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Indice
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Introduzione pag. 3
Cenni storici pag. 3
Applicazioni pag. 5
3.1. Interessi degli investimenti pag. 5
3.2. Geologia, archeologia e decadimento
radioattivo pag. 6
3.3. Biologia e sostenibilità: la crescita esponenziale,
modello malthusiano e modello logistico pag. 8
3.4. Magnitudine delle stelle e legge di WeberFechner pag. 12
Estensione di ex nel campo complesso pag. 13
Conclusioni pag. 15
Bibliografia pag. 15
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1. Introduzione
Ritengo di dover preliminarmente motivare la scelta di questo argomento molto tecnico,
ma nello stesso tempo caratterizzato dal fascino innegabile del calcolo infinitesimale e
delle sue applicazioni a gran parte della scienza moderna.
La matematica ha una storia che risale al 2000 a.C. quando gli Egiziani e i Babilonesi
crearono la base di una metodica speculativa condotta sul piano razionale dalla civiltà
Greca e specialmente per opera della Scuola Pitagorica (V° secolo a.Ch.) che pose la
scienza dei numeri come fondamento di ogni conoscenza della natura. La traccia delle
argomentazioni di Euclide e del grande siracusano Archimede si ritrova nei secoli
successivi anche grazie ai contatti con il mondo arabo che restituisce all’Europa i testi
della scienza greca arricchiti dall’influenza degli Indiani ai quali è dovuto il sistema di
numerazione decimale che permette di scrivere qualsiasi numero mediante nove cifre e lo
zero.
I grandi algebristi del periodo Rinascimentale (Leonardo da Vinci, Tartaglia, Cardano e in
Francia Descartes) consentono, ad esempio, a Galileo di iniziare lo studio dei problemi del
moto con metodi matematici avviando quella meccanica che tanta parte occupa nella
civiltà dei secoli successivi, fino ai nostri giorni.
Nel lavoro e nella ricerca che ho svolto, entrando nello specifico della mia scelta, vorrei
cimentarmi nel dimostrare come la matematica non sia dominio esclusivo di “addetti ai
lavori” ma patrimonio di tutta l’umanità, responsabile anche del suo futuro se non si
perde di vista il concetto di ARMONIA che regola la vita di tutti gli esseri e del cosmo
nelle sue molteplici manifestazioni, persino a livello siderale.
La ricerca si sofferma in quelli che sono i modelli matematici più rappresentativi che sono
serviti nella storia a descrivere relazioni non lineari di crescite e decadimenti, che
dipendono da variabili sia interne che ambientali.
I matematici percepirono l’esistenza di un numero dalle caratteristiche particolari, che
rappresentava la base “naturale” della funzione esponenziale, la crescita più semplice di
tutte.
Cosa rende così affascinante il misterioso numero di Nepero e, tanto da coinvolgere nel
suo studio le menti matematiche più brillanti? Cercherò allora di far vedere come questo
numero interviene in molti ambiti e applicazioni: dall'economia, alla biologia, alla
geologia, alla archeologia, alla bio-chimica e alla sostenibilità ambientale; nonostante
esso non sia molto noto all’infuori dell’ambiente matematico.
2. Cenni storici
Durante il XVI secolo diversi matematici si occuparono della relazione che intercorreva
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tra iperboli e logaritmi. Tra di essi possono essere citati il gesuita belga Grégoire de Saint
Vincent (Prologomena a Santo Vincento, Opus geometricum quadraturae circuli et
sectionum coni (1647),
Vera circuli et hyperbolae quadratura (1667)), l’olandese
Christiaan Huygens che pur riconoscendo il lavoro di de Saint Vincent rivendicò per sé la
scoperta di tale relazione, Mercatore, Newton e infine Leibniz.
I logaritmi erano già noti al tempo grazie al lavoro del matematico scozzese John Naiper
(Mirifici Logarithmorum Canonis Description (1618)) che studiò un modo di
semplificazione dei calcoli matematici; all'epoca infatti non esistevano macchine per il
calcolo ed i calcoli necessari ad esempio all'astronomia erano molto lunghi e complicati.
