Angoli_Coordinate - Savini - San Giuseppe

Corso di preparazione alle Olimpiadi
INAF – Osservatorio Astronomico di Teramo
Scuola Secondaria di I Grado «F. Savini» – Teramo
OLIMPIADI ITALIANE
DI ASTRONOMIA
Angoli e Coordinate
Mauro Dolci
INAF - Osservatorio Astronomico di Teramo
SAIt – Società Astronomica Italiana
Comitato Nazionale per le
Olimpiadi Italiane di Astronomia
Elementi di algebra e geometria
PROPORZIONI
a:b=c:d
Proprietà:
1) Conservazione del rapporto degli estremi:
a*d = b*c
2) Proprietà commutativa:
a : b = c : d =>
a:c=b:d
3) Proprietà distributiva:
a : b = c : d =>
=>
(a+b) : b = (c+d) : d
d:b=c:a
…
Elementi di algebra e geometria
PROPORZIONI
Problema. Qual è la distanza angolare percorsa dal Sole in
un’ora ?
Soluzione. Ponendo a = 24 ore, b= 360°, c = 1 ora, x = spazio percorso
dal Sole in un’ora (incognita), utilizziamo la proporzione a:b=c:x nella
forma
24 ore : 360° = 1 ora : x
da cui, per la proprietà (1), si ha
24 ore * x = 360° * 1 ora
ovvero
x = 360° * 1 ora / 24 ore = 15 °
Elementi di algebra e geometria
ANGOLI
Si definisce angolo la porzione di piano compresa fra due
semirette. Il punto in cui le due semirette si incontrano è detto
vertice dell’angolo.
Alcune nozioni:
Angolo giro
Angolo piatto
Angolo retto
Angoli adiacenti
Angoli
complementari
Angoli
supplementari
Elementi di algebra e geometria
LA MISURA DEGLI ANGOLI
Gli angoli si misurano in gradi e in radianti.
Un grado è la 360ma parte di un angolo giro. Un angolo retto
misura dunque 90°, un angolo piatto 180° e un angolo giro 360°.
Il radiante è l’ampiezza dell’angolo che intercetta un arco di
circonferenza di lunghezza pari al raggio. In generale,
l’ampiezza in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza
dell’arco di circonferenza intercettato dall’angolo, e quella del
raggio della circonferenza stessa :
=
ℓ
r
Per un angolo giro la lunghezza dell’arco è ℓ = 2r per cui
l’ampiezza in radianti è 2. Per un angolo piatto è  e per un
angolo retto è /2 .
Elementi di algebra e geometria
LA MISURA DEGLI ANGOLI
Problema. Convertire in radianti un angolo di 76°.
Soluzione. Impostiamo la proporzione, sapendo che a 360°
corrispondono 2 radianti:
2 : 360° = x : 76°
da cui
x * 360° = 2 * 76°
ovvero
x = 2 *
76°
360°
= 1,326 rad
Elementi di algebra e geometria
LA MISURA DEGLI ANGOLI
Al contrario dei radianti, i gradi hanno sottomultipli:
1° = 60 arcmin (= 60’ )
1 arcmin (= 1’) = 60 arcsec (= 60’’ )
Per poter convertire da gradi in radianti un angolo che non
abbia un’ampiezza pari ad un numero intero di gradi, occorre
prima di tutto riportare tutto ai gradi.
Problema. Esprimere in soli gradi l’angolo di 76° 23’ 56’’.
Soluzione. Occorre convertire gli arcsec in arcminm quindi il totale di
arcmin in gradi e sommare ai gradi. Ovvero:
 = 76° 23’ 56’’ = 76° (23 + 56/60)’ = 76° 23,933’ =
= (76 + 23,933 / 60) ° = 76,39888… = 76,399 °
Elementi di algebra e geometria
LA MISURA DEGLI ANGOLI
Problema. Convertire in radianti l’angolo di 76° 23’ 56’’.
Soluzione. Si applica la proporzione vista prima all’angolo 76,399°. Si
ottiene:
x = 2 *
76,399°
360°
= 1,333 rad
Ovviamente si può pensare ad un «fattore di conversione» per il
quale moltiplicare l’angolo da convertire: tale fattore è pari a
2/360 per passare da gradi a radianti, e 360/2 per passare da
radianti a gradi.
In astronomia è utile anche sapere quanti arcsec sono compresi
in un radiante: facendo i calcoli, si trova 206264,81  206265
che costituisce un fattore di conversione per passare
rapidamente da radianti ad arcosecondi.
Elementi di algebra e geometria
LA MISURA DEGLI ANGOLI
Per piccole lunghezze ℓ dell’arco (non superiori ad 1/100 del
raggio r), il tratto circolare può essere considerato rettilineo.
Questo permette di calcolare in modo soddisfacentemente
approssimato gli angoli sotto cui vengono visti gli oggetti celesti,
come ad esempio le stelle doppie.
Problema. Due stelle A e B distano tra loro 1 anno-luce e sono
distanti dalla Terra 340 anni-luce. Calcolare la loro distanza
angolare , in arcosecondi, vista dalla Terra.
Soluzione. La distanza tra le due stelle è ben inferiore a 1/100 della
distanza dalla Terra (che è il vertice dell’angolo), per cui possiamo
approssimare
 = 1 / 340 = 2,94  10 -3 rad
ovvero  = 2,94  10-3 rad * 206265 ‘’/rad = 606,419 ‘’ = 10,107 ’ .
LATITUDINE E LONGITUDINE
LATITUDINE ( o LAT): distanza angolare di un dato punto dall’equatore.
