SIR ISAAC NEWTON
PHILOSOPHIAE NATURALIS
PRINCIPIA MATHEMATICA
3.1 Alcune notizie biografiche
Newton nasce il 25 dicembre del 1642, nell'anno della morte di Galileo. Ci troviamo a
Woolsthorpe, a sud di Grantham nella Contea del Lincolnshire.
Dopo gli studi inferiori Newton si sposta al Trinity College per frequentare l'Università di
Cambridge.
Da alcune fonti sappiamo che in quegli anni Newton si era già fatto un'idea sulla teoria della
gravitazione, ma non pubblicò nulla e una ragione fu sicuramente lo scoppiare della peste nel 1665
e che si protrasse per tutto il 1666.
Nel 1669 diventa Professore Lucasiano a Cambridge, ovvero titolare della Cattedra Lucasiana di
Matematica1, cattedra che fu di Newton fino al 1702.
1679 Carteggio con Hooke
In questi anni, più precisamente nel 1687, pubblica finalmente le sue idee nella prima edizione dei
Philosophiae Naturalis Principia Matematica.
Nel 1695 gli viene affidato un incarico di Ispettore della Zecca di stato e nel 1703 diventa
presidente della Royal Society.
Nel 1713, dopo le numerose insistenze dell'amico Edmund Halley, lo scopritore della famosa
cometa che porta il suo nome, esce la seconda edizione, rivista e ampliata, dei Principia.
Muore nel Marzo del 1727.
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3.2 Gli scritti giovanili e le prime intuizioni
Nella prima lezione abbiamo detto che Aristotele era convinto del fatto che le leggi che governano
il mondo sublunare fossero differenti da quelle che governano in mondo sopralunare. Nella seconda
lezione abbiamo sottolineato che Galileo, osservando il cielo, si era fatto l'idea che ci fosse qualcosa
che legava questi due “mondi”, ma non era riuscito a trovare una motivazione valida.
Newton, già prima del periodo della peste ebbe un'idea, che poi affinò col tempo. Pur conoscendo le
leggi di Keplero, infatti, anche Newton era allora saldamente ancorato all'idea che le orbite dei
1 http://it.wikipedia.org/wiki/Professore_Lucasiano
pianeti fosse circolari; noi oggi sappiamo che con buona aprossimazione le orbite possono essere
considerate circolari in alcuni casi. Vedremo poi che nei Principia Newton amplierà il proprio
campo di indagine.
Newton, utilizzando i ragionamenti di Galileo aveva capito che se la traiettoria di un corpo è curva
deve esserci necesssariamente una forza che fa deviare il corpo dal moto rettilineo uniforme. Questa
forza deve essere diretta secondo il raggio di curvatura della traiettoria e per questo Newton
chiamava tutte queste forze centripete.
Traiettoria: ABCD. Raggio di curvatura: OC
In particolare, era convinto che la forza che mantiene i pianeti in orbita attorno al Sole, per essere
compatibile con le leggi di Keplero, dovesse essere inversamente proporzionale al quadrato della
distanza fra il sole e i pianeti:
F≈
1
. Vediamo il ragionamento di Newton, utilizzando però
r2
l'algebra.
Le forze centripete hanno la seguente forma
v
F≈
r
2
e le leggi del moto circolare uniforme ci
dicono che se chiamiamo v la velocità tangenziale alla curva possiamo scrivere che v =
2
da cui otteniamo T =
2 R
T
4 2 R 2
.
v2
A questo punto, se vale la III legge di Keplero
R 3 ≈T 2 =
nella formula per la forza centripeta dà appunto F ≈
1
.
r2
4 2 R 2
cioè
v2
v 2≈
1
che inserita
R
Il ragionamento si può percorrere anche al contrario, perché se
centripeta,
v2
F≈
, uguagliandole si riottiene
r
F≈
1
e la forza è di natura
r2
4 2 R 2
1
2
v ≈
che inserita in T =
dice
R
v2
2
che T 2≈R 3 che è la III legge di Keplero.
