Fisica Quantistica – primi passi “Old Quantum Theory”
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Vincenzo Branchina
Rivoluzioni Scientifiche - II
Fisica Quantistica – primi passi
“Old Quantum Theory”
Università di Catania
Dipartimento di Fisica e Astronomia
Giarre, 5 Marzo 2013
… Primi passi…
‘‘Old Quantum Theory’’
• Planck e la cavità radiante (corpo nero)
• Einstein e l’Effetto fotoelettrico
• Atomo di Rutherford-Bohr
Planck : Cavità radiante (1900)
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Da Planck ad Einstein (19001905)
Dallo spettro del corpo nero
all’effetto fotoelettrico
Einstein nel 1905 si spinge più
lontano di Planck…
Einstein e l’Effetto Fotoelettrico
…dove la costante di Planck compare per la seconda
volta...
Con il lavoro di Einstein si realizza un grande salto
concettuale rispetto al lavoro di Planck …
Effetto fotoelettrico – Einstein (1905)
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Altri importanti fenomeni hanno
giocato un ruolo fondamentale nella
nascita della Teoria dei Quanti ….
SPETTRI ATOMICI
Spettri atomici
A differenza dello spettro continuo della radiazione e.m. emesso ad
esempio dalla superficie di solidi ad una data temperatura, la radiazione
e.m. emessa da atomi liberi è concentrata in un certo numero di lunghezze
d’onda discrete. Lo stesso vale per lo spettro di assorbimento.
…conosciuti da molto tempo
Spettro Atomo di Idrogeno
Parte visibile dello spettro di emissione e di assorbimento
dell’atomo di idrogeno.
Spettro Atomo di Idrogeno anche oltre il visibile
Atomo Idrogeno - Serie di Balmer
Come è fatto l’atomo?
…forse la conoscenza della struttura
dell’atomo ci consentirà di comprendere la
ragione dell’esistenza di questi spettri…
Esperimento di Rutherford (1911)
Modello Atomico di Rutherford (1911)
Modello atomico di Rutherford
Il modello di Rutherford presentava un grave difficoltà. L’atomo di
Rutherford, per quel che sappiamo dalla fisica classica, è instabile.
Essendo l’elettrone nel suo moto planetario una particella carica
accelerata, essa deve emettere radiazione secondo la ben nota
Formula di Larmor
Modello atomico di Bohr
…Nel 1913 Bohr, elaborando sul modello di Rutherford, propone un
modello di atomo che ingloba la proposta di Rutherford (ma supera le
difficoltà contro cui questa si scontrava) che allo stesso tempo riesce a
render conto dello spettro dell’atomo di Idrogeno.
Spettro a Righe dell’atomo di Idrogeno:
Interpretazione di Bohr
Bohr (1913), partendo dalla teoria di Planck (1900) e dall’ipotesi dei
quanti di luce di Einstein (1905), ipotizza che gli atomi di idrogeno
nel loro stato fondamentale non irraggiano energia, ma la emettono
quando vengono eccitati.
L'elettrone, secondo il modello di Bohr, può occupare attorno al
nucleo solo determinate orbite stazionarie (dette “orbite di Bohr”)
muovendosi nelle quali non irradia energia, ma non può occupare lo
spazio tra esse.
Modello atomico di Bohr
… dove la costante di Planck
per la terza volta …
h
compare
Postulati del Modello atomico di Bohr (1913)
22
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Analizziamo i postulati di Bohr
• il primo postulato basa il modello di Bohr sull’esistenza del nucleo atomico
• Il secondo postulato introduce la quantizzazione (vedremo che questo postulato
porta alla quntizzazione dell’energia totale dell’elettrone atomico).
• Il terzo postulato rimuove il problema della instabilità.
E −E
• Il quarto postulato ν = i h f non è altro che il postulato di Einstein che dice
che la frequenza di un fotone è data dalla energia del fotone divisa per la costante
di Planck.
Questi postulati mescolano Fisica Classica e Ipotesi ad hoc. ... Da una parte si
assume che l’elettrone che si muove su un’orbita circolare obbedisce alle leggi della
meccanica classica (che utilizzeremo fra un momento), dall’altra parte si dice che solo
certi valori di momento angolare sono permessi (!!!). Da una parte si assume che
l’elettrone obbedisce a certe caratteristiche della teoria elettromagnetica classica, la
legge di Coulomb, dall’altra parte si dice che non obbedisce ad un’altro aspetto della
medesima teoria, l’emissione di radiazione elettromagnetica da parte di una crica
elettrica accelerata (!!!) ...
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1
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Predizioni dei postulati di Bohr
Consideriamo un atomo ad un elettrone con un nucleo di carica +Z e (atomo di
Idrogeno: Z = 1, atomo di Elio ionizzato: Z = 2, atomo di Litio doppiamente
ionizzato: Z = 3, ...). Siano −e= carica ed m= massa dell’elettrone.
Massa del nucleo molto maggiore della massa dell’elettrone: possiamo approssimare
come moto dell’elettrone attorno al centro coulombiano (nucleo = origine assi).