I matematici che si occuparono dello studio dell’andamento dell’area sottesa all'iperbole
equilatera, partendo da x=1 fino ad una retta verticale con ascissa variabile, osservarono
che esso era di tipo logaritmico, ma non prestarono particolare attenzione alla base del
logaritmo. La base del logaritmo iperbolico è quell’ascissa che stacca un segmento
iperbolico di area 1. Fu Leonhard Euler che introdusse il numero e: "scribitur pro numero
cujus logarithmus est unitas e, qui est 2.7182817...." nella sua opera Meditatio in
Experimenta explosione, pubblicata postuma nel 1862 e ne diede una prima
rappresentazione nell'opera Introductio in Analysin infinitorum nella forma
Il numero e compare anche negli studi di Jacob Bernoulli, in uno scritto datato 1683 e
dedicato allo studio dell’interesse composto, un problema frequente all’epoca ed in una
lettera che il matematico e filosofo Gottfried Wilhelm von Leibniz scrisse a Huygens.
Bisognerà tuttavia aspettare circa un secolo affinché qualcosa di nuovo sia provato
relativamente a questo numero: Hermite nel suo lavoro Sur la fonction exponentielle
(Parigi, 1874) provò infatti che esso non è algebrico, cioè non è radice di nessuna
equazione polinomiale a coefficienti interi. I numeri, tra cui e, che appartengono a
questo insieme si chiamano “numeri trascendenti”.
Nel 1935 la rivista "Sapere" propose un concorso chiedendo ai lettori di inventare una
poesia per ricordare il numero di Nepero. Fra le più apprezzate ci fu:
Ai modesti o vanitosi
ai violenti o timorosi
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do, cantando gaio ritmo,
logaritmo...
3. Applicazioni
3.1) Interessi degli investimenti:
Il problema che studiò Bernoulli e che gli permise di rivelare l’esistenza e approssimare il
numero e è relativo all’interesse composto degli investimenti.
Supponiamo di depositare in banca una somma S di denaro e che ogni anno venga
calcolato sul capitale versato un interesse del 100% annuo; alla fine del primo anno il
deposito sarà pari a 2S. Ma se l’interesse viene calcolato in semestri, cioè viene pagato
un interesse del 50% ogni sei mesi, a fine anno il deposito sarà maggiore di 2S, ottenuto
considerando l'interesse una sola volta all'anno. Il motivo è che anche l’interesse di metà
anno è diventato parte del montante su cui poi è stato calcolato il secondo interesse. Un
po’ come nella crescita di una popolazione, dove anche i nuovi nati contribuiranno a loro
volta alla creazione di altri individui. Per calcolare quanto abbiamo ottenuto in più
procediamo in questo modo:
Dopo sei mesi si otterrà la somma di
e a fine anno si aggiungerà l’interesse
calcolato su quest’ultima somma, cioè si avrà
.
In generale, facendo opportuni calcoli, ci si accorge che se n è il numero di suddivisioni
dell’anno in cui l’interesse viene calcolato e composto, il denaro a fine anno ammonterà a
(1+1/n)n S.
È naturale chiedersi quanto buono sarebbe il nostro investimento se facessimo diventare
infinito il numero di volte in cui l'interesse è composto in un anno.
n
1
2
3
4
10
100
1.000.000
(1+1/n)n
2
2,25
2,370370370
2,44140625
2,593742460
2,704813829
2,718280469
Bernoulli usò il Teorema del Binomio per studiare proprio questo limite:
e dedusse che esso è un numero finito tra 2 e 3; questa è la prima approssimazione del
numero e.
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Euler dimostrò che le seguenti due uguaglianze erano verificate:
il che aiutò fortemente i primi calcoli delle sue cifre.
3.2) Geologia, archeologia e decadimento radioattivo
Gli atomi di cui è composta la materia presentano un nucleo di neutroni e protoni attorno
al quale orbitano gli elettroni. I protoni nel nucleo tendono a respingersi per via
dell’interazione elettromagnetica che dà luogo ad una forza di Coulomb tra le loro cariche
positive, ma a tenerli insieme e assicurare la struttura del nucleo incorre un’altra delle
forze fondamentali, quella “nucleare forte”, che è 100 volte maggiore della prima.