Ha segno positivo nell’emisfero Nord e negativo nell’emisfero Sud.
Va da –90° a +90°.
LONGITUDINE ( o LON): distanza angolare di un dato punto dal
meridiano di riferimento, assunto per convenzione come il meridiano
passante per il Royal Observatory di Greenwich (Inghilterra). Ha segno
positivo verso Est e negativo verso Ovest. Va da –180o a +180o.
LA SFERA CELESTE
Così come ogni punto della
superficie terrestre può essere
individuato tramite due coordinate
(latitudine e longitudine), allo stesso
modo ogni punto della volta celeste
può essere individuato con una
coppia di coordinate.
Nel fare questo, si suppone dunque
che la volta celeste sia
rappresentata come la superficie di
una sfera, detta SFERA CELESTE, al
cui centro si trova la Terra, e che
noi dunque osserviamo dall’interno.
La SFERA CELESTE ha dunque centro nella Terra, e viene
caratterizzata da una griglia di coordinate del tutto simili alla
latitudine e alla longitudine: sono in particolare individuati un
equatore celeste (dato dall’intersezione della sfera celeste con il
piano dell’equatore terrestre) e due poli celesti (dati dall’intersezione
della sfera con l’asse di rotazione terrestre).
L’ECLITTICA
Nel corso dell’anno la Terra
orbita intorno al Sole. Noi
vediamo dunque il Sole
spostarsi rispetto allo sfondo
costituito dalle cosiddette
stelle fisse.
Il Sole si trova ovviamente
sempre sul piano dell’eclittica,
che tuttavia è inclinato rispetto
al piano equatoriale terrestre.
Pertanto l’ECLITTICA, che è la linea risultante dall’intersezione tra il
piano dell’eclittica e la sfera celeste, è costituita da un cerchio
massimo della sfera celeste inclinato di 23o 27’ rispetto all’equatore
celeste.
LE COORDINATE EQUATORIALI
Ora siamo pronti a definire le due
coordinate, equivalenti a longitudine
e latitudine, con cui individuare ogni
possibile punto sulla sfera celeste.
L’equivalente della latitudine è la
DECLINAZIONE ( o DEC): essa è la
distanza angolare del punto
considerato dall’equatore celeste.
È positiva verso Nord e negativa
verso Sud, e varia tra –90o e +90o.
L’equivalente della longitudine è
l’ASCENSIONE RETTA ( o RA): essa
è la distanza angolare del punto considerato dal meridiano celeste
passante per il punto . Si misura SOLO da Ovest verso Est e si misura
in ore. Varia dunque tra 0h e 23h59m59s.9999… !
QUESTE COORDINATE NON DIPENDONO DAL LUOGO DI OSSERVAZIONE.
LE COORDINATE ALTAZIMUTHALI
In qualsiasi punto della Terra,
la nostra visualizzazione del cielo
ha in realtà due riferimenti che
NON sono l’equatore e l’asse
terrestre, bensì l’ORIZZONTE
DEL LUOGO e la VERTICALE DEL
LUOGO.
Quest’ultima è una retta ideale
passante per il luogo in questione
e perpendicolare al piano dello
orizzonte.
Essa interseca la sfera celeste in
due punti: lo ZENITH, al di sopra
dell’osservatore, ed il NADIR, dalla parte opposta.
Di particolare importanza è infine il meridiano della sfera celeste
che passa per lo zenith: esse prende il nome di MERIDIANO
CENTRALE DEL LUOGO.
LE COORDINATE ALTAZIMUTHALI
Quyesti concetti ci portano
in modo naturale a definire
le COORDINATE ALTAZIMUTHALI:
L’AZIMUTH (a) di un punto della
sfera celeste è la distanza
angolare di quel punto dal
meridiano centrale del luogo,
misurata lungo l’orizzonte.
È positiva verso Ovest e negativa
verso Est, e varia tra –180o e +180o.
L’ALTEZZA (h) di un punto della
sfera celeste è la distanza angolare
di quel punto dall’orizzonte, misurata
lungo il meridiano passante per quello stesso punto. È sempre
positiva e varia tra 0o e +90o .
QUESTE COORDINATE DIPENDONO DAL LUOGO DI OSSERVAZIONE !
CULMINAZIONE SUPERIORE E INFERIORE
Quando un oggetto raggiunge
la massima altezza in cielo,
si dice che si trova nella sua
Culminazione Superiore.
Polo Nord celeste
(stella polare)
N
( )
( )
CULM. INF.
CULM. SUP.
equatore
Viceversa, quando
raggiunge la minima
altezza in cielo (eventualmente anche al di
sotto dell’orizzonte), si dice
che si trova nella sua
Culminazione Inferiore.
(>)
S
CULMINAZIONE SUPERIORE E INFERIORE
Quando un oggetto raggiunge
la massima altezza in cielo,
si dice che si trova nella sua
Culminazione Superiore.
( )
N
CULM. INF.
( )
CULM. SUP.
equatore
Viceversa, quando
raggiunge la minima
altezza in cielo (eventualmente anche al di
sotto dell’orizzonte), si dice
che si trova nella sua
Culminazione Inferiore.
(<)
S
CULMINAZIONE SUPERIORE E INFERIORE
PNC
N
90°–
hCI

