Momento di forza su una spira immersa in un campo di induzione magnetica: il momento
magnetico.
In precedenza abbiamo visto che la forza totale agente su una spira percorsa da una corrente i
immersa in un campo di induzione magnetica uniforme B è nulla poichè i contributi elementari
agenti sui singoli elementi infinitesimi di spira tendono a controbilanciarsi. La spira, però, risulta
spesso soggetta ad un momento di forza τ che tende a farla ruotare. Per ottenere l'espressione del
momento di forza consideriamo il caso particolarmente semplice di una spira quadrata di lato L
percorsa da una corrente i e giacente nel piano x-y come mostrato schematicamente nella figura 1.
La spira è immersa in un campo B uniforme che giace nel piano x-z e fa un angolo θ con la
normale n alla spira. Poichè il verso della normale non è univocamente definito, è importante
stabilire una convenzione per la scelta del verso. La convenzione è la seguente: scelto
arbitrariamente il verso positivo della corrente i nella spira, allora il verso della normale n è quello
che si ottiene applicando la seguente regola della mano destra. Se si pone il palmo della mano
destra in modo da seguire il moto della corrente, il verso della normale n è quello individuato dal
dito pollice. Lo studente verifichi per esercizio che con questa definizione si ottiene proprio il verso
di n mostrato in figura.
z
n
θ
B
y
4
1
i
2
3
θ
b
x
Figura 1
Le forze esercitate dal campo sui singoli lati della spira sono applicate al centro di ciascuna spira (
lo studente dimostri questa asserzione) e sono tutte uguali in modulo a i L B. Inoltre, le forze sui
rami 1 e 3 e sui rami 2 e 4 sono uguali ed opposte, dunque la forza totale è nulla come avevamo già
dimostrato in precedenza. Le forze sui singoli rami sono rappresentate dai vettori applicati sui centri
dei lati indicati in figura. E' evidente dalla figura che le forze sui rami 2 e 4 rappresentano una
coppia di forze con braccio nullo, dunque non danno origine a nessun momento di forza. Al
contrario, le forze sui rami 1 e 2 formano una coppia con braccio b diverso da zero che tende a far
ruotare la spira nel verso tale da allineare n a B. Dalla figura si deduce b = L sinθ e, dunque, il
momento di forza della coppia ha modulo τ = i L2B sinθ ed è diretto lungo l'asse y nel verso
positivo. Dunque, il momento di forza può essere scritto nella forma vettoriale:
τ = i L2B sinθ j
(1)
dove j è il versore dell'asse y. La relazione (1) puo' essere scritta in un modo molto più generale se
si definisce un nuovo vettore momento magnetico µ associato con una spira percorsa da corrente
pari a:
1
µ=iAn
(2)
dove A è l'area racchiusa dalla spira. Dunque, il momento magnetico µ è un vettore che ha come
modulo il prodotto i A ed è diretto come la normale alla spira ( definita con la regola della mano
destra). Con questa definizione, la (1) può essere scritta nella forma vettoriale
τ=µ× B
(3)
L'espressione (1) è stata ottenuta nel caso particolare di una spira quadrata e di un campo magnetico
giacente nel piano x-z. Tuttavia, è possibile dimostrare che l'espressione (3) insieme alla
definizione (2) sono molto più generali e valgono per qualunque spira piana di forma arbitraria e
per qualunque orientazione del campo magnetico purchè il campo magnetico sia uniforme nella
regione occupata dalla spira. Dunque, il momento di forza agente su una generica spira piana di area
A percorsa da una corrente i con la normale che fa un angolo θ con il campo è pari a iAB sinθ ed è
diretto perpendicolarmente al piano individuato dalla normale n alla spira e dal campo di induzione
magnetica B. Questo momento di forza è, perciò, nullo per θ =0 ( normale parallela al campo) e θ
= π ( normale antiparallela al campo). Come vedremo nel seguito, l'orientazione θ = 0 corrisponde
ad un'orientazione di equilibrio stabile, mentre l'altra corrisponde ad un equilibrio instabile.
Energia di un momento magnetico in un campo di induzione magnetica uniforme.
