Melloni Alessandro, matricola 176561.
Teoria algebrica dei numeri, AA 2015/2016.
Foglio esercizi 4.
Esercizio 1. Siano n = a2 + b2 un intero e p = c2 + d2 un primo. Mostrare che
n
se p|n allora anche
è somma di due quadrati.
p
2
2
p|n =⇒ p|(d n − b p) = a2 d2 − b2 c2 = (ad + bc)(ad − bc). Dato che p è primo,
abbiamo due casi:
• p|(ad + bc) =⇒ np = (ad + bc)2 + (ac − bd)2 = s2 p2 + (ac − bd)2 , da cui
n
p|(ac − bd) e quindi np = s2 p2 + t2 p2 =⇒
= s2 + t2 .
p
• p|(ad − bc) =⇒ np = (ad − bc)2 + (ac + bd)2 = t2 p2 + (ac + bd)2 , da cui
n
p|(ac + bd) e quindi np = s2 p2 + t2 p2 =⇒
= s2 + t2 .
p
Esercizio 2. Se N = x2 + y 2 diremo che (x, y) è una rappresentazione di N .
Diremo poi che è propria se (x, y) = 1.
1. Mostrare che se N ammette una rappresentazione propria allora i suoi
fattori primi dispari sono congrui a 1 (mod 4).
Supponiamo per assurdo che p ≡ 3 mod 4. Dalle nozioni sugli interi di
Gauss sappiamo che tali p rimangono irriducibili in Z[i], quindi p|(x +
iy)(x − iy) implica che p divide almeno uno dei due. Otteniamo che p|x, y
ma (x, y) = 1. E
2. Mostrare che se N ammette una rappresentazione propria allora 4 6 |N .
x2 + y 2 = 4k =⇒ x, y dispari (dato che (x, y) = 1 quindi non posso essere
entrambi pari). Ogni quadrato di un dispari mod 4 è congruo a 1, quindi
x2 + y 2 ≡ 2 mod 4. E
3. Se N = 2M , M dispari, esiste una corrispondenza biunivoca tra le rappresentazioni di N e quelle di M . In questa corrispondenza le rappresentazioni
proprie si corrispondono.
Se (x, y) = d, x̄d = x, ȳd = y allora N = d2 N̄ e (x̄, ȳ) è una rappresentazione propria di N̄ .
Per l’esercizio 1, anche M è somma di 2 quadrati. L’unica rappresentazione di 2 è (1,1), quindi gli insiemi delle rappresentazioni di N , RN , e
l’insieme delle rappresentazioni di 2 e M , R2 ×RM , sono in corrispondenza
biunivoca.
Ovviamente (x̄, ȳ) è rappresentazione propria di N̄ in quanto abbiamo
raccolto il massimo comune divisore.
Esercizio 3. Se N = a2 + b2 , M = c2 + d2 allona N M ha due rappresentazioni
che diremo ottenute da (a, b) e (c, d) per composizione.
1. Sia (a, b) una rappresentazione di N e sia (c, d) una rappresentazione del
N
primo p. Se p|N , allora
ha una rappresentazione che composta con
p
(c, d) risulta (a, b).
1
Dato che entrambi sono somma di 2 quadrati, pN ha come rappresentazioni (ac ± bd, ad ∓ bc). Come nell’esercizio 1, p divide uno degli elementi della rappresentazione e di conseguenza li divide entrambi: pN =
N
s2 p2 + t2 p2 , da cui
ha come rappresentazione (s, t).
p
2. Mostrare che un primo p ≡ 1 mod 4 ammette un’unica rappresentazione
propria.
Supponiamo per assurdo p = a2 + b2 = c2 + d2 con a > b > 0, c > d > 0.
Sappiamo che (ad − bc)(ad + bc) ≡ 0 mod p dagli esercizi precedenti.
Supponiamo p|(ad + bc).
√
Sicuramente a2 , b2 , c2 , d2 < p, da cui 0 < a, b, c, d < p e 0 < ad+bc < 2p,
quindi ad + bc = p. Ciò implica che p2 = (ad + bc)2 + (ac + bd)2 =
p2 + (ac + bd)2 , cioè ac + bd = 0: dall’ipotesi a > b > 0, c > d > 0, ciò è
un assurdo, quindi p|(ad − bc).
