Università del Piemonte Orientale
Corso di Laurea in Biotecnologia
Corso di Statistica Medica
Correlazione
Regressione Lineare
Corso di laurea in biotecnologia - Statistica Medica – Correlazione e Regressione lineare semplice
1
Campo di applicazione
• Analisi della relazione tra due variabili
continue.
• Es: relazione tra altezza e peso
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2
1
Campo di applicazione
• Le variabili sono associate? -> correlazione
• Come varia il valore di una variabile in
conseguenza del variare di un’altra variabile?
-> regressione
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3
Correlazione
Dato un insieme di osservazioni definite da due
variabili continue,
valutiamo la forza dell’associazione tra le due
variabili
•disegnando il diagramma di dispersione e
•calcolando il coefficiente di correlazione.
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4
2
Il diagramma di dispersione si disegna
riportando i valori delle osservazioni su un
sistema di assi cartesiani, in cui l’asse x
rappresenta una delle due variabili e
l’asse y l’altra variabile.
Il diagramma consente di collocare ogni
osservazione nello spazio definito dai
valori possibili delle due variabili.
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5
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza
36,0
34,0
circonferenza cranica
32,0
30,0
28,0
26,0
24,0
22,0
20,0
19
24
29
34
39
44
49
lunghezza
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6
3
La forma della nuvola di punti così ottenuta
consente una valutazione visiva del grado di
associazione tra le due variabili.
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7
Relazione tra circonferenza cranica alla nascita ed età materna
36,0
34,0
circonferenza cranica
32,0
30,0
28,0
26,0
24,0
22,0
20,0
10
15
20
25
30
35
40
45
età materna
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8
4
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza
36,0
34,0
circonferenza cranica
32,0
30,0
28,0
26,0
24,0
22,0
20,0
19
24
29
34
39
44
49
lunghezza
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9
Il coefficiente di correlazione di Pearson (r) consente la
valutazione formale del grado di associazione.
L’intervallo dei valori possibili di r è: -1 <= r <=1
Se r=1 o r=-1 tutti i punti giacciono su una retta
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10
5
Relazione tra circonferenza cranica alla nascita ed età materna
36,0
r = 0,15
34,0
circonferenza cranica
32,0
30,0
28,0
26,0
24,0
22,0
20,0
10
15
20
25
30
35
40
45
età materna
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Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza
36,0
r = 0,72
34,0
circonferenza cranica
32,0
30,0
28,0
26,0
24,0
22,0
20,0
19
24
29
34
39
44
49
lunghezza
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6
La formula del coefficiente di correlazione di Pearson (r)
∑ (x
n
r=
i =1
i
)(
− x yi − y
)
∑ (x − x ) ∑ (y − y )
n
i =1
2
i
n
i =1
2
i
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Relazione tra concentrazione plasmatica i colesterolo e trigliceridi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
medie:
Colesterolo Trigliceridi
(x)
(y)
3,45
6,24
3,5
6,18
2,95
5,2
3,77
6,11
3,67
6,36
5,31
5,67
5,1
5,48
7,85
5,67
8,79
9,4
12,3
8,4
5,669
6,471
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7
Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi
10
9
8
7
trigliceridi
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
colesterolo
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Relazione tra concentrazione plasmatica i colesterolo e trigliceridi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
medie:
Colesterolo Trigliceridi
(x)
(y)
3,45
6,24
3,5
6,18
2,95
5,2
3,77
6,11
3,67
6,36
5,31
5,67
5,1
5,48
7,85
5,67
8,79
9,4
12,3
8,4
5,669
(x − x ) (y − y )
i
-2,459
-2,409
-2,959
-2,139
-2,239
-0,599
-0,809
1,941
2,881
6,391
i
-0,493
-0,553
-1,533
-0,623
-0,373
-1,063
-1,253
-1,063
2,667
1,667
6,471
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8
Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi
Colesterolo Trigliceridi
(x)
(y)
3,45
3,5
2,95
3,77
3,67
5,31
5,1
7,85
8,79
12,3
6,24
6,18
5,2
6,11
6,36
5,67
5,48
5,67
9,4
8,4
(x − x)
i
-2,459
-2,409
-2,959
-2,139
-2,239
-0,599
-0,809
1,941
2,881
6,391
(y − y) (x − x)* (y − y)
i
i
i
(x − x)
2
i
(y − y)
2
i
-0,493
-0,553
-1,533
-0,623
-0,373
-1,063
-1,253
-1,063
2,667
1,667
1,212287
1,332177
4,536147
1,332597
0,835147
0,636737
1,013677
-2,063283
7,683627
10,653797
6,046681
5,803281
8,755681
4,575321
5,013121
0,358801
0,654481
3,767481
8,300161
40,844881
0,243049
0,305809
2,350089
0,388129
0,139129
1,129969
1,570009
1,129969
7,112889
2,778889
Sommatorie:
26,54411
83,54389
16,46149
r=
0,715774547
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Esercizi
Correlazione
• Pag. 304 n. 1
• Pag. 304 n. 5
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9
Regressione
Stima della variazione media di una variabile
in conseguenza
della variazione unitaria di un’altra variabile
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• Variabile indipendente
-> causa
-> (sulle ascisse)
• Variabile dipendente
-> effetto
-> (sulle ordinate)
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10
effetto
y
V
.
