ATTIVITÀ PER L`INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO

ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
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ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE
AL PENSIERO ALGEBRICO
SOMMARIO DELLE ATTIVITÀ PROPOSTE
PER LA SCUOLA MEDIA E PER IL BIENNIO SUPERIORE
Nell’aprile 1997 l’Iprase ha pubblicato Problemi e proposte sull’insegnamento dell’algebra – Riflessioni teoriche e materiali di lavoro dei gruppi di ricerca Iprase della scuola media e del biennio della secondaria superiore. Il volume comprende alcuni scritti di N. A. Malara, R. Iaderosa, L. Gherpelli, F. Arzarello, L.
Bazzini, G. P. Chiappini, E. Gallo di inquadramento del tema e una raccolta di percorsi per la scuola
media ed il biennio superiore redatti da insegnanti di vari Istituti della Provincia di Trento.
Nel 2001 è stato diffuso il “Regolamento recante norme in materia di curricoli della scuola di base”.
Poi, a seguito dei cambiamenti dello scenario politico nazionale, si è giunti ad una nuova indicazione di conoscenza e abilità.
Questi i riferimenti per il lavoro portato avanti in questo ultimo anno e mezzo da un gruppo di insegnanti nell’ambito del Centro Territoriale per la Didattica della Matematica di Trento.
·
SPERIMENTIAMO IN LABORATORIO
Si tratta di attività da svolgere nel laboratorio di scienze; due di esse sono tratte da note riviste di
didattica della matematica.
L’alunno è stimolato ad analizzare i legami fra la rappresentazione tabulare dei dati, la rappresentazione grafica e la scrittura di formule.
·
COSTRUIAMO CONTENITORI
Dalla riflessione sull’attività pratica, gli alunni dovranno ricavare regolarità e leggi matematiche. In vista di eventuali approfondimenti, può trovare spazio anche il calcolo letterale.
·
SCOPRIAMO SUCCESSIONI
Disegni, successioni numeriche, formule: un ambiente molto stimolante in cui gli alunni trovano
modo di formulare congetture, discuterle argomentando, trarre leggi a carattere generale.
·
RICAVIAMO TANTE FIGURE
Semplici scritture simboliche possono essere d’aiuto per dare informazioni riguardo alle figure
geometriche. L’uso delle lettere come variabili suggerisce di pensare a grandezze geometriche
variabili.
·
AFFRONTIAMO SITUAZIONI E PROBLEMI
Con il linguaggio algebrico si può descrivere in forma generale la soluzione di un problema.
I problemi sono un ambito nel quale l’uso del simbolismo si integra felicemente con altre modalità espressive: disegno, spiegazioni “a parole”, strumenti informatici.
·
USIAMO IL FOGLIO ELETTRONICO
L’uso del foglio elettronico prevede la scrittura di formule con una sintassi molto rigorosa; è
uno strumento per risolvere problemi, permette di realizzare tabelle, consente di ottenere rapidamente grafici di vario tipo: è quindi una risorsa preziosa per la costruzione del pensiero algebrico nei sui diversi aspetti.
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La proposta, che permea le attività illustrate nelle presente raccolta, vuole essere “quasi un appello”
agli insegnanti della scuola media ad abbandonare l’idea che si è affermata per “spirito di servizio”
nei confronti dei colleghi del biennio superiore, cioè di assumere il calcolo letterale “avulso da riferimenti concreti” come via d’accesso al pensiero algebrico. È un appello a rientrare nella legalità,
visto che il ricorso al calcolo letterale “avulso da riferimenti concreti” viene esplicitamente escluso
proprio dai Programmi ministeriali del 79. É un appello agli insegnanti di biennio a porsi in ricerca
per trovare il modo di alleggerire la parte di calcolo formale, recuperando così spazi per affrontare
aspetti del pensiero algebrico, e della matematica in generale, purtroppo trascurati.
A questo proposito desideriamo formulare agli insegnanti di matematica del biennio superiore la
proposta
di
sottoscrivere
la
lettera
seguente
(inviando
un
messaggio
a
[email protected]).
Agli insegnanti di matematica
delle scuole medie del Trentino
Cara/o Collega,
da qualche anno facciamo parte anche noi come te della cosiddetta ‘Scuola dell’obbligo’.
Sappiamo che il tuo desiderio di garantire agli alunni un futuro scolastico migliore, e le richieste delle famiglie, ti spingono a dedicare vari mesi del tuo lavoro in classe al calcolo
letterale. Quello che constatiamo quando gli alunni arrivano nelle classi del biennio è che,
così, si crea semplicemente una selezione precoce, che cioè in realtà si potenziano i ragazzi già preparati, senza fornire a quelli più deboli strumenti di cui sappiano poi servirsi.
Ti proponiamo di abbandonare questa impostazione, approfondendo semmai quei temi
che del pensiero algebrico costituiscono premesse necessarie (pensiamo alle attività riguardanti gli insiemi numerici, all’argomentare, al generalizzare utilizzando - questa volta
sì motivatamente - simboli letterali, all’uso di modalità diverse - come tabelle, grafici, formule - per descrivere fatti e fenomeni). Questo è quanto ci viene di suggerire, sapendo
che, comunque, i Programmi vigenti sono pienamente all’altezza per i contenuti e per la
metodologia che propongono.
Se tu che leggi questa nostra proposta utilizzi varie strategie alternative per introdurre gli
alunni al pensiero algebrico, mettiti in contatto con il Centro Territoriale per la Didattica della Matematica di Trento ([email protected]): la ricerca di nuove soluzioni
didattiche anche grazie a te può continuare!
Gli insegnanti di Matematica del Biennio
della Secondaria superiore e della formazione professionale
Adriano Demattè
Paola Depedri
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SPERIMENTIAMO IN LABORATORIO
Obiettivi
- Usare coordinate cartesiane, diagrammi, tabelle per rappresentare relazioni e funzioni.
- Raccogliere in tabelle i dati rilevati in una prova pratica.
- Rappresentare i dati riguardanti due grandezze reciprocamente dipendenti in un riferimento cartesiano.
- Confrontare grafici diversi che descrivono casi di uno stesso esperimento effettuato in
condizioni differenti.
- Costruire, leggere e interpretare formule.
- Rappresentare ed interpretare legami di proporzionalità diretta, inversa e dipendenza quadratica.
- Usare modelli dati o costruire semplici modelli per descrivere fenomeni ed effettuare previsioni.
- Descrivere le condizioni sperimentali che determinano la variazione dei coefficienti
dell’equazione di una retta, di un’iperbole equilatera, di una parabola avente il vertice
nell’origine con riferimento ai dati di un esperimento noto.
- Scrivere una legge di proporzionalità diretta, inversa o di accrescimento quadratico utilizzando i dati di una prova pratica.
- Utilizzare una legge che esprime il legame fra due variabili per anticipare il valore di una
grandezza rilevabile sperimentalmente.
·
Il livello dell’acqua in un bicchiere1
Metodi e attività
Gli alunni potranno lavorare in gruppo o singolarmente. Avranno a disposizione un cilindro trasparente (non necessariamente graduato) contenente acqua, una cannuccia, un righello, carta e penna.
Con la cannuccia, un alunno aspirerà di volta in volta una stessa quantità di liquido, finché il recipiente sarà vuoto. Verranno poi raccolti in una tabella il numero di aspirazioni e la corrispondente
altezza del liquido nel cilindro. Da questa si ricaverà un grafico in un riferimento cartesiano: si indicherà ai ragazzi di riportare i punti e poi di tracciare una “retta interpolatrice”: di questa ci si servirà
per guidare gli alunni a riflettere su quello che hanno fatto, in modo da arrivare ad un modello matematico espresso in linguaggio algebrico.
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Adattato da Mary Jean Winter and Ronald J. Carlson, Liquid Assets: Increasing Students’ Mathematical Capital, THE
MATHEMATICS TEACHER, marzo 2000, pp. 172-78.
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Si potranno proporre domande come le seguenti.
- Di quanti centimetri si è abbassato mediamente il livello dell’acqua ad ogni aspirazione? Mostra
i calcoli che fai per dare la risposta.
- Completa la tabella utilizzando il valore medio precedente:
x
y
Numero di
Livello
aspirazioni dell’acqua (cm)
0
1
2
3
4
5
6
7
...