E' importante dire che questo ragionamento, fatto da Newton e documentato nei suoi scritti
giovanili, era ancora lontano dalle idee che presentò poi nei Principia.
E' infatti doveroso accennare al fatto che negli scritti giovanili Newton ragionava in termini di forze
centrifughe e solo dopo il carteggio con Hooke2, già membro della Royal Society, cominciò a
ragionare in termini più moderni, ovvero pensando ad una forza centripeta. Il grande merito di
Newton fu quello di pubblicare queste idee, sviluppandole e dando loro una veste matematica.
Torniamo ora ai calcoli.
Se la forza che tiene in orbita la Terra e gli altri pianeti attorno al Sole è inversamente proporzionale
al quadrato della distanza tra il pianeta e il Sole, questo doveva essere vero anche per il sistema
Terra-Luna e Newton sapeva che la distanza tra il nostro pianeta e il suo satellite è di circa 60 volte
il raggio terrestre.
La domanda che si pose è che cosa generava questa forza? La risposta più semplice, nota grazie al
famoso e mai accaduto episodio della mela, è che la forza che attrae la Luna deve essere la stessa
che fa cadere le mele sulla Terra. Ma come è possibile questo: la Luna sta cadendo?
Se lanciamo un proiettile con velocità iniziale orizzontale il moto sarà parabolico e la gittata cresce
al crescere della velocità iniziale. Il moto parabolico è la composizione di un moto tangenziale
rettilineo e un moto ad esso perpendicolare accelerato. Anche una curva può essere “approssimata”
da una linea spezzata, così esisterà un valore della velocità iniziale per cui la curva di caduta segue
perfettamente la curvatura della Terra e la traiettoria si chiude.
In pratica quindi la Luna è in caduta libera verso la Terra3!
La forza che la Terra esercita su una mela, per la formula scritta sopra, deve essere inversamente
1
proporzionale al quadrato del raggio terrestre F MELA ≈ 2 , ma supponendo che la forza che
RT
attrae le mele sia la stessa che attrae la Luna allora la forza che la Terra esercita sulla Luna deve
essere inversamente proporzionale alla distanza Terra-Luna cioè
1
1
1
1
F LUNA ≈
=
F
quindi F LUNA ≈
.
2
2
3600
60R T
RT
3600 MELA
Come otterere un controllo di questa ipotesi?
Dalle leggi di Newton sappiamo che l'accelerazione della mela non dipende dalla massa della mela,
2 Hooke è spesso noto per la legge della forza elastica: F=-k∆x.
3 La stessa cosa accade agli astronauti in orbita nelle basi spaziali. Sempre parlando degli astronauti questi provano la
sensazione di assenza di peso proprio perché sono in caduta libera e non perché la forza di gravità sia nulla! Ma su
questo punto torneremo più avanti.
e le leggi di Keplero, in particolare la III legge, ci dicono proprio che la traiettoria dei pianeti, e
quindi anche della Luna, non dipende dalla massa del pianeta stesso. Per questo Newton ipotizzò
che la forza che attira le mele e la Luna fossero della stessa natura e che la relazione tra le
accelerazioni di mela e Luna dovesse essere una relazione esatta: a LUNA =
Newton sapeva, grazie a Galileo, che sulla Terra g =9,81
a LUNA =2,72∗10−3
1
a
.
3600 MELA
m
e da questo otteniamo
s2
m
.
s2
A questo punto Newton approssimò, il moto della Luna, come aveva fatto per gli altri pianeti, il
moto circolare uniforme, per ottenere un confronto numerico col calcolo appena fatto.
Il periodo di rivoluzione della Luna, cioè il mese lunare, dura circa 27 giorni e 8 ore; detto T questo
periodo e ricordando le leggi del moto circolare uniforme:
v=
2 d TerraLuna
T
possiamo scrivere che a LUNA =4
=
2
T
a C =2 R
2
−3 m
d TerraLuna =2,72∗10
.