Si può dimostrare che un momento magnetico immerso in un campo di induzione magnetica
possiede anche un'energia potenziale U dovuta all'interazione del campo con il momento. Per
definizione, l'energia potenziale corrisponde al lavoro fatto dalle forze del campo per spostare il
dipolo magnetico dalla sua posizione attuale ad una posizione di energia nulla. In analogia con il
caso elettrico, assumeremo per convenzione che l'energia sia nulla quando il dipolo sia a distanza
infinita dove non è presente nessun campo. Dunque, l'energia del dipolo sarà data da
∞
U = ∫ Fm • ds
(4)
O
dove Fm è la forza magnetica agente sul dipolo ed O indica la posizione del dipolo. Per trovare
l'espressione generale dell'energia consideriamo ancora il caso particolarmente semplice di una
spira quadrata di lato L percorsa dalla corrente i. Ora, come abbiamo visto in precedenza, la forza
totale Fm agente su un circuito immerso in un campo uniforme è zero, dunque lo studente potrebbe
erroneamente concludere che l'integrale in eq.(4) ha un risultato nullo. In realtà, anche se il campo è
uniforme nella regione dove è posta la spira, il campo non può restare uniforme in tutto lo spazio
ma diventerà certamente nullo a distanza infinita dalle sorgenti del campo. Dunque, quando la spira
viene spostata dalla sua posizione attuale fino a distanza infinita essa dovrà necessariamente
attraversare regioni dove il campo varia apprezzabilmente e dove la forza agente sulla spira è
diversa da zero. Dunque, il risultato della (4) non sarà, in generale, nullo. Per semplificare i calcoli,
consideriamo il caso particolare di un campo di induzione magnetica diretto dovunque lungo l'asse z
e variabile lungo l'asse x, cioè B = B(x) k e che sia uniforme nella regione occupata inizialmente
dalla spira. Supponiamo che la spira quadrata sia disposta come in fig.2 con la normale n che fa un
angolo θ con B.
z B
2
θ
3
n
y
2
i
4
x
1
-Lcosθ
Figura 2.
Le forze sui lati 2 e 4 sono uguali ed opposte poichè per ogni elemento infinitesimo di filo sul lato
2 ce n'è uno simmetrico sul lato 4 dove il campo ha lo stesso valore ( il campo varia solo lungo x).
Al contrario, i lati 1 e 3 sono individuati da valori diversi della coordinata x e, dunque, sentono, in
generale, valori diversi del campo quando la spira viene traslata lungo l'asse x raggiungendo regioni
dove il campo non è uniforme ma varia lungo l'asse x. Infatti, se x1 è la coordinata del lato 1 ad un
dato istante, la coordinata del lato 3 è x3 = x1 - L cosθ. La forza sul lato 1 è diretta lungo l'asse x nel
verso positivo ed è pari a F1 = iLB(x) dove B(x) è il campo agente sul lato 1 quando esso si trova
nella posizione individuata da x ( all'inizio x = 0). Il lavoro fatto da tale forza quando il lato si sposta
lungo x dalla sua posizione iniziale x =0 fino a distanza infinita è:
∞
∞
0
0
L1 = ∫ F1 dx = ∫ iLB ( x)dx
(5)
Mentre quello fatto per spostare il lato 3 dalla posizione iniziale x = - Lcosθ ( vedi figura) fino
all'infinito è
∞
∞
( x)dx
∫ F dx = − ∫ iLB
θ
L3 =
(6)
3
− L cos θ
− L cos
Il lavoro totale per spostare la spira a distanza infinita che corrisponde all'energia potenziale della
spira è , perciò, pari alla somma dei lavori L1 e L3, cioè:
∞
U = ∫ iLB ( x)dx −
0
∞
∫ iLB( x)dx = −
− L cos θ
0
( x)dx = −iL B cos θ
∫ iLB
θ
2
(7)
− L cos
dove abbiamo sfruttato il fatto che, per ipotesi, il campo è uniforme nella regione occupata
inizialmente dalla spira, cioè B(x) = B = costante nell'intervallo [- Lcosθ, 0]. Utilizzando il momento
magnetico µ = i L2 n , la relazione (7) puo' essere scritta nella forma generale:
U = − µ • B = - µ B cosθ
(8)
Anche la relazione (8) è stata ottenuta nel caso particolare di una spira quadrata in presenza di un
campo che varia solamente lungo l'asse x. Comunque, si può dimostrare che la relazione (8)
continua a valere per qualunque tipo di spira piana e per qualunque campo che sia uniforme nella
regione occupata dalla spira. L'energia U è minima per θ = 0 e massima per θ = π. Dunque, un
momento magnetico tende ad allinearsi parallelamente al campo magnetico ( θ = 0). Questo è
in totale accordo con il fatto che il momento di forza risulta nullo per θ = 0 e θ = π. Anche la
relazione (8) è stata ricavata in un caso particolare ( spira quadrata in un campo che dipende solo
dalla coordinata x) ma è possibile dimostrare che tale espressione ha una validità del tutto generale
3
qualunque sia la forma del campo e della spira purchè il campo magnetico sia uniforme ( o quasi
uniforme) nella regione occupata dalla spira.