-
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Peter ha eseguito lo stesso esperimento e ha ottenuto i dati seguenti:
x
y
Numero di
Livello
aspirazioni dell’acqua (cm)
0
1
2
3
4
5
6
7
-
10,5
10
9,5
9
8,5
8
7,5
7
Dopo aver aspirato con la cannuccia per 15 volte, quale sarebbe stata l’altezza del liquido?
Se non l’hai già fatto, rispondi alla domanda precedente scrivendo un’espressione nella quale
compaiano il livello iniziale, l’abbassamento ad ogni aspirazione ed il numero di aspirazioni.
Quante aspirazioni sono state necessarie per abbassare il livello dell’acqua di 4 cm?
Quante aspirazioni sono state necessarie per portare il livello dell’acqua fino a 3,5 cm?
Come sarebbe cambiato il grafico se nel tuo esperimento avessi usato un cilindro più stretto,
contenente la stessa quantità di acqua, ma non avessi cambiato il modo di aspirare il liquido?
Come sarebbe diventato il grafico se l’acqua fosse stata calda e avessi perciò, per non scottarti,
aspirato meno le prime due o tre volte, ma poi avessi ripreso ad aspirare come prima?
Confronta il grafico ottenuto da Chris e quello ottenuto da Pat: come spieghi le loro differenze?
y
Pat
Chris
x
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-
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Confronta i grafici di Luc e Tim e spiega analogie e differenze.
Tim
Luc
-
Esamina e interpreta anche le differenze fra i grafici di Tomas e Lucy.
y
Tomas
Lucy
x
-
-
Scriviamo una formula per calcolare l’altezza del liquido (y) al variare del numero di aspirazioni
(x): scopri quali numeri vanno scritti sui puntini, dopo aver rivisto le espressioni che hai scritto
in precedenza.
y = ... - ... · x
Luis ha ottenuto y= -0,5·x+15 e Mary y=-0,9·x+17. I due ragazzi hanno usato recipienti uguali.
Quale dei due è partito dal livello di liquido maggiore? Quale ha aspirato ogni volta più acqua?
Quale formula si potrà ricavare dal grafico di Bill, che vedi qui di seguito?
y
8
Bill
10
x
Verifiche
Si tratterà di riproporre, con valori numerici cambiati, domande analoghe a quelle indicate sopra.
Sarà opportuno somministrare una verifica sommativa dopo aver effettuato altre esperienze in cui si
integrino attività sperimentale, rappresentazione grafica e scrittura di un’equazione (andranno ovviamente privilegiate grandezze che abbiano una dipendenza lineare).
·
L’allungamento di un elastico2
Metodi e attività
Nella prima fase, l’insegnante esporrà agli alunni gli esiti di un esperimento: si sarà trattato di produrre l’allungamento di un filo elastico da sarta con dei maccheroni, oppure dei pezzi di filo di ferro
tagliati della stessa lunghezza (N indicherà il loro numero) e di misurarne la lunghezza raggiunta
(L). Una tabella di dati mostrerà agli alunni i valori rilevati.
N
L (cm)
2
0
2
4
6
8 10 12
20 20,3 20,7 21,1 21,6 22,2 22,5
Si veda anche Garuti R., Funzioni come trasformazioni associate a formule, grafici come modelli di fenomeni: riflessioni su una esperienza in III media, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol. 15, 1992.
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Sarà poi richiesto agli alunni di scegliere, fra alcune formule, quella che risulta maggiormente in
accordo con i dati della tabella, facendo meno calcoli possibile:
L=20·(1+N)
L=20-0,2·N
L=20+0,2·N
L=20+20·N
In seguito verrà organizzata la realizzazione dell’esperimento da parte degli alunni. Essi andranno
guidati in modo da evitare errori grossolani nell’allestimento del dispositivo, nella rilevazione e nella registrazione delle misure. In particolare l’elastico andrà saldamente legato ad un sostegno; i pesini uguali potranno venire agilmente attaccati ad una striscia di nastro adesivo unita ad
un’estremità dell’elastico; le lunghezze andranno rilevate prendendo come riferimento sempre gli
stessi due punti dell’elastico (attaccature al sostegno e alla striscia di nastro adesivo).
Verrà chiesto di eseguire la prova pratica con elastici da sarta di due tipi: uno più rigido, uno meno
rigido.
In seguito, dovranno trovare i valori da sostituire a H e K nella formula L=H+K·N in modo che si
accordi con i dati sperimentali: da cosa dipenderanno H e K? La discussione in gruppo e l’eventuale
stesura di una relazione serviranno ad esplicitare i motivi delle scelte operate. Come ulteriore controllo della bontà delle formule, gli alunni dovranno riportare in un riferimento cartesiano i valori rilevati sperimentalmente e in un altro il grafico ottenuto con le equazioni che hanno ricavato.
Sarà loro richiesto poi di esaminare due altre equazioni:
L=20+0,1·N
L=20+0,05·N
A quale delle rette segnate nel seguente riferimento cartesiano corrisponderà ciascuna di esse?
L
20
N
Un grafico potrà rappresentare vari, possibili esperimenti: gli alunni dovranno immaginare il tipo di
materiale usato in ciascuno di essi.
L
N
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· Leve in equilibrio
Metodi e attività
Per la facile reperibilità del materiale, è una delle prove pratiche sulla proporzionalità inversa più
semplici. Qualche attenzione andrà riservata alla cura nelle misurazioni.
Fissato al tavolo, con il nastro adesivo, un cilindretto rigido (uno stick di colla o un grosso pennarello) su di esso verrà posta in equilibrio una riga lunga almeno 30 cm, segnando un trattino in corrispondenza del fulcro. Ad una estremità andrà fissata una moneta. Altre monete uguali verranno
messe sulla riga, dalla parte opposta, in modo da ristabilire l’equilibrio: prima una, poi due sovrapposte, poi tre ecc.
Gli alunni dovranno di volta in volta misurare la distanza del centro delle monete dal fulcro, completando una tabella come la seguente.
Numero di monete
Distanza dal fulcro (mm)
1
…
2
…
3
…
4
…
5
…
Sarà poi richiesto di riportare i dati in un riferimento cartesiano.
Gli alunni noteranno che all’aumentare del numero di monete (n), la distanza dal fulcro (d) va diminuita. Saranno sollecitati a cercare la legge che lega le due grandezze. Potranno venire guidati, facendo calcolare loro i prodotti n·d e attirando l’attenzione sul fatto che sono (se le misure sono state
fatte con una certa cura) molto prossimi. Dopo aver scartato quelli palesemente affetti da errori
grossolani, si potrà calcolarne la media. Col valore così ricavato, si potrà scrivere la legge e tracciare un nuovo grafico, magari su carta da lucido o carta velina per poi sovrapporlo a quello ottenuto
con le misure “grezze”.
L’esperienza si potrà ripetere incollando due o più monete ad un’estremità della stecca.
Si potrà mostrare una tabella di dati raccolti con un altro, ipotetico esperimento sulle leve, chiedendo di risalire ancora alla legge, come fatto in precedenza.
Se si fosse usata una stecca più lunga, cosa sarebbe cambiato nella legge (equazione dell’iperbole
della proporzionalità inversa)? Come sarebbe variato il grafico? Per rispondere a quest’ultimo interrogativo, potrà essere utile confrontare i grafici ottenuti da più leggi di proporzionalità inversa assegnate dall’insegnante. Risulterà utile il foglio elettronico.
Si potrà ragionare sulla legge scritta sopra e immaginare di sostituire alle lettere (n compreso) valori
non interi. Si ritornerà al grafico e si potrà approfondire l’analisi riflettendo sul fatto che il grafico
non incontra mai gli assi. Si potrà semplicemente immaginare di sostituire lo zero oppure si potrà
effettivamente eseguire il calcolo con la “macchinetta”, riflettendo su ciò che si ottiene.
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· Periodo e lunghezza di un pendolo
Metodi e attività
Si potrà costruire un buon pendolo usando materiale molto facile da trovare: filo da sarta, monete,
nastro biadesivo. Si bloccherà il filo fra due monete, col nastro biadesivo.
Agli alunni sarà chiesto di tenere il filo saldamente fra due dita in modo che durante le oscillazioni
(piccole!) non cambi la lunghezza del pendolo. Questa andrà naturalmente misurata dal centro delle
monete al punto un cui la mano tiene il filo.
Per determinare il periodo, converrà cronometrare dieci oscillazioni consecutive e dividere la misura per dieci in modo che l’errore che si compie all’avvio e all’arresto del cronometro venga ripartito.
Gli alunni avranno bisogno di un buon training come cronometristi.
