Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE E: LORENTZ E FARADAY
MOTO DI CARICHE IN CAMPI MAGNETICI
E1. Un protone (q = 1.6(1019)C, m = 1.67(1027)kg) con una velocità iniziale
v = 4(106 m/s)i + 4(106 m/s)j entra in una zona dove vi è un campo magnetico uniforme B = 0.3 T i.
La traiettoria del protone sarà un’elica con passo P pari circa a
(A) 21 m
(B) 3.14 m
(C) 1.7 m
(D) 0.87 m
(E) 98 mm
SOLUZIONE. Il
protone è sottoposto alla forza di Lorentz
. Questo implica:
1. che solo la componente della sua velocità perpendicolare a B, v, viene influenzata da B;
2. che, poiché la forza di Lorentz è perpendicolare a v, essa causerà un’accelerazione di tipo
centripeto nel piano ortogonale a B;
3. che il moto del protone nella direzione di B sarà rettilineo e uniforme con velocità v.
Uguagliando il modulo della forza di Lorentz al modulo della forza centripeta che agisce sul
protone si ricava il raggio R dell’elica:
Il periodo T del moto circolare è quindi
Il passo P dell’elica corrisponde alla distanza percorsa dal protone nella direzione di B in un tempo
T:
E2. Un protone e una particella pesante circa quattro volte il protone e con carica doppia,
inizialmente fermi, vengono accelerati dalla stessa differenza di potenziale V ed entrano in una
regione dello spazio con un campo magnetico B perpendicolare alla loro velocità di entrata. Se il
protone descrive in tale regione una traiettoria con raggio di curvatura Rp , il raggio di curvatura
della particella nel limite classico è di circa
(A) 1.41 Rp
(B) 1.73 Rp
(C) 1.53 Rp
(D) 3.31 Rp
(E) _____
SOLUZIONE. Dette mP e qP massa e carica del
protone e indicando con il pedice 2 le quantità
relative alla seconda particella, le velocità di ingresso delle due particelle nel campo magnetico si
trovano uguagliando il lavoro del campo elettrico all’energia cinetica acquisita dalle particelle:
√
√
(
)
√
Il raggio di curvatura è dato dall’espressione ricavata nell’esercizio precedente:
quindi inserendo la prima relazione nella seconda si trova
√
√
√
E3. Un elettrone con velocità v = (3106 m/s)i +(4106 m/s)j si muove in un campo magnetico
B = (0.04 T)i (0.03T)j. Il modulo della forza agente sull'elettrone è di
(A) 1.61014 N (B) 2.91014 N (C) 3.81014 N (D) 4.01014 N (E) ______
1
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ESERCITAZIONE E: LORENTZ E FARADAY
SOLUZIONE. Dato che i vettori v e B giacciono nel piano xy, il vettore F = qvB è parallelo
all’asse z. Calcolando il prodotto vettoriale troviamo
| |
|(
| |
) [
|
[
(
]|
)
]|
E4. Un protone (mp = 1.671027 kg, q = 1.61019 C) entra con velocità di modulo |v| = 6(106) m/s
in un campo magnetico uniforme B = Bzk e descrive una spirale di raggio R = 10 m e passo
d = 10 m. L’angolo acuto formato tra le direzioni di B e di v vale circa
(A)22°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 81°
(E) 90°
SOLUZIONE. Dato che B è diretto come l’asse z, la forza di Lorentz F = qvB non ha componenti
lungo tale asse e la spirale descritta dal protone è la combinazione di un moto circolare uniforme nel
piano xy e di un moto rettilineo uniforme lungo l’asse z. Indicata con v la componente della
velocità che giace nel piano xy e con vz la componente parallela a B, l’angolo si ricava dalla
relazione
v
tan
vz
2πr
vz è legata al passo della spirale dalla relazione d v zT con T
, dunque
v
v
2πR
tan
2π 81
vz
d
E5. Dopo essere stato accelerato da una differenza di potenziale V = 300 V un protone entra in una
regione dove il campo di induzione magnetica è perpendicolare alla direzione del moto e in cui
descrive una traiettoria circolare di raggio R = 20 cm; il modulo di B vale circa
(A) 1.44 mT
(B) 7.6 mT
(C) 12.5 mT
(D) 31.4 mT
(E) 74.5 mT
SOLUZIONE. La velocità di ingresso del protone nel campo magnetico si trova uguagliando il
lavoro del campo elettrico all’energia cinetica acquisita dalla particella:
√
Come ricavato nell’esercizio 1, per il raggio del moto del protone vale la relazione
√
√
√
E6. La forza che si esercita su uno ione He2+ (carica 2e = 21.61019 C, massa m 4 uma) in moto
con velocità v = 105 m/s in un campo magnetico di modulo B = 0.8 T perpendicolare alla direzione
del moto vale
(A) 9.8(107) N
(B) 2.56(1014) N (C)3.2(1014) N (D)2.05(1014)N (E)2.6(109)N
2
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ESERCITAZIONE E: LORENTZ E FARADAY
SOLUZIONE. Utilizziamo l’espressione della forza di Lorentz:
E7. Uno ione diretto lungo l’asse x non viene deflesso in una regione dello spazio in cui vi è un
campo elettrico di modulo E = 1.37 kV /cm nella direzione y e un campo magnetico di modulo