Forza su un dipolo magnetico in un campo non uniforme.
In generale abbiamo dimostrato che la forza totale agente su una spira immersa in un campo
magnetico uniforme è nulla mentre ci si aspetta la presenza di una forza nonnulla se il campo varia
spaziamente. La relazione (8) permette di calcolare facilmente la forza agente su una spira se il
campo non è uniforme purchè le variazioni relative del campo nella regione occupata dalla spira
siano piccole ( campo quasi uniforme). Una situazione di questo tipo si verifica spesso nei casi
pratici. Se il campo è quasi uniforme, l'energia può essere scritta nella forma (8) poichè il valore
del campo è praticamente lo stesso in tutti i punti della spira. D'altra parte, come sappiamo dalle
leggi generali della Meccanica, la forza è pari a meno il gradiente dell'energia potenziale . Dunque:
r
r
F = −∇ ( − µ • B ) = ∇ ( µ • B )
(9)
r
r
∂ ∂ ∂
dove il simbolo ∇ rappresenta l'operatore vettoriale gradiente ∇ = ( , , ) . Per il calcolo
∂x ∂y ∂z
esplicito della forza in eq.(9) dobbiamo ricordare che la (9) è una relazione vettoriale e corrisponde,
in realtà, a 3 equazioni scalari distinte per ciascuna componente della forza. In particolare:
∂ ( µB cos θ )
∂x
∂( µB cos θ )
Fy =
∂y
∂ ( µB cos θ )
Fz =
∂z
Fx =
(9 bis)
Se B varia al variare della posizione della spira, allora U = − µ • B diventa una funzione della
posizione e, di conseguenza c'è una forza risultante sulla spira. Nel caso, invece, di un campo
completamente uniforme, l'energia U è indipendente dalla posizione della spira e, dunque, la forza
totale è nulla come avevamo dimostrato in precedenza.
Le formule (3), (8) e (9) sono molto utili quando si debbano calcolare momenti di forze e
forze su circuiti elettrici. Tutte queste formule fanno intervenire solamente il vettore momento
magnetico µ che caratterizza completamente l'interazione di una spira con un campo se il campo è
uniforme o quasi uniforme nella regione occupata dalla spira. La definizione da noi data in eq.(2)
di momento magnetico è applicabile solamente a spire che giacciano interamente su un unico piano
( spire piane). Solo in tale caso, infatti, è possibile definire in modo non ambiguo l'area A della
superficie della spira e la normale n alla spira. Infatti, la normale è individuata dalla direzione
perpendicolare al piano su cui giace la spira. Molto spesso, però, si ha a che fare con spire che non
giacciono interamente su un unico piano. Ad esempio, un avvolgimento elicoidale ( solenoide)
percorso da una corrente con le estremità finali poste in contatto non è ovviamente riconducibile ad
una spira piana . Tuttavia, anche in questo caso ( spira non piana) si può dimostrare che le relazioni
(3), (8) e (9) restano valide purchè si definisca opportunamente il momento magnetico associato con
la distribuzione di correnti ( qui per motivi di semplicità non si riporta questa definizione più
generale di momento magnetico). In generale, un momento magnetico µ può essere associato a
qualunque distribuzione di correnti circolanti. Ad esempio, anche una carica elettrica distributa
all'interno di una sfera ruotante attorno ad un asse passante per il centro dà origine a correnti
circolari e, quindi, possiede un momento magnetico ben definito diretto lungo l'asse di rotazione.
