Magnetostatica e induzione elettromagnetica

13
Magnetostatica e induzione elettromagnetica
Questo capitolo affronta innanzitutto un tema accennato
nel Capitolo 11: come le equazioni di Maxwell siano collegate alle leggi per i fenomeni magnetici che le hanno
precedute (leggi di Laplace, Ampère, Faraday) e seguite
(forza di Lorentz). Tratteremo dapprima il legame tra
correnti stazionarie e campi magnetici: la corrispondenza tra legge di Ampère e prima legge di Laplace sarà
provata in un caso particolare, e si farà uso dell’una o
dell’altra espressione per calcoli di magnetostatica elementare. Sempre per casi particolari, si discuteranno i
legami tra legge dell’induzione di Faraday e forza di Lorentz, e tra forza di Lorentz e forza tra correnti (seconda
legge di Laplace).
Si tratteranno poi i principali dispositivi funzionanti
in base alla legge dell’induzione elettromagnetica (circuiti con induttanze, motori, alternatori) o alla forza di
Lorentz (spettrometro di massa). I fenomeni legati alla
magnetizzazione della materia saranno considerati da un
punto di vista microscopico, cercando di spiegare, con
semplici modelli classici, il diamagnetismo e il paramagnetismo.
13.1 Qual è il vero campo magnetico?
Il processo che ha portato alla comprensione del magnetismo ha avuto una durata relativamente breve, ma è stato
molto travagliato. Sintomo di queste difficoltà sono la varietà di nomi e unità di misura usati per descrivere i fenomeni magnetici, e il fatto che ancora oggi si parla, per
esempio, del “fluido magnetico” di maghi e guaritori per
indicare un qualcosa di misterioso.
Maxwell aveva introdotto, accanto all’intensità del
campo elettrico (E), il vettore spostamento elettrico
(D), definito mediante la relazione
E=
D−P
ε0
13.1
dove P è la polarizzazione elettrica prodotta dai dipoli
elettrici del mezzo (vedi Equazioni 12.21 e 12.22). Il
campo elettrico E, moltiplicato per la carica elettrica, dà
la forza agente sulla carica, forza che dipende sia dalle
cariche che generano il campo, sia da quelle presenti nel
mezzo interposto, complessivamente neutro, e descritto
mediante P. Lo spostamento elettrico D (chiamato anche
spostamento dielettrico) non dipende dal mezzo materiale e permette di esprimere, mediante il teorema di Gauss,
il legame con la distribuzione delle cariche “sorgenti” in
forma particolarmente semplice. Infatti dalle 11.12, 12.22
e 13.1 si può ricavare che la densità di carica elettrica è
uguale alla divergenza dello spostamento elettrico D.
In modo simmetrico, Maxwell utilizza anche due vettori magnetici: l’induzione magnetica B e il campo magnetico H legati dalla relazione, simile alla 13.1,
B = µ 0 ( H + M)
13.2
dove M è la magnetizzazione, che, come vedremo, svolge una funzione analoga a quella della polarizzazione elettrica. H svolge un ruolo simile a D poiché è indipendente dal mezzo materiale e, in regime stazionario, permette di esprimere il legame con le correnti mediante il
teorema di Ampère (vedi Capitolo 11): il rotore di H è
pari alla densità di corrente J, ovvero la sua circuitazione è pari alla somma delle correnti concatenate.
Maxwell ritenne necessario ricorrere a due vettori elettrici e due vettori magnetici per poter distinguere tra
parte del campo elettromagnetico dovuta “alle sorgenti” e
parte dovuta “al mezzo”. Questa distinzione trae la sua
motivazione profonda dalla natura “continua” dell’elet-
270 Capitolo 13
tromagnetismo classico, ma perde la sua utilità a livello
microscopico, dove il mezzo diventa una distribuzione
discreta di cariche e correnti. Qui vogliamo spiegare innanzitutto perché vi sia una differenza di segno tra le espressioni 13.1 e 13.2 e, in secondo luogo, perché Maxwell diede a H, e non a B, il nome di campo magnetico.
La differenza di segno tra la 13.1 e 13.2 dipende da
proprietà fondamentali di E e di B che illustriamo nella
figura sottostante. A sinistra è rappresentato un dipolo elettrico orientato parallelamente a un campo elettrico esterno E, ossia nella posizione di minima energia.
N
E
B
I
S
All’interno del dipolo, le linee di flusso del campo elettrico dipolare vanno dalla carica positiva a quella negativa, ossia nel verso opposto a quello del campo E in cui il
dipolo elettrico si orienta. All’interno del dipolo, la polarizzazione P ha perciò verso opposto al campo D/ε0 che
si avrebbe nel vuoto; se si escludono casi di polarizzazione permanente (materiali ferroelettrici), il campo elettrico
medio nella materia è perciò sempre minore di quello che
si avrebbe nel vuoto.
Nel caso della bobina percorsa da una corrente I (dipolo magnetico), orientata in un campo di induzione magnetica esterno B, le linee di forza del campo di induzione prodotto dalla corrente hanno lo stesso verso di B
all’interno della bobina, in quanto è sempre ∇ ⋅ B = 0.
All’interno della bobina, il valore dell’induzione magnetica è perciò la somma del vettore induzione in assenza di
corrente nella bobina, µ0H, e di un contributo proporzionale al momento magnetico (corrispondente magnetico
del momento di dipolo elettrico; esso sarà definito quantitativamente nel Paragrafo 13.5) della bobina stessa.
Come è evidente dai nomi, Maxwell ha istituito una
corrispondenza tra i vettori spostamento elettrico D e induzione magnetica B, e tra i vettori campo elettrico E e
campo magnetico H. La sua motivazione è puramente
formale: mediante D e B si possono riscrivere in modo
indipendente dal mezzo le equazioni della divergenza:
∇⋅D=ρ
∇⋅B=0
13.3
mentre mediante E e H si hanno in forma particolarmente
semplice le equazioni del rotore in regime stazionario:
∇×E=0
∇×H=J
13.4
Tuttavia, gli effetti elettrici e magnetici si manifestano
tramite forze proporzionali a E e B, mentre D e H possono sembrare vettori “fittizi”, la cui introduzione è dettata
solo, come si è detto, dal desiderio di distinguere tra
“sorgenti” e “mezzo”. Quando Hertz afferma che “non
c’è vero magnetismo” intende dire che il “vero” vettore
magnetico è B e che le linee di questo campo non hanno
una sorgente, come invece avviene per le linee di flusso
di E, in quanto la divergenza di B è sempre nulla. In pratica, i “veri” campi sono E e B, ma le equazioni che ne
descrivono proprietà e legami con le sorgenti sono “incrociate”:
• E è conservativo (rotore nullo) in condizioni stazionarie, B è sempre solenoidale (divergenza nulla);
• l’equazione della divergenza collega il vettore elettrico D e la densità di carica, quella del rotore collega il
vettore magnetico H e la densità di corrente.
Fisici autorevoli come Arnold Sommerfeld e Richard Feynman hanno proposto definizioni diverse per M e per H
per meglio esprimere una simmetria tra elettrostatica e
magnetostatica. Altri hanno suggerito di chiamare B
campo magnetico e di usare il reciproco della permeabilità del vuoto µ0 come costante magnetica fondamentale;
in tal modo tale costante comparirebbe, come ε0, a denominatore nella formula di B (vedi 13.1 e 13.2). Nessuna di queste proposte è finora riuscita a soppiantare
l’impostazione originale di Maxwell, anche se sempre più
spesso in fisica atomica la dizione “campo magnetico”
viene usata per indicare il vettore induzione magnetica B,
anziché H.
Come abbiamo evitato nei capitoli precedenti di parlare dello spostamento dielettrico D, introducendo invece
la polarizzazione P e la costante dielettrica relativa εr,
così eviteremo qui di ricorrere a H, e descriveremo le
proprietà magnetiche di un mezzo mediante la sua magnetizzazione M e la sua permeabilità magnetica rela-
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 271
tiva µr.
13.2 Convenzioni e unità di misura
Nel Capitolo 11 si è visto che la forza di Lorentz a cui è
sottoposta una carica q in moto con velocità v in un campo magnetico è (Equazione 11.25)
13.5
f = qv × B
Come discuteremo in dettaglio più avanti, questa equazione è collegata sia alla forza prodotta da B su un tratto
∆l di filo conduttore percorso da una corrente I:
13.6
f = I∆l × B
sia alla legge di induzione di Faraday:
∇×E=−
∂B
∂t
13.7
Si noti che in queste tre espressioni compare un prodotto
vettoriale. Questo dipende dal fatto che B è un vettore assiale il cui verso viene assegnato, come per ogni prodotto
vettoriale, mediante la regola della mano destra descritta
nel Capitolo 2. Per esempio, orientando pollice, indice e
medio della mano destra a 90° uno rispetto all’altro, se
una carica positiva si sta muovendo con velocità v verso
la punta dell’indice (i) in un campo B diretto verso la
punta del medio (j), la forza di Lorentz sulla carica è diretta verso la punta del pollice (k). Si utilizza anche la
regola della mano destra che identifica con quella delle
dita la direzione del campo B prodotto da una corrente
diretta come il pollice.
I
B
[ forza] ⋅ [ tempo] = [ forza] ⋅ [ distanza] ⋅ [ tempo]
[ carica] [ distanza]
[ carica] ⋅ [ distanza] 2
Ossia:
[ B] =
volt ⋅ s
m2
=
weber
m2
= tesla
13.8
L’induzione magnetica nel Sistema Internazionale si misura in tesla (T) ma alcuni testi la esprimono mediante
l’unità di misura del flusso magnetico, il weber (che ha le
dimensioni di volt⋅s), o mediante una unità pratica, il
gauss:
1 gauss = 10−4 tesla
Le dimensioni della permeabilità magnetica µ si ricavano
dalla legge di Ampère (∇ × B = µJ):
[ µ] = [
∇ × B] volt ⋅ s
m2
ohm ⋅ s
=
⋅
=
3
J
ampère
m
m
13.9
e il valore della permeabilità magnetica nel vuoto è
µ0 =
4π
10
7
ohm ⋅ s
m
13.10
13.3 Campi magnetici prodotti
da correnti stazionarie nel vuoto
Come accennato nel Capitolo 11, quando il problema
magnetostatico ha un elevato grado di simmetria, il modulo del campo magnetico è facilmente calcolato mediante il teorema della circuitazione di Ampère (vedi Equazione 11.5): l’integrale di B lungo un percorso chiuso
(circuitazione di B) è uguale alla permeabilità del mezzo
moltiplicata per la corrente I concatenata con il circuito.
13.3.1 Cavo rettilineo
I
O
[ B] =
∆s
B ∝ ∆s × OP
P
Le dimensioni di B si ottengono analizzando la 13.6:
Un cavo rettilineo di lunghezza infinita (cioè di lunghezza molto maggiore di ogni altra dimensione considerata)
e sezione circolare di raggio R è percorso da una corrente
I0 = πR2J. Per la simmetria del problema, B(P) giace in
un piano normale all’asse del cavo, è perpendicolare alla
normale dal punto considerato P al cavo e il suo verso è
dato dalla regola della mano destra. Le linee di forza di B
sono circonferenze in piani perpendicolari all’asse del
272 Capitolo 13
cavo e centro sull’asse del cavo. La circuitazione di B
lungo una tale circonferenza di raggio d, orientata secondo la regola della mano destra, è
B × (circonferenza) = µ0 × (corrente concatenata)
13.11
∫ B ⋅ ds = B ⋅ 2π d = µ0 I (d )
All’esterno di un filo rettilineo indefinito percorso da
corrente in regime stazionario il campo magnetico è inversamente proporzionale alla distanza dal filo (legge di
Biot-Savart).
13.3.2
Lastra conduttrice
con corrente uniforme
J
1
Consideriamo una lastra di spessore s con una densità di
corrente uniforme J diretta nella direzione dell’asse x. Se
la piastra è sufficientemente larga e lunga da potersi considerare “infinita” il campo induzione magnetica sopra e
sotto il piano è diretto come l’asse y: perciò nel calcolo
della circuitazione di B lungo il percorso rettangolare
tratteggiato i lati verticali danno contributo nullo.
B
2
B
B
l
B
µ0 I 0
2πR
z
s
y
J
J
B
x
La circuitazione di B lungo il percorso tratteggiato vale
allora B 2l, e la corrente concatenata vale in modulo slJ.
Segue che
0
R
2R
d
Per calcolare la corrente concatenata distinguiamo due
casi, riferendoci alla figura precedente.
1. d ≤ R. La porzione della corrente totale I0 concatenata
dalla circonferenza concentrica al cavo vale
I(d) =
πd 2
d2
I = 2 I0
2 0
R
πR
d2
R2
I0 ⇒ B =
µ0 dI 0
2πR 2
13.12
2. d > R. L’intera corrente I0 è concatenata e il teorema di
circuitazione si scrive
B 2πd = µ 0 I0 ⇒ B =
µ 0 I0
2π d
µ 0 sJ
2
13.14
In questa formula non compare la distanza dal piano.
Come nel caso del campo elettrico prodotto da un piano
carico, il campo magnetico prodotto da un piano “illimitato” percorso da corrente uniforme è indipendente dalla
distanza dal piano stesso.
13.3.3 Il solenoide infinito
e dalla legge di Ampère 13.11 si ottiene
B 2πd = µ0
B 2l = µ0slJ ⇒ B =
13.13
Un filo conduttore percorso da una corrente I è avvolto
su cilindro formando una bobina (solenoide) di lunghezza
infinita (cioè molto maggiore rispetto al diametro delle
spire) con n spire per metro (vedi figura seguente).
All’interno della bobina le linee di forza di B (linee continue) hanno densità praticamente uniforme e sono dirette
come l’asse della bobina: indichiamo con Bint il modulo
del campo magnetico all’interno del solenoide. All’ester-
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 273
no della bobina la densità delle linee di forza è tanto minore quanto più lunga è la bobina e, nel limite di bobina
infinitamente lunga, deve essere Best = 0.
I
rifichiamo che all’esterno del filo rettilineo, di diametro
trascurabile, essa porta allo stesso risultato (13.13) ricavato mediante la legge di Ampère. Sia R la distanza del
generico punto P dal filo e assumiamo come origine O la
proiezione di P sul filo.
B
dz
B
z + dz
z
I
dϑ
r
Inoltre non vi può essere, in prossimità del centro della
bobina, alcuna componente di B normale all’asse del solenoide, in quanto le linee di forza si incurvano solo in
prossimità degli estremi della bobina. Perciò solo il tratto
orizzontale all’interno della bobina, di lunghezza l, contribuisce alla circuitazione di B lungo il percorso, tratteggiato in figura, con Bintl. Nel circuito tratteggiato sono
concatenate nl spire e una corrente nlI. Applicando il teorema della circuitazione si ha
Bintl = µ0Inl ⇒ Bint = µ0In
13.15
B/µ0 ha le dimensioni di In e si misura in
ampere ×
13.3.4
num. spire
m
oppure ampere × spira/m
Relazione tra la legge di Ampère
e la prima legge di Laplace
La prima legge di Laplace afferma che ogni tratto ds di
un circuito percorso dalla corrente I (orientato nel verso
della corrente positiva) contribuisce al campo magnetico
nel punto P, B(P), con una quantità pari a
dB(P)=
µ 0 I ds × r
⋅ 3
4π
r
13.16
dove r è il vettore spostamento dal centro del trattino al
punto P. Il campo magnetico complessivo si ottiene come
somma (integrale) su tutti i trattini in cui il circuito chiuso
filiforme C è stato scomposto:
B( P) = ∫C
µ 0 I ds × r
⋅ 3
4π
r
13.17
Anziché dedurre la 13.17 dalle equazioni di Maxwell, ve-
ϑ
O
R
P
P
R
O
dB(P)
Il prodotto vettoriale dz × r che figura nella 13.16 ha
modulo pari all’area del parallelogramma, in grigio, della
figura:
|dz × r| = rdzcosϑ
Poiché tutti i tratti del filo danno contributi al campo in P
che hanno la stessa orientazione e verso (normale al piano del disegno e uscente da questo), nel calcolo del modulo B(P) basta sommare tra di loro i moduli dei vettori
dz × r/r3. Dal disegno inoltre si ricava
r=
R
,
cos ϑ
z = R tanϑ ,
dz = R
dϑ
cos2 ϑ
Sostituendo nella 13.17 si ha:
B( P) =
=
µ0 I ∞ r cos ϑ dz
=
∫
4π −∞
r3
µ0 I π / 2 cos ϑ dϑ µ0 I
=
∫
4π −π / 2
R
2πR
Questa formula coincide con la 13.13, ricavata mediante
la legge di Ampère, che è la versione integrale di una delle equazioni di Maxwell per la magnetostatica.
13.3.5
Il campo magnetico
lungo l’asse di una spira
Un caso trattabile in modo elementare mediante la prima
274 Capitolo 13
legge di Laplace è quello del campo magnetico sull’asse
di una spira circolare di raggio R percorsa da una corrente I.
z
ϑ
y
x
2.
P(z)
r
Ids
1.
dBz
dB(P)
dϕ O
ϑ
Per ragioni di simmetria il campo magnetico sull’asse
della spira (z) non può avere componenti lungo x e y;
perciò |B| = Bz. L’Equazione 13.18 dice che
il campo al centro della spira è inversamente proporzionale al raggio R;
a grande distanza dalla spira il campo magnetico è
inversamente proporzionale al cubo della distanza (z)
dal centro della spira e direttamente proporzionale al
prodotto della corrente (I) per l’area della spira
(πR2).
R
Nel punto P a distanza z sulla verticale dal centro O della
spira, il trattino di spira di lunghezza
ds = Rdϕ(rad)
produce il campo magnetico dB(P) con direzione indicata
nella figura, descritto dalla 13.16 con
|r|= R 2 + z 2
13.4 L’induzione elettromagnetica
Nel Capitolo 11 si è visto che la formulazione integrale
dell’Equazione 13.7 è la seguente: la circuitazione del
campo elettrico lungo una linea chiusa C è uguale alla velocità di variazione del flusso del campo magnetico concatenato a C (ossia uscente da una superficie S che ha per
contorno C):
V= ∫ ( E ⋅ t ) dC = −
C
Il vettore dB(P) è perpendicolare a ds e r e forma un angolo ϑ con la verticale alla spira (parallela all’asse z) il
cui coseno vale
cos ϑ =
R
=
r
S
n
S
R2 + z2
µ I Rdϕ
= 0
4π R 2 + z 2
t
R
R2 + z2
=
µ0 IR 2
4π  R 2 + z 2 