B = 0.14 T lungo z. La velocità dello ione è di circa
23
(A) 8.8(1015) m/s (B) 3.43(10 ) m/s (C) 980 km/s
(D) 550 km/s
(E)_____
SOLUZIONE. La situazione è rappresentata in figura nel
caso di uno ione positivo. Lo ione è sottoposto alla forza di
Coulomb FC e alla forza di Lorentz FL che hanno la stessa
direzione ma versi opposti e, dato che la particella non
viene deflessa, devono essere uguali in modulo:
FC
y
E
v
x
z
B
FL
INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
E8. Una spira rettangolare di altezza l 40 cm è
B = 0.2 T
completata da un contatto mobile che viene spostato verso
destra alla velocità costante v 3 m/s. Se il piano della
3 m/s
spira è perpendicolare a un campo d’induzione magnetica
40 cm
3
uniforme di modulo B 0.2 T e la resistenza complessiva
della spira è R 3 , la forza necessaria per spostare il
contatto mobile è pari a:
(A) 0.24 N
(B) 0.08 N
(C) 3.14 mN
(D) 6.40 mN
(E) 9.80 mN
SOLUZIONE. L’aumento di flusso del campo magnetico attraverso la superficie chiusa delimitata
dalla spira e dal contatto mobile genera nel circuito una f.e.m. pari a Blv. La corrente indotta nella
spira, in senso antiorario, è
Il contatto mobile è quindi sottoposto a una forza
(l B) 2 v (0.4 0.2) 2 3
6.40 mN
R
3
con la stessa direzione del suo moto ma verso opposto, che rappresenta la forza necessaria per
spostarlo.
F IlB
3
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ESERCITAZIONE E: LORENTZ E FARADAY
E9. Per rivelare le vibrazioni di un macchinario si collega a questo un
avvolgimento quadrato, lato medio L 5 cm, costituito da
N 1000 spire e posto per circa la metà tra i poli di un magnete
permanente dove B 0.3 T. Se i terminali dell’avvolgimento vanno a
un oscilloscopio che consente di stimare al minimo una f.e.m. di
0.5 mV, qual è approssimativamente la minima velocità di spostamento
rilevabile?
(A) 1 m/s
(B) 33 mm/s
(C) 1 mm/s
(D) 33 m/s
(E) 10 m/s
B
z
y
x
SOLUZIONE. La f.e.m. indotta nell’avvolgimento e letta dall’oscilloscopio vale NLBv dove v è
la velocità dell’avvolgimento dovuta alle vibrazioni del macchinario. Perché questa f.e.m. sia letta
dall’oscilloscopio, è necessario che si abbia:
5 10 4
5 10 4
f . e . m . 0.5 mV N L B v 5 10 4 v
33.3μm/s .
N L B 1000 0.05 0.3
E10. Un avvolgimento quadrato di N = 300 spire di lato L = 20 cm è fatto ruotare con velocità
angolare costante attorno a una sua diagonale in un campo uniforme B che forma un angolo di
= 30° con l’asse di rotazione. Se |B| = 0.7 T e ai capi dell’avvolgimento si misura una
f.e.m. alternata sinusoidale con un valore efficace Veff = 2.97 V, la velocità angolare di rotazione
è
(A) 0 rad/s
(B) 0.5 rad/s
(C) 1.0 rad/s
(D) 2.0 rad/s
(E) indeterminata
SOLUZIONE. Possiamo scegliere il sistema di
riferimento della figura, con l’asse di rotazione
dell’avvolgimento coincidente con l’asse x. In questo
sistema, le componenti di B e di n sono rispettivamente:
( )
{
{
(
)
( )
e il flusso di B attraverso l’avvolgimento vale
( )
( )
(
)
La forza elettromotrice indotta nell’avvolgimento è perciò:
d (B)
V
N S B sin( ) sin( t )
dt
il cui valore efficace è
V
1
Veff max
N S B sin( )
2
2
La velocità angolare di rotazione dell’avvolgimento è quindi:
Veff 2
2.97 2
1.00 rad/s
N S B sin( ) 300 0.7 0.22 1
2
y
B
n
E11. Un solenoide di N = 300 spire avvolte su un cilindro di ferro (r = 600),
lungo L = 40 cm e con una sezione S = 8 cm2, porta una corrente I = 1.2 A. Il
flusso di B attraverso una sezione del solenoide vale circa:
(A) 0.90 Wb
(B) 2.84 Wb
(C) 26.5 Wb
(D) 170 Wb
(E) 543 Wb
4
x
ϑ
z
I
S
L
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ESERCITAZIONE E: LORENTZ E FARADAY
SOLUZIONE. Il campo magnetico all’interno del solenoide vale in modulo
e il suo flusso attraverso una qualunque sezione vale
( )
E12. Un filo d’argento è avvolto su di un cilindro isolante vuoto e
chiuso tra i punti Z e Y come in figura. Una barra di rame, inizialmente
a destra del cilindro, è spinta con velocità costante attraverso il cilindro
finché emerge completamente a sinistra. Durante questo moto:
(A) degli elettroni passano da Y a Z e dopo da Z ad Y
(B) degli elettroni passano da Z ad Y e dopo da Y a Z
(C) non vi è corrente tra Y e Z
(D) degli elettroni passano da Y a Z
(E) degli elettroni passano da Z a Y
Z
Y
SOLUZIONE. Il passaggio della barra di rame nel solenoide non causa in alcun caso un cambio
del flusso di B concatenato dal filo d’argento del solenoide essendo la permeabilità magnetica del
rame praticamente uguale a 1. Non si eccita è perciò alcuna f.e.m. e alcuna corrente.
