Rivestimenti e gruppo fondamentale di uno spazio topologico

Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Rivestimenti e gruppo fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
17/12/2010
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti
Definizione
e → X una funzione continua. La coppia (X
e , p) è detta
Sia p : X
rivestimento di X se:
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti
Definizione
e → X una funzione continua. La coppia (X
e , p) è detta
Sia p : X
rivestimento di X se:
I p è suriettiva;
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Rivestimenti
Definizione
Tommaso Pola
e → X una funzione continua. La coppia (X
e , p) è detta
Sia p : X
rivestimento di X se:
I p è suriettiva;
I per ogni x ∈ X esiste un intorno aperto U di x e una
e tali che:
famiglia {Uj }j∈J di aperti di X
1. p −1 (U) = j∈J Uj ;
2. Uj ∩ Uk = ∅ se j 6= k;
3. p|Uj : Uj → U è un omeomorfismo per ogni j ∈ J.
S
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Rivestimenti
Definizione
Tommaso Pola
e → X una funzione continua. La coppia (X
e , p) è detta
Sia p : X
rivestimento di X se:
I p è suriettiva;
I per ogni x ∈ X esiste un intorno aperto U di x e una
e tali che:
famiglia {Uj }j∈J di aperti di X
1. p −1 (U) = j∈J Uj ;
2. Uj ∩ Uk = ∅ se j 6= k;
3. p|Uj : Uj → U è un omeomorfismo per ogni j ∈ J.
S
Esempio
Figura: (R, p) rivestimento di S 1 , p(t) = (cos t, sin t)
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti e G −spazi
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti e G −spazi
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
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Rivestimenti: esempi e
proprietà
Esempi di rivestimenti si ottengono a partire dai G -spazi, come i
seguenti teoremi testimoniano.
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti e G −spazi
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
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Rivestimenti: esempi e
proprietà
Esempi di rivestimenti si ottengono a partire dai G -spazi, come i
seguenti teoremi testimoniano.
Teorema
Sia X un G -spazio; se l’azione di G su X è propriamente
discontinua, allora la proiezione naturale p : X → X /G è un
rivestimento.
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti e G −spazi
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Esempi di rivestimenti si ottengono a partire dai G -spazi, come i
seguenti teoremi testimoniano.
Teorema
Sia X un G -spazio; se l’azione di G su X è propriamente
discontinua, allora la proiezione naturale p : X → X /G è un
rivestimento.
Teorema
Se G è un gruppo finito che agisce liberamente su uno spazio di
Hausdorff X , allora (X , p) è un rivestimento di X /G , dove p è la
proiezione naturale.
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Principali teoremi sui rivestimenti
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
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Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Principali teoremi sui rivestimenti
Teorema
e , p) è un rivestimento di X , allora p è un’applicazione
Se (X
aperta e X ha la topologia quoziente relativa a p.
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
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Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Principali teoremi sui rivestimenti
Teorema
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
e , p) è un rivestimento di X , allora p è un’applicazione
Se (X
aperta e X ha la topologia quoziente relativa a p.
Definizione
e , p) è un rivestimento di X e f : Y → X è una funzione
Se (X
continua, un sollevamento di f è una funzione continua
e
e tale che p ◦ e
f :Y →X
f =f.
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
e
?X
e
f
Y
p
f
/X
Principali teoremi sui rivestimenti
Teorema
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
e , p) è un rivestimento di X , allora p è un’applicazione
Se (X
aperta e X ha la topologia quoziente relativa a p.
Definizione
e , p) è un rivestimento di X e f : Y → X è una funzione
Se (X
continua, un sollevamento di f è una funzione continua
e
e tale che p ◦ e
f :Y →X
f =f.
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
e
?X
e
f
Y
p
f
/X
Teorema (Teorema di unicità del sollevamento)
e , p) un rivestimento di X , e siano e
e due
Sia (X
f , fe0 : Y → X
sollevamenti di una funzione continua f : Y → X . Se Y è uno
spazio connesso e se e
f (y0 ) = fe0 (y0 ) per un qualche y0 ∈ Y ,
0
e
e
allora f = f .
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
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Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Teorema (Teorema di sollevamento dei cammini e delle
omotopie)
e , p) un rivestimento di X .
Sia (X
I
I
e con p(xe0 ) = f (0),
per ogni arco f : I → X e per ogni xe0 ∈ X
e
e
esiste uno e un solo arco f : I → X tale che p ◦ e
f =f e
e
f (0) = xe0 .
e
per ogni funzione continua f : I × I → X e per ogni xe0 ∈ X
con p(xe0 ) = F (0, 0), esiste una e una sola funzione continua
e tale che p ◦ Fe = F e Fe (0, 0) = xe0 .
