esercitazione micro 1

Esercizi
per il corso di Microeconomia 1, a.a. 2005/06
1. Data la seguente funzione di utilità U = 2x1 + x 2 si calcoli l’utilità marginale dei beni x1 e x 2 .
Soluzione:
UM(x1 ) = U ′(x1 ) = (2x1 + x 2 )′ = 2
UM(x 2 ) = U ′(x 2 ) = (2x1 + x 2 )′ = 1
2. Data la seguente funzione di utilità a) U = 3x1 x 2 , b) U = x13 + 3x 2 ; si calcoli l’utilità marginale del
bene x1.
Soluzione:
a) UM (x1 ) = U ′(x1 ) = (3x1 x 2 )′ = 3x 2
b) UM (x1 ) = U ′(x1 ) = (x13 + 3x 2 )′ = 3x12
3. Laura consuma il vino ed il formaggio e ha il reddito mensile pari a 100 Euro. Il prezzo del vino
è PV = 5 E , il prezzo del formaggio è PF = 2 E . Scrivete la formula del vincolo di bilancio di Laura,
tracciatelo graficamente, calcolate la sua pendenza. Cosa accade se il reddito mensile di Laura
aumenterà fino a 150 Euro? Se il prezzo del formaggio aumenterà fino a PF = 4 E ?
Soluzione:
La formula del vincolo di bilancio è P1 * Q1 + P2 * Q2 = Re ddito ; quindi il vincolo di bilancio
di Laura è 5QV + 2QF = 100 .
L’intercetta orizzontale del vincolo di bilancio è Int.orizz. =
l’intercetta verticale del vincolo di bilancio è Int.vert. =
la pendenza è Pendenza =
Re ddito 100
=
= 50 ,
PF
2
Re ddito 100
=
= 20 ,
PV
5
PF 2
= = 0.4
PV 5
Graficamente:
1
20
50
formaggio
Se il reddito di Laura aumenta, allora il nuovo vincolo di bilancio sarà 5QV + 2QF = 150 .
L’intercetta orizzontale del vincolo di bilancio è Int.orizz. =
l’intercetta verticale del vincolo di bilancio è Int.vert. =
Re ddito 150
=
= 75 ,
PF
2
Re ddito 150
=
= 30 ,
PV
5
la pendenza non cambia Pendenza = 0.4
Graficamente:
2
30
20
50
75
formaggio
Se il prezzo del formaggio aumenta, allora il nuovo vincolo di bilancio sarà 5QV + 4QF = 100 .
L’intercetta orizzontale del vincolo di bilancio è Int.orizz. =
Re ddito 100
=
= 25 ,
PF
4
l’intercetta verticale non cambia Int.vert. = 20 ,
la pendenza è Pendenza =
PF 4
= = 0.8
PV 5
Graficamente:
3
20
25
50
formaggio
4. Francesco ha il reddito mensile di 1000 Euro e lo spende mangiando nei ristoranti oppure
andando in giro con la macchina. Un pasto al ristorante costa PR = 50E , mentre un litro di benzina
PB = 1.25E . Scrivete la formula del vincolo di bilancio di Francesco, tracciatelo graficamente,
calcolate la sua pendenza. Cosa accade se il governo introduce il razionamento della benzina al
livello di 200 litri di benzina al mese? Quante volte Francesco può mangiare nei ristoranti se decide
di consumare la quantità massima disponibile di benzina?
Soluzione:
Il vincolo di bilancio: 50QR + 1.25QB = 1000 .
4
L’intercetta orizzontale del vincolo di bilancio: Int.orizz. =
l’intercetta verticale del vincolo di bilancio: Int.vert. =
la pendenza: Pendenza =
Re ddito 1000
=
= 800 ,
PB
1.25
Re ddito 1000
=
= 20 ,
PR
50
PB 1.25
=
= 0.025 .
PR
50
Graficamente:
20
800
benzina
Il governo introduce il razionamento della benzina:
5
20
15
200
benzina
800
Francesco decide di consumare la quantità massima della benzina (200 litri) e quindi spende
per la benzina 200 *1,25E = 250E . Il resto del suo reddito 1000 − 250 = 750E Francesco
spende per i pasti nei ristoranti, quindi ci può andare
750E
= 15 volte.
50E
5. Maria ha il reddito mensile di 500 Euro e lo spende per le pizze e DVD. Il prezzo di pizze è
PP = 5E , mentre il prezzo di DVD dipende dalla quantità acquistata. Se si acquista fino a 10 DVD
( 0 < QDVD ≤ 10 ), il prezzo è PDVD1 = 25E , se si acquista più di 10 e fino a 20 DVD ( 10 < QDVD ≤ 20 ),
il prezzo è PDVD2 = 20E ; alla fine, se si acquista più di 20 DVD ( QDVD > 20 ) il prezzo è
PDVD3 = 10E . Tracciate graficamente il vincolo di bilancio di Maria.