Sarà loro posto il problema di trovare per prove ed errori la lunghezza del pendolo (l) che ‘batte il
secondo’, vale a dire che ha il periodo (T) di 2 secondi; quindi di trovare la lunghezza del pendolo
con il periodo di un secondo. Se il periodo raddoppia, di quante volte aumenta la lunghezza?
Completeranno poi una tabella come la seguente, spingendo la precisione delle misure ai decimi.
Periodo (in s)
Lunghezza (in cm)
La realizzazione di un grafico cartesiano ed il confronto con i modelli matematici incontrati in precedenza non consentirà di scrivere immediatamente la legge che lega l e T. Ad ogni buon conto, le
analogie con la proporzionalità diretta (“cresce T, cresce l”) aiuteranno a mettersi nella giusta direzione.
La tabella precedente potrà utilmente essere completata con l’aggiunta delle due righe seguenti:
T2
l/T2
I valori dell’ultima riga saranno molto prossimi, salvo errori grossolani: la loro media aritmetica
suggerirà una costante da utilizzare per scrivere la legge.
Si utilizzerà la legge per ricavare la lunghezza dei pendoli con periodo di 3, 4, 5, ... secondi e si osserverà come essa aumenti rapidamente.
Il confronto con altre situazioni (area di figure simili, superficie della sfera, volume di prismi, piramidi, cilindri, coni, ... di altezza fissata ecc.) rinforzerà il concetto di accrescimento quadratico. In
uno stesso riferimento cartesiano, il grafico di y=x e y=x2 consentirà di riflettere sul diverso comportamento per x compresa fra 0 e 1, oltre che per valori maggiori di 1.
Verifiche
·
Mirko ha appeso una, due, tre,...n monete uguali ad un elastico e ha misurato di volta in volta la
sua lunghezza in centimetri (l). Ha poi scritto una formula, eccola:
l=15+0,9·n
a) Cosa indica il numero 15?
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b) Cosa indica il numero 0,9?
c) Con appese cinque monete, quale lunghezza ha l’elastico?
d) Realizza un grafico servendoti della formula scritta da Mirko.
Moira ha fatto lo stesso esperimento di Mirko, ha usato le stesse monete, però ha scelto un altro elastico ed ha verificato che l’allungamento di volta in volta è stato minore.
e) Scrivi tu un esempio di formula che Moira potrebbe aver ottenuto e spiega il perché delle tue
scelte.
·
Nella prova pratica consistente nell’aspirare con una cannuccia da un recipiente cilindrico, Marc
ha ottenuto i seguenti dati riguardanti il numero di aspirazioni (n) ed il livello del liquido in centimetri (h) dopo ciascuna di esse.
n
h (in cm)
0
8,5
1
7,7
2
7,0
3
6,1
4
5,3
5
4,4
6
3,5
7
2,6
8
1,9
9
1,0
10
0,2
a) Di quanto diminuisce mediamente il livello del liquido ad ogni aspirazione?
b) Considerando l’altezza iniziale che vedi in tabella, scrivi la legge che lega n ed h.
Esamina il grafico che segue (Ute ed Elga hanno eseguito lo stesso esperimento):
h
Ute
Elga
n
c) In cosa potevano differire fra di loro, secondo te, i modi di condurre l’esperimento da parte di
Ute ed Elga?
d) Fra le leggi h=15-0,5·n e h=10-0,3·n, quale descrive meglio l’esperimento di Ute? Spiega il
perché della tua scelta.
·
Gigi ha messo una riga in equilibrio su di un pennarello fermato col nastro adesivo al banco; ad
un estremo ha attaccato un temperamatite e dalla parte opposta ha collocato delle monete uguali: prima una, poi due, tre ecc. sovrapposte e le ha spostate finché la riga rimaneva orizzontale.
Ha quindi misurato la distanza dal centro delle monete al punto di appoggio della riga sul pennarello.
a) Non conosci le misure rilevate da Gigi, ma potresti provare tu a compilare una tabella di dati
con il numero di monete (n) e le distanze (d) dal punto di appoggio, il fulcro.
b) Quale legge puoi ricavare esaminando i dati in tabella?
Immagina di aver riportato i dati in un riferimento cartesiano ed aver tracciato una linea che li congiunge. Ecco quello che avresti potuto ottenere:
d
n
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ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
c) Immagini di prolungare la linea curva. Essa non potrà mai incontrare gli assi: perché?
d) Se non l’hai già fatto, utilizza la formula che descrive questo esperimento e spiega perché alle
lettere che compaiono in essa non è possibile sostituire il valore 0: cosa succederebbe in tal caso?
·
Uno speciale cannoncino spara burro ed il suo getto va a colpire delle fette di pane da toast che
potranno essere disposte come in figura.
a) se ad un metro di distanza dal cannone viene imburrata una fetta, alla distanza di due metri
quante ne verranno imburrate? e a tre metri?
b) A quale distanza dal cannone si troveranno 100 fette?
c) Quale legge di accrescimento (con distanza e numero di fette) puoi scrivere?
d) Quale esperimento che hai realizzato in classe dava origine ad una legge di accrescimento analoga alla precedente? Descrivine lo svolgimento ed il tipo di legge che hai ricavato.
·
Patty ha preso una scatoletta trasparente, l’ha riempita di farina, ha preso un parallelepipedo di
legno (in figura vedi le aree delle facce) e l’ha appoggiato sulla farina: prima con la faccia A,
poi con la B, infine con la C.
A
Area=48 cm2
B
Area=24 cm2
C
Area=18 cm2
Ha anche misurato, di volta in volta, quanto il parallelepipedo affondava nella farina, e i valori li
vedi in tabella.
Faccia
A
B
C
2
2
Area 48 cm
24 cm
18 cm2
Affonda di
9 mm
17 mm
23 mm
a) Calcola i tre prodotti delle aree e dell’affondamento nella farina.
b) Calcola la media di questi prodotti.
c) Scrivi la legge che lega area e “affondamento”.
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ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
·
Osserva la tabella seguente. I dati in essa raccolti riguardano una prova pratica consistente nel
raccogliere l’acqua che esce da un rubinetto in un recipiente cilindrico e nel misurarne l’altezza
in centimetri (h) ogni cinque secondi.
t
0
5
10 15 20
h
0 5,6 11,0 16,8 23,0
a) Rappresenta i dati in un riferimento cartesiano.
b) Ricava il valore di k nella legge h=k·t.
Marta ha eseguito la stessa prova pratica, ma evidentemente ha fatto qualcosa di diverso, infatti ecco l’andamento del grafico che ha ottenuto:
h
t
c) Cerca tu una spiegazione a quello che ha fatto Marta.
·
Rifletti sulle seguenti situazioni.
a) Ad una molla sono stati agganciati uno, due, tre ecc. pesini uguali e ogni volta si è misurato di
quanto si allungava ...
b) Luca aveva da parte un piccolo risparmio in euro; ogni giorno ha speso, mediamente, lo stesso
numero di euro ...
c) Un faro proietta un cerchio luminoso sulla scena di un teatro: se lo si pone più distante da
quest’ultima, il cerchio luminoso aumenta di diametro ...
d) Con un certo numero di euro, si sono acquistati alcuni chilogrammi di frutta; se il prezzo al chilogrammo aumenta, la quantità di frutta diminuisce ...
Associa a ciascuna delle situazioni precedenti una delle formule che seguono:
I.
a = 50-2·b
II. x·y = 20
III.
c = 0,5·d
IV. p = 0,2·q2
Spiega il perché delle tue scelte.
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ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
COSTRUIAMO CONTENITORI
Obiettivi
- Porre problemi e progettare possibili soluzioni.
- Riconoscere situazioni problematiche, analizzarle e individuare al loro interno dati noti e non
noti e le relazioni esistenti tra essi.
- Costruire, leggere e interpretare formule.
- Tradurre informazioni dal linguaggio comune a quello delle lettere.
- Costruire formule e verificarne l’esattezza in riferimento ai casi specifici.
- Usare coordinate cartesiane, tabelle per rappresentare relazioni e funzioni.
SCATOLE DI CARTONE3
Metodi e attività
Lavorando a gruppi, gli alunni avranno a disposizione fogli di cartoncino da ripiegare o ritagliare
per costruire contenitori di varia forma sui quali compiere osservazioni, misure, rilevazioni di dati e
giungere ad individuare e rappresentare relazioni.
