Esercizi di meccanica
CAPITOLO 1
Esercizio 1.1) Il vettore A ha la lunghezza di 6 unità e forma un angolo di
45°con l’asse x. Il vettore B ha la lunghezza 3 unità ed è diretto lungo
l’asse x positivo ( 0 ).
Trovare il vettore risultante A+B usando a) il metodo grafico e b) la
somma vettoriale espressa in termini delle componenti cartesiane.
Esercizio 1.2) Un aeroplano vola dalla città A alla città B in direzione est
per 800 km. Nella parte successiva del volo l’aereo viaggia dalla città B
alla città C in direzione nord-est a 40° per 60 km. Qual è lo spostamento
risultante dell’aereo tra la città A e la città C?
Esercizio 1.3) Una particella esegue tre spostamenti consecutivi, il primo
verso est di modulo 25 m, il secondo verso nord di modulo 42 m. Lo
spostamento risultante ha modulo 38 m ed è diretto a nord est, con un
angolo di 30° rispetto alla direzione est. Quali sono il modulo e la
direzione del terzo spostamento?
Esercizio 1.4) Una particella si muove nel piano xy dal punto (3m;0m) al
punto (2m;2m). a) Determinare una espressione vettoriale per lo
spostamento risultante, b) Quali sono il modulo e la direzione di questo
vettore spostamento?
Esercizio 1.5) Sono date tre forze F1 6i N ,
F2 9 j N , e F3 3i 4 j N . a)
Trovare il modulo e la direzione della forza risultante; b) Quale forza
bisogna aggiungere a queste tre per rendere zero la forza risultante?
Esercizio 1.6) Una persona che va a
fare una passeggiata segue l’itinerario
mostrato nella figura 1. L’escursione
totale consta di quattro tratti rettilinei.
Alla fine della passeggiata qual è lo
spostamento risultante misurato a
partire dall’origine?
Esercizio 1.7) Un parallelepipedo
rettangolo ha dimensioni a, b, c come
in figura 2. a) Ottenere una espressione vettoriale per il vettore R1
diagonale di una faccia. Qual è
il modulo di questo vettore?
b) Ottenere una espressione
vettoriale per il vettore R2
diagonale del parallelepipedo.
Qual è il modulo di questo
vettore?
Esercizio 1.8) Dalla definizione
di prodotto scalare, trovare gli angoli formati dalle seguenti coppie di
vettori: a) A 3i j e B 2i 2 j ; b) A i 4 j e B 2i j 2k ; c)
A 2i j 3k e B 2 j 2k
Esercizio 1.9) Dati due vettori A 3i j e B i 2 j , si trovi a)
A B
e b)
l’angolo tra A e B.
Esercizio 1.10) Se A B A B qual’è l’angolo tra A e B?
Esercizio 1.11) Dimostra che il modulo di un prodotto vettore è uguale
all’area del parallelogramma avente per lati i due vettori componenti
(figura 3). Questo fatto può
suggerire un criterio per
rappresentare nello spazio
un elemento di superficie
orientato?
Esercizio 1.12) Dimostrare che l’area del triangolo contenuto tra i vettori
1
a e b è ab
2
Esercizio 1.13) Dimostrare che a b c è numericamente uguale al
volume del parallelepipedo formato dai tre vettori e a, b, c.
Esercizio 1.14) Siano b e c le diagonali
delle facce xy e yz di un cubo di spigolo a
(figura 4), a) Calcolare le componenti del
vettore d definito come d b c ; b)
Calcolare il valore di b c, d c, d b.
Esercizio 1.15) Si considerino due
generici vettori A e B come i lati di un
parallelogramma; a) Mostrare che l’area del parallelogramma è
A B
; b)
si trovi l’area del parallelogramma per A 3i 3 j m e B i 2 j m.