Per questo motivo anche particelle elementari come protoni ed elettroni ( ma anche neutroni!!)
4
posseggono un momento magnetico e sono soggette a momenti di forza e forze del tipo in eq.(3) e
(9).
Per il calcolo dei momenti magnetici di spire non piane risulta utile la seguente proprietà:
Per quanto riguarda l'interazione con campi magnetici, una qualunque spira percorsa da una
corrente i risulta del tutto equivalente ad un sistema costituito da 2 o più spire percorse dalla stessa
corrente i. Si consideri, ad esempio, la spira rettangolare percorsa dalla corrente i mostrata in figura
3. La spira può essere immaginata come la somma di due spire adiacenti ( indicate con 1 e 2 in
figura) aventi un lato AB a comune ( tratteggiato) e percorse dalla stessa corrente i.
A
i
1
i
i
2
B
Figura 3
Come si può facilmente verificare osservando la figura, i rami non a comune della due spire sono
percorsi da una corrente risultante pari ad i e diretta esattamente nello stesso verso della corrente
che fluisce nella spira grande. Invece, nel lato a comune AB tratteggiato in figura, la corrente
risultante è nulla poichè le correnti delle due spire adiacenti sono uguali ed opposte. Ma allora, la
distribuzione di correnti risultante dalla sovrapposizione delle due spire è esattamente la stessa che
caratterizza la spira grande. Dunque, anche le forze e i momenti di forza totali agenti sulle due spire
dovranno essere esattamente uguali alla forza e al momento di forza agente sulla spira grande.
Possiamo verificare immediatamente la validità di questo risultato per quanto riguarda il momento
di forza. Il momento di forza agente sulla spira grande rettangolare di area A e normale n è:
dove
τ = µ ×B
(10)
µ=iAn
(11)
D' altra parte, il momento di forza totale agente sulle due spirettine di area A1 e A2 è
dove
τ = µ1 × B + µ2 × B = (µ1 + µ2) × B
(12)
µ1= i A1 n
(13)
e µ2 = i A2 n
Ma A1+A2 = A e, quindi, µ1+µ2 = µ = iA. Dunque, la (12) è esattamente uguale alla (10). In
particolare, il momento magnetico di una spira percorsa da corrente può essere sempre calcolato
come somma dei momenti delle due spire ( µ = µ1 + µ2). Lo studente può facilmente verificare che
questo risultato continua a valere anche se una spira viene suddivisa idealmente in N spirettine
adiacenti percorse dalla stessa corrente come mostrato schematicamente in figura 4. Anche in
questo caso, il momento magnetico della spira è uguale alla somma dei momenti magnetici delle N
spire, cioè:
5
µ = µ1 + µ2 + .......+ µN
(14)
Figura 4
Il risultato (14) risulta particolarmente utile quando si ha a che fare con spire non piane per le quali
il momento magnetico µ non può essere calcolato utilizzando la relazione (2). Se, però, la spira non
piana viene suddivisa idealmente in spire piane adiacenti allora il momento magnetico può essere
calcolato utilizando la (14). Come esempio lo studente svolga l'esercizio 1 qui sotto riportato.
Esercizio 1: Una spira non piana è percorsa da una corrente i come mostrato dalla figura
sottostante. I 6 lati della spira hanno lunghezza L. Un campo di induzione magnetica uniforme di
modulo B giace nel piano xz e fa un angolo θ con l'asse x. 1 - Si dica per quale valore dell'angolo
θ = θeq la spira si trova in equilibrio. 2 - Si trovi direzione, modulo e verso del momento di forza τ
agente sulla spira quando il campo magnetico è diretto lungo l'asse x ( θ = 0).