T
s2
I due valori coincidono entro la seconda cifra decimale e da questa uguaglianza Newton ebbe una
prima conferma che la forza di gravità che agisce sulla mela era la stessa che mantiene in caduta
libera, ovvero in orbita, la Luna. Newton la chiamerà più tardi forza di gravitazione universale e
l'aggettivo universale è spiegabile grazie al ragionamento appena fatto: in questo modo Newton
pose fine alla distinzione tra mondo sub-lunare e sopra-lunare asserendo che le leggi fisiche sulla
Terra erano le stesse che muovevano i pianeti.
Nei Principia estenderà il ragionamento anche alle comete, ma resterà sempre ancorato all'idea che
le stelle lontane sono fisse, mentre invece, come sappiamo noi oggi, anch'esse orbitano.
3.3 I Principia: un libro di geometria
Per Newton il calcolo che abbiamo fatto comunque non era sufficiente ed anzi commentò questo
calcolo scrivendo che l'accordo era abbastanza buono, nonostante i due numeri combacino entro le
prime tre cifre.
Una vera dimostrazione per Newton si basava su proposizioni matematiche, su principi e
ragionamenti che mostrassero le leggi della Natura. Per ottenere queste dimostrazioni Newton
inventò anche nuove regole matematiche, che lui chiamava metodo delle flussioni e delle fluenti, e
che si studia ancora oggi l'ultimo anno delle superiori.
Le dimostrazioni di cui parleremo sono contenute tutte nei Principia, ma Newton, volendo che
fossero comprensibili ad un grande numero di persone, non usò il linguaggio da lui inventato.
I Principia sono quindi un libro di dimostrazioni geometriche, simili a quelle contenute negli
Elementi di Euclide.
Ovviamente non si tratta solo di geometria, nel senso che i nuovi concetti inventati da Newton sono
ben presenti e cercheremo fra poco di darne qualche esempio.
E' il linguaggio ad essere geometrico, mentre il contenuto è la nuova fisica.
Cominciamo ora ad analizzare alcune delle proposizioni dei Principia. Ovviamente lo faremo
usando un linguaggio più moderno, cercando di restare fedeli il più possibile al procedimento di
Newton.
3.4 Il moto rettilineo uniforme e la legge delle aree
Dimostriamo geometricamente che se un corpo si muove di moto rettilineo uniforme allora vale la
legge delle aree.
Per legge delle aree, in questo caso, intendiamo che il corpo, rispetto ad un osservatore fermo,
spazza aree uguali in tempi uguali.
Consideriamo la figura qui sotto.
Supponiamo che in O ci sia un osservatore e che un corpo si muova di moto rettilineo uniforme
lungo la retta PQRS. In un certo tempo ∆t percorrerà segmenti di uguale lunghezza, passando, ad
esempio, da P a Q ad R ad S. Quindi PQ = QR = RS. I triangoli OPQ, OQR, ORS hanno tutti la
stessa base, perché il moto è rettilineo uniforme, ma hanno anche la stessa altezza, che è il segmento
OH. Quindi l'area dei tre triangoli è uguale, ovvero il raggio che congiunge l'osservatore in O con il
punto spazza aree uguali in tempi uguali.
Dunque se un corpo si muove di moto rettilineo uniforme vale la seconda legge di Keplero.
3.5 Forze centrali e la legge delle aree
Quello analizzato sopra è un caso particolare della seguente proposizione: la legge delle aree vale
se e solo se una forza è centrale, dove, per forza centrale, si intende una forza la cui direzione e
verso puntino sempre verso un unico centro, detto appunto centro di forza.
Immaginiamo di considerare degli intervalli di tempo ∆t molto piccoli: la traiettoria, in realtà una
curva, possiamo immaginarla come una spezzata. Partiamo dalla dimostrazione fatta sopra e
immaginiamo che nel punto Q la massa senta una forza diretta verso il centro O. Allora la massa,
anziché procedere fino al punto R la massa procederà verso il punto R' che possiamo costruire
geometricamente nel seguente modo.