Un piccolo nucleo è generalmente stabile quando il numero di protoni (Z) è uguale al
numero di neutroni, ma se ci si sposta verso nuclei più grandi c’è un bisogno ulteriore di
neutroni che intensifichino la forza nucleare forte per far fronte a quella elettromagnetica
sempre crescente.
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Quando un nucleo però presenta un alto numero di particelle, e ciò si verifica almeno per
numeri atomici Z>83 (Polonio), le forze attrattive non riescono più in nessun modo a
bilanciare le forze repulsive e il nucleo può decadere in uno più stabile, emettendo
particelle ed energia (conservazione massa/energia e quantità di moto).
I tipi di decadimento radioattivo principali sono tre: emissione di particelle alfa,
emissione di particelle beta, emissione di radiazioni gamma. In questa classificazione le
radiazioni sono ordinate per pericolosità per l’uomo: le particelle alfa non penetrano quasi
nessuna superficie solida, essendo nuclei di elio; le particelle beta sono semplicemente
elettroni, quindi molto meno massive delle alfa e infine le gamma sono onde
elettromagnetiche ad altissima frequenza.
Madame Curie notò che l’emissione radioattiva di un materiale era direttamente
proporzionale alla quantità di materiale radioattivo (nel suo caso di Uranio) presente nel
campione e che quindi l’elemento radioattivo dimezzasse in quantità in un tempo fisso,
chiamato tempo di dimezzamento.
Il fatto che in natura esistono elementi radioattivi con periodo di dimezzamento noto
consente di datare avvenimenti accaduti da poche centinaia a qualche migliaio di anni fa.
Il carbonio-14 o radiocarbonio è uno dei più importanti: è composto da 6 protoni e 8
neutroni ed è un isotopo radioattivo del carbonio nel quale nucleo attraverso il
decadimento β un suo neutrone si trasforma in un protone liberando un elettrone e un
neutrino, facendolo diventare un atomo di azoto. Willard Libby, verso la fine degli anni 40
scoprì il tempo di dimezzamento del Carbonio-14 (5730 anni) e con esso ideò e mise a
punto il metodo di datazione di reperti organici, che gli valse il Nobel nel 1960.
Con il metodo del Carbonio-14 è possibile datare tracce e resti umani, animali, fibre
vegetali, strutture in legno e tutti quei reperti fossili e archeologici che conservano una
traccia di carbonio.
Dato che il Carbonio-14 si forma e decade continuamente, si può supporre costante nel
tempo la sua abbondanza relativa rispetto al carbonio-12.
Le piante assorbono dall'aria indistintamente Carbonio-14 e Carbonio-12 e con esse
anche gli esseri viventi che si cibano di queste piante. La proporzione dei due isotopi del
carbonio resta costante fino al momento della morte dell'organismo. Da quel momento
cessa l'interazione con la biosfera e, non essendoci nuovo apporto, il carbonio-14 inizia a
decadere. Misurando la quantità di Carbonio-14 rimasto è stato possibile datare eventi
geologici a partire dall'ultima glaciazione.
Spieghiamo ora più in dettaglio la legge matematica che governa il decadimento
radioattivo:
sia N(t) la funzione che determina il numero di atomi ancora non decaduti fino all’istante
t. Dopo un certo intervallo di tempo ∆t un certo numero di atomi ∆N è decaduto e quindi
il numero N di atomi, ancora attivi all’istante t, è diminuito della quantità ∆N.
Questa quantità ∆N è proporzionale al numero N di atomi non decaduti (dimezzando il
numero di atomi che possono decadere, dimezzeranno anche i decadimenti).
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La costante di proporzionalità si indica con la lettera λ, si chiama “costante di
decadimento” ed è propria di ogni elemento e isotopo radioattivo.
L’equazione differenziale quindi impostata ha come soluzione una equazione che
rappresenta un decadimento esponenziale, dove compare il numero e.