90°–
CI

90°–
Le altezze
nel caso  > :
hCS = 90o –  + 
hCI =  – 90o + 
S
CS

EC
hCS
CULMINAZIONE SUPERIORE E INFERIORE
PNC
N
CI
hCI
CS
90°–

hCS
90°–


EC
90°–
Le altezze
nel caso  < :
hCS =  + 90o – 
hCI =  – 90o + 
S
CULMINAZIONE SUPERIORE E INFERIORE
Ricapitoliamo:
Se  > :
hCS = 90o –  +  = 90o – ( – )
hCI =  – 90o +  =  +  – 90o
Se  > :
hCS =  + 90o –  = 90o – ( – )
hCI =  – 90o +  =  +  – 90o
L’espressione per hCI è la stessa.
Per quanto riguarda hCS invece si nota che il termine fra
parentesi è sempre positivo, per cui lo si può scrivere in
generale come | – |.
In conclusione le formule valide per tutte le latitudini sono:
hCS = 90o – | – |
hCI = | + | – 90o
Esercizio. Verificare che hCS  hCI sempre, ovvero per
qualsiasi scelta di  e .
Dimostrazione. Dobbiamo verificare la condizione
90o – |–|  |+| – 90o
ovvero 180o  |+| + |–|
Ora, com’è noto, valgono le espressioni (relative al valore assoluto):
|+| =
+ se + > 0
– se – > 0
|–| =
–– se + < 0
–+ se – < 0
Quindi abbiamo quattro situazioni:
180o  + + –
180o  + – +
180o  –– + –
180o  –– – +




180o  2
180o  2
180o  –2
180o  –2




  90o
  90o
  –90o
  –90o
e si vede dall’ultima colonna che sono tutte e quattro verificate per la
definizione di latitudine e di declinazione.
Problema. Calcolare l’altezza (massima) di Sirio, avente coordinate
 = 06h 45m 08s.917 ,  = –16° 42’ 58’’.017, quando viene osservata da
Teramo ( = +42o 39’ 31’’.87 ,  = –13o 42’ 14’’.08) , da San Pietroburgo
( = +59o 56’ ,  = –30o 20’) e da Buenos Aires ( = –34o 36’ 30’’ ,
 = +58o 22’ 19’’) .
Soluzione. Per il calcolo in realtà le longitudini delle tre città e l’ascensione retta
di Sirio NON servono! Bastano infatti le latitudini e la declinazione. Si ha:
hTE = 90° – |TE – | = 90° – |42° 39’ 31’’.87 +16° 42’ 58’’.017|
hSPB = 90° – |SPB – | = 90° – |59° 56’ 00’’.00 + 16° 42’ 58’’.017|
hBA = 90° – |BA – | = 90° – | – 34° 36’ 30’’.00 + 16° 42’ 58’’.017|
ovvero
hTE = 90° – 59°.375 = 30°.625 = 30° 37’ 30’’
(verso Sud)
hSPB = 90° – 76°.649 = 13°.351 = 13° 21’ 03’’.6
(verso Sud)
hBA = 90°– 17°.892 = 72°.108 = 72° 06’ 28’’.8
(verso Nord)
L’ALTEZZA DEL POLO NORD CELESTE
E DELL’EQUATORE CELESTE Polo Nord celeste
(stella polare)
Un modo per determinare
la latitudine del luogo !
N
h=
hPNC = ||
90°-