Fe : I × I → X
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Teorema (Teorema di sollevamento dei cammini e delle
omotopie)
e , p) un rivestimento di X .
Sia (X
I
I
e con p(xe0 ) = f (0),
per ogni arco f : I → X e per ogni xe0 ∈ X
e
e
esiste uno e un solo arco f : I → X tale che p ◦ e
f =f e
e
f (0) = xe0 .
e
per ogni funzione continua f : I × I → X e per ogni xe0 ∈ X
con p(xe0 ) = F (0, 0), esiste una e una sola funzione continua
e tale che p ◦ Fe = F e Fe (0, 0) = xe0 .
Fe : I × I → X
Definizione
e , p) è un rivestimento di X , e sia x ∈ X . La cardinalità
Sia (X
della fibra su x, cioè dell’insieme p −1 (x), è chiamata grado del
rivestimento o numero di fogli del rivestimento.
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
Rivestimenti e G −spazi
Principali teoremi sui
rivestimenti
Sollevamento di cammini
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
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Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Definizione
Sia x ∈ X . Consideriamo l’insieme delle classi di equivalenza dei
cammini chiusi di base x e lo denotiamo con π(X , x). Questo
insieme è dotato di un’operazione binaria definita da
[f ][g ] = [f ∗ g ]. Con questa operazione π(X , x) risulta essere un
gruppo, chiamato gruppo fondamentale di X con punto base x.
L’elemento neutro del gruppo è [εx ]; l’inverso di [f ] è invece dato
da [f ]−1 = [f ].
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Definizione
Sia x ∈ X . Consideriamo l’insieme delle classi di equivalenza dei
cammini chiusi di base x e lo denotiamo con π(X , x). Questo
insieme è dotato di un’operazione binaria definita da
[f ][g ] = [f ∗ g ]. Con questa operazione π(X , x) risulta essere un
gruppo, chiamato gruppo fondamentale di X con punto base x.
L’elemento neutro del gruppo è [εx ]; l’inverso di [f ] è invece dato
da [f ]−1 = [f ].
Teorema
Se X è uno spazio connesso per archi, π(X , x) e π(X , y ) sono
gruppi isomorfi per ogni coppia di punti x, y ∈ X .
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Definizione
Sia x ∈ X . Consideriamo l’insieme delle classi di equivalenza dei
cammini chiusi di base x e lo denotiamo con π(X , x). Questo
insieme è dotato di un’operazione binaria definita da
[f ][g ] = [f ∗ g ]. Con questa operazione π(X , x) risulta essere un
gruppo, chiamato gruppo fondamentale di X con punto base x.
L’elemento neutro del gruppo è [εx ]; l’inverso di [f ] è invece dato
da [f ]−1 = [f ].
Teorema
Se X è uno spazio connesso per archi, π(X , x) e π(X , y ) sono
gruppi isomorfi per ogni coppia di punti x, y ∈ X .
Teorema
Sia ϕ : X → Y . La funzione ϕ∗ : π(X , x) → π(Y , ϕ(x)) definita
da ϕ∗ [f ] = [ϕ ◦ f ] è un omomorfismo di gruppi, detto
omomorfismo indotto da ϕ.
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti e gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
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Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti e gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Teorema
e , p) un rivestimento di X , xe0 ∈ X
e e x0 = p(xe0 ). Allora
Sia (X
e , xe0 ) → π(X , x0 ) è un
l’omomorfismo indotto p∗ : π(X
monomorfismo.
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti e gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Teorema
Rivestimenti: esempi e
proprietà
e , p) un rivestimento di X , xe0 ∈ X
e e x0 = p(xe0 ). Allora
Sia (X
e , xe0 ) → π(X , x0 ) è un
l’omomorfismo indotto p∗ : π(X
monomorfismo.
e , xe0 )
π(X
p∗
/ π(X , x0 )
ug
e , xe1 )
π(X
uf
p∗
/ π(X , x0 )
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti e gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Teorema
Rivestimenti: esempi e
proprietà
e , p) un rivestimento di X , xe0 ∈ X
e e x0 = p(xe0 ). Allora
Sia (X
e , xe0 ) → π(X , x0 ) è un
l’omomorfismo indotto p∗ : π(X
monomorfismo.
e , xe0 )
π(X
p∗
/ π(X , x0 )
ug
e , xe1 )
π(X
uf
p∗
/ π(X , x0 )
Teorema
e , p) un rivestimento di X . Se x0 ∈ X , l’insieme
Sia (X
e , xe0 ) | xe0 ∈ p −1 (x0 )} è una classe di coniugio (cioè
Z = {p∗ π(X
una classe di equivalenza per l’azione di coniugio) di sottogruppi
di π(X , x0 ).