3.3) Biologia e sostenibilità: La crescita esponenziale, modello malthusiano e modello
logistico
Molti altri processi naturali riguardano grandezze che aumentano o diminuiscono con una
rapidità proporzionale al loro valore: ad esempio la massa di una coltura di batteri che si
sviluppano in un ambiente nutritivo adeguato.
Tutte le funzioni il cui tasso di crescita è direttamente proporzionale al valore della
funzione stessa, sono crescite (o decadimenti) esponenziali. Più questo valore è alto, più
la funzione crescerà o decrescerà rapidamente nelle ascisse successive, che genereranno
a loro volta crescite o decrescite maggiori.
Facile capire quindi anche intuitivamente che la funzione presenta una monotonia,
crescente oppure decrescente a seconda della situazione considerata e che essa tende a
infinito o a zero molto più rapidamente di ogni altra funzione.
Con il calcolo differenziale abbiamo visto che la forma generale della funzione è:
Dove x0 è il numero iniziale di individui o oggetti all’istante t=0 e k è la costante di
crescita.
L’esempio per eccellenza, oltre al decadimento radioattivo già visto, in cui viene usata
questa funzione è il modello dell’inglese Thomas Robert Malthus (1766-1834) di crescita
di una popolazione. È il primo e più semplice modello di dinamica delle popolazioni della
storia e compare nel suo “Saggio sui principi della popolazione” del 1798.
Secondo il modello che abbiamo enunciato prima, la crescita della popolazione dipende
dal numero di individui presenti in un certo istante perché, più possibili genitori ci sono,
più figli all’anno potrebbero nascere.
Per fare un esempio si pensi ad un modello discreto, in cui una colonia formata
inizialmente da N0 batteri ha un tasso netto di crescita (cioè differenza tra natalità e
mortalità) costante e positivo, in cui ogni istante ogni batterio dà vita ad un altro
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batterio. Sia Nt il numero di batteri in un certo istante di tempo t, allora vale la relazione:
I termini di questa successione ricorsiva crescono in progressione geometrica, poiché il
rapporto tra un termine e il precedente, chiamato ragione e indicato con q, è sempre
constante e in questo caso è 2:
N0, 2N0, 4N0, 8N0, ....
La legge per calcolare il termine t-esimo di questa progressione, e quindi per calcolare il
numero di individui presenti nell’istante t è quindi:
Se consideriamo intervalli di tempo sempre più piccoli, possiamo portare il modello dal
discreto al continuo, arrivando quindi ad ottenere una crescita esponenziale. Infatti
ponendo k = ln(q) -> q = ek, la funzione diventa:
Dove k è il potenziale biologico o tasso di crescita della popolazione. Per k<0 la
popolazione tende ad estinguersi, per k=0 essa rimane costante, e per k>0 la
popolazione tende a crescere in modo repentino come nell’esempio dei batteri.
Quello che preoccupava Malthus era questa pericolosa e vertiginosa crescita della
funzione.
Nel suo testo sostenne che l’incremento demografico avrebbe spinto a coltivare terre
sempre meno fertili con conseguente penuria di generi di sussistenza per giungere
all’arresto dello sviluppo economico, poiché la popolazione tenderebbe a crescere in
progressione geometrica, cioè esponenziale, quindi più velocemente della disponibilità di
alimenti, che crescono invece in progressione aritmetica e ne segue che l’aumento delle
risorse non riesce a tenere il passo con la crescita della popolazione.
“Posto che la popolazione attuale ascenda a 1000 milioni, la razza umana crescerebbe
secondo i numeri 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, e i viveri secondo i numeri 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9. In due secoli la popolazione si troverebbe, rispetto ai viveri, come 256 a 9;
in tre secoli, come 4096 a 13; in duemila anni la differenza sarebbe quasi impossibile a
calcolarsi.”