Per la seconda legge di Newton la forza è proporzionale all'accelerazione e da questo segue che il
vettore4 F è parallelo al vettore ∆v. Detto Q' il punto dove la massa finirebbe se in Q fosse ferma, il
segmento QQ' è quindi proporzionale a ∆v e possiamo comporre il moto tangenziale, la cui velocità
è parallela a QR, col moto accelerato diretto secondo QQ', usando la legge del parallelogramma. In
questo modo si ottiene il punto R', perché QR e QQ' rapresentano lo spostamento ∆s tangenziale e
radiale.
Il raggio vettore questa volta spazzerà l'area OQR' invece di OQR. Nel disegno è stato messo in
evidenza che l'altezza RH di OQR è congruente all'altezza R'K di OQR', perché QRR'Q' è un
parallelogramma. E poiché la base OQ è in comune l'area sarà uguale e vale la II legge di Keplero.
Viceversa supponiamo valga la legge delle aree. Allora possiamo avere una traiettoria rettilinea
o curva. Nel primo caso, ragionando sul disegno del paragrafo precedente, suddividiamo la
traiettoria in intervalli e otteniamo che essendo l'altezza in comune le basi devono essere uguali
4 Non inseriamo il simbolo di vettore, indichiamo il vettore in grassetto.
quindi il moto è uniforme. Quindi la forza è zero e una forza nulla è una particolarissima forza
centrale. Nel secondo caso possiamo fare il disegno come sopra, sapendo che per la legge delle
aree PQ e QR' sono percorsi in tempi uguali. Usando quanto appena detto prolunghiamo PQ e
riportando la distanza PQ otteniamo il punto R e sappiamo che l'area di ORQ è la stessa di OR'Q,
quindi devono avere la stessa altezza, perché la base OQ è in comune. Questo significa che , detti H
e K i piedi delle rispettive altezze, RHKR' è un rettangolo e in particolare KH è parallelo ad RR'.
Durante il moto da Q ad R' dunque ha agito una forza diretta lungo OQ.
A questo punto Newton fa notare che quando gli intervalli di tempo diventano piccolissimi, il
moto diventa continuo e la traiettoria una curva. Inoltre è importante sottolineare che in questa
dimostrazione non conta la dipendenza della forza dalla distanza, ma solo il fatti che tale forza è
centrale.
3.6 Dalle leggi di Keplero alla forma della forza: motivazioni.
Il problema che stiamo per affrontare è in un certo senso il cuore dei Principia ed il motivo
principale per cui Newton cominciò il proprio lavoro.
Nell'agosto del 1684 l'astronomo Edmun Halley5 si presentò da Newton con un quesito che valeva
40 scellini: il matematico Wren li aveva a chi, tra Halley ed Hooke, avesse risposto ad una sua
domanda sul “Sistema del Mondo”.
I termini precisi della domanda non sono chiari, ma pare che anche Wren, come Hooke, sospettasse
che bastasse una forza centrale per spiegare tutti i moti dei pianeti e delle stelle, ma ne voleva una
dimostrazione matematica.
Newton sorprese Halley rispondendogli che aveva già una risposta alla domanda, ma on l'aveva
ancora messa per iscritto. Così, sotto la spinta di Halley, Newton cominciò a scrivere i Principia,
che videro la luce, grazie anche all'impegno economico di Halley, nel 1687.
Lo stesso aiutante di Newton è sbalordito e descrive un uomo che lavora in quegli anni senza sosta,
spesso scrive in piedi, chino sul tavolo: trovare una sedia o mangiare qualcosa era una perdita di
tempo!
In tre anni Newton scrive 460 pagine, allegando dimostrazioni matematiche e calcoli per
confrontare il modello con le previsioni e i dati sperimentali, ed Halley legge, corregge e commenta
ogni riga che Newton gli spedisce.
La storia dei Principia dopo la prima pubblicazione è assai complessa e non vogliamo discuterne in
questa sede. Chi fosse interessato può consultare i libri presenti in bibliografia.
Nei prossimi due paragrafi ci occuperemo di come Newton dimostra che dalle leggi di Keplero
segua che la forza di gravità deve essere inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
5 Halley è oggi noto per la cometa che porta il suo nome, da lui ha avvistata nel 1682 e che transita nel nostro sistema
solare ogni 76 anni.