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Teorema di sollevamento per i rivestimenti
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Teorema di sollevamento per i rivestimenti
Teorema
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
e , p) un rivestimento di X , Y uno spazio connesso e
Siano (X
e e x0 = p(xe0 ). Sia
localmente connesso per archi, y0 ∈ Y , xe0 ∈ X
f : (Y , y0 ) → (X , x0 ). Condizione necessaria e sufficiente affinchè
e , xe0 ) è che
esista un sollevamento e
f : (Y , y0 ) → (X
e , xe0 ).
f∗ π(Y , y0 ) ⊆ p∗ π(X
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Teorema di sollevamento per i rivestimenti
Teorema
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
e , p) un rivestimento di X , Y uno spazio connesso e
Siano (X
e e x0 = p(xe0 ). Sia
localmente connesso per archi, y0 ∈ Y , xe0 ∈ X
f : (Y , y0 ) → (X , x0 ). Condizione necessaria e sufficiente affinchè
e , xe0 ) è che
esista un sollevamento e
f : (Y , y0 ) → (X
e , xe0 ).
f∗ π(Y , y0 ) ⊆ p∗ π(X
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Esempio
Rivestimenti ramificati
Figura: Cerchio polacco
Omomorfismi di rivestimenti
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Omomorfismi di rivestimenti
Definizione
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
f1 , p1 ) e (X
f2 , p2 ) rivestimenti di X . Un omomorfismo da
Siano (X
f1 , p1 ) in (X
f2 , p2 ) è una funzione continua ϕ : X
f1 → X
f2 tale che
(X
il seguente diagramma sia commutativo:
f1
X

ϕ
X?
_?
??
?
p2 ??
f
X2
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Omomorfismi di rivestimenti
Definizione
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
f1 , p1 ) e (X
f2 , p2 ) rivestimenti di X . Un omomorfismo da
Siano (X
f1 , p1 ) in (X
f2 , p2 ) è una funzione continua ϕ : X
f1 → X
f2 tale che
(X
il seguente diagramma sia commutativo:
f1
X

ϕ
X?
_?
??
?
p2 ??
f
X2
Teorema
f1 , p1 ) e (X
f2 , p2 ) di X sono isomorfi se e solo
Due rivestimenti (X
f1 e xe2 ∈ X
f2 tale che
se, per ogni coppia di punti xe1 ∈ X
f1 , xe1 ) e p2∗ π(X
f2 , xe2 )
p1 (xe1 ) = p2 (xe2 ) = x0 , i sottogruppi p1∗ π(X
appartengono alla stessa classe di coniugio di π(X , x0 ).
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Gruppo fondamentale
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di sollevamento
per i rivestimenti
Omomorfismi di
rivestimenti
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti universali
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti universali
Esistenza di rivestimenti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti universali
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
e , p) un rivestimento di X . (X
e , p) si dice essere un
Sia (X
e è semplicemente connesso.
rivestimento universale di X se X
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti universali
Esistenza di rivestimenti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti universali
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
e , p) un rivestimento di X . (X
e , p) si dice essere un
Sia (X
e è semplicemente connesso.
rivestimento universale di X se X
Teorema
f1 , p1 ) e (X
f2 , p2 ) due rivestimenti di X , e sia ϕ un
Siano (X
f1 , p1 ) a (X
f2 , p2 ). Allora (X
f1 , ϕ) è un
omomorfismo da (X
f2 .
rivestimento di X
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti universali
Esistenza di rivestimenti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Rivestimenti universali
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Definizione
e , p) un rivestimento di X . (X
e , p) si dice essere un
Sia (X
e è semplicemente connesso.
rivestimento universale di X se X
Teorema
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti universali
Esistenza di rivestimenti
Rivestimenti ramificati
f1 , p1 ) e (X
f2 , p2 ) due rivestimenti di X , e sia ϕ un
Siano (X
f1 , p1 ) a (X
f2 , p2 ). Allora (X
f1 , ϕ) è un
omomorfismo da (X
f2 .
rivestimento di X

f0
X

e
X
p
/X
Esistenza di rivestimenti
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti universali
Esistenza di rivestimenti
Rivestimenti ramificati
Esistenza di rivestimenti
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Lemma
Sia X uno spazio topologico che ammetta un rivestimento
universale (Y , q) e sia x ∈ X . Per ogni classe di coniugio di
e , p) di X tale
sottogruppi di π(X , x), esiste un rivestimento (X
e
che p∗ π(X , e
x ) appartenga alla classe di coniugio data.