Esercizio 1.16)
E’ dato un vettore che giace nel piano x y avente modulo 𝑣𝑜 , che
dipendente dalla variabile t, e avente direzione anch’essa dipendente
dalla variabile t:
̂∥
𝒗(𝑡) = 𝑣𝑥 (𝑡)𝒊 + 𝑣𝑦 (𝑡)𝒋 = 𝑣𝑜 (𝑡)cos𝜃(𝑡)𝒊 + 𝑣𝑜 (𝑡)sen𝜃(𝑡)𝒋 = 𝑣𝑜 (𝑡)𝒖
̂,
Considerando il vettore scritto in termini del versore 𝒖
∥ che è un versore
istantaneo in direzione parallelo al vettore 𝒗(𝑡) stesso, calcolare la
derivata del vettore 𝒗(𝑡) rispetto alla variabile t e dimostrare che si
ottiene il vettore
𝑑𝒗(𝑡) 𝑑𝑣0 (𝑡)
𝑑𝜃(𝑡)
̂∥ + 𝑣𝑜 (𝑡)
̂⊥
=
𝒖
𝒖
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
̂⊥ è un versore in direzione ortogonale a 𝒖
̂∥ nel piano xy.
dove 𝒖
Ripetere il calcolo della derivata del vettore 𝒗(𝑡) rispetto alla variabile t
considerando il vettore scritto in termini dei versori 𝒊 e 𝒋 del sistema di
riferimento in coordinate cartesiane e dal confronto dei due calcoli
̂∥ e 𝒖
̂⊥ in termini dei versori 𝒊 e 𝒋 del
ottenere le definizioni dei versori 𝒖
sistema di riferimento in coordinate cartesiane, verificando l’ortogonalità
dell’uno rispetto all’altro.
CAPITOLO 2
Esercizio 2.1) Una cavallerizza trotta in linea retta con una velocità media
di 5 m/s per 4 min, e poi con una velocità media di 4 m/s per 3 min. (a)
Qual è il suo spostamento totale? (b) Qual è la sua velocità media durante
questo tempo?
Esercizio 2.2) A t=1s una particella in moto con velocità costante è posta a
x=-3m e a t= 6s la particella è posta a x=5 m. (a) Da questa informazione
tracciare un grafico della posizione in funzione del tempo. (b)
Determinare la velocità della particella dalla pendenza del grafico.
Esercizio 2.3) Una particella si muove lungo l’asse x secondo l’equazione
x(t ) 2 3t t 2 dove x è in metri, t in secondi. A t=3s trovare la posizione
della particella, la sua velocità e la sua accelerazione.
Esercizio 2.4) Una particella parte da ferma dalla sommità di un piano
inclinato e scivola giù con accelerazione costante. Il piano inclinato è
lungo 2,0 m e occorrono 3,0 s affinché la particella raggiunga il fondo.
Trovare (a) l’accelerazione della particella, (b) la sua velocità sul fondo, (c)
il tempo che impiega la particella a raggiungere la metà del piano
inclinato e (d) la sua velocità nel punto di mezzo.
Esercizio 2.5) Un vagone ferroviario viene abbandonato da una
locomotiva su un piano inclinato. Quando il vagone raggiunge il fondo ha
una velocità di 50 km/h, in seguito passa attraverso una guida ritardante
che lo rallenta. Se la guida è lunga 10m, quale decelerazione deve
produrre per arrestare il vagone?
Esercizio 2.6) Una palla è lanciata verticalmente verso l’alto con una
velocità iniziale di 10 m/s. Un secondo dopo una pietra è lanciata
verticalmente verso l’alto con una velocità iniziale di 25m/s. Determinare
(a) il tempo che impiega la pietra a raggiungere la stessa altezza della
palla, (b) la velocità della palla e della pietra quando sono alla stessa
altezza e (c) il tempo totale in cui ciascuna delle due rimane in moto
prima di ritornare all’altezza originale.
Esercizio 2.7) Un pallone calciato con un angolo di 50° rispetto al suolo
percorre una distanza orizzontale di 20 m prima di toccare il suolo.