Abbiamo già visto che questo è vero se le orbite fossero delle circonferenze, usando l'algebra.
Paradossalmente per mostrare il risultato nell'ipotesi di orbite ellittiche, con l'algebra, servirebbero
degli strumenti matematici molto avanzati ed è per questo che è preferibile usare un po' di
geometria analitica e un po' di gometria sintetica.
Comunque è necessario introdurre alcuni concetti sulle coniche che non sempre si studiano al liceo
ed è per questo motivo che i prossimo due paragrafi sono un po' complessi e possono essere omessi
in prima lettura, senza pregiudicare la comprensione del seguito.
3.7 Particolarità dell'ellisse
3.8 Dalle leggi di Keplero alla forma della forza: la dimostrazione di Newton
3.9 La legge di gravitazione universale
Abbiamo visto che Newton dimostra che se le traiettorie sono delle ellissi allora la forza è
inversamente proporzionale al quadrato della distanza e punta sempre verso un fuoco dell'ellisse. Il
viceversa però non è vero, nel senso che si può dimostrare, e Newton lo fa, che se la forza è
inversamente proporzionale al quadrato della distanza la traiettoria di un oggetto soggetto a tale
forza è in generale una conica: un'ellisse6, un'iperbole o una parabola.
Oggi noi sappiamo che la forma della traiettoria dipende dalla velocità con cui l'oggetto si avvicina
al centro di forza.
Inoltre tale forza deve dipendere dal prodotto delle due masse in gioco. Infatti per la III legge di
Newton se chiamiamo F12 la forza che M1 esercita su M2, si avrà che F12=F21 in modulo. Ma dalla II
legge sappiamo che
F 12 =M 2 a 2
e dalla discussione fatta nei paragrafi iniziali sappiamo che
l'accelerazione a2 dipende da M1. Simmetricamente sappiamo che
F 21 =M 1 a 1 e di nuovo
l'accelerazione a1 dipende da M2. Quindi la forza deve dipendere dal prodotto delle due masse.
E' arrivato finalmente il momento di scrivere la legge di gravitazione e di commentarla.
=−G N M 1 M 2 ur
F
r2
Il vettore ur indica solamente la direzione e il verso della forza, perciò è un vettore di modulo 1,
cioè un versore. In dica la congiungente le due masse, ma solo se queste due masse sono
puntiformi. Nella prima lezione, parlando del pensiero di Lucrezio, ci siamo chiesti cosa succede se
ci sono più masse o se le masse sono estese. Nel primo caso possiamo rispondere che basta fare la
somma vettoriale degli effetti, mentre per i corpi estesi bisognerebbe usare quelle tecniche
introdotte da Newton che sono parte di un bagaglio matematico più avanzato. Se la forma degli
6 Il cerchio è un'ellisse con i semiassi uguali.
oggetti è sferica riusciremo comunque a dare una risposta nelle prossime lezioni.
Il versore, per convenzione matematica, ha come verso quello che parte dalla prima massa
considerata verso la seconda, quindi il segno meno davanti alla frazione indica che la forza di
gravità può essere solamente attrattiva e non influenza quindi il modulo della forza.
Riscriviamo la formula solo per il modulo:
F =G N
M 1 M 2
r2
ritroviamo quanto detto, cioè che è proporzionale al prodotto delle masse ed inversamente
proporzionale al quadrato della distanza tra esse. Quest'ultima cosa significa, come abbiamo visto
per la Luna, che se raddoppiamo la distanza tra le masse, la forza diventa un quarto e se la
triplichiamo diventa un nono.
La costante che precede la frazione, GN, è detta costante di gravitazione universale di Newton (o
semplicemente costante di Newton) ed è un numero che vale per l'intero Universo ed esprime
l'universalità della legge stessa.