E13. La candela di un motore a scoppio è alimentata attraverso un avvolgimento, di resistenza
trascurabile, costituito da N = 7000 spire avvolte su un cilindro ferroso di raggio r 1 cm in cui il
campo d’induzione magnetica B viene portato da 1 T a 0.1 T in t 0.2 ms. Il valore medio della
differenza di potenziale ai capi dell’avvolgimento è di circa:
(A) 1.4 V
(B) 10 V
(C) 100 V
(D) 103 V
(E) 104 V
SOLUZIONE. Il valore medio della f.e.m. indotta nell’avvolgimento a causa della variazione di
intensità del campo magnetico è
(
)
⟨
⟩
D
E14. Un solenoide lungo L = 20 cm consiste di N = 400 fili avvolti su di un
cilindro di alluminio di diametro D = 6 cm. Se l’avvolgimento è percorso da una
corrente oscillante sinusoidalmente con valore massimo I0 = 2 A e periodo
T = 20 ms, la differenza di potenziale massima misurata ai capi di una spira
interrotta posta attorno al solenoide vale circa
(A) 0.45 mV
(B) 1.1 mV
(C) 1.79 mV
(D) 4.5 mV
(E) _______
SOLUZIONE. La corrente che percorre l’avvolgimento oscilla secondo la legge
( )
(
I
f.e.m
.
)
Poichè l’alluminio è un materiale paramagnetico,
vale in modulo
r
( )
1 e il campo B all’interno dell’avvolgimento
( )
5
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ESERCITAZIONE E: LORENTZ E FARADAY
Poiché il modulo del campo magnetico varia nel tempo e tutto il flusso di B è concatenato con la
spira interrotta posta attorno al solenoide, in quest’ultima si induce una f.e.m. pari in modulo a
( )
( )
|
( )| |
|
( )
|
|
( )
(
)
il cui valor massimo è
E15. Una bobina di N = 100 spire e area S = 150 cm2 il cui asse è parallelo a z si trova inizialmente
nel campo magnetico B uniforme di componenti cartesiane Bx = 0.3 T, By = 0.4 T, Bz = 0.5 T. Il
campo magnetico B viene portato a zero con velocità di cambio costante in un tempo t = 0.2 s. In
tale intervallo di tempo, il valore medio della forza elettromotrice indotta nella bobina vale circa
(A) 1.0 V
(B) 1.125 V
(C) 1.2 V
(D) 3.75 V
(E) ________
SOLUZIONE. Le componenti x e y di B non contribuiscono al flusso del campo magnetico
attraverso la bobina. Si ha pertanto:
( )
⟨
( )⟩
Il valor medio della f.e.m. indotta è uguale al suo valore istantaneo, che è costante nell’intervallo di
tempo t e pari a quello sopra ricavato perchè il problema specifica che il campo magnetico B viene
portato a zero con velocità di cambio costante.