90°-
hEQC =
90o
– ||

Equatore
celeste
90°-
equatore
S
OGGETTI CIRCUMPOLARI E OGGETTI
NON OSSERVABILI
Da QUASI TUTTI I LUOGHI DELLA TERRA, gli oggetti celesti sono in
genere visti sorgere e poi tramontare.
Un oggetto celeste NON OSSERVABILE è quello che, in un dato luogo,
non sorge mai, ovvero la cui culminazione superiore non avviene mai
al di sopra dell’orizzonte:
hCS  0o
ovvero

90o – | – |  0o
| – |  90o
È chiaro che per rispettare questa condizione,  e  avranno segni
opposti! Quindi dall’emisfero nord terrestre non si vede parte
dell’emisfero sud celeste, e viceversa.
Esercizio. Verificare quale fra le stelle -Centauri ( = –60o 50’), Sirio
( = –16o 43’) e Canopo ( = –52o 42’) è visibile da Milano ( = 45o 28’).
Soluzione. Nei tre casi si ha:
-Cen: | – |=106o18’>90o
;
Sirio: | – |=62o11’<90o
Canopo: | – |=98o10’>90o
quindi solo Sirio è visibile da Milano.
OGGETTI CIRCUMPOLARI E OGGETTI
NON OSSERVABILI
Un oggetto celeste CIRCUMPOLARE è invece quello che, in un dato
luogo, non tramonta mai, ovvero la cui culminazione inferiore non
avviene mai al di sotto dell’orizzonte:
hCI  0o
ovvero

| + | – 90o  0o
| + |  90o
Per rispettare questa condizione,  e  avranno segni concordi.
Dall’emisfero nord terrestre sarà possibile osservare come
circumpolari solo oggetti dell’emisfero nord celeste, e analogamente
accade nell’emisfero sud!
Esercizio. Verificare quali fra le stelle Vega ( = +38o 47’), Algol
( = +40o 57’) e Mirfak ( = +49o 52’) sono circumpolari da Parigi ( =
48o 51’).
Soluzione. Nei tre casi si ha:
Vega: | + |=87o28’<90o
;
Algol: | + |=89o48’<90o
Mirfak: | + |=98o43’>90o
quindi solo Mirfak è circumpolare da Parigi.
PASSAGGIO ALLO ZENITH
Culminano allo zenith
tutti (e solo) gli oggetti
aventi declinazione pari
alla latitudine del luogo
di osservazione
Polo Nord celeste
(stella polare)
N
ZENITH = 


equatore
S
CULMINAZIONI E PASSAGGI DEL SOLE
ALLO ZENITH: LUOGHI NOTEVOLI DELLA TERRA
Abbiamo visto che, muovendosi lungo l’eclittica, il Sole ha una
declinazione variabile tra –23° 27’ e +23° 27’.
Viene spontaneo chiedersi in quali punti della Terra il Sole
passa allo zenith. Sono evidentemente tutti i punti nella fascia
di latitudine compresa tra le latitudini CAP = –23° 27’
(TROPICO DEL CAPRICORNO) e CAN = +23° 27’ (TROPICO DEL
CANCRO).
Nei punti di questa fascia (detta FASCIA TROPICALE e centrata
sull’equatore terrestre), il Sole passa allo zenith due volte, ad
eccezione dei tropici nel quali passa allo zenith solo una volta
(nel solstizio d’inverno al tropico del capricorno, e nel solstizio
d’estate al tropico del cancro).
CULMINAZIONI E PASSAGGI DEL SOLE
ALLO ZENITH: LUOGHI NOTEVOLI DELLA TERRA
All’equatore, in particolare, il Sole passa allo zenith due volte
all’anno, in corrispondenza dei due equinozi. Poi, durante
l’estate il Sole passerà a nord dello zenith mentre durante
l’inverno passerà a sud dello zenith. È superfluo rimarcare che
per tutti i punti dell’equatore terrestre lo zenith giace
sull’equatore celeste!
In tutti gli altri punti al di fuori della fascia tropicale, il Sole
NON passa mai allo zenith, ma ha una culminazione superiore
ed una culminazione inferiore.
Esercizio. Calcolare la massima e la minima altezza del Sole di
giorno, durante l’anno, a Parigi (=48°51’).
Soluzione. Poiché si chiede “di giorno”, vanno considerate solo le
culminazioni superiori. Essendo le declinazioni massima e minima del
Sole, MAX=+23°27’ e MIN= –23°27’, si ha:
hCS,MAX = 90° – |48°51’ – 23°27’| = 64° 36’ (solstizio d’estate)
hCS,MIN = 90° – |48°51’ + 23°27’| = 17° 42’ (solstizio d’inverno).