuscita o meno della mietitura del grano a luglio. A fronte di una stima negativa delle piogge si può
intervenire con l’uso delle dighe e salvare il raccolto.
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Per quanto riguarda alcuni esempi sulla statistica si osserva che molti
produttori di “merendine” prima di lanciare una novità sul mercato fanno
delle analisi statistiche sul “campione” per poter capire quali sono le esigenze
dell’ipotetico acquirente ed essere sicuri così di realizzare l’attesa del compratore ottenendo maggiori guadagni.
Anche gli Enti nazionali di ricerca come ad esempio l’ISTAT, realizzano
analisi statistiche complicatissime e molto articolate per poter capire i numeri che gestiscono l’evoluzione della popolazione e migliorare così la qualità
della vita.
In questi giorni, infatti, le nostre televisioni pubblicizzano la campagna
di raccolta dati che l’ISTAT sta facendo per aggiornare lo studio statistico sulle
famiglie italiane, lo slogan recita per l’appunto “L’Italia che sei, l’Italia che
sarai”. Questo ci fa capire quanto è importante studiare il campione ed avere
quanti più dati a disposizione per poter meglio conoscere gli eventi e per
migliorare la qualità della vita di ognuno di noi.
La prima lezione si è conclusa affermando che la probabilità nata come
osservazione del gioco, oggi grazie all’impegno dei matematici è diventata
una scienza al servizio dell’umanità.
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