Analogamente abbiamo −p < ad − bc < p, da cui ad = bc. Dato che
ogni fattore comune di a, b è un fattore di p essi sono coprimi, quindi a|c:
c = ka e d = kb. Ciò implica che p = c2 + d2 = k 2 (a2 + b2 ) = k 2 p quindi
a = c, b = d.
Esercizio 4. L’equazione diofantea x2 + y 2 = z 2 ha infinite soluzioni.
1. Possiamo assumere (x, y, z) = 1. Segue che sono coprimi a due a due.
Mostrare che si può assumere x, z dispari e y pari.
Dato che sono coprimi a due a due, 2 di essi sono dispari e l’altro è pari (3
dispari non possono soddisfare l’equazione). Se z fosse pari, allora z 2 ≡ 0
mod 4 e x2 + y 2 ≡ 2 mod 4. E
2. Mostrare che (z − x, z + x) = 2. Porre y = 2ȳ, z + x = 2x̄, z − x = 2z̄
e concludere che le soluzioni dell’equazione sono tutte della forma x =
d(u2 − v 2 ), y = 2duv, z = d(u2 + v 2 ) dove (u, v) = 1.
Sappiamo che 2|(z+x), (z−x). Se 4|(z+x), (z−x) allora 4|(z+x+(z−x)) =
2z. E.
Come nel punto 1, possiamo supporre che x, y, z siano coprimi due a due,
cioè d = 1. Allora y 2 = z 2 − x2 = (z + x)(z − x) =⇒ 4ȳ 2 = 2x̄ ·
2z̄ =⇒ ȳ 2 = x̄z̄. Dato che (z − x, z + x) = 2 abbiamo (x, z) = 1, per cui
ȳ 2 = x̄z̄ =⇒ x̄ = u2 , z̄ = v 2 . Sostituendo in z ± x otteniamo z = u2 + v 2
e x = u2 − v 2 da cui y = 2uv.
Esercizio 5. Ogni numero si scrive come somma di tre numeri triangolari.
1. Dedurre che ogni numero congruo a 3 mod 8 si scrive come somma di 3
quadrati.
x(x + 1) y(y + 1) z(z + 1)
+
+
⇐⇒ 2k = x2 + x + y 2 +
∀k ∈ N, k =
2
2
2
y + z 2 + z ⇐⇒ 8k = 4x2 + 4x + 4y 2 + 4y + 4z 2 + 4z ⇐⇒ 8k + 3 =
4x2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 + 4z 2 + 4z + 1 = (2x + 1)2 + (2y + 1)2 + (2z + 1)2 .
2. Usando il punto (1) osservare che n = 8m + 4 si scrive come somma di 4
quadrati e questi hanno tutti la stessa parità. Concludere che 4m + 2 e
2m + 1 sono somma di 4 quadrati.
n = 8m + 3 + 12 . Inoltre n pari =⇒ n2 ≡ 0, 4 mod 8 e n dispari
=⇒ n2 ≡ 1 mod 8, quindi n ≡ 4 mod 8 =⇒ hanno tutti la stessa
2
parità.
Se sono pari si può raccogliere per due volte il fattore 2, quindi 4m +
2, 2m + 1 sono somma di 4 quadrati.
2 2
x1 − x2
x2 + x22 x23 + x24
x1 + x2
+
+
Se sono dispari: 4m+2 = 1
+
=
2
2
2
2
2 2
x3 + x3
x3 − x4
+
. Analogamente per 2m + 1.
2
2
3. Mostrare che se 2m + 1 è somma di 4 quadrati allora lo sono anche 4m +
2, 4m + 6.
2m+1 = a2 +b2 +c2 +d4 =⇒ 4m+2 = (a+b)2 +(a−b)2 +(c+d)2 +(c−d)2 .
4m + 6 = 2(2m + 3) = 2(2m + 2 + 1) = 2(2(m + 1) + 1)), quindi il risultato
deriva dal punto precedente e dal fatto che ogni numero dispari si scrive
come somma di 4 quadrati.