d
i
p
e
n
d
e
n
t
e
causa
Var. indipendente
x
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21
Obiettivo dell’analisi di regressione:
Individuare la retta che meglio predice il
valore di y (variabile dipendente), noto il
valore di x (variabile indipendente).
y=a+bx
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11
y=a+bx
a -> intercetta
b -> pendenza
Come stimiamo i valori dei due coefficienti?
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23
Il valore atteso di x è la sua media
y
x
Media di x
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24
12
Media di y
Il valore atteso di y è la sua media
x
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25
La retta che meglio predice y|x passa per la media di x e di y
y
Media di x e media di y
x
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13
Per un punto passano infinite rette!
Quale retta scegliamo? Con quale criterio?
y
x
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y
x
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14
Residuo (o scarto) = valore y_osservato – valore y_predetto
La retta migliore minimizza la somma dei quadrati dei residui
Metodo detto ‘dei minimi quadrati’
y
valore y_osservato
valore y_predetto
x
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∑ (x − x )(y − y )
b=
∑ (xi − x )
i
i
2
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15
=
a
y − b x
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Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi
Colesterolo Trigliceridi
(x)
(y)
(x − x ) (y − y )
i
i
(x − x )* (y − y )
i
i
(x − x)
2
i
1
3,45
6,24
-2,219
-0,231
0,512589
2
3,5
6,18
-2,169
-0,291
0,631179
4,704561
3
2,95
5,2
-2,719
-1,271
3,455849
7,392961
4
3,77
6,11
-1,899
-0,361
0,685539
3,606201
5
3,67
6,36
-1,999
-0,111
0,221889
3,996001
6
5,31
5,67
-0,359
-0,801
0,287559
0,128881
7
5,1
5,48
-0,569
-0,991
0,563879
0,323761
8
7,85
5,67
2,181
-0,801
-1,746981
4,756761
9
8,79
9,4
3,121
2,929
9,141409
9,740641
10
12,3
8,4
6,631
1,929
12,791199
43,970161
5,669
6,471
26,54411
83,54389
medie:
b=
0,31772653
a=
4,66980832
4,923961
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16
variazione del livello di trigliceridi con il livello di
colesterolo
tr i g l i c e r i d i (y )
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
colesterolo (x)
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variazione del livello di trigliceridi con il livello di
colesterolo
tr i g l i c e r i d i (y )
10
8
b = 0,32
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
colesterolo (x)
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17
variazione del livello di trigliceridi con il livello di
colesterolo
tr i g l i c e r i d i (y )
10
a=4,67
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
colesterolo (x)
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variazione del livello di trigliceridi con il livello di
colesterolo
trigliceridi=4,67 + 0,32* colesterolo
tr i g l i c e r i d i (y )
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
colesterolo (x)
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18
Formule abbreviate
(∑y )(∑x )−(∑y )(∑xi y )
a=
n(∑x )−(∑ xi)
2
i
i
i
i
2
2
i
b=
(
)
( )
n(∑x )−(∑ xi)
n ∑xi y − (∑xi ) ∑y
i
2
i
2
i
Queste formule sono più convenienti per il calcolo a mano
Si basano sulle formule abbreviate per il calcolo della varianza
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Di qui
Requisiti dell’analisi di regressione
Y è una variabile casuale
Omoscedasticità
(omogeneità della varianza di y|x)
Distribuzione normale di y|x
Linearità della relazione tra x ed y
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38
19
In questo esempio abbiamo dati campionati da una popolazione in
cui le tre assunzioni sono soddisfatte
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39
Variabilità della retta di regressione.