3
dϕ
Sommare i contributi a Bz dai vari tratti ds di circuito
vuol dire integrare questa espressione su un angolo giro
(2π). In questo caso, l’integrale si ottiene semplicemente
sostituendo 2π a dϕ. Si ricava così Bz :
z =0
→ =
2
2 R 2 + z 2 
3
13.19
n
µ I Rdϕ ⋅ r
dBz = dB( P) ⋅ cos ϑ = 0
cos ϑ =
4π
r3
µ0 IR
( ∫ (B ⋅ n)dS )
R
Per la corrente orientata come nel disegno, la componente di dB(P) lungo z vale
Bz =
∂
∂t
⇒
z >> R
→ ≈
µ0 I
2R
µ0 IR 2
2z 3
13.18
C
t
La velocità di variazione del flusso magnetico attraverso
S produce una differenza di potenziale elettrico V detta
forza elettromotrice (fem) indotta. Le convenzioni sui
segni sono quelle indicate in figura: con C nel piano del
foglio e verso di percorrenza antiorario, la normale n alla
superficie S appoggiata su C va orientata nel verso uscente dal foglio. Una corrente nella direzione di percorrenza
di C creerebbe all’interno di C un campo d’induzione
magnetica B nella stessa direzione di n, quindi con flusso
concatenato (∝ B ⋅ n) sempre positivo. Il segno meno
nella 13.19 significa che, quando il flusso magnetico aumenta, il campo elettrico è diretto in senso opposto a
quello di percorrenza di C. Perciò se il percorso C coincidesse con un conduttore elettrico si avrebbe in esso una
corrente che produrrebbe un campo magnetico contrastante l’aumento del flusso magnetico. Questa formula-
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 275
zione della legge di induzione è nota come legge di Lenz
ed è indipendente dalle convenzioni sulla orientazione di
contorni e di superfici.
Vogliamo ora mostrare che vi è un nesso tra legge
dell’induzione magnetica (terza equazione di Maxwell),
seconda legge di Laplace (Equazione 11.3) e forza di Lorentz (Equazione 13.5). Consideriamo la spira rettangolare della figura immersa in un campo uniforme B perpendicolare al piano della spira; supponiamo che un lato
della spira, di lunghezza L, scorra verso destra con velocità v. Per la 13.18 il flusso di B concatenato con la spira
aumenta in un secondo di una quantità proporzionale alla
variazione di area della spira nell’unità di tempo, ∆S/∆t.
La velocità di variazione del flusso di B è pari, in valore
assoluto, alla differenza di potenziale V che si genera
lungo il percorso della spira:
V=
∂ Φ( B )
∆S
=
B = LvB
∂t
∆t
z
B
y
x
Questa espressione corrisponde a quella per la forza di
Lorentz 13.5. Notiamo però alcune differenze. Per applicare la legge dell’induzione magnetica abbiamo immaginato la presenza di un circuito chiuso, per il quale ha senso parlare di flusso concatenato. La forza di Lorentz invece si produce solo sulla barra spostata nel campo magnetico, per la quale si deve parlare di “flusso di B tagliato dalla barra nell’unità di tempo” anziché di “varia-zione
del flusso di B concatenato”.
Dimostriamo ora che dall’espressione della forza di
Lorentz si può ricavare la seconda legge di Laplace che
qui riscriviamo:
Consideriamo un tratto ∆L di conduttore rettilineo immobile di sezione S, percorso da una corrente I e immerso in un campo magnetico B. Se il conduttore contiene n
cariche mobili q per unità di volume, che hanno una velocità media v nella direzione del filo, la corrente elettrica I e la sua densità J sono così esprimibili:
I = nqSv J = nqv
+
+
y
v
EL = V = LvB ⇒ E = vB
Perciò una carica q nella barra è sottoposta a una forza f
con modulo
f
x
−
Se nel circuito non circola corrente (come nel caso della
figura dove V è misurata da un voltmetro)(*), non si hanno cadute di tensione dovute alla resistenza elettrica; la
differenza di potenziale V si genera nella barra mobile
dove è presente un campo elettrico, di modulo E, che
moltiplicato per L deve dare la differenza di potenziale V
(fem):
13.21
z
E
V
13.20
f = I∆L × B
I
B
∆L
v
S
Infatti, in un secondo passano attraverso S tutte le cariche
che si trovano in un tratto di conduttore di lunghezza
(v × 1 s), il cui numero è pari a
densità × volume = n(Sv × 1 s)
f = qE = qvB
(*) Un voltmetro ideale misura un voltaggio senza assorbire
corrente; è perciò un dispositivo caratterizzato da resistenza infinita. Al contrario, un amperometro ideale misura una corrente senza provocare alcuna caduta di potenziale; ha perciò resistenza nulla.
La corrente è, per definizione, questo numero moltiplicato per q. In modo simile si ha che la carica mobile complessiva Q che si trova nel tratto ∆L vale
Q = nqS∆L
13.22
276 Capitolo 13
Moltiplicando ambo i membri della 13.21 per ∆L e B si
ottiene
I∆LB = nqS∆LB v = QvB
B
fb
13.23
dove, a secondo membro, si ha il modulo della forza di
Lorentz e a primo membro il modulo della 13.20. La
conclusione è che le equazioni di Maxwell permettono di
descrivere le forze di natura magnetica su correnti e cariche in moto.
n
ϑ
fa
a
−fa
b
z
I
13.5 Forze su correnti elettriche
y
− fb
Le forze che si esercitano su cariche in moto e circuiti
percorsi da corrente posti in un campo magnetico hanno
un enorme interesse pratico perché sono alla base del
funzionamento dei dispositivi che trasformano energia
meccanica in energia elettrica (alternatore, dinamo) ed
energia elettrica in meccanica (motore elettrico). Esaminiamo il fenomeno dell’induzione magnetica nei suoi due
aspetti complementari: forze agenti su correnti e forze elettromotrici indotte in conduttori in moto nel campo magnetico o sottoposti a campi magnetici variabili.
x
Sui due lati di lunghezza b, le due forze fb hanno sempre
la stessa retta d’azione e quindi momento nullo.
Calcoliamo il lavoro fatto dalle forze magnetiche nel
portare la spira da una orientazione iniziale ϑ0 = 90° (spira nel piano xz) a una finale ϑ:
ϑ
ϑ
90°
90°
lavoro = ∫ M x dϑ ′ = ( Iab) B ∫ − sin ϑ ′dϑ ′ =
= ( Iab) B( cos ϑ − cos 90°) = ( Iab ) B cos ϑ
13.5.1 Spira in un campo B
Consideriamo una spira rettangolare in un campo induzione magnetica uniforme diretto lungo l’asse z, percorsa
da una corrente I e libera di ruotare attorno all’asse x.
Sui lati, di lunghezza a, paralleli all’asse di rotazione
si esercitano due forze uguali e opposte dirette come y,
perpendicolari a B e all’asse di rotazione, che in modulo
valgono (vedi 13.20)
Ep = −(Iab)Bcosϑ
Queste due forze costituiscono una coppia, con braccio
bsinϑ (vedi figura) e momento diretto lungo l’asse x dato
da
13.24
dove ϑ è l’angolo tra B e la normale n al piano della spira(*).
(*) La normale al piano della spira ha verso fissato dalla
corrente con la regola della mano destra; ϑ è l’angolo antiorario
tra B e n; nel caso del disegno le due forze fa producono un
momento diretto nel verso negativo dell’asse x perché producono una rotazione in senso orario.
13.25
Per dare una forma vettoriale alle 13.24 e 13.25 introduciamo il momento magnetico mI della spira definito da
mI ≡ Iabn = ISn
fa = IaB
Mx = −fab sinϑ = −(Iab)Bsinϑ
Tale lavoro cambiato di segno è l’energia potenziale Ep
della spira nel campo magnetico
13.26
Il momento magnetico di una spira piana è quindi un vettore che ha per modulo il prodotto corrente × area
(S = ab) della spira e per direzione la normale al piano
orientata con la regola della mano destra: dita nel verso
della corrente, pollice nel verso della normale.
Possiamo ora generalizzare quanto ottenuto scrivendo
in forma vettoriale l’espressione della coppia 13.24:
M = mI × B
13.27
e della la sua energia potenziale 13.25:
Ep = −mI ⋅ B
13.28
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 277
Qui e nel seguito considereremo una sola spira; nella pratica gli avvolgimenti sono fatti in genere da centinaia, o
migliaia di spire, tutte percorse dalla stessa corrente I;
basterà calcolare momento magnetico, o fem indotta, per
una singola spira e moltiplicare per il numero di spire.
13.5.2 Motore e alternatore
I principi di funzionamento dei motori elettrici e degli alternatori possono essere illustrati utilizzando le equazioni
sviluppate per la spira percorsa da corrente in campo magnetico. Mentre può essere non banale far ruotare il campo magnetico, mettere in rotazione la spira, o fornire a
questa una corrente oscillante nel tempo, è abbastanza
semplice calcolare le grandezze meccaniche rilevanti se
quelle elettriche e magnetiche sono note. Supporremo di
conoscere come stia ruotando la spira del disegno precedente e di sapere da che corrente sia percorsa per calcolare il bilancio delle forze agenti.
Supponiamo che la spira del paragrafo precedente sia
in rotazione uniforme e che l’angolo ϑ formato dalla sua
normale con B cambi nel tempo secondo la legge
ϑ=
2π
t = ωt
T
13.29
Supponiamo inoltre che la spira sia percorsa da una corrente sinusoidale anch’essa di periodo T :
 2πt

