SOLUZIONI DEI QUESITI PROPOSTI
“Manca di mentalità matematica tanto chi non sa riconoscere rapidamente ciò che è
evidente, quanto chi si attarda nei calcoli con una precisione superiore alla necessità”
Carl Friedrich Gauss
QUESITO N°1:
Divido la figura con un segmento orizzontale AB in modo
da avere sopra un semicerchio e sotto una parte del
ciondolo che posso inscrivere in un rettangolo che ha un
lato coincidente con AB.
Calcolo l’area del semicerchio di diametro AB:
Calcolo l’area del rettangolo di lato AB:
All’interno di tale rettangolo riconosco due settori circolari
che sono esattamente una quarto di cerchio. Di conseguenza sommati hanno la
stessa area del cerchio sovrastante.
Sottraggo all’area del rettangolo la somma delle aree dei due settori circolari:
ottenendo così l’area del resto del ciondolo
(
)
L’area complessiva del ciondolo:
QUESITO N°2:
Costruisco un triangolo unendo i due centri A e B delle circonferenze date e uno dei
due punti, chiamiamolo O, d’intersezione.
Poiché Il triangolo ABO ha i tre lati pari al raggio delle circonferenze date, è un
√
√
triangolo equilatero. La sua area sarà:
√
Ricavo l’area del settore circolare, che ha centro in A ed è limitato dall’arco OB, con
una proporzione:
Ricavo l’area del segmento circolare sotteso dalla corda OB sottraendo all’area del
settore circolare quella del triangolo:
√
Per ricavare l’area totale dell’intersezione fra le due circonferenze moltiplico per
quattro l’area del segmento circolare e sommo due volte l’area del triangolo:
(
( √ )
(
√ )
√ )
QUESITO N°3
Per prima cosa denomino il lato del quadrato L. Il raggio del
settore circolare maggiore K. Il raggio del settore circolare
minore L-K.
Calcolo il perimetro del settore circolare maggiore con una
proporzione:
Svolgo lo stesso procedimento con il settore circolare minore ottenendo
(
)
Calcolo il perimetro del quadrato, che risulta 4L
Svolgo il rapporto
(
(
))
(
)
QUESITO N°4
Calcolo l’area che la capra può compiere
muovendosi verso sinistra per formare un settore
circolare con angolo di 90° che poi torni verso il
(
punto A:
)
Svolgo la stessa operazione muovendomi verso
destra:
(
)
Descrivo un altro settore circolare muovendomi
verso destra e poi verso il basso:
Descrivo un altro settore circolare muovendomi a destra, poi verso il basso e infine
(
( )
verso sinistra:
)
Descrivo l’ultimo settore circolare muovendomi verso sinistra e poi verso il basso:
( )
Come ultima operazione calcolo l’area del rettangolo che serve per completare la
figura:
Sommo tutte le aree ed ottengo un’estensione
QUESITO N°5
Calcolo mediante il teorema di Pitagora
un cateto del triangolo rettangolo
isoscele che è circoscritto all’occhio del
gigante:
√
√
Calcolo il perimetro di tale triangolo:
(
√ ) e la sua area
(
√ )
Calcolo il raggio del cerchio inscritto:
√
√
Calcolo l’area del cerchio:
(
√
)
(
QUESITO N°6
Calcolo l’area del semicerchio di diametro AB:
(
)
√ )
Calcolo l’area del semicerchio di diametro AC, che è
uguale a quella del semicerchio di diametro DB :
( )
Calcolo l’area del semicerchio di diametro DC:
(
)
Calcolo l’area della saliera:
(
)
QUESITO N°7
√
Calcolo la lunghezza del segmento AB: √
semicerchio di diametro AB:
(
√ )
Calcolo area del settore circolare di centro C :
Calcolo l’area del triangolo ABC:
L’area del segmento circolare, individuato dalla corda AB,
sarà data dalla differenza fra l’area del settore circolare e
l’area del triangolo ABC sopra calcolate:
Calcolo l’area della lunula sottraendo all’area del
semicerchio l’area del segmento circolare:
(
)
(
)
QUESITO N°8
Per prima cosa unisco i tre centri delle circonferenze in
modo da formare un triangolo ABC di base AB=60m e lati
CA=CB=50m. Sia CH la sua altezza relativa alla base AB.
Unisco i tre punti di tangenza in modo da formare il
triangolo, di cui cerchiamo l’area, ZKH con la base ZK
parallela ad AB. Sia FH la sua altezza relativa alla base
ZK.
Ricavo la lunghezza del segmento CH= √
√
I triangoli AHC e CFZ sono simili (hanno gli angoli
congruenti) per cui risulta: CH:CF=AC:CZ CF=16
Ricavo ZK= √
Ricavo FH=
Ricavo l’area del triangolo ZKH è pari a
e quindi l’area del
QUESITO N°9
Denomino r il raggio della circonferenza interna e R il raggio della circonferenza
esterna.
(
)
L’area della ciambella è uguale a
Calcolo R in funzione di r:
√
)
Sostituisco: (
QUESITO N°10
Per calcolare l’area del giardino devo calcolare l’area di 6 cerchi e da questa
togliere l’area A delle parti di piano ottenute intersecando tali cerchi.
Siano AC e CB due lati consecutivi dell’esagono, M e N rispettivamente i loro punti
medi e O il punto d’intersezione, interno all’esagono, delle due circonferenze di
diametro AC e CB.