B
z
y
i
θ
x
L
Soluzione: 1 - La spira percorsa da corrente è un momento di dipolo magnetico e, quindi , è
sottoposta ad una coppia che tende ad orientare il momento parallelamente al campo. Dunque, la
spira sarà in equilibrio se il campo B è diretto lungo il momento magnetico µ della spira. Si deve,
quindi calcolare il momento magnetico della spira e trovare come è orientato. Per far questo non
possiamo utilizzare l'espressione del momento magnetico di una spira piana. Tuttavia, possiamo
scomporre la spira in due spire quadrate di lato L adiacenti che hanno 3 lati ciascuna a comune con
la spira grande e un lato a comune fra di loro giacente sull'asse y. Le normali alle due spire sono
orientate , rispettivamente, lungo l'asse x ( versore i) e l'asse z ( versore k). Il momento magnetico
risultante della spira grande sarà , perciò:
6
µ = i L2 i + i L2 k = i L2 ( i + k )
che è un vettore di modulo µ = 21/2 i L2 che giace nel piano xz e forma un angolo α = π/4 con l'asse
x. Ma allora, l'orientazione del campo magnetico che garantisce l'equilibrio della spira è data da
θeq = α = π/4.
2- Se l'angolo del campo è θ = 0 allora il momento magnetico forma un angolo α = π/4 con il
campo di induzione magnetica e, quindi, la spira è soggetta ad un momento di forza τ diretto lungo
l'asse y nel verso positivo dell'asse. La componente y del momento di forza è
τ y = µB sin (α ) = 2iL2 B sin (α ) = iL2 B
Questo risultato ha una semplice interpretazione: come abbiamo visto, la spira può essere pensata
come la sovrapposizione di due spire ortogonali con momenti di dipolo orientati rispettivamente
lungo l'asse x parallelo al campo e lungo l'asse z perpendicolare al campo. Entrambi i momenti
hanno lo stesso modulo iL2. Sul momento parallelo al campo non viene esercitato nessun momento
di forza ( sin θ = 0), dunque il momento di forza è dovuto solamente al momento perpendicolare al
campo ( sin θ = 1) e, quindi, il momento risultante è proprio dato dalla relazione precedente.
Esercizio 2- Nello spazio compreso fra due piani individuati da x = 0 e x = h è presente un campo
magnetico diretto lungo l'asse y come mostrato in figura e dipendente dal valore della coordinata y
secondo la legge B = γ y j dove γ è un coefficiente costante. L'asse z è uscente dal piano della
figura. Un fascio di neutroni con momento magnetico µ = µ j e massa m viaggia lungo l'asse x nel
verso positivo con velocità v = vo i.
Schermo
y
B
µ
vo
0
h
L
x
1 - Si trovino le coordinate y e z che individuano la posizione dei neutroni quando escono dal campo
( x = h).
2 - Si trovino le coordinate y e z dei neutroni quando incidono su uno schermo perpendicolare
all'asse x posizionato in x = L > h.
Soluzione: 1- Poichè il momento magnetico è diretto lungo il campo di induzione magnetica, il
momento di forza agente sul dipolo è nullo e, quindi l'orientazione del dipolo si mantiene sempre
parallela all'asse y durante il moto successivo. Il campo magnetico, però, varia lungo y e, quindi,
l'energia del dipolo dipende da y secondo la legge: U = - µ • B = - µ γ y. Dunque, è presente una
forza pari a F = - ∇ U che agisce sui dipoli magnetici quando entrano nel campo. Poichè U dipende
solo da y, la forza magnetica ha solo componente y ( vedi eq. (9bis)) pari a:
7
∂U
=µγ
∂y
Dunque, i protoni vengono accelerati lungo y con accelerazione ay = µ γ /m. Il moto è
qualitativamente simile a quello di un grave nel campo di gravità ( moto parabolico). In particolare,
la traiettoria resta sempre nel piano xy ( non c'è velocità o accelerazione lungo z ). Sia t = 0 l'istante
in cui un neutrone arriva nell'origine, allora le coordinate al tempo t saranno:
Fy = −
x(t) = vo t
y(t) = µ γ t2 /(2 m)