La costante ha delle dimensioni fisiche che si ricavano dall'analisi dimensionale della ormula stessa:
2
[G N ]=[F ]
2
[r ] Nm
=
[m 2 ] kg 2
mentre il valore della costante,
G N ≈6,67∗10−11
Nm 2
, ci dice
kg 2
che la forza di gravità è piccola rispetto ad altre forze di natura come la forza elettrica o la forza
magnetica7.
La forza di gravitazione è una forza a distanza, non è di contatto e questo fu uno dei motivi per cui
Newton fu attaccato dai contemporanei: la filosofia che la maggior parte degli stessi membri della
Royal Society sostenevano era quella meccanicistica di Cartesio, il quale pensava che lo spazio
fosse permeato di vortici e che tutto potesse essere spiegato in termini di urti8.
Per questo motivo due masse, che supponiamo ferme ad una certa distanza in un certo istante,
risentono della forza di attrazione e cominceranno a muoversi l'una verso l'altra: è molto importante
saper disegnare le forze che agiscono sulle masse.
Se come detto prima F12 è la forza che 1 esercita su 2, la freccia che rappresenta F12 deve essere
appiccicata ad M2:
M1
F21
F12
M2
E' molto importante sottolineare che la formula per calcolare la forza di gravitazione universale
scritta sopra è valida per masse che possiamo pensare puntiformi.
7 Per un confronto tra le forze basta aprire un qualsiasi libro di fisica.
8 Non approfondiremo questo aspetto, perché ci porterebbe troppo lontano dai nostri obiettivi.
Questo significa che se abbiamo dei corpi estesi vicini dovremo pensare il corpo spezzato in tani
pezzi ideali piccolissimi e sommare poi tutti i contributi.
Questa operazione può essere molto complessa e richiede tecniche di calcolo che si studiano
approfonditamente all'Università.
Se i corpi invece, pur essendo estesi come Terra e Sole, sono lontani possiamo pensare che la
formula esprima, in generale, una buona approssimazione di quello che succede.
Vedremo nelle prossime lezioni come cavarcela in qualche caso particolare.
3,10 Questioni chiuse e questioni aperte: successi ed insuccessi
Sia nella II legge di Newton che nella legge di gravitazione universale compare il termine MASSA,
ma il significato è diverso nei due casi.
La massa della legge
F =M a viene detta massa inerziale, perché rappresenta la capacità del
corpo ad opporsi al moto, sia esso verticale o orizzontale, in generale causato da una forza qualsiasi.
La massa della legge di gravitazione viene invece detta massa gravitazionale, perché riguarda
solamente l'attrazione gravitazionale.
I due concetti dunque sono distinti in linea di principio: la massa inerziale la definisco usando un
amolla mentre quella gravitazionale guardando come una massa attira l'altra.
Non entreremo nello specifico di questa discussione; diciamo semplicemente che a tutt'oggi i due
concetti coincidono entro un errore sperimentale dell'ordine di 10-8 ed anzi l'uguaglianza delle due
masse è un principio fondante della Teoria della Relatività Generale di Einstein.
Il fisico Henry Cavendish, in un lavoro pubblicato nel 1771, forniva la prima misura della costante
di gravitazione GN, utilizzando uno strumento noto come bilancia a torsione, e dava la prima
conferma sperimentale della legge di gravitazione universale.
Nell'articolo da lui pubblicato è contenuta, grazie a queste determinazioni sperimentali, anche una
prima tima della densità di massa della Terra, che ricaveremo nell'ultima lezione.
Torniamo alla questione astronauti: quando la Stazione Spaziale orbita attorno alla Terra
galleggiano perché sono senza peso?
Le stazioni spaziali orbitano a circa 1000 km sopra le nostre teste, cioè circa 1/6 del raggio terrestre
e seguendo il ragionamento fatto con la Luna scriviamo la seguente proporzione:
g:
1
=a astronauta :
R2
1
1 2
R R
6
dove R indica il raggio terrestre. Da questa proporzione ricaviamo che l'accelerazione di un
astronauta è
a astronauta=g
ben lungi dall'essere zero!
1
~0,73g
e quindi il peso dell'astronauta è calato di un 27%,
1 2
1
6