FASE 1
Ogni gruppo costruirà, mediante opportune piegature del foglio di cartoncino rettangolare con le
dimensioni di 24 cm e 10 cm, la superficie laterale di una scatola (a base rettangolare) alta 10 cm.
10 cm
Si chiederà agli alunni di valutare a occhio come varia il volume al variare delle dimensioni di base
e di individuare quale scatola ha volume massimo. Verrà compilata successivamente la tabella per i
valori relativi alle scatole costruite.
3
Adattato da E. Castelnuovo “La Matematica – Figure solide”, La Nuova Italia.
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ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
x
(dimensione di base)
12 – x
(altra dimensione)
y
(volume della scatola)
Si potranno riportare in un foglio elettronico i valori x (con incremento 0,5), 12-x, y.
Si rappresenterà in un grafico cartesiano la relazione tra y e x.
Si potrà poi chiedere agli alunni:
v per quali valori di x la scatola è realizzabile;
v a quale valore di x corrisponde il volume massimo;
v quale funzione matematica lega y ad x, completando: y = x· (….. - …..)·…..;
v se il cartoncino rettangolare avesse dimensioni 16 cm x 10 cm, per quale valore di x si otterrebbe la scatola alta 10 cm di volume massimo;
v se p è il perimetro di base della scatola, come “chiamo” la dimensione di base della scatola
con volume max;
v quale tipo di scatola alta 10 cm costruirebbero con un cartoncino 40 x 10 volendola riempire
del maggior numero possibile di dadi con lo spigolo di 1 cm.
1
1
Eventuali sviluppi potranno prevedere la possibilità di fare congetture e verificarle con l’ausilio del
foglio di calcolo:
v tenendo come altezza la dimensione maggiore del foglio di cartoncino, come varierà il volume della scatola variando come in precedenza le dimensioni di base?
v il volume max sarà maggiore o minore di quello determinato nella precedente fase di lavoro
e qual è il rapporto tra i due volumi massimi?
Si potranno guidare gli alunni (che già conoscono il calcolo letterale) alla generalizzazione
a>0
x
V1 = [(x + a ) / 4] × x =
2
x+a
2
x 3 + a 2 x + 2ax 2
16
x 3 + ax 2
æxö
V2 = ç ÷ × (x + a ) =
16
è4ø
x+a
x
Si noterà che V1 è sempre maggiore di V2.
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ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
Si potranno usare le lettere anche per individuare che il rapporto tra i due volumi corrisponde a
quello tra le dimensioni del cartoncino cioè:
2
V1 (x + a )
x
=
×
2
V2
16
éæ x ö
ù
êç ÷ × (x + a )ú
ëêè 4 ø
ûú
Dallo sviluppo e dalla semplificazione si avrà:
V1 x + a
=
V2
x
Altre domande possibili:
v supponiamo che il foglio di cartoncino da piegare per costruire la superficie laterale della
scatola di volume massimo sia quadrato: se chiamo x una dimensione, come chiamo l’altra?
v quale sarà allora la relazione matematica che lega il volume y ad x?
v quale tipo di grafico esprime questa relazione?
FASE 2
Ogni gruppo ritaglierà, da un foglio di cartoncino quadrato, 4 quadratini di lato x agli angoli e ripiegherà verso l’alto le strisce in modo da ottenere una scatola senza coperchio. Partendo da cartoncini
uguali di 18 cm di lato, un gruppetto taglierà quadratini di lato 1 cm, gli altri di 2 cm, di 3 cm … e
verranno costruite le relative scatole.
Si chiederà ai ragazzi tra quali valori può essere compreso x: insieme si valuterà a occhio se le scatole hanno o meno lo stesso volume.
Si passerà poi alla verifica sperimentale riempiendo le scatole con volumi prefissati di sabbia, poi si
lavorerà per via algebrica dopo aver rappresentato il modello del foglio e delle piegature
x
a
Ponendo a il lato del foglio e x quello del quadratino si arriverà all’area del fondo della scatola nei
vari modi che metteranno in evidenza l’equivalenza delle espressioni letterali
(a - 2x )2 = a 2 + 4x 2 - 4ax
Così si potrà esprimere il volume y delle scatole in funzione di x. Per “vedere” la relazione si realizzerà il grafico sulla base dei valori indicati nella tabella costruita in un foglio di calcolo e si noterà la presenza di un volume massimo.
a
18
18
x
1
2
V
…
…
15
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
A questo punto si compileranno altre tabelle come la precedente riferite a scatole ottenute da fogli
di cartoncino quadrati di lato 12 cm; 24 cm; 36 cm (una per gruppo) e confrontando le varie tabelle
si guideranno gli alunni a notare che il volume massimo si ottiene per valori tali per cui è 1/6 il rapporto tra x e il lato del foglio di cartoncino.
Si potrà lavorare con le lettere per passare da
2 3
2
Y = (a - 2 x ) × x ad Y =
a (riferendosi a scatole di volume max).
27
Si potrà ampliare l’attività lavorando su fogli rettangolari dai quali ritagliare ai 4 angoli i quadratini
come sopra per individuare ancora interessanti relazioni tra x lato del quadratino e y volume della
scatola. In questo caso il volume massimo della scatola si ha per un valore di x compreso tra a/6 e
b/6 (a e b sono le dimensioni del foglio di cartoncino rettangolare).
I pacchi postali
Metodi e attività
Gli alunni dovranno essere in grado di scoprire le condizioni che, nel rispetto di vincoli prefissati,
permettono di ottenere il volume massimo di un pacco, considerando i vincoli stabiliti dalle Poste
Italiane che fissano per i pacchi ordinari:
costo di spedizione di
5,16 €
peso
0 –20 Kg
A lunghezza max
100 cm
B lunghezza max + ‘giro opposto’ 200 cm
Verrà posto il problema generale:
“Quale forma e quali dimensioni dare al pacco perché il volume sia massimo e rispetti le direttive
postali?”
1) Gli alunni, individualmente o a piccoli gruppi, saranno invitati inizialmente a considerare scatole
a forma di parallelepipedo rettangolo (cubo compreso) e a compilare una tabella con a, b, c come
dimensioni assunte “a caso”, verificando di volta in volta se rispettano i vincoli fissati.
Potrebbe essere un buon esercizio di allenamento al fare ipotesi e stime ragionevoli e a verificarle.
Si può concordare, anche per le fasi di lavoro successive, di prendere “a” come dimensione maggiore:
a
100
100
b
c
2) Si passerà poi alla “traduzione” di A e B nel linguaggio algebrico mediante le rispettive disequazioni: a < 100
a + 2 (b+c) £ 200
Si esamineranno le possibili situazioni per vedere come varia il volume al variare delle dimensioni
di base b, c.
Gli alunni saranno aiutati a costruire la a + 2 (b + c) = 200 e quindi:
- ricavare il valore di b + c;
- fissare il valore di b (incrementi progressivi di 5 in 5);
16
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
- calcolare c per differenza dalla a + b;
- calcolare il volume corrispondente.
Sarà utile costruire una tabella e usare la calcolatrice tascabile oppure utilizzare il foglio di calcolo
nel quale inserire dati, impostare e copiare formule.
1
2
3
4
A
a
100
100
B
C
a + 2 (b+c)
b+c
200
=(B2-A2)/2
200
D
b
5
10
E
c
=C2-D2
F
volume
=A2*D2*E2
Si noterà insieme che il volume max corrisponde al pacco di base quadrata; si costruirà il grafico
cartesiano che rappresenta la relazione tra Volume e dimensione b e si farà notare l’analogia con la
parabola che traduce la relazione tra l’area di rettangoli isoperimetrici ed una dimensione.
(si veda Castelnuovo, opera citata – Leggi matematiche, pag. 19)
Si costruirà poi la formula della legge parabolica V = 100 b· (50-b) e di nuovo si farà notare
l’analogia con la y = x · (p-x) dove y indica l’area, p il semiperimetro, x una dimensione dei rettangoli isoperimetrici.
A questo punto verrà posta la domanda: “Siamo sicuri che il volume max determinato sia proprio il
più grande di tutti i pacchi possibili secondo le norme delle Poste?”
Ad ogni gruppetto verrà assegnato un valore di lunghezza del pacco compreso tra 10 e 100 cm e
verranno compilate le varie tabelle seguendo la traccia del lavoro precedente. (per B si prenderà il
valore massimo, 200 cm)
Si chiederà ad ogni gruppetto:
v qual è la forma della base del vostro pacco con un volume massimo? era prevedibile?