Il neutrone raggiunge l'uscita dal campo ( x = h) al tempo t = to = h/vo che, sostituito
nell'espressione di y(t) fornisce la coordinata y di uscita dei neutroni:
y = yo = µ γ h2 / (2 m vo2)
2 - Una volta usciti dal campo, nel punto x = h, y = yo, il neutrone non è più soggetto a forze e,
quindi continua a muoversi di moto rettilineo ed uniforme lungo la direzione individuata dalla
velocità di uscita ( la velocità raggiunta al tempo t = to = h/vo). Le componenti x ed y di tale velocità
sono
vx = vo
vy = µ γ to / m = µ γ h / (mvo)
Dunque, la traiettoria dopo l'uscita dal campo è una retta che forma con l'asse x l'angolo θ dato da:
tan θ =
vy
=
µγh
v x mvo2
La coordinata ys del punto di impatto su uno schermo posto in x = L > h è, perciò ( vedi figura):
y s = y o + ( L − h) tan θ =
µγh
h
L −
2
mv
2
o
y
θ
ys
yo
x
Esercizio 3 - Lo studente dimostri che la forza totale agente su un filo rettilineo di lunghezza data
percorso da corrente i e immerso in un campo di induzione magnetica uniforme B è come se fosse
applicata nel punto centrale O del filo. Suggerimento: si faccia vedere che il momento di forza
totale rispetto ad O dovuto alle forze infinitesime agenti sui singoli elementi infinitesimi di filo è
nullo.
8
Soluzione: Se la forza totale è applicata nel punto O allora il momento di forza totale rispetto ad O
deve essere nullo. Ma il momento di forza totale è pari alla somma dei momenti infinitesimi agenti
su ciascun trattino infinitesimo di filo. Sia r il vettore che congiunge il punto O con un generico
elemento infinitesimo di lunghezza dl ( vedi figura). Poichè il campo è uniforme, la forza
elementare agente su un generico trattino di filo è
dF = i dl × B
ed ha lo stesso valore in ogni punto del filo ( i , dl e B hanno lo stesso valore in ogni punto). Il
momento di forza elementare esercitato su un generico trattino di filo è:
dτ = r × dF
dove r è il vettore che congiunge il punto O con il trattino di filo. Ora, se consideriamo due generici
trattini di filo simmetrici rispetto ad O, i vettori r relativi a tali trattini sono uguali ed opposti
mentre i vettori dF sono uguali, dunque i momenti di forza elementari rispetto ad O associati con
trattini di filo simmetrici rispetto ad O sono anch'essi uguali ed opposti. Il momento di forza
risultante dovuto ai trattini di filo a destra del punto O è, perciò uguale ed opposto a quello dovuto
ai trattini a sinistra. Ne consegue che il momento di forza risultante rispetto ad O è nullo. Dunque, a
tutti gli effetti è come se la forza totale fosse applicata nel punto centrale del segmento.
dl
i
r
O
Esercizio da fare a casa: Una spira circolare di raggio a = 10 cm è percorsa da una corrente i = 3
A nel verso indicato in figura e giace nel piano xy. 1- Si trovino le componenti x, y e z del momento
di dipolo magnetico µ della spira. 2- Se un campo di induzione magnetica B = ( Bx, By, Bz) =
( 1,1,1) T è applicato sulla spira, si calcolino le componenti x, y e z del momento di forza agente
sulla spira. 3- Si calcoli il lavoro fatto da un operatore esterno per estrarre la spira dalla regione
dove è presente il campo magnetico. 4 - Si calcoli la forza agente sulla spira. 5 - si dica quale ( o
quali) devono essere le direzioni del campo applicato se si vuole che il momento di forza agente
sulla spira sia diretto lungo l'asse y. [ Per le domande 1,2 ,3 e 4 si scrivano le risposte analitiche ( in
termini di a, i , Bx, By e Bz) e si calcolino i valori numerici]
y
i
x
9
Soluzione : 1 - ( 0,0, iπa2) = (0,0, 0.094) Am2. 2- ( - iπa2 By , iπa2Bx, 0) =( - 0.094, 0.094, 0) N m.
3 - L = - U = iπa2 Bz = 0.094 J. 4 - F = 0 poichè il campo è uniforme. 5 - il campo magnetico deve
essere applicato lungo una qualunque direzione nel piano xz.
10