Calcolo l’area del settore circolare di centro N e che insiste sull’arco CO, mediante
( )
una proporzione:
√
Calcolo l’area del triangolo NCO:
√
Calcolo l’area del segmento circolare individuato dalla corda CO e dall’arco della
circonferenza di centro N delimitato dai punti C e O, sottraendo dal settore circolare
l’area del triangolo sopra calcolate. L’area A cercata sarà:
(
√ )
Calcolo l’area totale di tutti i cerchi sommati insieme: [ ( ) ]
Per cui l’area del giardino è:
[ (
√ )]
(
√ )
QUESITO N°11
Calcolo l’area del cerchio maggiore:
Calcolo l’area dei sette biscotti:
Eseguo la differenza fra le due aree:
Per trovare il numero dei biscotti, divido il risultato
trovato per l’area di uno dei biscotti:
[( )
( )
]
QUESITO N°12
Indichiamo con AB la base della vetrata, contenuta nel quadrato ABCD, e
indichiamo con O il punto d’intersezione dei due archi AC e BD.
Calcolo l’area totale del triangolo equilatero (ha tutti i lati pari al raggio dei quarti di
√
√
Calcolo l’area del settore circolare di centro A e limitato dall’arco OB (che sottende
( )
un angolo di 60°) mediante una proporzione:
cerchio tracciati) :
Sottraggo all’area del settore circolare quella del triangolo
e la moltiplico per due; ottengo così l’area dei due
segmenti circolari limitati dalle corde OB e OA:
(
√ )
L’area cercata sarà data da:
(
√
(
√ )
√ )
QUESITO N°13
Indichiamo con A, B e C i vertici del triangolo equilatero che
sono anche i centri degli archi di circonferenza disegnati in
figura. Indico con O il punto medio dell’arco AB e con M il
centro del simbolo magico. Calcolo l’area del settore
circolare di centro M che insiste sull’arco AO mediante una
( )
proporzione:
Calcolo l’area del triangolo equilatero AOM:
√
√
Sottraendo le due aree calcolate trovo l’area del segmento
circolare delimitato dalla corda AO, che è pari all’area della parte di cerchio
delimitata dalla corda OM e da uno degli archi OM; moltiplicandola per sei trova
l’area della parte bianca in figura:
(
√ )
√
L’area cercata si ottiene sottraendo A dall’area totale del cerchio:
(
√ )
√
QUESITO N°14
Indichiamo con C il centro della moneta di oro, di raggio r, e con G e O i centri di
due delle monete d’argento tangenti tra loro, entrambe di raggio R. Deve essere
r<R.
Il triangolo GCO è un triangolo rettangolo con cateti CG=CO=r+R e ipotenusa
OG=2R. Applicando il Teorema di Pitagora si ha:
(
)
(
) ossia
Sviluppando si ottiene l’equazione: ( )
da cui si ottiene
√
QUESITO N°15
Calcolo l’area dell’esagono come somma di 6 triangoli
(
√
)
√
Calcolo l’area di una delle sei parti di cerchio, avente il
centro in un vertice dell’esagono, mediante una
( )
proporzione:
equilateri di lato 20cm:
Per determinare l’area della parte centrale, sottraggo 6A
all’area dell’esagono:
( √
√
)
QUESITO N°16
Indichiamo con O il centro del quadrifoglio e tracciamo
da O due rette perpendicolari tra loro, passanti per A e
per B, fino ad incontrare i lati del quadrato. Sia S il
punto in cui la stessa retta AO incontra, sotto O, la
base del quadrato. Sia P il vertice del quadrato,
allineato con S e alla sua sinistra.
Il triangolo APS è rettangolo in S e ha l’angolo di vertice
P di 60°, perché le rette PB e PA trisecano l’angolo retto
in P.
√
Per cui risulta
Per cui
(√
√
Poichè il triangolo OAB è rettangolo isoscele
e
√ .
)
(√
√
√ )
QUESITO N°17
Indichiamo con O il centro del rettangolo e con A, B, C e D i suoi vertici, ponendo
BC=0,6m.
Il triangolo OBC è equilatero per cui la sua area è:
(
)
√
mentre l’area del settore circolare di centro O che insiste sul minore dei due archi
( )
BC è:
L’area del segmento circolare individuato dal lato BC e dal minore dei due archi BC
√
è:
√
L’area del semicerchio di diametro BC è:
Per cui l’area della prima lunula
Il triangolo COD ha area :
(
)
√
(
)
√
√
mentre l’area del settore
(
circolare di centro O che insiste sul minore dei due archi DC è:
)
L’area del segmento circolare individuato dal lato CD e dal minore dei due archi CD
è:
√
L’area del semicerchio di diametro DC è:
Per cui l’area della seconda lunula
L’area delle quattro aiuole è:
(
√ )
√
√
√
√
QUESITO N°18
Indichiamo con C il centro della semicirconferenza T1 di diametro AB, con R e S i
due punti d’intersezione delle due semicirconferenze T1 e T2 , e con H il punto
medio di RS.
√
Di conseguenza l’angolo ̂
; per cui l’area del settore circolare di centro C e
che insiste sull’arco RS della semicirconferenza T1, posso calcolarla con una
proporzione
Per costruzione risulta
L’area del triangolo SRC è:
(
)
√
√
Per cui l’area del segmento circolare individuato dalla corda RS e dall’arco RS della
semicirconferenza T1 lo calcolo come differenza delle due aree appena calcolate:
√
L’area dell’occhio del sultano è il doppio:
UN ULTIMO PROBLEMA
Risolvilo tu!
√
√