Malthus prevede dunque gli scenari peggiori per il futuro dell’umanità, dando il via alla
corrente pessimistica del malthusianesimo, favorevole a frenare la naturale crescita della
popolazione attraverso per esempio l’astensione dal matrimonio. Malthus si fa precursore
e ispiratore della teoria evoluzionistica di Charles Darwin, volendo lasciare intatto il
naturale principio secondo cui i forti prevalgono sui deboli, lasciando entrambi liberi e
privi di qualunque assistenza, in modo tale da colmare il divario tra le risorse per la
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sussistenza e la crescita demografica.
La teoria però prevede qualcosa che in realtà non avviene, perché se le popolazioni
effettivamente seguissero il modello maltusiano di crescita, oggi non ci sarebbe più
spazio nell’intero universo per accogliere per esempio le colonie batteriche che si
riproducono, tale è la rapidità con cui esse dovrebbero essere arrivate a crescere.
Cos’è quindi che impedisce il verificarsi di tali situazioni di sovrappopolazione estrema?
La verità è che nessuna popolazione potrà mai mantenere a lungo una crescita
esponenziale, perché interverranno a rallentarla i limiti imposti dall’ambiente, i quali
faranno aumentare il tasso di mortalità e diminuiranno quello di natalità.
Si pensi sempre alla colonia batterica, la quale ad un certo punto della sua crescita
esponenziale comincerà a risentire della limitatezza dello spazio e delle sostanze
nutritive. Più individui ci sono in un ambiente e meno cibo e spazio sarà disponibile per
ciascuno, in alcuni casi inoltre una sovrabbondanza di individui attira un numero
maggiore di predatori e una popolazione densa favorisce il diffondersi di malattie. Tutti
questi fattori contribuiscono ad aumentare il tasso di mortalità in modo proporzionale al
numero degli individui presenti.
Le proporzionalità ora che intercorrono nella nuova funzione, che per semplicità
consideriamo discreta, sono quella del modello malthusiano e quella del tasso di
mortalità:
Il tasso di crescita è la differenza tra il tasso di natalità (r) e quello di mortalità (m):
La quale si può scrivere semplicemente in modo ricorsivo:
Ponendo in un grafico la successione ottenuta si vede come effettivamente, durante le
prime fasi caratterizzate da una abbondanza di risorse, la crescita segue quasi un
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andamento esponenziale, ma all’aumentare del tempo la funzione presenta un flesso e
comincia a decrescere, avvicinandosi asintoticamente a quella che viene chiamata
“capacità portante dell’ambiente”, rappresentata dalla retta orizzontale di altezza y=r/p.
Nel caso del grafico sopra sono stati presi i seguenti valori r=1/2, p=1/1000 e N 0=1
Questo modello, che tiene conto dei fattori ambientali che limitano la crescita della
popolazione, è detto “di crescita logistica” e fu proposto dal matematico belga Pierre
Verhulst nel 1837.
Il modello di crescita logistica riflette appieno quello che viene chiamato dai demografi il
fenomeno della transizione demografica, cioè il passaggio dal regime demografico
tradizionale, basato su alti livelli sia di natalità sia di mortalità, soprattutto infantile, al
regime demografico moderno, che è viceversa caratterizzato dai bassi livelli sia delle
nascite sia dei decessi.
La prima fase della transizione demografica, cioè un intenso e prolungato aumento della
popolazione, iniziò in Europa occidentale nella seconda metà del Settecento e si estese
all’Europa orientale e meridionale nel secondo Ottocento.
Tale aumento fu dovuto al fatto che la natalità rimase alta ma la mortalità diminuì, a
causa della scomparsa della peste, dell’aumento delle risorse alimentari, poi delle
migliorate condizioni igieniche delle città: queste cause erano in gran parte legate alle
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rivoluzioni agricola, industriale e dei trasporti, e ciò spiega la precocità della transizione
in Inghilterra e nell’Europa nord-occidentale, rispetto al resto del continente.
Il declino della mortalità in Europa è stato un fenomeno di lungo corso, che ha riguardato
molte differenti generazioni e con un’alta natalità e una mortalità in calo, la popolazione
europea aumentò molto e rapidamente tra l’Ottocento e il 1914, tanto che in quel
periodo 50 milioni di europei emigrarono verso le Americhe e l’Australia.