Verranno raccolti in una tabella riassuntiva i valori relativi al volume max individuato da ogni
gruppetto:
a
10
20
b
c
Vmax
Si noterà che il volume massimo per un pacco a forma di parallelepipedo è quello a base quadrata
che corrisponde alla lunghezza massima di 70 cm.
Gli alunni:
v saranno guidati a costruire la formula di validità generale:
2
é 200 - a ù
×a
Vmax = ê
ë 4 úû
che lega il Vmax del pacco a quello dei vari prismi a base quadrata e ai rispettivi valori di
lunghezza max;
v potranno visualizzare la funzione precedente rappresentandola sul piano cartesiano;
17
V max
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
a
v potranno anche rappresentare su uno stesso piamo cartesiano le rette (di equazione b + c =
k) che passano per i vertici dei vari insiemi di rettangoli di base.
NOTE:
ü il problema può essere esteso a pacchi di forma diversa (cilindro, sfera …) anche se il rischio è
quello di un eccessivo appesantimento;
ü gli alunni imparano ad affrontare problemi “complessi” in cui le relazioni tra le variabili non sono quelle di solito incontrate e intuiscono la complessità di risposte e soluzioni che al loro livello
sono necessariamente parziali.
Verifiche
ü Assegnare la somma delle tre dimensioni di un parallelepipedo e chiedere quali sono le dimensioni di base che permettono di ottenere il volume max conoscendo e tenendone fissa una.
ü Se il pacco fosse cilindrico e alto 100 cm, quale misura potrà avere al massimo la circonferenza
di base? E quale sarà il volume corrispondente?
ü Abbiamo notato con sorpresa che il pacco a base quadrata con il volume maggiore non era quello
alto 100 cm ma quello alto 70 cm; prova a verificare se questo vale anche nel caso di un pacco
cilindrico tenendo come massima possibile la seconda condizione fissata dalle Poste.
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18
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
SCOPRIAMO SUCCESSIONI
Obiettivi
- Formulare ipotesi e provarle su casi particolari.
- Scoprire la regolarità presente in una successione ed esprimerla con l’uso delle lettere.
Metodi e attività
Le attività sulle successioni sono tese a sviluppare l’attenzione alle regolarità in situazioni numeriche e geometriche con il fine di condurre all’utilizzo delle lettere al posto dei numeri. Qui presentiamo un’esperienza centrata sulla costruzione di quadrati con fiammiferi.
Ogni alunno ha a disposizione 40 fiammiferi o stuzzicadenti. Inizialmente, ognuno lavora singolarmente, successivamente si passerà all’attività in coppie. Una scheda, da compilare man mano che
procede il lavoro, consente a tutti gli alunni di raccogliere i dati ed avere gli elementi per riflettere
sulle regolarità, facilitando i più deboli.
Scheda di lavoro
Costruisci prima di tutto un quadrato con il lato di un fiammifero; aggiungi poi i fiammiferi necessari per realizzare i disegni che vedi qui sotto e scrivi il numero dei fiammiferi utilizzati per il perimetro ed il numero dei fiammiferi utilizzati in totale per ciascun disegno.
lato
1
4
numero dei fiammiferi
utilizzati
4
2
8
12
3
4
disegno
perimetro
19
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
Senza realizzare il disegno, cerca di stabilire quanti fiammiferi utilizzeresti per il perimetro e quanti ne utilizzeresti in tutto se il lato fosse di
# 5 fiammiferi
perimetro ............................................................
numero dei fiammiferi utilizzati ............................................................
oppure
# 7 fiammiferi
perimetro ............................................................
numero dei fiammiferi utilizzati ............................................................
Promuoviamo quindi la discussione fra gli alunni, chiedendo di esplicitare un ragionamento che
possa condurre alle risposte richieste nella parte conclusiva della scheda.
Fra i ragionamenti degli alunni vi potrà essere quello che fa riferimento ad un grafo:
lato
perimetro
1
4
lato
numero dei
fiammiferi utilizzati
+
2
8
3
12
+
+
4
4
16
+
4
5
...
+
4
6
...
1
2
3
4
5
6
4
12
24
40
...
...
+8
+12
16
20
24
Domande del tipo:
- se il lato fosse di 100 (oppure n) fiammiferi, da quanti sarebbe formato il perimetro?
- se il lato fosse di 100 (oppure n) fiammiferi, quanti ne servirebbero in tutto?
stimolerebbero la riflessione, la ricerca di ipotesi per individuare una formula, un’uguaglianza che
gli alunni potrebbero esprimere a parole o con l’uso delle lettere.
Possiamo chiedere di scegliere uno dei ragionamenti (il proprio o quello di un compagno), di scriverlo sul quaderno e di metterlo alla prova disegnando il quadrato di lato 5 o di lato 6 ecc.
Per calcolare la somma Sn dei primi n numeri naturali è possibile utilizzare la formula Sn=n·(n+1):2,
nota fin dall’Antichità e che un celebre aneddoto accredita anche a Gauss giovanissimo scolaro.
Con una generalizzazione della stessa formula, possiamo calcolare, ad esempio, 3+4+5+6 facendo
(3+6)·4:2 (4 è il numero dei numeri naturali consecutivi di cui va trovata la somma).
Inoltre, 4+8+12+16+20+24=(4+24)·6:2=84.
20
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
Abbiamo così calcolato il numero di fiammiferi utilizzati per realizzare:
6
6
EUREKA è un gioco da fare in classe di cui esistono diverse versioni.
1° giocatore:
- in segreto scrive una regola che dia origine ad una successione (a parole, con un grafo di flusso, con una formula);
- alla lavagna scrive tre termini della successione.
Gli altri giocatori:
- (cercando di scoprire la caratteristica della successione) a turno propongono un numero che ritengono adatto a proseguirla.
1° giocatore:
- scrive alla lavagna ciascun numero proposto e precisamente nella colonna del SI quelli coerenti con la sua regola (segreta), nella colonna del NO le ipotesi sbagliate.
Gli altri giocatori:
- possono enunciare la regola scoperta solo dopo averla scritta in uno dei tre modi.
Il vincitore assume il ruolo del 1° giocatore.
Verifiche
Oltre a quesiti che riprendono parti significative delle attività precedenti, se ne possono proporre altri, analoghi a quelli qui di seguito riportati.
- Ripensa agli esempi di successioni che abbiamo visto in classe. Spiega con le tue parole come
puoi calcolare il più velocemente possibile la SOMMA DEI TERMINI DI UNA SUCCESSIONE.
1. Calcola:
a) la somma dei primi 30 numeri naturali;
b) la somma dei numeri naturali da 16 a 45 (compresi);
c) la somma dei primi 20 numeri pari;
2. Fai un’ipotesi: la regola che hai seguito negli esercizi precedenti vale anche nel caso che le successioni siano formate da numeri interi relativi? Perché?
3. Calcola la somma dei numeri interi da –5 a +4.
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21
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
RICAVIAMO TANTE FIGURE
Obiettivi
- Utilizzare la lettera come variabile.
- Utilizzare le lettere per indicare una caratteristica geometrica.
- Formulare ipotesi osservando un insieme di poligoni generati da una regola predeterminata.
- Determinare come varia la figura in una trasformazione, in particolare per quanto riguarda il rapporto fra i lati.
- Riconoscere figure simili.
Contenuti
Figure piane: disegno e loro trasformazione secondo una regola espressa in linguaggio letterale.
Metodi e attività
Agli alunni viene proposto un insieme A di rettangoli che soddisfa la seguente condizione:
altezza=x, base=x+1 (supponiamo che x sia un generico numero naturale).
x+1
x
Chiediamo anzitutto agli alunni di disegnare alcuni rettangoli dell’insieme A.
Proponiamo poi la regola per generare l’insieme di rettangoli B che soddisfa la seguente condizione:
altezza=x, base=x+4, ripetendo agli alunni le richieste precedenti.
Domanda: esiste almeno un rettangolo dell’insieme A simile ad uno dell’insieme B? Per cercare la
risposta, gli alunni possono ragionare su alcuni esempi, calcolando i rapporti fra le dimensioni dei
diversi rettangoli e disegnandoli sovrapposti, con un vertice coincidente.
Analoghe attività si possono impostare, ad esempio, con triangoli isosceli (base=2·a, altezza=a+1;
base=2·a, altezza=a+3...), con rombi (diagonale minore=x, diagonale maggiore=2·x+1; diagonale
minore=x, diagonale maggiore=3·x-2...; in questo caso x non potrà essere un qualsiasi numero naturale...) ecc.
