Esercitazioni di Calcolo delle Probabilità (30/11/2012) Soluzioni

Esercitazioni di Calcolo delle Probabilità (30/11/2012)
Soluzioni
Argomenti:
- eventi e probabilità.
Esercizio 1
Gli studenti presenti in aula nell’esercitazione odierna sono 22. Assumendo che non esistano
anni bisestili, calcolare la probabilità che 2 di essi compiano gli anni nello stesso giorno. Gli
studenti presenti in classe nella lezione di Calcolo delle probabilità dello scorso martedì erano
28. Si calcoli la probabilità che almeno due di loro compiano gli anni nella stesa data.(il
problema presentato in questo esercizio è noto in letteratura come il problema dei
compleanni)
Soluzione
Sia E l'evento: "almeno due studenti compiono gli anni nello stesso giorno".
Si consideri l'evento complementare E : "tutti gli studenti compiono gli anni in giorni
diversi".
# casi favorevoli
P( E ) si ottiene dalla definizione classica di probabilità come PE  
# casi possibili
Eventi favorevoli sono pari a D365,22, numero delle disposizioni semplici dei 365 giorni
dell'anno presi a gruppi di 22,
Eventi possibili sono pari a D(r)365,22, numero delle disposizioni con ripetizione dei 365 giorni
dell'anno presi a gruppi di 22.
365  364  363   365  22  1
Quindi PE  
36522
365  364  363  365  22  1
da cui PE   1  PE   1 
=0.476
36522
Nel caso di 28 studenti si ha P(E) 65.4%.
Esercizio 2
Sapendo che A, B e C sono tre eventi tali che P(A) = 0.6, P(B) = 0.65, P(C) = 0.5,
P(AB) = 0.55, P(AC) = 0.4, P(B|C) = 0.9 e P(B|AC) = 0.875;
1. si calcolino P(A|B) e P(B|A);
2. si stabilisca se A e B sono incompatibili, motivando la risposta; si ripeta l’esercizio
per gli eventi A e C
3. si stabilisca se A e B sono indipendenti, motivando la risposta; si ripeta l’esercizio per
gli eventi A e C
4. si calcoli P(C|B);
5. si calcoli P(ABC).
Soluzione
1. Si ricordi che P(A|B) = P(AB) / P(B)
per definizione di probabilità condizionata dell’evento A all’evento B.
1
Si ottiene quindi
P(A|B) = P(AB) / P(B) = 0.55/0.65 = 0.846.
Analogamente per P(B|A) si ha: P(B|A) = P(AB) / P(A) = 0.55/0.6 = 0.917;
2. A e B non sono incompatibili.
Infatti se A e B fossero incompatibili allora AB= per definizione di eventi
incompatibili. Si avrebbe dunque che P(AB) = P() = 0 ma P(AB) = 0.55 e quindi
AB
Il lettore si accerti di saper verificare che P() = 0 (si veda libro di testo pag. 85)
3. A e B non sono indipendenti.
Infatti se A e B fossero stocasticamente indipendenti allora P(AB)=P(A)P(B) per
definizione di indipendenza stocastica (paragrafo 3.5 libro di testo).
Ma dai dati dell’esercizio si ottiene P(A)P(B)=0.60.65=0.39  0.55= P(AB).
4. Per determinare la probabilità ricercata si consideri che
P(C  B)
P(C)
0.5
P(C | B) 
 P ( B | C)
 0.9
= 0.692.
P(B)
P(B)
0.65
Nella prima uguaglianza è stata applicata la definizione di probabilità condizionata, mentre
nella seconda il principio della probabilità composta (pag. 97-98 del libro di testo).
La prima uguaglianza potrebbe essere rimossa applicando il teorema di Bayes (pag. 99-100
del libro di testo) al caso particolare di un’unica causa C ottenendo direttamente
P(C)
0.5
P(C | B)  P(B | C)
 0.9
 0.692 .
P(B)
0.65
5. Per determinare P(ABC) si ponga per comodità AC = E e quindi BE = ABC
per la commutatività e l’associatività dell’intersezione fra insiemi (si veda libro di testo
paragrafo 2.2).
Si ottiene dunque:
P(ABC) = P(BE) = P(B|E) P(E) = P(B|AC) P(AC) = 0.4  0.875=0.35.
Esercizio 3
Siano A e B due eventi con probabilità pari rispettivamente a 1/2 e 1/3. Si calcoli la
probabilità dell’unione dei due eventi in ciascuno dei seguenti casi:
1. A e B sono incompatibili;
2. A e B sono indipendenti;
3. P(A | B) = 1/4.
Soluzione
Posto P(A) = ½ e P(B) = 1/3, si ha:
1. due eventi sono incompatibili se AB =  ovvero i due eventi non possono verificarsi
contemporaneamente.
Se A e B sono incompatibili allora P(AB)=P()=0.
L’ultima uguaglianza discende direttamente dalla definizione di probabilità (si veda libro
di testo pag. 85)
Essendo P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB) (si veda libro di testo pagina 87)
2
Ne discende P(AB)= P(A) + P(B) = 5/6;
Alla stessa conclusione si giunge direttamente invocando l’assioma delle probabilità totali
(pag 85 libro di testo) nel caso di due eventi
2. Se A e B sono indipendenti allora P(AB)=P(A)P(B) (si veda pag 105 libro di testo).
Si ottiene dunque: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(A) P(B) = 2/3;
3. P(A | B) = ¼ occorre determinare P(AB).
Per definizione di probabilità condizionata si ha:
P(A | B)=P(AB)/P(B) (pag. 94 del libro di testo)
da cui
P(AB) = P(B)P(A | B).
Si ottiene quindi
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(B)P(A | B) =
1 1  1  1 1 3 2 1 3
= P(A) + P(B) (1– P(A | B)) =  1    

 .
2 3 4 2 3 4
4
4
Esercizio 4
Si dimostri che, se P(A) >0, allora P(AB) > 0 e P(AB | A)  P(AB | AB).
Soluzione
A  AB
P(AB | A)
quindi P(AB)  P(A) > 0
= P(AB) / P(A)  P(AB) / P(AB) = P[(AB)  (AB)] / P(AB)
= P(AB | AB)
Esercizio 5
Sulla base dei sintomi descritti un medico valuta:
0.7 la probabilità che il paziente sia affetto da influenza
0.5 la probabilità che il paziente sia affetto da disturbi intestinali
0.3 la probabilità che il paziente sia affetto da entrambi.
Il medico esclude la possibilità di disturbi diversi dai precedenti.
Qual è la probabilità che il paziente sia un malato immaginario.
Soluzione
Si definisca
A={ paziente sia affetto da influenza }
P(A)=0.7
B={ paziente sia affetto da disturbi intestinali }
P(B)=0.5
C=AB
P(C)=0.3
D={ malato immaginario}
D  A  B  A  B (legge di de Morgan)
P( D)  P( A  B)  1  P( A  B )  1  P[( A)  P( B )  P( A  B )]  1  0.9  0.1
3