Si è visto come, anche matematicamente parlando, con un tasso di crescita positivo la
popolazione cresce molto rapidamente e in modo esponenziale, e dato che questo
accadde proprio negli anni in cui Malthus fece le sue osservazioni, probabilmente lo portò
a non considerare l’effettiva esistenza di un limite ambientale e che la crescita non si
sarebbe mai arrestata.
Ma dato che si sa che nessuna crescita può rimanere di carattere esponenziale tanto a
lungo, inizia ad un certo punto una nuova fase della transizione.
Nel momento in cui la dimensione complessiva della popolazione comincia ad ostacolare il
successivo processo di crescita, si riduce progressivamente anche il tasso di natalità.
Questo calo avvenne nel nostro continente a inizio Novecento, favorito anche
dall’industrializzazione e l’urbanizzazione le quali cambiarono la considerazione dei figli
da utili lavoratori nei campi a pesanti bocche da sfamare.
Anche la stessa diminuzione della mortalità fu causa della seconda fase della transizione,
infatti man mano che aumentarono i figli che sopravvivevano, i genitori iniziarono a
generarne un numero minore. Ciò fu al contempo causa ed effetto di una grande
trasformazione della mentalità e dei comportamenti, in cui ebbe un ruolo fondamentale la
progressiva emancipazione femminile, nella seconda metà del Novecento: si passò da un
sistema di procreazione naturale a forme sempre più efficaci di controllo e di
programmazione delle nascite (la “pillola” contraccettiva iniziò a diffondersi negli anni
’60). In tutta Europa il calo della natalità iniziò negli anni ’20 e fu molto forte durante la
Seconda guerra mondiale. Dopo una temporanea inversione di tendenza dal dopoguerra
agli anni ’60 (il cosiddetto “baby-boom”), la natalità tornò a calare fino a toccare negli
anni settanta la cosiddetta “crescita 0”, cioè un equilibrio al ribasso tra nati e morti in
tutto il Nord del mondo, un riallineamento dei due tassi su valori molto più bassi del
regime tradizionale: così si concluse la transizione, che instaurò il regime demografico
moderno.
3.4) Magnitudine delle stelle e legge di Weber-Fechner
Il numero di Nepero si è reso molto utile in numerosi campi per la descrizione di alcuni
fenomeni naturali, come ad esempio in psicofisica dove compare nella legge di WeberFechner, la quale cerca di descrivere la relazione che intercorre tra la percezione umana
dell’intensità di uno stimolo e la reale portata fisica di quest’ultimo, così da quantificare
effettivamente per la prima volta una sensazione.
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Celebre è l’esperimento di Weber, che evidenziò come la percezione umana della
variazione di peso di un oggetto tenuto in mano non è costante, ma dipende dal peso
stesso. Tenendo per esempio in mano un chilo di qualche materiale, l’aggiunta di un altro
chilo è molto rilevante a livello percettivo, ma se all’inizio il peso è di 10kg, l’aggiunta
dello stesso chilo viene percepita molto debolmente.
Si arriva quindi a stabilire la seguente relazione, che non è lineare, ma è logaritmica:
Come si nota, la percezione (p) è direttamente proporzionale non allo stimolo (S), ma al
logaritmo in base e (ln) di esso, ed è quindi spiegato il fatto che accade nell’esperimento
precedente. Per un organismo è molto importante avere un’ampia gamma di intensità di
stimoli percepibili, ma una grande sensibilità alla variazione di questi è richiesta solo a
livelli bassi di intensità. Condizioni pressoché soddisfatte da un andamento logaritmico
della percezione.
La legge spiega anche perché di giorno non si vedono le stelle. Di notte la loro luce
rappresenta un certo incremento di intensità su quella del cielo. Di giorno lo stesso
incremento si aggiunge ad una intensità della luce del cielo molto più grande ed è quindi
impercettibile.
Nel II secolo a.C. Ipparco di Nicea aveva classificato le grandezze delle stelle rispetto alla
loro luminosità (dato che un tempo si pensava che le stelle stessero tutte alla stessa
distanza nel cielo delle stelle fisse, vedi Dante), e le aveva raggruppate in 6 classi di
luminosità, e quindi di grandezza, decrescente in modo lineare secondo la percezione
visiva.