Può essere significativo esprimere la regola per generare le figure usando il linguaggio naturale (ad
esempio “rettangoli con la base doppia dell’altezza”) e chiedere agli alunni:
1° di disegnarne alcune,
2° di tradurre la regola utilizzando il simbolismo letterale.
Se la regola è:
2·l
l+2
22
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
agli alunni può venir chiesto di individuare nei rettangoli seguenti quale valore è stato assegnato alla lettera in ciascun caso.
Altre situazioni possono prevedere l’uso di due variabili. Da questa figura se ne possono ottenere
tante, al variare di x e y:
4 cm
y
x
4 cm
Chiamiamo l’alunno a esaminare alcuni casi: x=2 e y=2; x=4 e y=0; x=0 e, in questo caso, senza indicazioni per y.
Altre situazioni utilizzeranno anche più di due variabili.
a cm
p°
5 cm
m°
q°
b cm
“Se a=5, che tipo di triangolo si ottiene? Cosa si può dire per quanto riguarda gli angoli m e q? Se
sia a che b valgono 5, cosa si può dire di m, p, q? Cosa si può dire di m, se p+q=90? Di che tipo di
triangolo si tratta? Se assegni ad a il valore 8 e a b il valore 15, cosa accade?”
Altri esempi possono riguardare i quadrilateri.
Verifiche
· Osserva il seguente insieme di rettangoli che chiamiamo A:
a)
b)
c)
d)
Disegna il successivo.
Descrivi a parole la regola con la quale sono stati disegnati.
Scrivi la regola usando i simboli letterali.
Fra i rettangoli dell’insieme precedente, ne esiste qualcuno simile ad un altro dell’insieme B ottenuto con: altezza=m e base=m+2 ?
23
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
·
Osserva la figura:
d cm
p°
a cm
s°
c cm
q°
r°
b cm
a) Disegna un quadrilatero con a, b, c, d uguali fra di loro.
b) Che tipo di quadrilatero hai ottenuto?
c) Disegna due quadrilateri con a, b, c, d uguali fra di loro ma, nel primo caso, con r=90, nel secondo caso con r<90.
d) Dai un nome ai quadrilateri che hai così ottenuto.
e) Disegna due quadrilateri che abbiano a=c e d=b: in uno dei quadrilateri scegli p=90, nell’altro
p>90.
f) Dai un nome anche a questi ultimi due quadrilateri.
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24
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
AFFRONTIAMO SITUAZIONI E PROBLEMI
Obiettivi
- Affrontare problemi aperti o impossibili.
- Trovare strategie risolutive e utilizzare strumenti e procedure opportuni (tabelle, foglio di calcolo)
- Fare congetture e verificarle
- Porsi nuovi problemi e trovare possibili soluzioni
Metodi e attività
1. In una scatola ci sono ragni e maggiolini; si contano in tutto 33 zampe.
Quanti sono i ragni? Quanti i maggiolini?
La proposta è quella di lavorare in ambito aritmetico, in una prima media, a fine anno scolastico.
Per l’uso del foglio elettronico, ed in particolare per l’impostazione delle formule, sarà guidato
dall’insegnante (una proposta di attività è interamente dedicata al foglio elettronico).
Se proposto in classi successive si può arrivare alla formalizzazione della relazione 6n + 8n = C
Fase 1
Gli alunni fanno delle prove lavorando a coppie, nessuno riesce a trovare una possibile risposta, oppure c’è chi dà una risposta che verrà invalidata compilando la tabella seguente (possibilità di lavorare sul foglio di calcolo).
A
B
C
D
E
N° zampe
N° ragni
N° maggiolini
N° zampe ragni
N° zampe maggiolini
=B2*8
=C2*6
33
33
F
=D2+E2
In ogni caso si discute sul perché non c’è una soluzione possibile (8n + 6m) = 2(4n + 3m) quindi la
somma non può che essere pari.
È possibile che qualche alunno intuisca che il n° tot delle zampe può essere solo pari; in tal caso
verrà fatta una verifica su molti esempi scelti combinando in modo sistematico tutte le possibili
coppie (a maggior ragione se l’osservazione non nasce spontanea si suggerisce di procedere con ordine, vedi tabella 2).
N° ragni
N°zampe
N°magg.
N°zampe
1
8
2
16
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
12
18
24
30
6
12
18
24
30
L’osservazione della tabella conferma che:
- il problema di partenza è impossibile
- il problema deve essere “cambiato” sostituendo a 33 un numero pari.
C = n° totale di zampe
8+ 6=
8 + 12 =
8 + 18 =
8 + 24 =
8 + 30 =
16 + 6 =
16 + 12 =
16 + 18 =
14
20
26
32
38
22
28
34
25
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
Potrebbe esserci qualche numero che pur essendo pari “non funziona” ?
Per velocizzare il lavoro si assegnano a ogni coppia di alunni due o tre numeri pari consecutivi (in
ordine crescente da 10 in poi) che rappresentano possibili C = numero totale di zampe.
Si raccolgono in tabella tutti i risultati
Numero totale zampe
N° ragni
N° maggiolini
10
12
14
16
1
1
Si osserva che:
- non solo il numero totale delle zampe deve essere pari ma deve appartenere a N e non essere minore di 14
- ci sono numeri di zampe cui corrisponde più di una soluzione ( es. 46)
- ci sono numeri di zampe (anche maggiori di 14) cui non corrisponde nessuna soluzione (vedi 16,
18, 24 …)
Il foglio di calcolo si può rivelare utile per analizzare la situazione in modo ancora più sistematico, oppure per vedere se un numero “grosso2 ( es. 146) è un possibile valore del numero di
zampe
A
B
C
D
E
N° ragni
N° Maggiolini
Zampe ragni
Zampe maggiolini
Numero da verificare
=8*A2
=6*B2
=146-C2
Si scorre la colonna per vedere se e quali valori della colonna D corrispondono ad E per risalire al
numero di ragni e maggiolini corrispondente.
2. De Porcis (da Alcuino di York, VIII-IX secolo d. C.).
Un uomo aveva 300 maiali e ha dato ordine ai suoi servitori di ammazzarli tutti in tre giorni, un
numero dispari ogni giorno. Quanti ne saranno stati macellati in ciascun giorno?
Il problema è impossibile, verrebbe da dire banalmente impossibile. Lo si è proposto durante il lavoro in piccoli gruppi sia in una prima media che in una prima superiore e dell’attività è stata realizzata una registrazione audio. Si è notato come mediamente i ragazzi più giovani incontrino maggiori ostacoli nell’accettare il fatto che il problema sia impossibile e nel delineare una spiegazione
soddisfacente. Tuttavia anche gli alunni più grandi, se deboli, hanno faticato ad accettare le conclusioni a carattere generale a cui poteva pervenire il gruppo (“dispari+dispari+dispari=dispari”) e anche dopo vari minuti dall’inizio del lavoro tendevano a rimuginare il problema alla ricerca di una
soluzione.
3. Come verifica o come ulteriore esercitazione si può proporre agli alunni la seguente situazione
problematica (va cercata possibilmente analoga situazione con l’Euro):
“Per affrancare una lettera piuttosto pesante servivano, quando non c’era ancora l’Euro, 3250 lire e
a disposizione c’erano bolli da 500 L e da 350 L.
Quali sono le possibili affrancature?”
Vanno cercate per tentativi le varie combinazioni.
In una terza classe gli alunni possono tradurre il problema in equazione:
500x + 350y = 3250
26
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
Si guideranno gli alunni a notare che tutti gli y dovranno essere dispari, altrimenti la somma è multiplo di 100.
Lavorando algebricamente 350y = 3250 – 500x
Da cui 7y = 65 – 10x
E se vogliamo solo y >0, 65 – 10x > 0 che limita x ai valori da 0 a 6.
Ma se 65 – 10x = 7y, l’unica possibilità è y = 5 x = 3.
Un altro tipo di problema che ha dato esiti interessanti nella fase di introduzione all’utilizzo del
simbolismo letterale è quello che prevede il testo formulato senza dati numerici. Preliminarmente
alla somministrazione in prima superiore, si è data agli alunni l’indicazione di utilizzare, allorquando ritenevano possibile, il simbolismo letterale. Anche nelle classi precedenti, lo sforzo di non lavorare con dati numerici, comunque, può stimolare spiegazioni “a parole” che costituiscono una valida
premessa all’utilizzo della lettera per generalizzare, sintetizzare, modellizzare.