I(t) = I0sin 
+ α
 T

13.30
Calcoliamo su un periodo T il bilancio energetico del moto della spira. Il momento delle forze agenti sulla spitra,
13.24, mediato su un periodo è
2πt   2πt
⟨ M x (t )⟩ T = − I0 abB⟨sin
+ α  ⟩ T =
 sin
 T   T

13.31
I abB
2πt 
= − I0 abB⟨sin 2 
cos α
 ⟩ T cos α = − 0
 T 
2
Secondo questa formula(*), quando α = ±90° il dispositi(*) La media su un periodo T di una funzione f(t) è
⟨ f (t ) ⟩ T ≡
1
T
T
∫ f (t )dt
t =0
Posto β ≡ 2πt/T, e indicata con <⋅> la media su β, la media nella 13.31 diventa:
<sinβ sin(β + α)> = <sin2β cosα + sinβ cosβ sinα> =
= <sin2β >cosα = (1/2)cosα
vo non compie, in media, lavoro perché il momento angolare medio è nullo. Se applichiamo un momento resistente MR che si oppone alla rotazione la spira ritarda ⇒ l’angolo α diventa maggiore di 90° ⇒ cosα diventa
negativo ⇒ il momento medio applicato diventa positivo ⇒ il dispositivo fornisce lavoro meccanico per vincere MR e può essere chiamato un motore. In questo caso,
l’angolo di sfasamento è determinato dalla condizione
che momento resistente e momento medio 13.31 siano in
modulo uguali, in modo che la spira possa girare a velocità angolare costante, come ipotizzato nella 13.29:
I abB
I abB
| MR | = − 0
cos α ≤ 0
2
2
13.32
Fintanto che il momento resistente è minore del momento
medio massimo I0abB/2, il motore gira a velocità angolare costante fornendo una potenza media pari a
potenza del motore =
| M R |× angolo
=
tempo
13.33
I abBω
| M R | 2π
=
=− 0
cos α
T
2
L’Equazione 13.33 con cosα ≤ 0 descrive il bilancio energetico del motore sincrono, un dispositivo che è alimentato da una corrente alternata e gira alla stessa frequenza di questa fornendo lavoro meccanico: questo motore eroga automaticamente la potenza necessaria a vincere il momento resistente aggiustando lo sfasamento α
tra moto e corrente. Occorrono particolari accorgimenti
(a volte interi motori ausiliari) per fare acquistare al motore sincrono la sua velocità di regime; la potenza fornita
dipende dallo sfasamento tra rotazione e corrente: varia
da zero (per α = 90°) al valore massimo (per α = 180°).
L’alternatore è un dispositivo uguale al motore sincrono. La differenza è che il momento medio 13.31 è negativo, ossia cosα > 0, e sulle correnti della spira agiscono forze che, in media, si oppongono alla rotazione della
stessa. Per mantenere la spira in rotazione occorre fornire
lavoro meccanico, applicando un momento uguale e opposto a quello prodotto dalle forze elettriche. Mostriamo
ora che il lavoro meccanico compiuto sulla spira contro
le forze elettriche si traduce in potenza elettrica.
Per la legge dell’induzione applicata alla spira rotante
in un campo magnetico fisso, la forza elettromotrice
(fem) sulla spira è pari alla derivata cambiata di segno del
flusso magnetico (vedi 13.29 e la figura del paragrafo
precedente):
278 Capitolo 13
d ( abB cos ϑ )
=
dt
dϑ
= abB sin ϑ
= abBω sin ωt
dt
fem(t ) = −
13.34
Poiché si è supposto che la corrente circolante sia descritta dalla 13.30, la potenza elettrica generata vale in media
potenza dell’alternatore =
abBω
= fem(t ) I (t ) T =
cos α
2
13.35
Come atteso per la conservazione dell’energia, la potenza
elettrica generata è uguale alla potenza meccanica assorbita, ossia alla 13.33 cambiata di segno. Si noti che,
idealmente, è possibile convertire completamente energia
elettrica in energia meccanica e viceversa.
fessure che interrompono gli anelli di corrente, le correnti
e gli attriti prodotti dall’induzione vengono grandemente
ridotti. È questa la ragione per cui in molti dispositivi basati sull’induzione (motori, generatori e trasformatori) si
realizzano diverse parti metalliche mediante lamierini isolati tra loro anziché mediante pezzi massicci.
Uno dei pochi casi in cui le correnti parassite trovano
un impiego utile è nel forno a induzione: la sostanza da
scaldare è posta in un contenitore fatto da metallo a elevato punto di fusione (per esempio platino o iridio) e posta in un solenoide nel quale viene fatta circolare una corrente oscillante, tipicamente fino ad alcuni milioni di volte al secondo. Le correnti indotte portano facilmente la
temperatura del metallo oltre 1000 °C.
I
B
13.5.3 Correnti parassite indotte
Finora abbiamo considerato conduttori filiformi nei quali
la corrente elettrica può scorrere solo lungo il filo.
L’induzione elettromagnetica agisce anche su conduttori
non filiformi producendo l’effetto, di solito indesiderato,
delle correnti parassite, dette anche correnti di Foucault (o eddy currents, da eddy = vortice in un fluido,
corrente opposta al moto principale). In un piatto metallico che entra in un campo magnetico perpendicolare con
velocità v si generano linee di corrente che producono un
campo di verso opposto: se il piatto fosse un conduttore
perfetto (ossia con resistività nulla), le correnti sarebbero
tanto grandi che il campo espellerebbe il piatto (con velocità −v) proprio come un ostacolo rigido fa rimbalzare
una palla di gomma.
B
B
La ragione per cui non è consigliabile mettere metalli o
altro materiale conduttore nel forno a microonde è che,
per la presenza di campi magnetici oscillanti (a frequenze
dell’ordine del GHz), la potenza del forno, anziché distribuirsi sul cibo da cuocere, viene quasi tutta dissipata
in correnti parassite sul conduttore.
13.6 Circuiti elettrici con induttanze
13.6.1 L’induttanza
Una spira percorsa da una corrente I genera un campo
magnetico che è proporzionale a I. Il flusso di questo
campo concatenato con la stessa spira Φ(B) (flusso autoconcatenato) è anch’esso proporzionale a I:
v
v
fa
correnti parassite
fa
Φ(B) = LI
I
Se il piatto ha resistenza elettrica, l’energia del moto del
piatto produce corrente elettrica e riscaldamento per effetto Joule; il piatto è soggetto a una forza di attrito fa che
si oppone al moto. Se nel piatto vengono praticate delle
13.36
e la costante di proporzionalità L nella 13.36 è detta induttanza del circuito, simbolo:
.
Come la capacità elettrica C, l’induttanza descrive
una proprietà “geometrica” del circuito che si può in linea di principio calcolare: nel caso di C, tramite l’integrale che esprime il lavoro fatto da una carica unitaria
passando da una armatura all’altra del condensatore; nel
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 279
caso di L, tramite l’integrale che esprime il flusso di B attraverso una superficie appoggiata alla spira percorsa da
una corrente unitaria. All’aumentare della corrente elettrica nel circuito aumenta il flusso concatenato e, per la
legge di Faraday 13.19, si sviluppa una forza elettromotrice che si oppone all’aumento di corrente:
fem = −L
dI
dt
13.37
Questa equazione definisce la proprietà fondamentale
dell’induttanza come componente dei circuiti elettrici.
L’unità di misura SI dell’induttanza si chiama henry, H,
che per la 13.37 ha le dimensioni di una resistenza elettrica per tempo, ossia 1 henry = 1 Ω⋅s.
13.6.2 Il calcolo dell’induttanza
V1
V2
L1
L2
V1 = − L1
N
l
e il flusso autoconcatenato è N volte il flusso concatenato
dalla singola spira:
π r2N 2
Φ( B) = NBπ r 2 = µ 0
I
l
serie
V = V1 + V2 =
I
= −(L1 + L2 )
dI
dI
V2 = − L 2
dt
dt
dI 1
dt
I1
I2
dI 2
V = − L2
dt
dI
dt
⇒ L = L1 + L2
L1 serie L2 = L1+L2
V = − L1
Come esempio di calcolo dell’induttanza consideriamo
un solenoide di lunghezza l nel vuoto costituito da N spire circolari di sezione πr2. Il campo magnetico all’interno
del solenoide per la 13.15 è
B = µ0 I
guale la corrente complessiva; per la 13.37 avranno una
caduta di potenziale che è la metà di quella che si avrebbe, a parità di corrente totale, in un solo tratto.
Per due induttanze generiche L1 ed L2 in serie e parallelo le relazioni sono le seguenti:
13.39
parallelo
d(I 1 + I 2 ) V
V
V
=−
=
+
L
dt
L1 L2
1
1
1
⇒ =
+
L L1 L2
 1
1
L1 parallelo L2 =  + 
 L1 L2 
−1
=
L1 L2
L1 + L2
13.40
13.6.4 L’energia dell’induttanza
Dal confronto con la 13.36 si ha per il solenoide
L = µ0
π r2 N 2
l
13.38
13.6.3 Composizione di induttanze
Se un tratto di conduttore ha una resistenza trascurabile,
la sua induttanza si può determinare misurando la fem ai
suoi capi quando la corrente viene fatta variare secondo
una legge nota. È intuitivo che due tratti uguali di circuito
posti uno di seguito all’altro (ossia, collegati in serie)
presentino complessivamente una caduta di potenziale
doppia rispetto al tratto singolo, e abbiano perciò una induttanza che è doppia di quella del singolo tratto. Due
tratti uguali di circuito con entrambi gli estremi in comune (ossia, collegati in parallelo) hanno la stessa differenza
di potenziale tra gli estremi e si ripartiranno in modo u-
Come a un condensatore carico è associata un’energia
potenziale elettrostatica, così all’induttanza L percorsa da
corrente è associata un’energia magnetica. Se all’istante
t = 0 si chiude l’interruttore della figura su un generatore
a fem costante VG, la corrente comincia a circolare aumentando gradualmente. Inizialmente la corrente è nulla,
I(0) = 0; non vi è caduta di tensione sulla resistenza e si
ha
−VG+ V(0) = 0 ⇒ VG = V(0)
Dopo un tempo “abbastanza lungo” la corrente raggiunge
un valore costante I∞ e la caduta di tensione ai capi
dell’induttanza si annulla, V(t) = 0:
−VG + I ∞ R = 0 ⇒ I ∞ =
VG
R
280 Capitolo 13
R
VG
rente asintotica è I∞ = 5 A, e la costante di tempo è
I
L
V (t )
τ=
Questo ragionamento è analogo a quello fatto per i condensatori nel Capitolo 12: quando si applica una differenza di potenziale costante a un circuito a riposo, le induttanze al tempo iniziale possono essere considerate circuiti aperti (senza corrente); per trovare i valori finali, o
stazionari, delle correnti le induttanze si devono pensare
come cortocircuiti. Al tempo generico la corrente I(t) è
data dalla legge della maglia(*)
−VG + I ( t ) R + V (t ) = −VG + I ( t ) R + L
dI ( t )
=0
dt
Questa equazione si riscrive
V 
dI(t)
R
= −  I(t) − G 
dt
L
R 
La potenza elettrica assorbita dall’induttanza è una funzione del tempo e per definizione è pari a
dI(t)
I(t)
dt
Perciò l’energia richiesta per portare la corrente da I = 0
a I = I∞ vale
P(t) = V(t)I(t) = L
t =∞
E L = ∫ I (t ) L
t=0
EL =
R
− t
VG 
I (t ) =
1− e L 