• y è una variabile casuale
• siamo interessati a valutare la variabilità di y,
non quella di x.
• x di solito non è una variabile casuale. Il
ricercatore può scegliere soggetti con i valori
della x più adatti per lo studio.
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20
Varianza intorno alla retta di regressione (stima campionaria)
∑ ( y − yˆ )
2
s =
2
i
i
n−2
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41
Varianza intorno alla retta di regressione (stima campionaria)
∑ ( y − yˆ )
2
s2 =
i
i
n−2
Valori predetti (o attesi)
dall’applicazione dei coefficienti
aeb
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42
21
Varianza intorno alla retta di regressione (stima campionaria)
∑ ( y − yˆ )
2
s =
2
i
i
n−2
Valori osservati
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43
Varianza intorno alla retta di regressione (stima campionaria)
y − yˆ
i
i
= residui
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44
22
Residuo (o scarto) = valore y_osservato – valore y_predetto
Varianza = scarti ^ 2 / g.l.
y
valore y_osservato
residuo o scarto
valore y_predetto
x
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∑ ( y − yˆ )
yˆ i = a + bxi
2
s2 =
i
45
i
n−2
Sostituisco:
∑ ( y − a − bx )
s =
2
2
i
i
n−2
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46
23
Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi
Colesterolo Triglicerid
(x)
i (y)
1
3,45
6,24
att(y)
y-att(y)
(y-att(y))^2
5,765965
0,474035
0,224709
2
3,5
6,18
5,781851
0,398149
0,158522
3
2,95
5,2
5,607102
-0,4071
0,165732
4
3,77
6,11
5,867637
0,242363
0,05874
5
3,67
6,36
5,835865
0,524135
0,274718
6
5,31
5,67
6,356936
-0,68694
0,471881
7
5,1
5,48
6,290214
-0,81021
0,656446
8
7,85
5,67
7,163962
-1,49396
2,231921
9
8,79
9,4
7,462624
1,937376
3,753424
10
12,3
8,4
8,577845
-0,17784
0,031629
somma degli
b=
0,31772653
a=
4,66980832
scarti^2
8,027722
s(b)^2=
1,003465
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47
Omoscedasticità: la varianza di y è costante per tutto l’intervallo x.
E’ un requisito per la corretta applicazione della regressione lineare
(v.oltre)
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48
24
Intervallo di Confidenza del coefficiente di
regressione
L’intervallo di confidenza si calcola nel modo
consueto (v. lezione precedente)
t ha (n-2) gradi di libertà ed il valore è scelto in
modo corrispondente all’errore di I tipo, con
test a 2 code
CI = b ± tcrit × SE (b)
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49
Intervallo di confidenza di b
IC95% = b ± t gl ,0,05 * ES (b)
ES (b) =
s2
∑ (x − x )
2
i
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25
Colesterolo
(x)
Trigliceridi
(y)
(x − x)
2
att(y)
y-att(y)
(y-att(y))^2
i
1
3,45
6,24 4,923961 5,765965
0,474035
0,224709
2
3,5
6,18 4,704561 5,781851
0,398149
0,158522
3
2,95
5,2 7,392961 5,607102
-0,4071
0,165732
4
3,77
6,11 3,606201 5,867637
0,242363
0,05874
5
3,67
6,36 3,996001 5,835865
0,524135
0,274718
6
5,31
5,67 0,128881 6,356936
-0,68694
0,471881
7
5,1
5,48 0,323761 6,290214
-0,81021
0,656446
8
7,85
5,67 4,756761 7,163962
-1,49396
2,231921
9
8,79
9,4 9,740641 7,462624
1,937376
3,753424
10
12,3
8,4 43,970161 8,577845
-0,17784
0,031629
somma degli
scarti^2
8,027722
b=
0,31772653
s(b)^2=
1,003465
a=
4,66980832
ES(b)=
0,109596
83,54389
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51
Errore standard di b
ES (b) =
s2
∑ (x − x )
2
i
L’errore standard di b si riduce, a parità di s, quando la
variabilità di x è maggiore !