Soluzione:
6
L’intercetta verticale del vincolo di bilancio: Int.vert. =
la
pendenza
Pendenza1 =
del
PDVD1
=
PP
vincolo
di
bilancio
pendenza
Pendenza2 =
del
PDVD2
PP
=
sul
primo
tratto
( 0 < QDVD ≤ 10 ):
25
= 5.
5
Se Maria acquista 10 DVD, allora può comprare
La
Re ddito 500
=
= 100 ,
PP
5
vincolo
di
bilancio
500 −10 * 25
= 50 pizze.
5
sul
secondo
tratto
( 10 < QDVD ≤ 20 ):
20
= 4.
5
Se Maria acquista 20 DVD, allora può comprare
500 −10 * 25 −10 * 20
= 10 pizze.
5
La pendenza del vincolo di bilancio sul terzo tratto ( QDVD > 20 ):
Pendenza3 =
PDVD3
PP
=
10
= 2.
5
Calcoliamo quanti DVD può acquistare Maria se spende tutto il suo reddito per i DVD. Per i
primi 10 DVD Maria spende 10 * 25 = 250E , per i prossimi 10 DVD (dal 11° al 20°)
10 * 20 = 200E . Quindi con i restanti 500 − 250 − 200 = 50E Maria può acquistare
50E
=5
10E
DVD. In totale Maria può comprare 20 + 5 = 25 DVD.
Graficamente:
7
100
50
10
10
20
25
DVD
6. Francesco consuma 5 banane e 2 mele ed è disposto a cedere tre banane in cambio di una mela
( SMS = 3 ), il prezzo delle banane è PB = 0.5E e il prezzo delle mele è PM = 1E . Francesco sta
effettuando una scelta di consumo ottimale o gli conviene cambiare la scelta per massimizzare
l’utilità?
Soluzione:
Francesco massimizza la propria utilità se la pendenza della curva di indifferenza (SMS) è
uguale alla pendenza del vincolo di bilancio. La pendenza del vincolo di bilancio è:
8
Pend =
PM
1
=
= 2,
PB 0.5
SMS = 3 ≠ Pend = 2 , quindi la scelta di Francesco non è ottimale.
Decidiamo, cosa deve consumare Francesco per massimizzare l’utilità.
Francesco è disposto a cedere tre banane in cambio di una mela (1M = 3B ), mentre al mercato
per una mela danno solo 2 banane ( 1M = 2B ), quindi a Francesco non conviene vendere le
mele al mercato in cambio alle banane.
Invece, una banana per Francesco vale un terzo di mela ( 1B = 1 3 M ), mentre al mercato una
banana costa 1B = 1 2 M . Quindi, per massimizzare la propria utilità, Francesco venderà le sue
5 banane e otterrà in cambio 2.5 mele. Il suo consumo ottimale è 4.5 mele.
Graficamente:
9
4.5
mele
9
7. Date la funzione di domanda Qd = 460 − 5P e la funzione di offerta Qo = 100 + 4P , si indichi il
prezzo e la quantità dell’equilibrio.
Soluzione:
Nel punto di equilibrio Qd = Qo , quindi:
460 − 5P = 100 + 4P ; 360 = 9P ; Pe = 40
Qe = 100 + 4Pe = 100 + 4 * 40 = 260
8. Il prezzo delle patate è aumentato del 10%; la quantità domandata è diminuita del 20%. Si calcoli
l’elasticità della domanda.
Soluzione:
ε=−
%∆Q
−20%
=−
=2
%∆P
10%
9. Il prezzo del gelato è diminuito da 10 a 9.5 Euro al chilo, la quantità domandata è aumentata da
20 a 22 porzioni al mese. Si calcoli l’elasticità della domanda.
Soluzione:
(Q2 − Q1 )
(22 − 20)
2
%∆Q
Q1
20 = − 20 = 0.1 = 2
ε=−
=−
=−
−0.5
(P2 − P1)
(9.5 −10)
%∆P
0.05
10
P1
10
10. Il prezzo della benzina è aumentato da 1.25 a 1.30 Euro al litro, la quantità domandata è
diminuita da 40 a 38 litri al mese. Si calcoli l’elasticità della domanda.
Soluzione:
(Q2 − Q1 )
(38 − 40)
−2
%∆Q
Q1
40
40 = 0.05 = 1.25
ε=−
=−
=−
=−
0.05
%∆P
0.04
(P2 − P1)
(1.30 −1.25)
1.25
P1
1.25
11. Il prezzo della Coca-Cola è aumentato da 1 a 2 Euro, la quantità domandata è diminuita da 8 a 5
bottiglie al mese. Si calcoli l’elasticità della domanda.