R 


13.42
I(t)
LI 2
2
13.43
Troviamo ora una espressione per l’energia di un solenoide percorso dalla corrente I. Riscriviamo per comodità
le espressioni del suo campo di induzione magnetica
(13.15) e della sua induttanza (13.38):
B = µ0
4
I =∞
dI (t )
1
dt = ∫ LIdI = LI ∞2
dt
2
I =0
Questo risultato è valido in generale: l’energia di una
qualsiasi induttanza EL è pari al quadrato della corrente circolante moltiplicato per (1/2)L:
13.41
che, con la condizione I(0) = 0, è risolta da
N
I
l
L = µ0
π r2 N 2
l
L’energia è perciò
2
0
L
= 8.33(10 −5 )s
R
EL =
0
2
4 t
(10−4s)
Nella figura precedente è rappresentato l’andamento di I
nel caso in cui VG = 60 V, R = 12 Ω e L = 10−3 H; la cor(*) Anche per il circuito della figura, illustriamo le conven-
zioni di segno usate per la legge della maglia. La differenza di
potenziale di un bipolo è definita come potenziale del primo
terminale (indicato con +) meno il potenziale del secondo terminale. Percorrendo la maglia in un senso il potenziale di un
bipolo va preso con il suo segno se si incontra per primo il primo terminale, con segno cambiato in caso contrario. Per una
percorrenza in senso orario VG va preso con segno cambiato e
V(t) con il suo segno. Inoltre V(t) = LdI/dt perché V(t) è positivo quando I aumenta.
π r 2 N 2 I 2 B2
LI 2
π r 2l
= µ0
=
2
2l
2 µ0
(
)
Come nel caso del condensatore, si è ottenuto che
l’energia è proporzionale al quadrato del campo per il
volume dello spazio interno al solenoide dove (approssimativamente) il campo è uniforme. All’induzione magnetica nel vuoto si può perciò associare una densità di energia (energia ∆E per volume ∆V)
∆E
B2
=
∆V 2 µ0
13.44
13.6.5 Circuiti in corrente alternata
Qui vengono discussi due aspetti di grande importanza
pratica: la relazione tra corrente assorbita e voltaggio si-
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 281
nusoidale applicato per un circuito con induttanze, resistenze e condensatori (circuito in corrente alternata), e la
potenza assorbita dal circuito. Per una trattazione compatta bisognerebbe ricorrere alla notazione complessa,
come fatto per le oscillazioni forzate nel Capitolo 7. Qui
però manterremo il formalismo al livello più semplice
possibile e illustreremo gli aspetti salienti dei circuiti in
corrente alternata mediante un esempio.
R
VG(t)
I(t)
L
V(t)
Nel circuito dell’esempio precedente abbiamo sostituito
alla batteria un generatore di voltaggio sinusoidale VG(t):
VG (t ) = V0 sin ωt
13.45
Ci aspettiamo che V(t) e I(t) cambino in modo sinusoidale con la stessa pulsazione ω e che la corrente sia
I (t ) = I 0 sin(ωt + α )
da cui (vedi 13.37)
dI
V (t ) = L
= ωLI 0 cos(ωt + α )
dt
13.46
13.47
Inserendo le espressioni di I(t) , V(t) e VG(t) nella 13.41
si ha
V0 sinωt = RI 0 sin(ωt + α ) + ωLI 0 cos(ωt + α ) 13.48
Per rendere il primo membro identico al secondo devono
essere soddisfatte le equazioni
 RI 0 = V0 cos α

ωLI 0 = −V0 sin α
< W > = < VG (t ) I (t ) > =
V0 I 0
cos α
2
ossia proporzionale al fattore di potenza. Poiché lo sfasamento non è mai positivo la corrente è in ritardo rispetto al voltaggio: l’angolo di ritardo raggiunge il valore
massimo di 90° (α = π/2) quando R = 0, condizione in cui
energia dissipata e fattore di potenza sono nulli.
È possibile realizzare dispositivi con angolo di fase
qualunque, ossia che causano il passaggio di enormi
quantità di corrente pur assorbendo potenze molto modeste (cosα << 1) o che addirittura cedono energia al generatore (cosα < 0). Ambedue questi tipi di dispositivi sono
vietati dai contratti che regolano l’utenza elettrica per uso
domestico. Infatti il contatore elettrico esegue l’integrale
della potenza effettivamente consumata dall’utente, senza
tenere conto delle perdite lungo la linea di distribuzione,
che sono legate al quadrato del valore efficace della corrente e non dipendono dall’angolo di fase. Un dispositivo
con angolo di fase piccolo pesa poco sulla bolletta in relazione al dispendio di energia e al carico con cui grava
sulle linee di distribuzione.
Il prodotto ω L ha le dimensioni di una resistenza e
viene chiamato reattanza: più alto è il suo valore, minore
è l’ampiezza I0 della corrente sinusoidale. Si noti che il
valore della corrente di picco si trova dividendo V0 per la
radice quadrata della somma di resistenza al quadrato e di
reattanza al quadrato. A tale termine viene dato il nome
di impedenza del circuito, e si indica abitualmente con la
lettera Z.
reattanza
13.49
come si può verificare sostituendo le 13.49 nella 13.48 e
applicando le formule trigonometriche di addizione. Prima dividendo membro a membro e poi sommando membro a membro i quadrati delle 13.49 si ottengono α e I0 in
forma esplicita:
ωL
π

R→ 0
→ α = −
tan α = − R
2


V0
V0
R→ 0
→ I 0 =
I0 =
ωL
R 2 + (ωL) 2

L’angolo α è lo sfasamento tra voltaggio applicato e corrente; cosα rappresenta il cosiddetto fattore di potenza
del circuito RL. Infatti, la potenza media fornita dal generatore è
13.50
Z
ωL
α
R
resistenza
L’impedenza costituisce una generalizzazione del concetto di resistenza per circuiti dotati di elementi reattivi. Elementi resistivi e reattivi in serie si combinano secondo
la “regola di Pitagora”: si sommano tra loro i quadrati di
resistenza e reattanza e si estrae la radice quadrata. Nel
diagramma cartesiano precedente, l’angolo di fase del
282 Capitolo 13
circuito può essere interpretato come angolo alla base del
triangolo rettangolo che ha per cateti resistenza e reattanza e l’impedenza come ipotenusa.
Quando si ha a che fare con voltaggi e correnti variabili periodicamente nel tempo è comodo introdurre il valore efficace, pari alla radice quadrata del valore quadratico medio, detto anche valore rms (abbreviazione di
“root mean square”). Dal punto di vista fisico il voltaggio
efficace Veff rappresenta il voltaggio di un generatore costante che dissiperebbe su una resistenza la stessa potenza
media dissipata dal generatore variabile V(t):
<W> =
2
Veff
R
T
=
2
1 V (t )
dt
T∫ R
13.51
0
Quando V(t) ha un andamento sinusoidale, il valore quadratico medio diventa
2
Veff
=
V02 T 2
V02
V
⇒ Veff = 0
∫ sin (ωt ) dt =
T 0
2
2
13.52
Per esempio, la tensione di 220 V che arriva nelle nostre
case è in realtà una tensione all’incirca sinusoidale che
oscilla tra −311 V e 311 V; 220 V è il valore efficace.
venta negativa rispetto al senso di percorrenza che aveva
al tempo iniziale sino a raggiungere il valore iniziale
cambiato di segno. Quando V(t) è massimo, o minimo,
tutta l’energia è immagazzinata nel condensatore; quando
la corrente è massima, o minima, tutta l’energia è
nell’induttanza. Negli istanti intermedi l’energia complessiva è
Etot = EL + EC =
LI 2 (t ) CV 2 ( t ) 1  VG  2
+
= L
 13.53
2
2
2  R
La conversione di energia elettrica (nel condensatore) e
magnetica (nell’induttanza) è descritta da una equazione
formalmente uguale a quella per il moto del pendolo: basta infatti associare x↔V e v↔I. Nel caso del pendolo
(vedi Equazione 6.5) energia potenziale e cinetica si trasformano continuamente l’una nell’altra. In questo caso
l’energia del condensatore si trasferisce all’induttanza e
viceversa. Come la posizione e la velocità del pendolo,
così anche il voltaggio e la corrente hanno un andamento
sinusoidale:
VG