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52
26
Tests t per il coefficiente di regressione
t = distanza tra il valore di b stimato (b)
e quello previsto dall’ipotesi nulla (ß, di solito
H0: ß =0),
in unità di errore standard di b (SE(b))
b−β
t=
SE (b)
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Colesterolo
(x)
Trigliceridi
(y)
(x − x)
53
att(y)
y-att(y)
(y-att(y))^2
3,45
6,24 4,923961 5,765965
0,474035
0,224709
2
3,5
6,18 4,704561 5,781851
0,398149
0,158522
3
2,95
5,2 7,392961 5,607102
-0,4071
0,165732
4
3,77
6,11 3,606201 5,867637
0,242363
0,05874
5
3,67
6,36 3,996001 5,835865
0,524135
0,274718
6
5,31
5,67 0,128881 6,356936
-0,68694
0,471881
7
5,1
5,48 0,323761 6,290214
-0,81021
0,656446
8
7,85
5,67 4,756761 7,163962
-1,49396
2,231921
9
8,79
9,4 9,740641 7,462624
1,937376
3,753424
10
12,3
8,4 43,970161 8,577845
-0,17784
0,031629
1
2
i
83,54389
somma degli scarti^2
8,027722
b=
0,31772653
s(b)^2=
1,003465
a=
4,66980832
ES(b)=
0,109596
IC(95%)_b= 0,064998 -0,570455
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54
27
variazione del livello di trigliceridi con il livello di
colesterolo
tr ig l i c e r i d i (y )
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
colesterolo (x)
trigliceridi=4,67 + 0,32* colesterolo
IC(95%)_b= 0,06 -0,57
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55
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza
a=8,02
b= 0,51
ES(b)=0,05021
(IC 95%_b: 0,41 - 0,61)
y= 8,02 + 0,51x
36,0
34,0
32,0
circonferenza cranica
30,0
28,0
26,0
24,0
22,0
20,0
18,0
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
lunghezza
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56
28
Valore di y predetto dalla retta di
regressione
data y=a+bx, dopo aver ricavato a e b
possiamo predire il valore atteso di y,
corrispondente ad un dato valore di x.
• Il calcolo si effettua sostituendo il valore di x
nella formula, noti a e b e risolvendo
l’equazione.
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57
Valore di y predetto dalla retta di regressione
• Es. il valore di circonferenza cranica predetto
per un bambino di lunghezza 41 cm è
ŷ =8,02+0,513 * x
ŷ =8,02+0,513 * 41
ŷ =29,05
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58
29
Intervallo di confidenza dei valori predetti
(x′ − x )
1
+ i
2
n ∑ (xi − x )
2
PI = yˆ ± t gl ,α s 1 +
2
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59
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza
Es. il valore di circonferenza cranica predetto
per un bambino di lunghezza 41 cm è
ŷ
=29,05
IC( ŷ )=
25,47 - 32,63
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60
30
Intervallo di confidenza dei valori predetti
(x′ − x )
1
+ i
2
n ∑ (xi − x )
2
PI = yˆ ± t gl ,α s 1 +
2
La predizione ha un
errore maggiore
allontanandosi dalla
media di x
La predizione ha un errore
minore con un’ampia
variabilità di x
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61
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62
31
14
12
10
8
6
4
atteso_y
2
0
0
2
4
6
8
10
12
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14
63
Cautele nella predizione
• La predizione non è valida fuori dell’intervallo
osservato di x
• La predizione è più incerta agli estremi della
distribuzione di x
• Per migliorare la precisione della predizione
debbo aumentare la somma dei quadrati
degli scarti (devianza) di x
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64
32
Outliers ed osservazioni ‘influenti’
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65
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza
Ho due outliers, indicati come: 1 e 2
2
36,0
34,0
32,0
circonferenza cranica
30,0
28,0
26,0
24,0
1
22,0
20,0
18,0
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
lunghezza
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66
33
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza
Se escludo outlier 1
36,0
34,0
32,0
circonferenza cranica
30,0
28,0
26,0
24,0
1
22,0
20,0
18,0
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
lunghezza
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67
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza
Se escludo outliers 1 e 2
2
36,0
34,0
32,0
circonferenza cranica
30,0
28,0
26,0
24,0
1
22,0
20,0
18,0
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
lunghezza
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68
34
Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza
Tutti i dati:
a=8,02
b= 0,51
Escluso outlier 1:
a=4,91
b=0,60
Esclusi outlier 1 e 2:
a=4,46
b=0,61
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69
Valutazione del modello
• R2 : proporzione della varianza che è
spiegata dal modello di regressione
• = (coefficiente di correlazione) ^2
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70
35
variazione del livello di trigliceridi con il livello di
colesterolo
trigliceridi=4,67 + 0,32* colesterolo
tr i g l i c e r i d i (y )
10
r =0,716
R2 =0,51
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
colesterolo (x)
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71
Verifica dei modelli
Omoscedasticità (omogeneità della varianza)
Distribuzione normale degli errori
Linearità
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72
36
Verifica dei modelli
Omoscedasticità (omogeneità della varianza)
Distribizione normale degli errori
Linearità
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73
Omoscedasticità (omogeneità della varianza)
Corso di laurea in biotecnologia - Statistica Medica – Correlazione e Regressione lineare semplice
74
37
Verifica delle assunzioni del modello
La verifica delle assunzioni del modello viene
condotta esaminando la distribuzione dei
residui
Se la varianza è costante per tutta la
distribuzione della x,anche i residui saranno
distribuiti in modo uniforme.