10
Soluzione:
La formula del punto medio:
(Q2 − Q1 )
ε=−
%∆Q
=−
%∆P
(P2 − P1 )
(Q1 + Q2 )
*100%
2
(P1 + P2 )
=−
*100%
Q2 − Q1 P2 − P1
:
Q1 + Q2 P1 + P2
2
ε=−
Q − Q1 P2 − P1
−3 1 9
%∆Q
5 − 8 2 −1
=− 2
:
=−
:
= − : = ≈ 0.7
8 + 5 1+ 2
13 3 13
%∆P
Q1 + Q2 P1 + P2
12. Il prezzo dei DVD è diminuito da 1.2 a 0.8 Euro, la quantità domandata è aumentata da 7 a 13
DVD. Si calcoli l’elasticità della domanda.
Soluzione:
ε=−
Q − Q1 P2 − P1
%∆Q
13 − 7 0.8 −1.2
6 −0.4
=− 2
:
=−
:
=− :
= 0.3 : 0.2 = 1.5
7 + 13 1.2 + 0.8
%∆P
Q1 + Q2 P1 + P2
20 2
13. La funzione della domanda è Pd = 100 − 3Q . Si calcoli l’elasticità della domanda nel punto
Q = 10 .
Soluzione:
Troviamo il prezzo nel punto Q = 10 :
Pd = 100 − 3Q = 100 − 3*10 = 100 − 30 = 70
La pendenza della funzione di domanda è s = −3
1 P
1 70
=− *
= 2.3
s Q
−3 10
ε=− *
14. La funzione della domanda è Q d = 20 − 0.5P . Si calcoli l’elasticità della domanda nel punto
P = 10 .
Soluzione:
Troviamo il prezzo nel punto P = 10 :
Qd = 20 − 0.5P = 20 − 0.5 *10 = 20 − 5 = 15
Troviamo la pendenza della funzione di domanda.
11
Q d = 20 − 0.5P ; 0.5P = 20 − Q ;
0.5 P 20 Q
=
−
; P = 40 − 2Q
0.5 0.5 0.5
Quindi, la pendenza della funzione di domanda è s = −2
1 P
1 10
= − * = 0.3
s Q
−2 15
ε=− *
15. Tracciate graficamente la curva di domanda a) perfettamente elastica, b) perfettamente
anelastica.
Soluzione:
a)
b)
16. Data la seguente figura, si descriva graficamente l’effetto di reddito e l’effetto di sostituzione, se
il prezzo del bene Y aumenta (Y è un bene normale).
Soluzione:
12
17. Data la seguente figura, si descriva graficamente l’effetto di reddito e l’effetto di sostituzione, se
il prezzo del bene X diminuisce (X è un bene normale).
Soluzione:
18. Data la funzione di domanda P = 100 − 3Q , si calcoli il surplus del consumatore quando Q = 10 .
Soluzione:
Quando Q = 10 , il prezzo è P = 100 − 3Q = 100 − 3*10 = 70
L’intercetta verticale della funzione di domanda:
Q = 0 , P = 100 − 3Q = 100 − 3* 0 = 100
13
Surplus del consumatore:
Scons = 1 * b * h = 1 *10 * (100 − 70) = 150
2
2
Graficamente:
100
SC
70
10
19. Data la funzione di domanda Q = 600 − 30P , si calcoli il surplus del consumatore quando
Q = 270 .
Soluzione:
Troviamo il prezzo quando Q = 270 .
270 = 600 − 30P ; 30P = 330 ; P = 11
L’intercetta verticale della funzione di domanda:
Q = 0 , 0 = 600 − 30P ; 30P = 600 ; P = 20
Surplus del consumatore:
Scons = 1 * b * h = 1 * 270 * (20 −11) = 1215
2
2
14
Graficamente:
20
SC
11
270
20. Date la funzione di domanda Qd = 360 − 3P e la funzione di offerta Qo = 200 + 2P , si indichi il
surplus del consumatore nel punto di equilibrio.
Soluzione:
Troviamo il punto di equilibrio. Nel punto di equilibrio Qd = Qo , quindi:
360 − 3P = 200 + 2P ; 160 = 5P ; Pe = 32
Qe = 200 + 2Pe = 200 + 2 * 32 = 264
L’intercetta verticale della funzione di domanda:
Q = 0 , 0 = 360 − 3P ; 3P = 360 ; P = 120
Surplus del consumatore:
Scons = 1 2 * 264 * (120 − 32) = 11616
Graficamente:
15
120
SC
32
264
21. Se la funzione di produzione è F (L,K ) = L * K 2 , quale è il livello di produzione quando L = 2 ,
K = 1. Cosa accade al volume di produzione quando l’impresa raddoppia la quantità utilizzata dei
due inputs? Cosa potete dedurre circa i rendimenti di scala?