I 0 = R

 I ( t ) = I 0 cos ωt
L

con V0 = I 0
13.54

C
V (t ) = V0 sin ωt

1

ω = LC

13.6.6 Circuiti oscillanti
Nel circuito della figura il generatore VG viene scollegato
al tempo t = 0, quando nella resistenza e nell’induttanza
circola una corrente I(0) = VG/R e il condensatore è scarico in quanto V(0) = 0.
R
VG
I
C
L
V(t)
Dopo l’apertura dell’interruttore la corrente I inizia a circolare nella maglia LC, il condensatore si carica progressivamente e il potenziale V(t) ai suoi capi diventa negativo; questo potenziale fa diminuire la corrente nella induttanza in base alla 13.37 fino a quando I si riduce a zero,
V(t) raggiunge il massimo valore negativo e il condensatore la carica massima. A questo punto il condensatore inizia a scaricarsi attraverso l’induttanza, la corrente di-
L’energia è mediamente ripartita in modo uguale tra condensatore e induttanza. La frequenza propria del circuito
oscillante, ν = ω /2π si chiama anche frequenza di risonanza.
La tecnologia delle trasmissioni radio sfrutta abbondantemente le proprietà dei circuiti oscillanti LC. Il dispositivo con cui Guglielmo Marconi riuscì a trasmettere i primi segnali radio era simile al circuito che abbiamo
discusso: azionando un interruttore si “avvia” un circuito
LC con una frequenza di risonanza di alcuni MHz(*), il
quale compie molte oscillazioni prima di smorzarsi. Queste oscillazioni producono onde elettromagnetiche (vedi
Capitoli 11 e 15) che fanno oscillare un circuito distante
caratterizzato da una uguale frequenza di risonanza. Azionando a intervalli variabili l’interruttore si realizza in
questo modo la cosiddetta telegrafia senza fili.
*
( ) È abbastanza facile avvolgere bobine con L ~ 1 µH, che
con comuni condensatori da ~102 pF danno frequenze di risonanza dell’ordine dei MHz.
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 283
13.7 Moto di cariche
nei campi magnetici
13.7.1 Lo spettrometro di massa
Una particella di massa m e carica q in moto con velocità
v in un campo magnetico B è sottoposta a una forza di
Lorentz (Equazione 13.5)
Nella maggior parte degli spettrometri di massa si usa
il seguente metodo per ottenere un fascio di particelle con
la stessa velocità. Le particelle cariche con velocità v, diretta lungo l’asse y, generate da una sorgente possono accedere, attraverso una prima fenditura, a una camera in
cui vi è un campo elettrico uniforme E diretto lungo
l’asse z e un campo magnetico uniforme B' diretto come
l’asse x.
z
|f| = |qv × B| = |qvB sinϑ|
dove ϑ è l’angolo tra velocità e campo magnetico. La
forza di Lorentz è sempre perpendicolare a v (oltre che a
B) e perciò non compie lavoro. Il suo effetto è quello di
curvare la traiettoria, che in genere assume l’aspetto di
un’elica cilindrica con asse parallelo a B. Proiettata su
un piano perpendicolare a B, l’elica è una circonferenza
percorsa con velocità di modulo costante |v⊥| = |vsenϑ|.
z
B
x
v
vyj
Nell’ambito della meccanica classica (valida per velocità
piccole rispetto a quella della luce) la massa moltiplicata
per l’accelerazione centripeta di questo moto deve uguagliare la forza centripeta di Lorentz:
v2
m ⊥
R
= qv ⊥ B ⇒ R =
mv ⊥
qB
13.55
Questa è l’equazione fondamentale per lo spettrometro
di massa(*) e per il moto di cariche in presenza di campi
magnetici; particelle con uguale velocità vengono deflesse da un campo magnetico lungo traiettorie con curvatura
proporzionale al rapporto carica/massa.
(* )
×
×
×
×
×
v
B
B'
E
B'
13.56
Dopo la seconda fenditura, la particella passa in una camera dove vi è solo un campo uniforme B diretto lungo x.
Essendo B e v perpendicolari, per le 13.55 e 13.56 la particella descrive una traiettoria di raggio
y
x
×
sorgente
qE = qvB' ⇒ v =
ϑ
×
La particella potrà emergere da una seconda fenditura in
asse con la prima solo se percorre una traiettoria rettilinea, ossia se la forza elettrica qE è uguale e opposta a quella magnetica qv × B', ossia se
B
vzk
×
E
y
Lo spettrometro di massa è uno strumento utilizzato per
determinare la massa di ioni (sia semplici sia formati da frammenti macromolecolari relativamente grossi) che copre un importantissimo ruolo in chimica analitica.
R=
E m
⋅
BB' q
13.57
in cui l’unica quantità incognita è il rapporto massa su
carica. Ioni con uguale carica e massa leggermente diversa sono raccolti in punti diversi di uno schermo fotografico; si possono così determinare accuratamente le masse e
le abbondanze relative dei vari isotopi di un elemento.
13.7.2 Effetti del magnetismo terrestre
La Terra è una grande calamita il cui polo Sud magnetico
è posto in prossimità del Nord geografico. Le linee di
forza di B non sono regolari, ma sono “schiacciate” dalla
parte del Sole e deformate in prossimità della Terra a
causa delle variazioni di permeabilità dei materiali che
284 Capitolo 13
costituiscono il nostro pianeta. Il campo magnetico alla
superficie della Terra ha un valore relativamente basso,
di circa 2(10−5) T. Basta però questo piccolo campo, e
distanze interplanetarie, per deflettere una buona parte
delle cariche provenienti dal cosmo, cariche capaci di ionizzare la materia biologica e provocare alterazioni genetiche.
Nord
B
B
+
v1
Ovest
+
Polo Nord
v2
+
N
S
Terra
S
Sole
N
Polo Sud
Conviene distinguere i due casi limite in cui la particella
si muove su un piano equatoriale, con componente della
velocità nella direzione di B nulla, v|| ≈ 0, e quello in cui
la particella ha una velocità diretta prevalentemente lungo
il campo magnetico terrestre.
Moto sul piano equatoriale
Se la particella ha una grande quantità di moto (e la velocità v1 della figura), la forza di Lorentz ne deflette la traiettoria fino a che la particella rimane in prossimità della
Terra: si può pensare in questo caso che il campo magnetico terrestre abbia un valore medio costante in una regione di spazio molto più piccola del raggio R di traiettoria dato dalla 13.36, e nullo altrove.
Nella situazione opposta di quantità di moto che darebbero, in campi dell’ordine di 10−5 T, traiettorie con raggi
comparabili alla dimensione terrestre (velocità v2), la
particella descrive archi di traiettoria con raggio di curvatura “piccolo” quando è più vicina alla Terra, e raggio
“grande” quando è più lontana. La traiettoria non è più un
cerchio, ma una cicloide che si sposta da Est verso Ovest
per particelle cariche positivamente, e nella direzione opposta per particelle cariche negativamente.
Moto nella direzione di B
Se il campo fosse uniforme e la velocità avesse una componente parallela a B, la traiettoria sarebbe una spirale di
raggio proporzionale a v⊥ (vedi 13.36). Poiché dirigendosi verso uno dei poli l’intensità del campo magnetico
aumenta, ci si aspetta che la spirale diventi sempre più
stretta; la forza di Lorentz fL inoltre acquista una componente che si oppone alla penetrazione della particella nelle regioni dove B è più intenso.
B
fL
Perciò una particella diretta verso il polo Nord o il polo
Sud della Terra compie spirali via via più strette e diminuisce v|| fino a che questa velocità si annulla e poi cambia segno: è come se la particella rimbalzasse sul campo
magnetico. Attorno alla Terra vi sono particelle cariche
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 285
intrappolate nelle fasce di Van Allen, regioni che si estendono dal polo Nord al polo Sud (a distanza di ~1.5 e
~5 raggi terrestri) nelle quali le cariche provenienti dal
cosmo rimangono intrappolate e spiraleggiano in continuazione avanti e indietro tra i due poli. Il moto di queste
particelle nelle fasce di Van Allen causa tempeste magnetiche e le cosiddette aurore polari.
Il campo magnetico terrestre non è costante nel tempo, presentando anche inversioni di polarità con varie
(non precise) periodicità, di centinaia di migliaia di anni
e oltre. Ciò comporta intervalli di decine di migliaia di
anni, in cui i valori del campo sono prossimi allo zero,
molto inferiori a quelli attuali. Le oscillazioni del campo
terrestre sono rivelate da rocce la cui magnetizzazione
dipende dal valore del campo terrestre al momento della
loro formazione. Sembra che l’evoluzione delle specie
non proceda in modo regolare, ma che subisca forti accelerazioni proprio nei periodi in cui il campo magnetico
terrestre è minimo, e offre una ridotta protezione dalle
particelle cariche provenienti dal cosmo.
13.8 La magnetizzazione
della materia
Svolgiamo qui una trattazione analoga a quella della polarizzazione elettrica, il cui scopo è quello di descrivere
come un campo magnetico venga modificato dalla presenza della materia. La trattazione del problema nella sua
generalità è complicata: a differenza del caso elettrico, è
abbastanza comune trovare sostanze (per esempio i materiali ferromagnetici che costituiscono le calamite) che
non rispondono in modo lineare neppure a campi esterni
applicati relativamente deboli. In un primo tempo, dovremo escludere esplicitamente questi materiali dalla nostra considerazione.
Sia un magnete permanente sia una spira percorsa da
corrente sono dei dipoli magnetici, o momenti magnetici che tendono a orientarsi in un campo magnetico (vedi
13.27 13.28). Il momento magnetico è un vettore che ha
le dimensioni di corrente × area. Come nel caso della polarizzazione elettrica, si definisce magnetizzazione M la
somma vettoriale dei dipoli magnetici nell’unità di volume. Applicando l’operatore rotore alla 13.2 si ottiene
l’equivalente della 12.20b:
dove la seconda uguaglianza, valida solo in un mezzo
omogeneo e lineare, consente di definire la permeabilità
magnetica relativa µr.
Per visualizzare questa relazione si pensi a un solenoide infinito riempito con un materiale omogeneo non
ferromagnetico in cui vi siano momenti magnetici elementari, orientati come l’asse del solenoide, di entità
proporzionale a |B|, e rappresentati da anelli di corrente.
In prossimità di ogni punto interno al materiale non ferromagnetico vi sono correnti circolanti in senso inverso,
dovuti a momenti magnetici adiacenti, i cui effetti si annullano. Solo ai bordi le correnti elementari compongono
un intero anello di corrente, concentrico alle spire di cui
si immagina costituito il solenoide, che contribuirà, al pari delle correnti nelle spire, al campo magnetico complessivo. Corrispondentemente, il rotore della magnetizzazione è diverso da zero solo ai bordi; infatti l’operatore
rotore coinvolge derivate spaziali ed è identicamente nullo all’interno del materiale, dove la magnetizzazione è,
nelle nostre ipotesi, uniforme. Si può ripetere per la magnetizzazione molto di quanto si è detto per la polarizzazione elettrica: in particolare la prima dipenderà da dipoli
magnetici indotti o naturalmente presenti nel mezzo.
Prima di discutere le proprietà magnetiche dei materiali stimiamo l’ordine di grandezza dei dipoli magnetici
elementari presenti nella materia e dei campi magnetici
da questi generati. Immaginiamo che un elettrone (carica
−e = −1.6 × 10−19 C) si trovi in un’orbita circolare, appartenente al piano del disegno, attorno a un protone (carica +e). Se trascuriamo l’irraggiamento elettromagnetico
(vedi Capitolo 15), si ha un’orbita stabile quando la forza
d’attrazione coulombiana protone-elettrone egua-glia il
prodotto massa dell’elettrone × accelerazione centripeta:
|fc| =
e2
=
4πε 0 r 2
me v 2
r
−e, me
r
∇ × B = µ0(J + ∇ × M) = µ0µrJ
13.58
13.59
v
fc
+e, mp
m
286 Capitolo 13
Per un’orbita di raggio pari a quello dell’atomo di idrogeno, r ≈ 5.3(10−11) m, la velocità è v ≈ 2.18(106) m/s e
il periodo di rotazione è
1
ν
=
2πr
≈1.53(10−16) s
v
13.60
Poiché l’elettrone passa ν volte al secondo da ogni punto
dell’orbita, questa può essere pensata come una spira di
raggio r con una corrente I = eν. Il momento di dipolo
magnetico dell’elettrone dell’idrogeno è il prodotto di
questa corrente per l’area dell’orbita:
µe =
evr
≈ 9.24(10−24) A⋅m2
2
13.61