4. Una scatola presenta quattro scomparti delle stesse dimensioni.
Immagina di conoscere il suo perimetro; com’è possibile calcolare la sua area?
5. Immagina di conoscere il peso di un acquario pieno d’acqua e il peso dell’acquario vuoto per
metà. Com’è possibile calcolare il peso dell’acquario completamente vuoto?
6. Com’è possibile trovare due numeri conoscendo la loro somma e la loro differenza?
Per quest’ultimo problema è interessante la soluzione grafica, come punto di intersezione di due rette. Per fissare le idee supponiamo che la somma sia 9 e la differenza 5.
a
9
2
5
7
9
b
-5
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27
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
USIAMO IL FOGLIO ELETTRONICO
Obiettivi
Con il foglio di calcolo:
- predisporre tabelle di dati e realizzare rappresentazioni grafiche;
- analizzare, scrivere e utilizzare formule;
- scrivere formule inverse;
- porre quesiti e ricercarne la soluzione tabulare;
- interpretare la soluzione grafica di quesiti risolvibili con equazioni o disequazioni lineari.
Contenuti matematici
Successioni di numeri interi e decimali. Rappresentazioni grafiche. Lettera come variabile. Equazioni. Problemi risolvibili con equazioni e disequazioni di primo grado.
Metodi e attività
Un’altra attività di utilizzo del foglio elettronico è contenuta in AFFRONTIAMO SITUAZIONI E
PROBLEMI
Vengono di seguito descritte alcune attività imperniate sull’utilizzo del foglio di calcolo che raccolgono vari spunti apparsi negli ultimi dieci anni in numerose pubblicazioni di didattica della matematica. Le proposte di lavoro potranno venire distribuite nell’intero arco della scuola media, anche
se risultano finalizzate ad abilità di fine triennio.
· Successioni4
Gli alunni dovranno già conoscere l’uso del foglio di calcolo per realizzare tabelle di dati, eventualmente in vista di una rappresentazione grafica. Si potrà allora proporre loro l’esame di successioni numeriche che andranno poi riportate sul foglio di calcolo seguendo due modalità: a) scrivendole termine a termine, b) scrivendo e copiando una formula.
Esempio. Agli alunni sarà chiesto di scrivere alcuni altri termini della successione
1 1,2 1,4 1,6 1,8 ...
Sul foglio di calcolo otterranno:
A
1
2
B
1
1,2
1 =A2+0,2
C
D
1,4
E
1,6
F
1,8
G
2,0
H
2,2
2,4
Sarà poi sufficiente copiare la formula, già scritta in B2, nelle celle C2, D2, E2.
La ricchezza degli esempi proposti agli alunni dovrà consentire loro di raggiungere l’obiettivo di
scrivere e utilizzare formule del foglio di calcolo, comprendendone quindi il significato e le possibilità applicative.
Altri esempi di successioni:
a) 0 1 2 3 4 5 ...
b) 3 6 9 12 15 ... ...
c) 1 7 13 19 25 ... ...
d) 1 4 9 16 25 ... ...
e) 1 2 4 8 16 32 ...
Per le d) ed e) può essere conveniente scrivere nella prima riga alcuni termini della successione dei
numeri naturali e ad essi poi fare riferimento.
4
Alex Friedlander, An EXCELlent Bridge to Algebra, The Mathematics Teacher vol. 91, No. 5 (May 1998), 382-384.
28
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
d)
A
B
C
D
1
1
2
3
4
2 =A1^2 =B1^2 =C1^2 =D1^2
(Con ‘^’ viene indicato l’elevamento al quadrato.)
e)
A
1
2
B
0
=2^A1
C
1
=2^B1
D
2
=2^C1
3
=2^D1
Lo stesso tipo di attività potrà anche partire da visualizzazioni grafiche, come le seguenti, dalle quali ricavare le successioni formate dal numero dei cubetti o dei segmenti unitari di ciascuna figura.
Un passo importante sarà la scrittura di un’espressione letterale che esprima l’n-esimo termine.
f)
g)
h)
i)
l)
m)
29
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
n)
o)
Per realizzare i disegni, gli alunni si saranno potuti servire di “griglie punteggiate”, come le seguenti.
·
·
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Nel caso, ad esempio, della successione ricavata dalla figura g), i ragazzi potranno scrivere formule
diverse per indicare il numero di cubetti presenti nell’n-esima figura: 3n-2; 3·(n-1)+1; 3n ecc.
Quindi potranno stabilire l’equivalenza di due, o eventualmente più, espressioni letterali: 3·(n-1)+1
è riconducibile a 3n-2 applicando la proprietà distributiva e semplificando. Potranno elaborare strategie per determinare se un’espressione non è adeguata: testandola su casi particolari o andando per
esclusione rispetto a quelle valide, anche con ragionamenti del tipo: “Triplicare un numero è diverso dal triplicarlo e togliere 2...”.
Sarà importante che in questa attività gli alunni alternino momenti di lavoro scandito direttamente
dall’insegnante, ad altri di lavoro individuale o a piccoli gruppi, ad altri di condivisione
dell’esperienza e di confronto reciproco.
30
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
· Esplorazioni con una speciale successione
Quest’attività conduce all’invenzione di piccoli quesiti ed è ispirata alla proposta, originariamente
concepita senza l’utilizzo del foglio di calcolo, contenuta in Stephen I. Brown – Marion I. Walter,
L’arte del problem posing, SEI, Torino 1988, pp. 101-111, (trad. italiana). Lo strumento informatico consentirà una velocità di calcolo superiore a quella che si avrebbe con il calcolatore tascabile,
tale da favorire più rapide esplorazioni, verifiche, confronti.
Anzitutto gli alunni imposteranno la successione di Fibonacci
1 1 2 3 5 8 13 21 34 ...
nella quale 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3, 8=3+5, ...
A
1
B
1
C
D
E
F
G
1 =A1+B1 =B1+C1 =C1+D1 =D1+E1 =E1+F1
a) Si potrà osservare che i rapporti fra due termini successivi si avvicinano a un numero, detto rapporto aureo, che approssimativamente vale 1,618:
A
1
2
B
1
C
1
D
2
E
3
F
5
=B1/A1 =C1/B1 =D1/C1 =E1/D1 =F1/E1
A
B
1
2
C
D
E
G
8
13
=G1/F1 =H1/G1
F
G
1
1
2
3
5
8
13
1
2
1,5
1,667
1,600
1,625
1,615
Sarà anche interessante osservare la successione dei rapporti inversi, che tende a quello che spesso
viene a sua volta chiamato rapporto aureo, vale a dire 0,618...
b) Le differenze fra due termini successivi danno origine ad un’altra successione di Fibonacci, con
però 0 come primo termine:
A
1
2
B
1
C
1
D
2
E
3
F
5
G
8
13
=B1-A1 =C1-B1 =D1-C1 =E1-D1 =F1-E1 =G1-F1 =H1-G1
A
B
1
2
C
D
E
F
G
1
1
2
3
5
8
13
0
1
1
2
3
5
8
c) Il quadrato di ogni termine differisce di un’unità dal prodotto dei due termini ad esso adiacenti:
A
1
2
B
1
D
2
E
3
5
=B1^2-A1*C1 =C1^2-B1*D1 =D1^2-C1*E1 =E1^2-D1*F1
A
1
2
C
1
B
1
C
D
E
1
2
3
5
-1
1
-1
1
31
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
d) il prodotto di due termini consecutivi differisce di un’unità da quello dei due termini immediatamente precedente e successivo:
A
1
2
B
1
C
D
1
2
=B1*C1-A1*D1 =C1*D1-B1*E1
A
1
2
B
1
E
3
=D1*E1-C1*F1
C
5
=E1*F1-D1*G1
D
E
1
2
3
5
-1
1
-1
1
Si rifletterà poi sulle caratteristiche in base alle quali si è ottenuta la successione di Fibonacci:
1) si parte da due numeri assegnati;
2) i due numeri sono uguali fra di loro;
3) i due numeri sono uguali a 1;
4) eseguendo un’operazione su due numeri consecutivi otteniamo il numero successivo;
5) questa operazione è un’addizione;
... e l’elenco potrebbe continuare.
Come tecnica per porre problemi, Brown e Walter suggeriscono di scegliere una delle precedenti
caratteristiche, di negarla e verificare poi, di conseguenza, quali delle precedenti proprietà a), b), c),
d) si conservano e quali variano. Ad esempio, gli alunni potranno scegliere la caratteristica 2): “I
due numeri sono uguali fra di loro”, e chiedersi: “E se i due numeri di partenza non fossero uguali?”