Stabilità meccanica dell’elettrone ⇒ Forza coulmbiana = accelerzione centripeta :
1 Ze2
v2
=m
4π0 r2
r
v = modulo della velocità dell’elettrone , r = raggio dell’orbita.
Modulo LO = mvr del momento angolare (polo O preso nell’origine = nucleo)
mvr =
nh
= n~
2π
Sistema semplicissimo !!! Risolvendo per r e v :
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2
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Predizioni dei postulati di Bohr
n2 ~2
r = 4π0
n = 1, 2, 3, ...
mZe2
1 Ze2
n~
=
n = 1, 2, 3, ...
v=
mr
4π0 n~
Vediamo come l’applicazione della quantizzazione del momento angolare restringe le
possibili orbite circolari a quelle date dagli r sopra.
Consideriamo : Atomo di Idrogeno (Z = 1). Raggio della prima orbita di Bohr
(n = 1). h, m, e, noti ⇒
r0 = 5.3 × 10−11 m = 0.53A
Modulo velocità elettrone in questa orbita :
v = 2.2 × 106 m/sec
Inoltre dalla formula vediamo che è la più alta velocità possibile con Z = 1 ⇒
velocità dell’elettrone non-relativistica (...ma se facciamo crescere Z ...)
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3
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Energia totale dell’elettrone nell’atomo Idrogenoide
2
Ze
Energia potenziale : Ep = − 4π
0r
Energia cinetica :
2
Ze
Ec = 21 mv 2 = − 4π
0 2r
Inserendo i valori che abbiamo trovato per r :
mZ 2 e4 1
E = Ec + Ep = − 2
2~ (4π0 )2 n2
La quantizzazione del momennto angolare orbitale ha portato alla quantizzazione
dell’energia!
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4
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Energia totale dell’elettrone nell’atomo Idrogenoide
Energia di legame dell’elettrone = energia dello stato più basso (n = 1).
Per l’atomo di Idrogeno:
Elegame
me4
=− 2
= −13.6 eV
2~ (4π0 )2
OK EXP !
Calcoliamo ora la lunghezza d’onda della radiazione e.m. emessa quando l’elettrone
compie una transizione dall’orbita con numero quantico ni a quella con numero
quantico nf .
Dalla
ν=
c
λ
=
Ei −Ef
h
insieme con la
mZ 2 e4 1
E=− 2
2~ (4π0 )2 n2
abbiamo:
1
1 mZ 2 e4 1
1
=
(
−
)
λ
(4π0 )2 4π~3 c n2f
n2i
GRANDE TRIONFO DEL MODELLO DI BOHR !
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6
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Perchè Grande Trionfo ?
Ricordate la formula empirica di Balmer?
1
1
1
= RH ( 2 − 2 )
n = 3, 4, 5, ...
λ
2
n
Ci chiedevamo: da dove viene tanta regolarità? Ora la formula di Bohr fa una precisa
predizione per i valori permessi di λ, che dovrebbero corrispondere alle righe
osservate e ci dice, a partire da costanti fisiche fomndamentali, quanto vale RH .
...La formula di Balmer e il valore misurato di RH sono correttamente predetti dalla
formula di Bohr quando si prende nf = 2 !!!...
Ma c’è di più! La formula di Bohr permette di predire nuove serie di linee spettrali
(oltre quella di Balmer)!
Queste nuove serie di linee vengono cercate e trovate !!!
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7
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Le diverse serie di linee spettrali
Lyman
Balmer
Paschen
Brackett
Pfund
1
1
1
= RH ( 2 − 2 )
λ
1
n
1
1
1
= RH ( 2 − 2 )
λ
2
n
1
1
1
= RH ( 2 − 2 )
λ
2
n
1
1
1
= RH ( 2 − 2 )
λ
2
n
1
1
1
= RH ( 2 − 2 )
λ
2
n
n = 2, 3, 4, ...
n = 3, 4, 5, ...
&
ultravioletto
vicino UV e visibile
n = 4, 5, 6, ...
infrarosso
n = 5, 6, 7, ...
infrarosso
n = 6, 7, 8, ...
infrarosso
%
8
Possiamo sottoporre a verifica
sperimentale il Modello di Bohr?
Esperimento di Frank-Hertz
L'esperimento di Franck-Hertz (1914) nasce per verificare il modello
atomico di Rutherford-Bohr. L'esperimento conferma il modello
quantizzato dei livelli di energia atomici (vincono il Premio Nobel per la
Fisica nel 1925).
L'apparato sperimentale consiste di un tubo contenente vapori di mercurio,
all'interno del quale erano posti tre elettrodi: un catodo a emissione di
elettroni, una griglia di accelerazione e un anodo, posto a un potenziale
leggermente inferiore rispetto a quello della griglia, ma comunque positivo
rispetto quello del catodo. Si varia la differenza di potenziale tra catodo e
griglia e si misura la corrente tra i due elettrodi.