Il campo magnetico che l’elettrone orbitante genera nella
posizione del protone è (vedi 13.18)
B=
µ0I
2r
=
µ 0 eν
2r
≈ 12.4 T
13.62
Ci si aspetta che nella materia condensata i momenti magnetici siano dell’ordine di grandezza di µe stimato dalla
13.61 e che i campi d’induzione magnetica da loro generati, su distanze atomiche, siano dell’ordine di 101 T. Anche se un tale campo può sembrare enorme rispetto a
quello terrestre, l’energia potenziale magnetica di µe in
questo campo (vedi 13.28) è piccolissima rispetto
all’energia potenziale elettrica dell’elettrone nel campo
elettrico del protone:
energia magnetica ≈ µe B ≈10−22 J
energia elettrica ≈
e2
4πε o r
≈ 5(10−18) J
13.63
orbite di raggio qualsiasi (che dipendono dall’energia cinetica del pianeta), gli atomi sembrano mantenere circa le
stesse dimensioni al variare della temperatura.
Per superare queste difficoltà, Niels Bohr nel 1913
ipotizzò che l’elettrone potesse occupare solo orbite caratterizzate da un momento della quantità di moto
mevr = n h
dove n è un intero e h (“acca-tagliato”) è
h
h≡
con h = 6.63(10−34) J⋅s
2π
13.66
dove h è una costante fondamentale, detta costante di
Planck. Bohr utilizzò la 13.65 con n = 1 per introdurre il
cosiddetto magnetone di Bohr, µB :
µB =
eh
= 9.274(10−24) A⋅m2
2me
13.67a
che risulta praticamente uguale alla stima del momento
magnetico µe dell’elettrone dell'idrogeno ( 13.61).
Oltre al momento della quantità di moto dovuto al
moto lungo l’orbita (momento angolare orbitale), si è
trovato che l’elettrone ha anche un momento angolare
intrinseco, o di spin, (“to spin” = ruotare) pari a (1/2) h ,
a cui è associato un momento magnetico pari a µB. Anche
i nuclei atomici hanno momenti di spin che sono multipli
di (1/2) h ; a essi sono associati momenti magnetici che
sono dell’ordine di un millesimo di µB. Qualitativamente,
questo dipende dal fatto che, per la 13.67, il momento
magnetico è inversamente proporzionale alla massa e che
un protone pesa circa duemila volte più dell’elettrone. Il
magnetone nucleare è riferito alla massa del protone mp:
13.64
Le proprietà chimiche della materia dipendono dai legami elettronici tra gli atomi la cui energia è quasi interamente determinata dalla interazione elettrica. Le proprietà magnetiche hanno perciò un effetto diretto del tutto
trascurabile sulle proprietà chimiche.
Per le stime di ordine di grandezza abbiamo utilizzato
un modello elementare di atomo che sembrerebbe avere
molti difetti. Non c’è ragione per cui l’elettrone dell’idrogeno occupi un particolare piano orbitale: se tutte le orbite di un dato raggio hanno uguale probabilità, il momento
magnetico non può puntare in alcuna direzione e deve essere nullo. Mentre in meccanica classica si possono avere
13.65
µN =
eh
≈ 5.05(10−27) A⋅m2
2m p
13.67b
13.8.1 Diamagnetismo
La maggior parte di atomi e molecole hanno un momento
magnetico complessivo che è una piccolissima frazione
del magnetone di Bohr: le interazioni interatomiche tendono ad annullare i momenti angolari orbitali e gli elettroni amano viaggiare in coppie con spin elettronici (e
momenti magnetici intrinseci a questi associati) orientati
in versi opposti. Queste sostanze esibiscono un debole
diamagnetismo, un effetto per cui un campo magnetico
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 287
produce una magnetizzazione, proporzionale al campo
applicato, di verso opposto a B.
Il fenomeno del diamagnetismo è interpretabile solo
nell’ambito della meccanica quantistica, ma potrebbe ingenuamente venire compreso con il modello classico di
atomo che abbiamo utilizzato in precedenza. Immaginiamo che un atomo abbia due elettroni sulla stessa orbita
piana i quali circolino in senso inverso con la stessa velocità angolare ω in modo che i due momenti magnetici, m+
e m− siano uguali e opposti.
m−
B
B
δm−
fL
Nell’orbita antioraria si sviluppa perciò un momento magnetico addizionale δm− diretto in verso opposto a B. Nel
caso dell’elettrone che gira in senso orario, la velocità
angolare e i moduli di fc e µ+ diminuiscono; perciò anche
in questo caso il momento magnetico aggiuntivo indotto
dal campo magnetico ha verso contrario a quello di B.
Calcoliamo per un mezzo diamagnetico l’ordine di
grandezza della suscettività magnetica:
χm ≡ µr− 1
ossia del numero puro che rappresenta il rapporto tra
µ0M e B (vedi 13.2). La magnetizzazione è la somma dei
momenti elettronici indotti per unità di volume, che è pari
alla 13.70 diviso per il volume occupato in media dal
singolo elettrone ~r3. Dalla 13.70 segue
fL
m+
δm+
µ0M ≈ −
Quando applichiamo un campo magnetico normale al piano dell’orbita, l’elettrone che gira in senso antiorario per
un osservatore diretto come B, e ha momento magnetico
m−, avverte una forza di Lorentz fL, di modulo evB, diretta verso il nucleo mentre l’altro elettrone avverte una
forza di verso opposto. Supponiamo che il campo magnetico abbia un effetto trascurabile sul raggio dell’orbita e
produca un cambio di velocità angolare δω in modo che
si ristabilisca l’equilibrio tra forza centripeta (fc = fE + fL)
e accelerazione angolare. Poiché fL causa un cambio molto piccolo di fc per l’elettrone antiorario si può scrivere(*)
δfc ≡ erω B = δ (meω 2r) = 2merω δω
13.68
o anche
δω =
e
B
2me
13.69
e er 2 B e 2 r 2 B
⋅
=
2me
2
4me
µ0e 2
4me r
13.70
(*) La variazione della forza è proporzionale al differenziale
dell’accelerazione rispetto a ω ; si usa il simbolo δ anziché
quello di differenziale, d, per indicare che la variazione è piccola ma non infinitesima.
B ≈ (−10−4)B
La suscettività magnetica di una sostanza diamagnetica è
praticamente indipendente dalla temperatura, e di solito
ancora più piccola, in valore assoluto, del valore 10−4 che
abbiamo stimato. Quasi tutte le sostanze organiche e la
maggior parte di quelle inorganiche sono diamagnetiche.
13.8.2 Paramagnetismo
Il diamagnetismo, per quanto visto, è un fenomeno che si
dovrebbe verificare in ogni sostanza. Tuttavia talvolta esso è cancellato (e pertanto risulta non rilevabile) dal paramagnetismo. In una sostanza paramagnetica vi sono atomi o molecole che hanno un momento magnetico m elettronico diverso da zero. Questo momento è parallelo al
momento della quantità di moto I dell’elettrone:
m = γI
Poiché la velocità aumenta di rδω, vi è un aumento del
momento angolare e un corrispondente aumento del modulo del momento magnetico m−:
δm−=
13.71
13.72
dove γ è detto rapporto giromagnetico, ed è dell’ordine
di e/2me per gli elettroni (e di e/2mp per i nuclei). In presenza di un campo d’induzione magnetica uniforme B sul
dipolo magnetico agisce una coppia (vedi 13.27)
m × B = γI × B
La legge di Newton per un corpo in rotazione attorno a
un punto perciò si scrive
288 Capitolo 13
dI
=γ I×B
dt
14.73
Questa equazione è formalmente simile a quella che descrive il moto di una carica q di massa m in un campo
magnetico uniforme B (vedi 13.20 e 13.36):
dv q
= v×B
dt m
per la quale si è mostrato che la forza a secondo membro
non compie lavoro e muta la direzione, ma non il modulo, della velocità. In modo del tutto analogo, la coppia a
secondo membro della 13.73 non compie lavoro e fa
cambiare nel tempo solo la direzione della componente di
I perpendicolare a B. Si dice per questo che il momento
angolare I precede (come una trottola) attorno a B; la sua
velocità angolare
ω = γB
13.74
è detta velocità di precessione di Larmor. Questa equazione è alla base del fenomeno della risonanza magnetica nucleare (NMR = nuclear magnetic resonance) ed elettronica (EPR = electron paramagnetic resonance): la
magnetizzazione dovuta ai momenti magnetici di un tipo
di particella (nucleo o elettrone) precede con una velocità
angolare proporzionale al campo magnetico e al rapporto
giromagnetico della particella. Il moto di precessione può
essere rivelato grazie alla differenza di potenziale che la
magnetizzazione rotante induce in un solenoide con asse
perpendicolare a B. Lo studio di questo moto fornisce informazioni sui “disturbi” alla precessione prodotti dalle
interazioni della specie atomica con le particelle circostanti.
Da circa 50 anni la risonanza magnetica affianca le
spettroscopie ottiche e la diffrattometria a raggi X
(vedi Capitolo 15) nello studio della materia condensata.
A partire dagli anni Settanta si sono sviluppate tecniche
capaci di ottenere informazioni sulla presenza di vari tipi
di nuclei (in particolare, di quelli di idrogeno) in diverse
regioni dello spazio. È nata la tomografia NMR, o MRI
(magnetic resonance imaging), che, fornendo mappe di
densità dei protoni nei tessuti biologici, si è affermata
come potente e sofisticato strumento medico-diagnostico.
Il suo fondamento è l’equazione “di risonanza” 13.74,
che stabilisce una proporzionalità tra campo B applicato e
frequenza. Basta fare in modo che parti diverse del corpo
siano esposte a campi magnetici leggermente diversi perché i momenti magnetici di una specie chimica emettano
segnali con frequenza dipendente dalla posizione; si può
così risalire alla quantità della specie chimica presente in
una data regione e se ne possono studiare alcune proprietà.
Oltre che precedere, i momenti magnetici nella materia possono cambiare la loro orientazione rispetto al campo B. Per fare questo deve essere scambiata una energia
il cui ordine di grandezza è µBB per gli elettroni e µNB
per i nuclei (vedi 13.67a e b). La meccanica quantistica
stabilisce che questi scambi di energia possono avvenire
solo per multipli interi della quantità
hγB
In un campo B di 1 T questa energia è dell’ordine di
10−23 J per un elettrone e di 5 × 10−27 J per un nucleo di
idrogeno (protone): a temperatura ambiente (T ≈ 300 K)
le energie magnetiche di nuclei ed elettroni sono perciò
di diversi ordini di grandezza inferiori all’energia termica
(kBT ≈ 4 × 10−21 J) che il principio di equipartizione associa a ogni particella o grado di libertà. In queste condizioni l’agitazione termica riesce perciò a mantenere un
disordine quasi completo nelle orientazioni dei momenti
magnetici microscopici: solo una frazione dei momenti
magnetici, dell’ordine di hγB / kBT, è diretta nello stesso
verso di B e aumenta il campo magnetico che si avrebbe
nel vuoto. Gli altri momenti magnetici hanno uguale probabilità di essere paralleli e antiparalleli e non contribuiscono al valor medio di B. Ci si aspetta perciò che una
sostanza con momenti magnetici intrinseci, lontana dallo
zero assoluto e in un campo magnetico “moderato” abbia
una componente paramagnetica, ossia acquisti una debole magnetizzazione diretta nel verso di B, proporzionale a B e inversamente proporzionale a T (legge del paramagnetismo, detta anche di Curie in onore di Pierre
Curie). Se il campo magnetico nella sostanza è superiore
a quello che si avrebbe nel vuoto, la componente paramagnetica della magnetizzazione supera quella diamagnetica e la sostanza si dice essere paramagnetica. La
magnetizzazione dovuta ai momenti magnetici nucleari è
di solito molto minore di quella, di segno opposto, associata al diamagnetismo; è invece abbastanza comune che
sostanze metalliche o con elettroni “disaccoppiati” abbiano µr leggermente superiore all’unità e siano perciò sostanze paramagnetiche.
13.8.3 Ferromagnetismo
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 289
A una temperatura sufficientemente bassa i momenti magnetici di una sostanza paramagnetica tendono ad allinearsi parallelamente gli uni agli altri: la sostanza può mantenere una magnetizzazione anche in assenza di un campo
magnetico esterno e diventa ferromagnetica. Il ferromagnetismo è un fenomeno cooperativo dovuto alle interazioni tra particelle dotate di momenti magnetici elettronici nella materia allo stato condensato.
B ∝ ∫ V (t )dt
I(t)
Br
V(t)
(a)
I
Il fenomeno può essere studiato con il dispositivo della
figura: si dà alla sostanza una forma toroidale e vi si avvolge attorno un conduttore sul quale viene impressa una