4. Mostrare che l’enunciato è equivalente a sapere che ogni n ≡ 3 mod 8 si
scrive come somma di 3 quadrati.
Dimostrato nel punto 1.
Esercizio 6. Mostrare che se m = t2 + ak 2 , n = u2 + av 2 allora nm è della
stessa forma.
mn = (t2 + ak 2 )(u2 + av 2 ) = (tu)2 + (akv)2 + a(tv + ku)2 = (tu + akv)2 + a(tv −
ku)2 .
Esercizio 7.
1. Sia p un primo p ≡ 3 mod 4. Si assume q = 2p + 1 primo.
Mostrare che 2 non è radice primitiva modulo q.
p ≡ 3 mod 4 =⇒ p = 4k + 3 =⇒ q = 2p + 1 = 8k + 6 + 1 =⇒ q ≡ −1
mod 8 =⇒ 2 è quadrato mod q =⇒ 2p − 1 ≡ a2p − 1 ≡ 0 mod q,
quindi l’ordine di 2 è p.
2. Sia p un primo tale che q = 4p + 1 sia primo. Allora 2 è radice primitiva
modulo q.
Abbiamo due casi:
• p ≡ 1 mod 4 =⇒ q = 4k + 1 = 16 + 4 + 1 ≡ 5 mod 8
• p ≡ 3 mod 4 =⇒ q = 4k + 1 = 16 + 12 + 1 ≡ 5 mod 8
quindi 2 non è un quadrato mod q =⇒ 2
−1 mod q =⇒ l’ordine di 2 è 4p = q − 1.
q−1
2
≡ −1 mod q =⇒ 22p ≡
Esercizio 8.
1. Dimostrare che esistono infiniti primi della forma 4k + 1.
Consideriamo a = (n!)2 + 1 e sia p il più piccolo divisore primo di a, da
p−1
cui p > n. Allora (n!)2 ≡ −1 mod p =⇒ (n)p−1 ≡ (−1) 2 mod p =⇒
p−1
(−1) 2 ≡ 1 mod p. E
2. Dimostrare che esistono infiniti primi della forma 8k − 1.
Per assurdo supponiamo siano finiti e siano {pi }i=1,...,k , Q = (4p1 . . . pk )2 −
2. Sia q|Q. Allora 2 quadrato mod q =⇒ q ≡ ±1 mod 8 =⇒ q ≡ 1
mod 8 =⇒ Q ≡ 1 mod 8. E
Esercizio 9.
1. Il secondo complemento alla legge di reciprocità quadratica
si può enunciare
p2 −1
2
= (−1) 8 .
p
3
Sappiamo p2 = 1 ⇐⇒ p ≡ ±1 mod 8. Mostriamo quindi che
pari ⇐⇒ p ≡ ±1 mod 8:
p2 −1
8
è
8k + 1)2 − 1
1−1
p2 − 1
=
= 8k 2 + 2k +
è pari.
8
8
8
p2 − 1
8k + 3)2 − 1
9−1
• p ≡ 3 mod 8 =⇒
=
= 8k 2 + 6k +
è
8
8
8
dispari.
• p ≡ 1 mod 8 =⇒
• p ≡ 5 mod 8 =⇒
dispari.
• p ≡ 7 mod 8 =⇒
pari.
p2 − 1
8k + 5)2 − 1
25 − 1
=
= 8k 2 + 10k +
è
8
8
8
8k + 7)2 − 1
49 − 1
p2 − 1
=
= 8k 2 + 14k +
è
8
8
8
2. Sia p un primo congruo a 3 mod 4 tale che q = 2p + 1 sia primo. Mostrare
che q|2p − 1.
Mostrato nel punto 1 dell’esercizio 7 che 2p ≡ 1 mod q.
3. Verificare che se p = 1122659 allora Mp e M2p+1 non sono primi.
p ≡ 59 ≡ 19 ≡ 3 mod 4, q = 2p + 1 e 2q + 1 sono primi e q ≡ 2 · 3 + 1 ≡ 3
mod 4, quindi dal punto 1 si ha q|Mp e (2q + 1)|Mq .
4