Soluzione:
Il livello di produzione iniziale è F (2,1) = L * K 2 = 2 *12 = 2
L’impresa raddoppia la quantità utilizzata dei due inputs: L2 = 2 * 2 = 4 , K 2 = 1* 2 = 2 ;
il nuovo livello di produzione è F (4,2) = L * K 2 = 4 * 2 2 = 4 * 4 = 16 .
I rendimenti di scala sono crescenti.
22. Data la seguente funzione di produzione F (L,K ) = 3LK , indicate il prodotto marginale del
lavoro per K = 1. Cosa accade se K = 2 .
16
Soluzione:
Quando K = 1 la funzione di produzione è F (L,K ) = 3LK = 3L *1 = 3L
PM L = F ′(L) = (3L)′ = 3
Quando K = 2 la funzione di produzione è F (L,K ) = 3LK = 3L * 2 = 6L
PM L = F ′(L) = (6L)′ = 6
23. Dato il seguente grafico, cosa potete dedurre circa i rendimenti di scala?
Soluzione:
I rendimenti di scala sono decrescenti perché raddoppiando la quantità utilizzata di entrambi
gli inputs si ottiene l’aumento del prodotto inferiore al doppio.
24. Data la quantità ed il costo totale, si calcoli il costo fisso, il costo variabile, il costo medio fisso,
il costo medio variabile, il costo medio totale ed il costo marginale.
0
10
Q
CT
1
18
2
25
3
31
4
36
5
40
6
43
Soluzione:
Q
0
1
2
3
4
5
6
CT
10
18
25
31
36
40
43
CF
10
10
10
10
10
10
10
CV
0
8
15
21
26
30
33
CMF
10
5
3.3
2.5
2
1.7
CMV
8
7.5
7
6.5
6
5.5
CMT
18
12.5
10.3
9
8
7.2
CMarg
8
7
6
5
4
3
25. Data la quantità ed il costo totale, si calcoli il costo fisso, il costo variabile, il costo medio fisso,
il costo medio variabile, il costo medio totale ed il costo marginale.
17
0
150
Q
CT
1
300
2
430
3
543
4
643
5
733
6
818
Soluzione:
Q
0
1
2
3
4
5
6
CT
150
300
430
543
643
733
818
CF
150
150
150
150
150
150
150
CV
0
150
280
393
493
583
668
CMF
150
75
50
37.5
30
25
CMV
150
140
131
123.25
116.6
111.3
CMT
300
215
181
160.75
146.6
136.3
CMarg
150
130
113
100
90
85
26. Data la funzione del costo totale CT = 25 + 2Q3 , si calcoli il costo marginale quando da una
unità di produzione si passa a due unità di produzione.
Soluzione:
Quando si produce un’unità di output, il costo totale è:
CT (1) = 25 + 2Q 3 = 25 + 2 *13 = 25 + 2 = 27
Quando si produce due unità di output, il costo totale è:
CT (2) = 25 + 2Q 3 = 25 + 2 * 2 3 = 25 + 2 * 8 = 25 + 16 = 41
Calcoliamo il costo marginale:
CM =
∆CT 41− 27
=
= 14
∆Q
2 −1
27. Data la funzione del costo totale CT = 50 + 2Q , si calcoli il costo fisso, il costo variabile, il
costo medio fisso, il costo medio variabile, il costo medio totale ed il costo marginale.
Soluzione:
CF = 50 ; CV = 2Q ;
CMF =
CF 50
CV 2Q
CT 50 + 2Q 50 2Q 50
= ; CMV =
=
= 2 ; CMT =
=
=
+
=
+2
Q
Q
Q
Q
Q
Q Q Q
Q
CM arg = (CT )′ = (50 + 2Q)′ = 2
28. Data la funzione del costo totale CT = 30 + 3Q + Q2 , si calcoli il costo fisso, il costo variabile, il
costo medio fisso, il costo medio variabile, il costo medio totale ed il costo marginale.
18
Soluzione:
CF = 30 ; CV = 3Q + Q2 ;
CMF =
CF 30
= ;
Q
Q
CMT =
CT 30 + 3Q + Q2 30 3Q Q2 30
=
=
+
+
=
+ 3+ Q
Q
Q Q
Q
Q Q
CMV =
CV 3Q + Q2 3Q Q2
=
=
+
= 3 + Q;
Q
Q
Q
Q
CM arg = (CT )′ = (30 + 3Q + Q 2 )′ = 3 + 2Q
19