Esperimento di Franck-Hertz
Nell'urto tra gli elettroni accelerati e gli atomi del gas, l'energia cinetica
viene assorbita dagli atomi solo se essa è pari alla differenza di energia tra
due livelli energetici che, secondo il modello di Bohr, ha un valore finito e
discreto. Mediante il potenziale di accelerazione è possibile controllare
l'energia cinetica media degli elettroni.
Se questa energia è inferiore all'energia di transizione tra i primi due livelli
energetici, allora gli urti con gli atomi sono prevalentemente elastici,
dunque l'energia cinetica totale degli elettroni rimane costante e quindi la
corrente misurata ai capi del circuito aumenta all'aumentare del potenziale.
Quando invece l'energia cinetica media dell'elettrone è sufficiente a
eccitare l'atomo al livello energetico successivo, gli elettroni che hanno
perso la loro energia cinetica nell'urto non sono in grado di raggiungere
l'anodo (che si trova a un potenziale minore rispetto alla griglia) e questo
porta a una brusca riduzione della corrente misurata.
Franck-Hertz : multipli di 4.9 eV
Modello di Bohr-Sommerfeld
Il Modello si può migliorare (Sommerfeld)
inserendo la possibilità di orbite non
circolari (ellittiche) … tuttavia …
Critiche al Modello di Bohr
… il modello resta sempre un miscuglio di fisica classica ed
ipotesi ad hoc che in verità fanno a pugni con la fisica classica.
1. Il modello ci dice solo come trattare sistemi periodici (e i
sistemi non periodici?)
2. Il modello non ci dice come calcolare i rates delle
transizioni. Non ci dice come calcolare le intensità delle
linee spettrali.
3. Il modello è realmente di successo solo quando
consideriamo atomi ad un solo elettrone, o atomi alcalini
(come Li, Na, K,…) che sono simili ad atomi ad un solo
elettrone. La teoria fallisce di brutto quando si tenta di
applicarla all’atomo di elio He, che contiene solo due
elettroni.
Torniamo per un momento ad
occuparci di fotoni
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Torniamo ad occuparci di fotoni :
Compton ... 1923 ...
La natura corpuscolare della luce, o meglio della radiazione e.m., viene testata in
maniera più forte quando si osserva la legge di variazione della frequenza di raggi X
quando questi vengono diffusi da elettroni poco legati (quasi liberi).
Apparato sperimentale di Compton :
Raggi X di lunghezza d’onda λ incidono su un blocco di grafite. Compton misurò,
per vari angoli di diffusione, l’intensità dei raggi X in funzione della lunghezza d’onda
λ e trovò che (anche se il raggio incidente ha una sola lunghezza d’onda λ) per i raggi
diffusi si osservano picchi di intensità in corrispondenza di due lunghezze d’onda :
λ
e
λ + ∆λ
∆λ = spostamento Compton
La teoria classica della radiazione e.m. prevede che gli elettroni oscillino alla stessa
frequenza dell’onda incidente. Dunque, questi ultimi dovrebbero emettere solo
radiazione e.m. della stessa frequenza di quella incidente e dovremmo osservare solo
un picco di intensità per la lunghezza d’onda λ.
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Aspetti corpuscolare ed ondulatorio della radiazione e.m.
Abbiamo visto che effetto fotoelettrico ed effetto Compton possono essere interpretati
se si ammette che la radiazione elettromagnetica sia costituita da “quanti”
1. Ciascuno di energia
E = hν =
2. Ciascuno di impulso
p=
hν
c
=
hc
λ
h
λ
È interessante notare che in queste due equazioni al secondo membro abbiamo la
frequenza e al terzo membro la lunghezza d’onda, grandezze fisiche legate all’aspetto
ondulatorio della radiazione e.m., mentre al primo membro abbiamo grandezze fisiche
legate all’aspetto corpuscolare: impulso ed energia del fotone.
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%
13
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... un po’ paradossale ...
Equazioni di questo tipo, che mettono insieme aspetto ondulatorio ed aspetto
corpuscolare presentano un carattere che potremmo considerare paradossale ...
Più avanti ci occuperemo di questo problema e vedremo come la “nuova teoria
quantistica” permetta di risolvere questo apparente paradosso ...
... ma prima di far ciò, vediamo come cercò di ragionare De Broglie intorno al 1924 ...
&
%
14
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'
De Broglie ... 1924 ...
De Broglie propone di considerare la possibilità che queste equazioni siano valide
anche per le particelle materiali
E=
hc
λ
h
λ
ovvero, propone di associare ad una particella di energia E e quantità di moto p
un’onda di lunghezza d’onda λ, dove λ è data dalle equazioni scritte sopra.
p=
Osserviamo qui che Bohr parlava di “irrazionalità” legata al connettere le due
concezioni corpuscolare ed ondulatoria:
le grandezze fisiche E e p si riferiscono ad una particella di massa trascurabilmente
piccola; ν e λ si riferiscono ad un’onda infinitamente estesa ... concetti molto lontani
tra loro, che la teoria quantistica propone di mettere in stretta copnnessione ...
torneremo più avanti sulla questione della risoluzione di questo paradosso...
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... prima però facciamo due conticini partendo dalla ipotesi di
De Broglie ...
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