Ma la linearità nella percezione visiva abbiamo visto che non corrisponde ad una linearità
nella effettiva luminosità di una stella, e quindi le 6 classi di luminosità furono
mantenute, ma diventarono 6 magnitudini, ancora oggi usate per la classificazione delle
stelle per luminosità, tali che una stella di magnitudine 1 è fisicamente 100 volte più
luminosa di una stella di magnitudine 6.
Si riuscì quindi a codificare la formula, usata tutt'oggi, mediante cui si legano
magnitudine apparente (la luminosità risultante di una stella agli occhi di un
osservatore terrestre), la magnitudine assoluta (quella percepita da un osservatore
posto arbitrariamente a 10 parsec di distanza) e la distanza effettiva di una stella:
Dove il logaritmo è in base dieci per convenienza di calcoli.
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4. Estensione di ex nel campo complesso
Voglio ora dare un significato alla famosa identità di Eulero:
eiπ+1=0
estendendo la definizione di ex in modo che abbia significato anche nel campo complesso
e che conservi la legge degli esponenti: ea · eb = ea+b.
L’identità è considerata tra le più affascinanti della matematica poiché pone in una
semplice relazione cinque numeri importanti e significativi, all’apparenza completamente
slegati fra loro; perfino Richard Feynman chiamò la formula di Eulero "la formula più
straordinaria in matematica".
Se poniamo z = x+iy, per la legge degli esponenti deve risultare: ez = ex+iy = ex · eiy .
Dobbiamo quindi capire che valore assegnare al numero complesso eiy. Supponiamo che,
al variare di y, eiy = a(y) + ib(y); con a, b funzioni derivabili almeno due volte. Se
deriviamo due volte e immaginiamo di poter utilizzare le usuali regole di derivazione,
otteniamo:
eiy = a(y) + ib(y)
ieiy = a’(y) + ib’(y)
−eiy = a’’(y) + ib’’(y)
Inoltre, poiché e0 = 1, risulta a(0) = 1, a’(0) = 0, b(0) = 0, b’(0) = 1.
Dalla prima e dalla terza equazione, si ottiene
a’’(y) = −a(y)
b’’(y) = −b(y)
e da queste due equazioni, unitamente ai valori di a e b prima trovati si ottiene
a(y) = cos(y), b(y) = sin(y)
e dunque
eiz = ex (cos(y) + isin(y)).
Da tale formula possiamo ottenere:
eit = cos t + i sin t
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e−it = cos t − i sin t
Sostituendo a t il numero π otteniamo l’identità di Eulero cercata:
5. Conclusioni
Questa ricerca sul numero di Nepero e le funzioni esponenziali è stata una esperienza
produttiva e fruttifera, che mi ha permesso di conoscere legami tra materie che all’inizio
sembravano più lontane tra loro, inoltre ha esercitato la mia capacità di ricerca, di utilizzo
della bibliografia, di sintesi, di linguaggio e di interpretazione anche di testi in lingua
inglese. Le rappresentazioni grafiche e le scritture matematiche hanno richiesto una
discreta padronanza dei software, come Geogebra e Maple, e dei rispettivi linguaggi di
programmazione.
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6. Bibliografia
[1] R. A. Adams "Calcolo Differenziale 1", quarta edizione Casa Editrice Ambrosiana
(2007)
[2] S. Andreou, J. Lambright "A Reflection of Euler's Constant and Its Applications",
2012 Int. Trans. J. of Eng., Management, & Appl. Sciences & Technologies, (2012) pp
371-380
[3] J. J. O'Connor and E. F. Robertson “The numer e”, http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/PrintHT/e.html
[4] J.L. Coolidge "The number e", The Amer. Math. Mounthly, vol 57, (9) 1950, pp 591602.
[5] G. F. Simmons, M. Abate "Calcolo differenziale e integrale", McGraw-Hill (2001)
[6] http://spuntieappunti.altervista.org/appunti/numeri/e.shtml
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