E16. Un avvolgimento circolare (raggio R = 10 cm) di
N = 150 spire al tempo t = 0 si trova nel piano xy con
centro coincidente con l’origine e in presenza di un
campo magnetico costante B = Bzk con Bz= 0.3 T. Se
l’avvolgimento ruota con velocità angolare costante
2π / T avendo come asse di rotazione l’asse delle x
e il massimo voltaggio misurato ai capi
dell’avvolgimento è V0 = 88.8 V, il periodo T di
rotazione dell’avvolgimento è di circa
(A) 50 ms
(B) 70 ms
(C) 100 ms
(D) 167 ms
(E) _____
z
B
y
x
SOLUZIONE. Il flusso del campo attraverso
l’avvolgimento varia secondo la legge
( )
(
La f.e.m. indotta nell’avvolgimento dalla sua rotazione vale pertanto
( )
E
e il suo valor massimo è pari a
(
)
6
)
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ESERCITAZIONE E: LORENTZ E FARADAY
E17. Una bobina è costituita da N = 100 spire di diametro D = 1.2 cm e ha una resistenza pari a
R = 200 . Nell’intervallo di tempo t la bobina viene estratta completamente da un campo
magnetico B parallelo all’asse della bobina, e in tale intervallo attraverso la bobina passa in media
una carica Q = 32 C. Il modulo di B vale
(A) 0.283 T
(B) 0.354 T
(C) 0.566 T
(D) 0.707 T
(E) 1.132 T
SOLUZIONE. Il flusso iniziale attraverso la bobina vale
( )
( )
Poiché la bobina viene estratta completamente dal campo
( )
( )
( )
( )
Per la legge di Ohm deve essere
⟨
⟩
⟨ ⟩
e poiché la carica Q che attraversa la bobina è pari a
⟨ ⟩
⟨ ⟩
( )
si ha
( )
E18. Un lungo solenoide con diametro d = 50 cm è costituito da Nsol = 2000 spire/metro e percorso
da corrente Isol = 15 A. Al centro del solenoide sono avvolti n = 15 giri di un filamento di costantana
chiusi su se stessi e con resistenza complessiva R = 3 (il diametro dell’avvolgimento di
costantana è uguale a quello del solenoide). Se la corrente nel solenoide viene spenta in un tempo
t = 2 ms, la corrente media che percorre il circuito di costantana durante lo spegnimento vale
(A) 3.46 A
(B) 10.1 A
(C) 15.1 A
(D) 18.5 A
(E) 40.4 A
SOLUZIONE. Il campo B all’interno del solenoide vale in modulo
mentre il flusso iniziale di B attraverso il filamento di costantana vale
( )
( )
Poiché la corrente nel solenoide viene spenta si ha
( )
( )
( )
( )
Per la legge di Ohm deve essere
⟨
⟨ ⟩
⟩
( )
( )
7
⟨ ⟩
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ESERCITAZIONE E: LORENTZ E FARADAY
E19. Una spira metallica circolare di raggio r = 10 cm e massa
m = 250 g con resistenza elettrica R = 50 m ha giacitura orizzontale
(piano xy) e scende per gravità lungo la verticale (z) verso il polo Nord
di una barra magnetica verticale. In una zona limitata in prossimità
della sommità della barra (z = 0), le componenti di B sono
rappresentabili analiticamente da
Bx A z x; B y A z y; Bz B0 A z 2 con A = 9 T/m2 e
B0 = 0.5 T . Se nel punto zC = 10 cm la spira scende con velocità
|vC| =9.8 m/s, la corrente indotta che circola nella spira vale
(A) 11.1 A
(B) 22.2 A
(C) 33.3 A
(D) 44.3 A
zC
B
vC
B
z
y
O
x
(E) 55.4 A
SOLUZIONE. Il flusso di B attraverso la spira in prossimità della somma della barra vale con
buona approssimazione
( )
(
)
e la sua derivata rispetto al tempo vale, nel punto zC:
( )
( )
( )
(
)
(
) (
)
Per la legge di Ohm deve essere
|
|
E20. Con riferimento al problema precedente, la forza magnetica che in zC spinge la spira in su vale
circa
(A) 15.67 N
(B) 10.03 N
(C) 5.64 N
(D) 2.51 N
(E) 0.63 N
SOLUZIONE. Utilizzando la regola della mano destra si comprende
che la forza magnetica che spinge la spira in su è dovuta alle componenti
del campo magnetico complanari alla spira, cioè al modulo della somma
vettoriale
:
√
|
|
La forza magnetica che si oppone al moto della spira vale dunque, in zC:
( ) ( )
Bx+By
r
y
x
E21. Con riferimento ai problemi precedenti, la carica complessiva Q che circola nella spira nel
tempo in cui passa da un punto dell’asse z molto distante dalla barra magnetica al punto O sulla
barra vale circa
(A) 0.63 C
(B) 0.31 C
(C) 0.94 C
(D) 1.26 C
(E) 1.57 C
SOLUZIONE. In un punto dell’asse z molto distante dalla barra magnetica, B e relativo flusso
attraverso la spira sono all’incirca nulli; il flusso finale attraverso la spira è pertanto uguale alla
variazione del flusso stesso dalla posizione iniziale a quella finale. Deve quindi essere
| |
| | ⟨ ⟩
| | ⟨ ⟩
8