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75
Residuo (o scarto) = valore y_osservato – valore y_predetto
y
valore y_osservato
valore y_predetto
x
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76
38
Verifica delle assunzioni del modello
Distribuzione uniforme dei residui
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77
Distribuzione uniforme dei residui
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78
39
Distribuzione non uniforme dei residui
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79
Distribuzione non uniforme dei residui
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80
40
Verifica dei modelli
Omoscedasticità (omogeneità della varianza)
Distribuzione normale degli errori
Linearità
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81
Distribuzione normale dei residui (errori)
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82
41
Distribuzione non normale dei residui (errori)
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83
Distribuzione non normale dei residui (errori)
Corso di laurea in biotecnologia - Statistica Medica – Correlazione e Regressione lineare semplice
84
42
Verifica dei modelli
Omoscedasticità (omogeneità della varianza)
Distribizione normale degli errori
Linearità
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85
Perchè parliamo di regressione
lineare?
• La variazione lineare è spesso una
spiegazione adeguata
• Variazioni non lineari diventano tali dopo una
trasformazione matematica di una delle
variabili
• La variazione lineare è un punto di partenza
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86
43
Non-linearità
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87
Non-linearità
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88
44
Non-linearità
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89
Trasformazioni normalizzanti e linearizzanti
• Radice quadrata
• Logaritmo
• Inversa (meglio se ulteriormente moltiplicata
per -1)
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45
Trasformazioni normalizzanti e linearizzanti
Inversa negativa
Dati
Log
trasformati
Radice
Dati originali
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91
FR
E
Q
U
E
N
C
Y
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 2 5
5 0
0 0
7 1
5 0
0 0
0
1 1 1
2 5 7
5 0 5
0 0 0
2 2 2
0 2 5
0 5 0
0 0 0
2 3
7 0
5 0
0 0
3 3 3
2 5 7
5 0 5
0 0 0
4 4 4
0 2 5
0 5 0
0 0 0
4 5
7 0
5 0
0 0
5 5 5
2 5 7
5 0 5
0 0 0
6 6 6
0 2 5
0 5 0
0 0 0
6 7
7 0
5 0
0 0
7 7 7
2 5 7
5 0 5
0 0 0
8 8 8
0 2 5
0 5 0
0 0 0
8 9
7 0
5 0
0 0
9 9 9
2 5 7
5 0 5
0 0 0
1
0
0
0
0
C
O
R
P
U
S
C
OM
ID
P
O
IN
T
FR
E
Q
U
E
N
C
Y
50
40
30
20
10
0
0 00 01 11 12 22 23 33 34 44 45 55 56 66 67 77 78 88 89 99 91 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 00
0 25 70 25 70 25 70 25 70 25 70 25 70 25 70 25 70 25 70 25 7. . .
0 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 25
0 50
L_c
11
01
. .
70
50
11
11
. .
25
50
11
12
. .
70
50
11
22
. .
25
50
11
23
. .
70
50
11
33
. .
25
50
11
34
. .
70
50
M
I D
P
O
I N
T
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92
46
Esercizi regressione
•
•
•
•
•
Pag.326 n 1
Pag.326 n 3
Pag.326 n 4
Pag.326 n 6
Pag.326 n 10
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93
47