corrente I(t) che varia con il tempo. Il voltaggio V(t) indotto in un secondo avvolgimento è proporzionale al
cambio nel tempo del campo B all’interno della sostanza,
il quale dipende dalla permeabilità µr del toroide. Si trova
che con un toroide ferromagnetico non vi è più una relazione di proporzionalità tra B e la corrente applicata I.
Se la sostanza ha inizialmente una magnetizzazione
media nulla, l’accensione di una debole corrente può
produrre un grande campo magnetico dovuto principalmente alla magnetizzazione della sostanza. Per valori di
corrente alle quali il processo di magnetizzazione della
sostanza è praticamente completato, un cambio di corrente genera voltaggi molto minori. Questo comportamento è
rappresentato dalla curva (a) di “prima magnetizzazione”.
Al successivo diminuire della corrente I, il campo magnetico non diminuisce in modo corrispondente e mantiene
un valore residuo Br anche quando la corrente applicata
viene portata a zero. La sostanza è diventata un magnete
permanente. Per portare a zero il campo magnetico nella
sostanza occorre applicare una corrente di segno opposto
a quella che ha precedentemente prodotto la magnetizzazione permanente. Al variare di I tra valori positivi e negativi, il campo magnetico descrive la curva mostrata nella figura precedente, che viene detta curva di isteresi per
significare che il campo magnetico è “in ritardo” rispetto
alla corrente. Più grande è il campo residuo Br, più il materiale magnetico è “duro” e adatto alla costruzione di
magneti permanenti. Quanto più piccolo è Br, tanto più il
materiale magnetico è “soffice” e adatto alla costruzione
di trasformatori: si opera in questo ultimo caso con correnti che producono solo una piccola frazione della magnetizzazione massima in modo da avere quasi una proporzionalità tra B e I, corrispondenti a valori tipici di µr
compresi tra 103 e 104.
Si conoscono da tempo regole per sintesi e trattamento di leghe metalliche e di ossidi di metalli di transizione
con proprietà ferromagnetiche prossime a quelle desiderate (gli elementi più adatti per la produzione di ferromagneti sono Fe, Co, Ni, Dy, Gd). La tecnologia di questi
materiali nasce però da un’attenta osservazione delle loro
proprietà più che da una interpretazione microscopica del
ferromagnetismo. Abbiamo già notato come, secondo la
fisica classica, il ferromagnetismo si dovrebbe avere solo
a bassissime temperature; tuttavia il ferro dolce diventa
paramagnetico attorno a 103 K, invece che a circa 1 K
come predetto dal nostro ragionamento classico. La ragione è che l’interazione tra i momenti magnetici in alcuni solidi è determinata da una legge della meccanica
quantistica nota come principio di esclusione di Pauli
(1924): questa legge stabilisce un legame tra proprietà
orbitali
dell’elettrone
atomico
(determinate
dall’interazione elettrica) e le sue proprietà di spin, principali responsabili dell’interazione magnetica. Una conseguenza è che l’orientazione del momento magnetico intrinseco di un elettrone in un atomo o molecola può essere in ultima analisi frutto di una interazione di natura elettrica.
Riassunto
Il magnetismo è un fenomeno complicato, e per certi versi ancora misterioso. Questo capitolo ne ha trattato gli
aspetti principali, iniziando dalla travagliata convivenza
delle equazioni di Maxwell per elettrostatica e magnetostatica: vi sono corrispondenze formali che purtroppo sono diverse dalle corrispondenze fisiche. A chi vuole preservare la simmetrica bellezza delle equazioni di Maxwell, che sembrano ignorare le diversità tra elettricità e
magnetismo, va ricordata la frase di Einstein: “Sottile è il
Signore, ma non malizioso”. Infatti il magnetismo sembra, in più di un senso, qualcosa di sottile: a livello microscopico, le interazioni magnetiche sono sempre trascurabili rispetto a quelle elettriche, anche se i fenomeni
magnetici, molto più di quelli elettrici, sono alla base
290 Capitolo 13
interpretazione certa sull’origine del magnetismo terrestre
e delle sue oscillazioni: questo è un altro degli affascinanti misteri del magnetismo.
Anche se i fenomeni di magnetizzazione della materia
non possono essere spiegati mediante la fisica classica, si
sono usati argomenti intuitivi per stimare l’ordine di
grandezza dei momenti magnetici elettronici e per “spiegare”, in modo volutamente ingenuo, diamagnetismo, paramagnetismo e risonanza magnetica. Per il ferromagnetismo ci si è arresi: secondo noi, non si può neppure fingere di interpretarlo a livello microscopico senza far ricorso
alla meccanica quantistica.
dell’intera elettrotecnica.
La parte centrale del capitolo riguarda il calcolo del
campo magnetico, mediante le formule di Ampère e Laplace/Biot-Savart, e delle forze su correnti e cariche elettriche, mediante la legge dell’induzione di Faraday e la
forza di Lorentz. Con la legge dell’induzione si spiega il
funzionamento dei principali dispositivi magnetici: induttanze, trasformatori, motori e generatori elettrici. Con la
forza di Lorentz si spiega come funzioni lo spettrometro
di massa e come il campo magnetico terrestre riesca a
proteggere la Terra dalla pioggia cosmica di particelle cariche ionizzanti. Ricordiamo però che non vi è ancora una
ESERCIZI RISOLTI ______________________________________________________________
Esercizio R13.1 In un punto della superficie terrestre dove la componente orizzontale del campo magnetico
vale 50 µT, una piccola bussola viene posta orizzontalmente nel centro di un avvolgimento
circolare che appartiene al piano individuato dalla verticale e dalla direzione del Nord magnetico.
g
Nord
Se l’avvolgimento consiste di N = 50 spire e ha raggio r = 40 cm, per quale corrente l’ago
magnetico defletterà di 45° rispetto alla direzione del Nord magnetico?
(A) 0.314 A (B) 0.64 A (C) 0.80 mA (D) 1.56 mA (E) 27.4 mA
Soluzione L’ago della bussola ruoterà di 45° quando il campo prodotto dalla spira, perpendicolare al
piano del disegno, sarà uguale alla componente orizzontale di quello terrestre, BT. Perciò
BT =
µ0 NI
2r
⇒I=
(
)
)
−5
× 0.4
2 BT r 2 × 5 10
=
≈ 0.64 A
−
7
µ0 N
4π 10
× 50
(
Esercizio R13.2 Una spira rettangolare di lunghezza a = 10 cm e altezza b = 5 cm percorsa da una corrente
Is = 5 A è collocata in prossimità di un lungo filo percorso dalla corrente If = 100 A, come indicato nel disegno.
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 291
a = 10 cm
Is = 5 A
b = 5 cm
d = 4 cm
If = 100 A
La risultante delle forze agenti sulla spira vale circa
(A) 0.25 mN (B) 0.11 mN (C) 2.6 mN (D) 3.14 mN (E) 0.14 mN
Soluzione Il lato lungo, prossimo al filo, è attirato verso questo da una forza
f + = aI s Bf ( d ) = aI s
µ 0 If
2π d
mentre quello distante è respinto da
f − = aI s B f (d + b) = aI s
µ0 I f
2π (d + b)
Sui due lati normali al filo agiscono due forze uguali e contrarie, una diretta verso destra e
l’altra verso sinistra. La risultante è diretta verso il filo e vale
f = f + − f − = aI s ( Bf ( d ) − Bf (d + b)) = aI s
=
µ 0 If  1
1 
 −
=
2π  d d + b 
µ0
ab
10 × 5
I f Is
= 2 10 −7 100 × 5
≈ 1.39 10 −4 N
2π
d ( d + b)
4×9
(
)
(
)
(Risposta E)
Esercizio R13.3 Due spire circolari coassiali sono percorse dalla stessa corrente diretta in senso opposto e si
trovano a distanza d = 1 m; il primo avvolgimento consiste di N1 = 360 spire di 20 cm di diametro (r1 = 0.1 m); il secondo avvolgimento ha un diametro di 30 cm (r2 = 0.15 m).
I
I
20 cm
50 cm
50 cm
30 cm
Quante spire N2 deve avere approssimativamente il secondo avvolgimento perché il campo
d’induzione magnetica si annulli nel punto medio della congiungente i centri delle due spire?
(A) 160 (B) 240 (C) 171 (D) 540 (E) 237
Soluzione Il campo magnetico sull’asse di una spira circolare di raggio r a distanza d dal suo centro è
B=
µ 0 NIr 2
3/ 2
2 r2 + d 2
(
)
Il problema si risolve in modo esatto richiedendo l’uguaglianza dei moduli dei due contributi
a B che, lungo l’asse, hanno sempre versi opposti. Semplificando per il comune fattore µ0I/2
si ha
292 Capitolo 13
N 1r12
(r
2
1
+d
2 3/ 2
)
=
N 2 r22
(r
2
2
+d
2 3/ 2
)
⇒ N 2 = N1
(
(r
2
2
r12 r2 + d
r22
2
1
+d
)
)
3/ 2
2 3/ 2
≈ 360 ×
0.01
0142
.
×
≈ 171
0.0225 0.133
Una soluzione approssimata si trova quando r1 e r2 possono essere considerati molto minori
di d; in tal caso basta imporre l’uguaglianza dei momenti magnetici dei due avvolgimenti:
r12
N 1r12 = N 2 r22 ⇒ N 2 = N 1 2 = 160
r2
Sono perciò accettabili sia la risposta C sia la A, anche se in questo caso la A non è una approssimazione “ottimale”.
Esercizio R13.4 La spira triangolare della figura giace nel piano zy ed è percorsa da una corrente I = 30 A nel
verso indicato mentre è immersa in un campo di induzione magnetica B = 10i (T).
A(0, 0.3)
y
I
B
x
ϑ
O(0, 0)
B(0.4, 0)
Se |OA| = 0.3 m e |OB| = 0.4 m, la spira è sottoposta a una coppia Mj con M pari a (in N⋅m)
(A) 90 (B) −18 (C) 36 (D) −36 (E) 180
Soluzione La forza sul lato OA ha modulo |OA|IB = 0.3 × 30 × 10 = 90 N ed è diretta nel verso entrante
nel foglio. La forza su AB vale in modulo |AB|IBsinϑ = |OA|IB = 90 N ed esce dal piano del
foglio. La forza su BO è nulla. Si noti che la risultante delle forze agenti su una spira chiusa
in campo magnetico uniforme è sempre nulla. Le forze agenti su OA e AB si possono pensare
applicate ai punti medi di questi lati, i quali sono distanti |OB|/2 = 0.2 m. Perciò il momento
della coppia vale 90 × 0.2 = 18 N⋅m ed è diretto nel verso negativo dell’asse y. La risposta è
perciò B:
M = −18j (N⋅m)
Esercizio R13.5 Una spira rettangolare è posta su un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. Un lato
orizzontale della spira è fisso e ha lunghezza l = 50 cm; l’altro lato orizzontale è costituito da
una barra conduttrice di m = 0.1 kg che può scivolare senza attriti sul piano.
z
B
I
y
l
30°
x
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 293
Se il circuito è immerso in un campo magnetico B = −0.8k (T) diretto come la verticale discendente, per quale valore della corrente I nella spira la barra mobile resterà ferma?
(A) 1.4 A (B) 3.2 A (C) 4.8 A (D) 9.8 A (E) 31.4 A
Soluzione La forza magnetica fm sulla barra è diretta come l’asse delle y e vale in modulo fm = IlB ; la
sua componente lungo il piano inclinato, fmcos30°, deve essere uguale alla componente della
forza di gravità, fg = −mgk, lungo il piano inclinato:
f g sin 30° = f m cos 30° ⇒ mg sin 30° = IlB cos 30° ⇒
⇒I=
mg
01
. × 9.8
1
tan 30° =
×
≈ 14
. A
lB
0.5 × 0.8
3
Esercizio R13.6 La candela di un motore a scoppio è alimentata attraverso un avvolgimento, di resistenza
trascurabile, costituito da 7000 spire su un cilindro ferroso di raggio r = 1 cm in cui il campo
d’induzione magnetica B viene portato da 1 T a 0.1 T in ∆t = 0.2 ms. Il valore medio della
differenza di potenziale ai capi dell’avvolgimento è di circa
(A)1.4 V (B) 10 V (C) 100 V (D) 103V (E) 104 V
Soluzione Si applica la legge di Faraday a una spira:
fem =
∆B π r 2 0.9 × π × 0.012
∆Φ
=
=
= 1414
.
V
∆t
∆t
0.2 10 − 3
( )
e si moltiplica per il numero delle spire ottenendo circa 9896 V, ossia circa 104 V.
Esercizio R13.7 Una striscia di metallo di spessore s = 0.2 mm e larghezza d = 1 cm è percorsa da una corrente I = 0.5 A.
B
J
z
s
d
x
y
Sapendo che la corrente elettrica è prodotta da elettroni (q = e =1.6 × 10−19 C) e che, quando
la striscia è posta in un campo magnetico uniforme e perpendicolare B = 0.3 T, sulla sua larghezza si misura una tensione, detta tensione di Hall VH = 0.2 mV, stimare la densità di elettroni mobili n (in numero di elettroni mobili per m3).
(A) 3.75(106)
(B) 6.02(1023)
(C) 2.34(1025)
(D) 3.14(1024)
(E) 980
Soluzione Occorre collegare la tensione VH alla forza di Lorentz sulle cariche q in moto con velocità v e
la corrente I alla velocità e densità delle cariche mobili:
294 Capitolo 13
f = qE = qvB ⇒ VH = Ed = vBd 

