corda_tesa
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Impulsi trasversali in una corda tesa In questa scheda ricaveremo la velocità di propagazione un impulso trasversale generato in una corda tesa posizionata in direzione orizzontale, usando la II legge della dinamica nella sua formulazione nota come “teorema dell’impulso”.1 Considereremo la corda come una successione di “elementi di massa”. Ciascuno di questi elementi è sottoposto ad una tensione S che gli è trasmessa dagli elementi adiacenti e che mantiene l’intera corda in tensione. Figura 1 L'elemento di corda è in equilibrio sotto l'azione della tensione esercitata dagli elementi di corda adiacenti Immaginiamo spostare un estremo della corda di un y in un tempo t, Figura 2 Un estremo della corda viene spostato di un y in un t la velocità è u y t Sull’elemento di corda viene esercitata una forza F che si trasmetterà all’elemento adiacente e il disturbo si propagherà in tutta la corda come un’onda.2 La situazione è descritta in figura 3 dove, per chiarezza viene mostrato un y grande, in realtà la trattazione seguente prevede che l’ampiezza del disturbo sia piccola abbastanza perché la tensione della corda non cambi sensibilmente se non nei punti che delimitano il tratto di corda interessato al disturbo l’angolo sia abbastanza giustificare l’approssimazione Figura 3 L’angolo deve essere piccolo piccolo da Il teorema dell’impulso enuncia che la variazione della quantità di moto di una massa in un intervallo finito di tempo è uguale all’impulso, cioè alla forza per l’intervallo di tempo durante il quale ha agito: Ft=p 2 Se una sollecitazione simile venisse data ad un corpo rigido, ad esempio una sbarra di ferro, questo si muoverebbe tutto, nel caso in esame, invece solo una porzione della corda viene coinvolta nel movimento. 1 sen tg Chiamiamo A il punto della corda nel quale ha inizio il movimento lungo y e seguiamo come esso si sposta lungo la corda al passare del tempo. Il punto A rappresenta il fronte d’onda e la velocità con la quale viaggia sulla corda (posizionandosi istante per istante in diversi punti della corda) è quella di propagazione, che chiameremo ct per indicare la trasversalità dell’impulso. Delimitiamo la porzione di corda interessata al movimento lungo y nell’intervallo di tempo t con le lettere A e B. Tutti i punti di questo tratto di corda si muovono lungo y con velocità u, mentre il punto B (ovvero la perturbazione) si sposta sulla corda con velocità ct e che assumiamo essere costante 3 . Interessata dal movimento inizialmente causato dall’azione della mano è, in buona approssimazione, una porzione di corda x ct t ciascun elemento di corda che appartiene a questa porzione si muove in direzione y, con una velocità u. Figura 5 tratto di corda interessato dal moto lungo y Figura 4 schematizzazione di quanto avviene nella corda tesa quando un estremo viene mosso in direzione y con velocità u per un intervallo di tempo t. Detta la massa per unità di lunghezza della corda, potremo scrivere la massa interessata dal moto come m x ct t di conseguenza la quantità di moto nel tratto di corda diventa py ct t u E’ importante distinguere l’oggetto fisico “tratto di corda” , che è legato all’elemento di massa, dalle etichette A e B che rappresentano i punti nei quali la perturbazione è in atto nell’istante fotografato. I tratti della corda non hanno una velocità lungo x. 3 e la sua variazione nell’intervallo di tempo p y t ct u Questa quantità di moto è stata fornita alla corda tesa dalla mano, che esercita l’unica forza esterna lungo y. Applicando il teorema dell’impulso: Fy t p y otteniamo Fy p y t ct u 4 Quando la mano non agisce più sulla corda la forza che permetterà la propagazione dell’impulso sarà la tensione della corda. Analizziamo adesso le forze che agiscono su un elemento di corda nell’istante in cui è interessato dal movimento. Nella parte di corda a destra dell’elemento p y considerato si ha una variazione della quantità di moto ct u prodotta dalla tensione della t corda. Se la corda si trovasse tutta in posizione orizzontale, non ci sarebbe alcuna forza lungo y sulla porzione di destra, ma poiché parte della corda è inclinata, c’è una componente di forza lungo y che produce una variazione di quantità di moto. L’angolo di inclinazione della corda è ricavabile dalla relazione Figura 6: la tensione nella corda è mantenuta tan y ut u x ct t ct dalla forza F. Quando la direzione di F viene cambiata si produce il movimento ondoso. che, con le assunzioni fatte precedentemente e cioè che l’angolo sia piccolo, ovvero <<1 e che u sin quindi (che equivale ad assumere che la ct velocità della mano sia molto minore della velocità di propagazione dell’impulso) permette di scrivere la relazione Fy S sen S u ct Figura 7: quando è molto piccolo la forza lungo x è approssimativamente uguale alla tensione Potrebbe sembrare strano che la forza sia proporzionale alla velocità piuttosto che all’accelerazione, in realtà siamo in presenza di un sistema a massa variabile, per cui la corretta formulazione è: dp m du u dm , poiché la velocità u degli 4 dt dt dt dm elementi di corda in moto è costante m du 0 , la massa varia come ct e quindi dp ct ut dt dt dt Questa relazione, combinata con l’espressione con Fy ct u trovata precedentemente5, permette di ricavare la relazione per la velocità di propagazione dell’impulso: S ct Come è evidente dall’espressione: La velocità di propagazione di un impulso di piccola ampiezza lungo un corda tesa dipende solo dalla tensione e dalla densità lineare della corda, 6 e non dipende dall’ampiezza o dalla frequenza dell’impulso. Le assunzioni fatte per giungere alla relazione che lega la velocità di propagazione dell’impulso alle sole caratteristiche del mezzo e non alle caratteristiche del disturbo possono sembrare molto forti ma vengono confermate sperimentalmente. u uct ct S ct2 5 Passaggi: S 6 L’analisi dimensionale dell’espressione mostra che M LT 2 S è una velocità: la tensione S ha le dimensioni di una forza mentre la massa per unità di lunghezza M L 1 , quindi S L T 1