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti universali
Esistenza di rivestimenti
Rivestimenti ramificati
Esistenza di rivestimenti
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Lemma
Sia X uno spazio topologico che ammetta un rivestimento
universale (Y , q) e sia x ∈ X . Per ogni classe di coniugio di
e , p) di X tale
sottogruppi di π(X , x), esiste un rivestimento (X
e
che p∗ π(X , e
x ) appartenga alla classe di coniugio data.
Teorema (Teorema di esistenza per i rivestimenti)
Sia X uno spazio connesso, localmente connesso per archi e
semilocalmente semplicemente connesso. Allora per ogni classe
e , p)
di conigio di sottogruppi di π(X , x), esiste un rivestimento (X
di X corrispondente alla classe di coniugio data, cioè tale che
e, e
p∗ (X
x ) appartenga alla classe di coniugio data.
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti universali
Esistenza di rivestimenti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti ramificati di superfici
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti ramificati
di superfici
Rivestimenti ramificati
di superfici di Riemann
Rivestimenti ramificati di superfici
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Definizione
e → X una funzione continua tra superfici. (X
e , p) è
Sia p : X
detto rivestimento ramificato di X se esiste un numero finito di
punti x1 , . . . , xn ∈ X tale che l’insieme p −1 ({x1 , . . . xn }) sia
e \p −1 ({x1 , . . . xn }), p) sia un rivestimento di
discreto e che (X
X \{x1 , . . . xn }.
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti ramificati
di superfici
Rivestimenti ramificati
di superfici di Riemann
Rivestimenti ramificati di superfici
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Definizione
Rivestimenti: esempi e
proprietà
e → X una funzione continua tra superfici. (X
e , p) è
Sia p : X
detto rivestimento ramificato di X se esiste un numero finito di
punti x1 , . . . , xn ∈ X tale che l’insieme p −1 ({x1 , . . . xn }) sia
e \p −1 ({x1 , . . . xn }), p) sia un rivestimento di
discreto e che (X
X \{x1 , . . . xn }.
Esempio
Figura: Rivestimento ramificato della sfera
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti ramificati
di superfici
Rivestimenti ramificati
di superfici di Riemann
Rivestimenti ramificati di superfici di Riemann
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti ramificati
di superfici
Rivestimenti ramificati
di superfici di Riemann
Rivestimenti ramificati di superfici di Riemann
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Teorema
Sia f : X → Y una funzione olomorfa tra superfici di Riemann
compatte e connesse. Allora (X , f ) è un rivestimento ramificato
di Y di grado n per qualche n ∈ N.
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti ramificati
di superfici
Rivestimenti ramificati
di superfici di Riemann
Rivestimenti ramificati di superfici di Riemann
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Teorema
Sia f : X → Y una funzione olomorfa tra superfici di Riemann
compatte e connesse. Allora (X , f ) è un rivestimento ramificato
di Y di grado n per qualche n ∈ N.
Teorema
Sia X una superficie di Riemann. Allora esiste un rivestimento
ramificato (X , p) di S 2 di grado n per qualche n ∈ N.
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Rivestimenti ramificati
di superfici
Rivestimenti ramificati
di superfici di Riemann
Rivestimenti ramificati di superfici di Riemann
Rivestimenti e gruppo
fondamentale di uno
spazio topologico
Tommaso Pola
Teorema
Sia f : X → Y una funzione olomorfa tra superfici di Riemann
compatte e connesse. Allora (X , f ) è un rivestimento ramificato
di Y di grado n per qualche n ∈ N.
Teorema
Rivestimenti: esempi e
proprietà
Rivestimenti e gruppo
fondamentale
Teorema di esistenza per
i rivestimeti
Rivestimenti ramificati
Sia X una superficie di Riemann. Allora esiste un rivestimento
ramificato (X , p) di S 2 di grado n per qualche n ∈ N.
Teorema (Formula di Riemann-Hurwitz)
Siano f : X → Y una funzione olomorfa tra superfici di Riemann
compatte e connesse, R l’insieme dei punti di ramificazione di X
tramite f e n il grado del rivestimento di Y \f (R) (X \R, f |X \R ).
Vale allora:
X
χ(X ) = nχ(Y ) −
(υf (p) − 1)
p∈R
dove χ(X ) e χ(Y ) sono la caratteristica di Eulero
rispettivamente di X e di Y .
Rivestimenti ramificati
di superfici
Rivestimenti ramificati
di superfici di Riemann