I
 ⇒
I = Jds, J = n ev ⇒ v=
dsne

BI
0.3 × 0.5
⇒ ne =
=
= 3.75 10 6 C / m 3
sVH 2 10 − 4 × 2 10 − 4
(
) (
( )
)
da cui: n ≈ 2.34 (1025) elettroni/m3.
Esercizio R13.8 Un anello di alluminio (µr ≈ 1) è coassiale con un cilindro di ferro (µr ≈ 500) orizzontale
coperto di vernice isolante su cui sono avvolte 500 spire di rame smaltato.
z
y
x
anello
L’anello di alluminio è inizialmente nella posizione della figura quando l’avvolgimento viene
chiuso su un alimentatore che, per un osservatore diretto come l’asse y, produce una corrente
circolante in senso antiorario nell’avvolgimento. Tra le seguenti affermazioni sono vere
(A) l’anello comincia a ruotare in senso orario
(B) l’anello comincia a ruotare in senso antiorario
(C) l’anello non si sposta né ruota
(D) l’anello tende a spostarsi verso destra
(E) l’anello tende a spostarsi verso sinistra
Soluzione Per la legge dell’induzione elettromagnetica, nell’anello di alluminio si genera una corrente di
senso opposto a quella dell’avvolgimento; anello e avvolgimento si respingono perché percorsi da correnti in versi opposti e l’anello viene spinto verso destra.
Esercizio R13.9 Una spira con raggio r = 8 cm e una resistenza R = 10−3 Ω è inizialmente in un piano perpendicolare a un campo magnetico uniforme e costante con B = 0.5 T. Se la spira viene ruotata di
90° attorno a un suo diametro, quanta carica elettrica fluirà complessivamente attraverso un
settore della spira?
(A) 10 nC (B) 10 µC (C) 10 mC (D) 10 C (E) 105 C
Soluzione La carica che fluisce quando, nell’intervallo di tempo dt, il flusso concatenato cambia di dΦ è
I=
dΦ
fem 1 dΦ
=
⇒ dQ ≡ Idt =
⇒
R
R dt
R
⇒ Qtot =
Φ in − Φ fin
R
=
π r2B
R
=
π × 0.08 2 × 0.5
(
1 10 −3
)
≈ 10 C
Il risultato vale in generale: la quantità di carica che fluisce non dipende dai dettagli del moto ma solo dal cambio di flusso magnetico e dalla resistenza del circuito.
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 295
Esercizio R13.10 Una spira rettangolare di altezza l = 40 cm è completata da un contatto mobile che viene
spostato verso destra alla velocità costante di v = 3 m/s.
B = 0.2 T
40 cm
3 m/s
3Ω
Se il piano della spira è perpendicolare a un campo d’induzione magnetica uniforme
B = 0.2 T e la resistenza complessiva della spira è R = 3 Ω, la forza necessaria per spostare il
contatto mobile è pari a
(A) 0.24 N (B) 0.08 N (C) 3.14 mN (D) 6.40 mN (E) 9.80 mN
Soluzione La fem generata ai capi della barra è fem = Blv = 0.2 × 0.4 × 3 = 0.24 V e la corrente indotta
nella spira, in senso antiorario, è I = fem/R = 0.08 A. La forza è
IlB = 0.08 × 0.4 × 0.2 = 6.4 mN
Esercizio R13.11 Per rivelare le vibrazioni di un macchinario si collega a questo un avvolgimento quadrato,
lato medio l = 5 cm, costituito da N = 1000 spire e posto per circa la metà tra i poli di un magnete permanente dove B = 0.3 T.
B
z
x
y
Se i terminali dell’avvolgimento vanno a un oscilloscopio che consente di stimare al massimo
una fem di 0.5 mV, qual è approssimativamente la minima velocità di spostamento rilevabile?
(A) 1 m/s (B) 33 mm/s (C) 1 mm/s (D) 33 µm/s (E) 10 µm/s
Soluzione Se la spira si sposta con velocità v, la fem indotta e la minima velocità rilevabile sono
(
)
0.5 10 −3
fem
fem = NlvB ≥ 0.5 mV ⇒ v =
≥
≈ 33 µm/s
NlB 1000 × 0.05 × 0.3
Esercizio R13.12 Una bobina con una induttanza L = 0.2 H viene inserita in un circuito a corrente continua con
tempo caratteristico L/R molto maggiore di 1 s. Dopo 0.3 s dal collegamento, la tensione ai
capi della bobina è 6 V. Qual è l’energia immagazzinata in quell’istante nella bobina?
296 Capitolo 13
(A) 27 J (B) 16.2 J (C) 9.8 J (D) 8.1 J (E) 3.14 J
Soluzione Si usano le equazioni
fem = L
∆I
fem
⇒ I (t ) =
∆t
∆t
L
e
E=
1 2 fem 2 ∆t 2 6 2 × 0.32
LI =
=
= 8.1 J
2
2L
2 × 0.2
Esercizio R13.13 Nel circuito della figura seguente R = 15 Ω, L = 0.15 H e V = 6 V. Quale deve essere il valore
di C affinché, dal momento della chiusura dell’interruttore in poi, dalla batteria fluisca una
corrente costante I = 0.4 A se prima della chiusura nella maglia RLC non fluiva alcuna corrente?
(A) 10 mF (B) 667µF (C) 333 µF (D) 10 µF (E) 67 nF
R
L
R
C
V
Soluzione Le correnti nel ramo RL e in quello RC, dal momento della chiusura del contatto con la batteria, sono date da
IL =

−
V
1− e
R

IC =
V −
e
R
R 
t
L 


t
RC
Perciò, la corrente complessiva IL + IC è costante se le due funzioni esponenziali hanno la
stessa costante di tempo, ossia se la crescita della corrente IL è esattamente compensata dalla
diminuzione di IC
1
015
R
L
.
=
⇒C=
=
= 667 µF
2
L RC
R
152
Esercizio R13.14 Un toroide ha una circonferenza media lunga l = 60 cm ed è costituito da ferro con permeabilità relativa µr = 500 su cui sono avvolte N = 300 spire che portano una corrente I = 0.2 A.
L’induzione magnetica nel toroide vale
(A) 0.314 T (B) 0.0628 T (C) 31.4 mT (D) 15.7 mT (E) 6.28 mT
Soluzione Poiché tutto il percorso delle linee di flusso di B è all’interno di un mezzo di permeabilità µr,
la formula da usare è quella di un solenoide con N/l spire per metro e permeabilità µr:
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 297
B = µ0 µ r
N
300
I = 4π (10 − 7 ) × 500 ×
× 0.2 = 0.0628 T
l
0.6
Esercizio R13.15 Con riferimento al problema precedente, si supponga di tagliare un settore di lunghezza media l1 = 5 cm nel toroide di ferro e riempirlo con materiale avente permeabilità magnetica relativa pari a 1 (per esempio, aria).
l1
Il campo di induzione magnetica ora vale all’incirca
(A) 56.5 mT (B) 31.4 mT (C) 6.28 mT (D) 3.14 mT (E) 1.48 mT
Soluzione Poiché il settore di toroide tagliato è piccolo, si può assumere che le linee di flusso di B seguano anche nell’interruzione il percorso circolare seguito nel ferro, e che quindi B abbia lo
stesso valore nel ferro e nel materiale non ferromagnetico. Lungo il percorso della mediana
del toroide, un tratto l2 = (60 − 5) cm = 55 cm è percorso in ferro e il resto in aria. Per il teorema di Ampère:
B
µ0
l1 +
B
µ0 µ r
l2 = NI ⇒ B = µ 0
NI
300 × 0.2
= 4π (10 − 7 ) ×
≈ 148
. mT
l1 l2
0.55
0.05 +
+
500
1 µr
Indicata con A l’area della sezione del toroide e con Φ = BA, il flusso di B attraverso tale sezione, l’equazione precedente si riscrive:
Φ
l1
l2
+Φ
= NI
Aµ 0
Aµ 0 µ r
La quantità l1/Aµ0 è detta riluttanza magnetica del tratto in aria, la quantità l2/Aµ0µr è la riluttanza del tratto nel ferro; la somma delle due riluttanze è la riluttanza complessiva del circuito. NI è chiamata forza magnetomotrice. Questa equazione esprime perciò la relazione
flusso di B × riluttanza = forza magnetomotrice
analoga alla legge di Ohm per un circuito
corrente × resistenza = forza elettromotrice
Si noti che la riluttanza si compone in serie e parallelo con le stesse regole della resistenza. In
particolare, due tratti consecutivi (in serie) di un circuito magnetico (che portano perciò lo
stesso flusso magnetico) danno complessivamente una riluttanza che è la somma delle riluttanze dei due tratti.
ESERCIZI PROPOSTI____________________________________________________________
298 Capitolo 13
Esercizio 13.1 Una bobina circolare di N = 200 spire e di raggio r = 5 cm crea un campo magnetico con
B = 1 mT al suo centro. La corrente che percorre l’avvolgimento è di circa
(A) 0.2 A (B) 0.4 A (C) 0.001 A (D) 80 A (E) 160 A
Esercizio 13.2 Un solenoide in aria di lunghezza l = 20 cm è costituito da N = 500 spire di 3 cm di diametro.
L’induzione magnetica nel suo interno quando I = 5 A vale circa
(A) 3.14 mT (B) 6.28 mT (C) 15.7 mT (D) 628 mT (E) 9.8 T
Esercizio 13.3 Un avvolgimento quadrato di lato l = 10 cm composto da N = 60 spire e percorso da una
corrente antioraria Is = 20 A giace in un piano a cui appartiene anche un filo percorso da una
corrente di If = 5 A a una distanza di 10 cm dal centro dell’avvolgimento e avente la stessa direzione e verso della corrente nel lato prossimo dell’avvolgimento.
10 cm
10 cm
Le forze magnetiche sull’avvolgimento hanno momento lungo il filo pari a (in N⋅m)
(A) 4.8(10−4) (B) 2.4(10−4) (C) 1.2(10−4) (D) 0.8(10−4) (E) 0
Esercizio 13.4 Il campo magnetico terrestre all’Equatore vale circa B ≈ 50 µT ed è diretto verso Nord. Su un
tratto di filo lungo l = 2 m percorso da una corrente I = 40 A diretta da Est a Ovest si esercita
una forza di
(A) 4 mN verso il basso
(B) 0 N
(C) 2 mN verso l’alto
(D) 4 mN verso l’alto
(E) 4 mN verso Nord
Esercizio 13.5 Un avvolgimento rettangolare di 2 × 6 cm costituito da N = 200 spire è percorso da una corrente I = 50 mA ed è immerso in un campo magnetico uniforme B = 7 T diretto parallelamente al lato lungo 6 cm. La coppia agente sull’avvolgimento vale (in N⋅m)
(A) 0.042 (B) 0.14 (C) 3.14 (D) 0.50 (E) 0.084
Esercizio 13.6 Un protone (q = +e, m = 1.67 × 10−27 kg) con una velocità iniziale di
v = 4(106 m/s)i + 4(106 m/s)j
entra in una zona dove vi è un campo magnetico uniforme B = 0.3i (T). La traiettoria del protone sarà un’elica con passo (= avanzamento per ogni giro) di
(A) 21 m (B) 3.14 m (C) 1.7 m (D) 0.87 m (E) 98 mm
Magnetostatica e induzione elettromagnetica 299
Esercizio 13.7 Una barra di metallo di lunghezza l = 0.5 m ruota attorno a uno dei suoi estremi alla frequenza ν = 5 Hz in un campo magnetico uniforme e costante perpendicolare al piano di rotazione
con B = 0.4 T. La differenza di potenziale agli estremi della barra vale circa
(A) 3.14 V (B) 1.57 V (C) 0.628 V (D) 0.412 V (E) 31.4 mV
Esercizio 13.8 Quando una barra conduttrice di lunghezza l = 0.9 m viene spostata con una velocità
v = 5 m/s in un campo magnetico perpendicolare alla barra e agli estremi si misura una
fem = 3.1 V il valore del campo magnetico è circa
(A) 0.93 T (B) 17.2 T (C) 3.44 T (D) 0.69 T (E) 0.314 T
Esercizio 13.9 Una bobina con induttanza L = 0.3 H e resistenza R = 1 Ω è collegata a una batteria con
fem = 12 V. A che velocità cambia la corrente nell’induttanza quando la corrente circolante è
di 10 A? (arrotondare all’intero più vicino)
(A) 12 A/s (B) 10 A/s (C) 7 A/s (D) 2 A/s
(E) 0 A/s
Esercizio 13.10 La corrente in un circuito diminuisce da 21 A a 0 A in un tempo ∆t = 3 ms. Se nel circuito si
misura, in tale tempo, una fem media di 220 V, la sua induttanza vale circa
(A) 3500 H
(B) 0.66 H (C) 31.4 mH (D) 0.29 mH (E) 0.65 µH
Esercizio 13.11 Un circuito consiste di una batteria da 12 V alla quale sono connessi in serie un interruttore,
una resistenza R = 15 Ω e un’induttanza L = 20 mH.
L
R
Nell’istante in cui l’interruttore viene chiuso, la corrente circolante nel circuito è
(A) 0.8 A (B) 0.016 A (C) 0.0016 A (D) 0 A (E) indeterminata
Esercizio 13.12 Un voltaggio oscillante di 220 V efficaci e 50 Hz è applicato a una resistenza R = 40 Ω in
serie a una induttanza L = 0.2 H. La potenza dissipata nella resistenza è di circa
(A) 1210 W (B) 350 W (C) 24 W (D) 605 W (E) 0 W
Esercizio 13.13 Un’induttanza in serie a una resistenza R = 100 Ω è collegata a una presa elettrica
(Vrms = 220 V, ν = 50 Hz). Se un voltmetro legge una caduta di tensione efficace ai capi della
resistenza di 158 V, l’induttanza vale circa
(A) 0.1 H (B) 0.2 H (C) 0.3 H (D) 0.4 H (E) 0.5 H
Esercizio 13.14 Un solenoide di lunghezza d = 10 cm è costituito da N = 500 spire circolari in aria aventi
raggio medio r = 6 cm. La sua induttanza L vale all’incirca
300 Capitolo 13
(A) 3 H (B) 3.77 µH (C) 36 mH (D) 3.14 mH (E) 128 µH
Esercizio 13.15 Un solenoide di lunghezza d = 50 cm è costituito da N = 1000 spire avvolte su un supporto
cilindrico di ferro (µr = 500) di raggio r = 15 cm. La sua induttanza è pari a circa
(A) 980 H (B) 89 H (C) 0.593 H (D) 31.4 mH (E) 22.5 mH