Verificheranno anzitutto se vale la proprietà a), cioè calcoleranno il rapporto fra termini successivi:
A
1
2
B
2
D
7
E
12
F
19
=B1/A1 =C1/B1 =D1/C1 =E1/D1 =F1/E1
A
1
2
C
5
B
C
D
E
G
31
50
=G1/F1 =H1/G1
F
G
2
5
7
12
19
31
50
2,500
1,400
1,714
1,583
1,632
1,613
1,620
Potrà sembrare incredibile, ma pare proprio che i rapporti si avvicinino ancora a 1,618...! Cosa avverrà per le proprietà b), c), d)?
E se si addizionassero non più due ma tre termini consecutivi per ottenere il termine successivo?
E se si cambiasse l’operazione di addizione in un’altra?
E se...
Si potranno raccogliere i quesiti posti dai ragazzi, si farà in modo che si scambino le loro esplorazioni e che confrontino le rispettive conclusioni.
· Fare e disfare una formula5
L’attività ha lo scopo di introdurre il concetto di variabile attraverso l’uso delle formule inverse.
Agli alunni sarà chiesto di inserire in una cella un numero e in un’altra una formula che lo utilizzi.
Ad esempio:
5
Rosamund Sutherland and Teresa Rojano, A Spreadsheet Approach to Solving Algebra Problems, Journal of Mathematical Behavior 12 (December 1993), 353-83.
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
A
1
2
3
4
B
32
C
3
=A2+7
Un compagno dovrà rielaborare la formula e scriverne una che la “disfi” (formula inversa), ritornando così al numero di partenza:
A
1
2
3
4
B
C
3
10
=B3-7
Successivamente, basterà cambiare più volte il numero di partenza in modo da controllare che effettivamente la seconda formula “disfi” la prima:
A
1
2
3
4
B
3
10
3
A
1
2
3
4
C
B
C
25
32
25
L’insegnante chiederà agli alunni di inventare le formule utilizzando le diverse operazioni che già
hanno incontrato, senza trascurare l’elevamento a potenza e l’estrazione di radice.
· Soluzione di problemi per prove ed errori
Un altro possibile approccio al concetto di variabile è costituito dalla formalizzazione delle condizioni di un problema e dalla ricerca, per prove ed errori, dei valori che soddisfano i dati del problema stesso.
Ancora in Sutherland and Rojano troviamo il seguente problema: “Il perimetro di un campo rettangolare misura 102 metri. La lunghezza del campo è doppia della larghezza. Quanto misura la lunghezza del campo? Quanto misura la larghezza?”
33
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
A
1
2
3
4
5
6
B
C
D
LARGHEZZA
LUNGHEZZA
PERIMETRO
15
=B2+1
=B3+1
=B4+1
=B5+1
A
1
2
3
4
5
6
=B2*2
=B3*2
=B4*2
=B5*2
=B6*2
=(B2*2)+(C2*2)
=(B3*2)+(C3*2)
=(B4*2)+(C4*2)
=(B5*2)+(C5*2)
=(B6*2)+(C6*2)
B
C
D
LARGHEZZA
LUNGHEZZA
PERIMETRO
15
16
17
18
19
30
32
34
36
38
90
96
102
108
114
Il perimetro del campo misura 102 metri e perciò la lunghezza misurerà 34 metri e la larghezza 17
metri.
Si prestano allo stesso tipo di attività con il foglio di calcolo altri problemi che coinvolgono i concetti di equazione e disequazione lineare. “Puoi noleggiare un’automobile presso la ditta ‘Ruote
utili’ al costo di € 28 al giorno più 10 centesimi per ogni chilometro percorso, oppure puoi noleggiare un veicolo analogo presso la ditta ‘O noi o il taxi’ per € 14 al giorno più 16 centesimi per ogni
chilometro percorso. Quanti chilometri dovresti fare in un giorno affinché sia più conveniente noleggiare presso ‘Ruote utili’?”6
A
B
C
1
CHILOMETRI
PERCORSI
SPESA presso
‘Ruote utili’ (€)
SPESA presso
‘O noi o il taxi’ (€)
2
3
4
=A2+10
10 =28+10*A2
=28+10*A3
=14+16*A2
=14+16*A3
Per arrivare ad una risposta al problema, almeno approssimata, sarà necessario estendere opportunamente la tabella e, se il caso, rendere più piccolo l’incremento -10- che appare nella formula contenuta nella cella A3. Sarà possibile poi abbinare a questa soluzione tabulare la rappresentazione
grafica in un riferimento cartesiano:
Si potrà far riflettere gli alunni sul concetto di pendenza stabilendo una connessione fra equazione e
grafico e soffermandosi inoltre sul significato dell’intersezione di due rette.
Un altro metodo per arrivare alla risposta può essere quello di lavorare solamente sulla riga 2
dell’ultima tabella: cambiando il valore contenuto in A2, si determinerà il ricalcolo delle spese nelle
celle B2 e C2.
6
Adattato da Tracy Goodson-Espy, The Roles of Reification and Reflective Abstraction in the Development of Abstract
Thought: Transitions from Aritmetic to Algebra, Educational Studies in Mathematics 36: 219-245, 1998.
34
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
Verifiche
·
Dalle formule, ricava i valori numerici e scrivili nella tabella a destra.
A
B
1
0 =A1*2
2 =A1+1
=A2*2
3 =A2+1
=A3*2
4 =A3+1
=A4*2
C
=A1^2
=A2^2
=A3^2
=A4^2
A
1
2
3
4
· Osserva la successione
0 4 8 12 16 20 ..........................................
a) Nello spazio punteggiato scrivi altri tre termini.
b) Nella tabella, imposta un foglio di calcolo con le
formule per ottenere la successione (bastano tre
1
termini).
B
C
0
A
B
C
D
0
·
Osserva la sequenza di disegni.
a) Realizza il disegno successivo.
·
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·
·
·
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·
·
·
·
b) Conta quanti puntini formano ciascun disegno e imposta le formule di un foglio di calcolo
per la successione che hai così ricavato (bastano cinque termini). Suggerimento: in tabella
inserisci anzitutto alcuni termini della successione dei numeri naturali e ad essi fai riferimento...
A
B
C
D
E
1
2
·
Consideriamo la successione di Fibonacci.
a) Scrivine i primi dieci termini.
.....................................................................................................................................................
b) Trascrivi in tabella i primi due termini e, di seguito, scrivi le formule del foglio di calcolo che
consentono di ricavarla (altri quattro termini).
35
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
c) Scrivi le formule per determinare i rapporti tra coppie di termini consecutivi.
A
B
C
D
E
F
1
2
d) La successione di Fibonacci ha la caratteristica che i primi due termini sono uguali a 1. Ma se
fossero entrambi uguali ad un altro numero? Esamina le conseguenze di questo caso con esempi
opportuni e scrivi le tue considerazioni. E se i primi due termini non fossero uguali fra di loro?
·
Marco ha preparato la formula che vedi nella cella B2:
A
1
2
3
B
C
a) In C3, scrivi la formula che “disfa” quella di Marco
(che, cioè, utilizzando il contenuto della cella B2 permetta di ottenere il numero inserito nella cella A1).
C
b) Prepara ora tu una formula e anche quella che la “disfa”.
5
=A1-8
A
B
1
2
3
· Leggi il problema:
“Un rettangolo ha l’area di 243 m2 e un lato è triplo dell’altro. Trovane le dimensioni.”
Imposta la soluzione del problema nella seguente tabella: scrivi le formule che, eventualmente copiate in altre celle, permetterebbero di risolvere il problema.
1
2
3
A
Lunghezza (m)
B
Larghezza (m)
C
Area (m2)
36
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
·
Il papà di Lucia pensa di fare alcuni lavori di manutenzione. In particolare desidera far levigare e
riverniciare il pavimento in legno delle stanze. Sceglierà fra due artigiani:
1. il signor Luigi, che farebbe il lavoro con un costo di 15 euro al m2;
2. il signor Pietro che chiederebbe solo 10 euro al m2, però utilizzerebbe una macchina levigatrice
che è necessario noleggiare al costo di 250 euro.
Quanti m2 dovrà essere l’area del pavimento da levigare affinché Luigi e Pietro facciano un lavoro
ugualmente conveniente? Imposta la risoluzione del problema nel foglio di calcolo.
A
B
C
D
1
2
3
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