Trovare (a) il modulo della velocità iniziale del pallone, (b) il tempo in cui
è in aria, (c) la massima altezza raggiunta.
Esercizio 2.8) Un fucile è puntato orizzontalmente al centro di un largo
bersaglio distante 150 m. La velocità iniziale di della pallottola è 450 m/s.
(a) Dove la pallottola colpisce il bersaglio? (b) Per colpire il centro del
bersaglio, la canna deve essere ad un certo angolo al di sopra della linea
di punta. Trovare l’angolo di elevazione della canna.
Esercizio 2.9) Uno studente è in grado di lanciare una palla verticalmente
ad una altezza massima di 40 m. A quale distanza massima (misurata
orizzontalmente) lo studente può lanciare la palla?
CAPITOLO 3
Esercizio 3.1) Due forze F1 e F2 agiscono su una massa di 5 kg. Se F1=20 N
e F2=15N si trovi l’accelerazione nei casi (a) e (b) di figura 5.
Esercizio 3.2) Un elettrone di massa 9,11031 kg ha una velocità iniziale di
3,0 105 m / s . Esso viaggia in linea retta e la sua velocità aumenta a
7,0 105 m / s in una distanza di 5,0 cm. Assumendo che la sua accelerazione
sia costante, (a) determinare la forza sull’elettrone e (b) confrontare
questa forza con il peso dell’elettrone, che avevamo trascurato.
Esercizio 3.3) Un peso di 200 N è legato al centro di una fune robusta che
due persone tendono alle
opposte estremità nel tentativo
di mantenere sollevato il peso.
(a) Quale forza F deve applicare
ciascuna delle due persone per
sospendere il peso come
mostrato in figura 6? (b)
Possono tirare in maniera tale
da tendere il filo orizzontalmente? Spiegare.
Esercizio 3.4) Due masse di 3,0 kg e 5,0
kg sono connesse da una fune leggera
che passa sopra una puleggia come in
figura 7. Determinare (a) la tensione
nella fune, (b) l’accelerazione di
ciascuna massa e (c) la distanza relativa
fra le due masse dopo un secondo
dall’inizio del loro moto se esse
partono dalla quiete.
Esercizio 3.5) Due masse m1 e m2 poste
su una superficie priva di attrito
sono connesse da una fune leggera.
Una forza F viene esercitata da
destra su una delle masse (figura 8).
Determinare l’accelerazione del
sistema e la tensione T della fune.
Esercizio 3.6) Un blocco si muove su per un piano inclinato di 45° con
velocità costante sotto l’azione di una forza di 15 N applicata
parallelamente al piano inclinato. Se il coefficiente di attrito dinamico è
0,3, determinare (a) il peso del blocco e (b) la minima forza necessaria per
permettere al blocco di muoversi giù per il piano inclinato con velocità
costante.
Esercizio 3.7) Due blocchi di massa 2,0 kg e 7,0 kg sono connessi da una
fune leggera che passa su una puleggia priva di attrito (figura 9). I piani
inclinati sono lisci. Trovare (a)
l’accelerazione di ciascun
blocco e (b) la tensione della
fune.
Esercizio 3.8) Il sistema
descritto in figura 9 è osservato
avere una accelerazione di 1,5
m/s2 quando i piani inclinati sono scabri. Supponiamo che i coefficienti di
attrito dinamico fra ciascun
blocco e i piani siano gli
stessi. Trovare (a) il
coefficiente di attrito
dinamico e (b) la tensione
della fune.
Esercizio 3.9) In figura 10 il
coefficiente di attrito
dinamico fra i di blocchi di
2,0 kg e 3,0 kg è 0,3. La superficie orizzontale e le pulegge sono prive di
attrito (a) Disegnare i diagrammi di corpo libero per ciascun blocco, (b)
Determinare l’accelerazione di ciascun corpo, (c) trovare la tensione dei
fili.
Esercizio 3.10) Tre blocchi sono in contatto l’uno con l’altro su una
superficie orizzontale come in
figura 11. Una forza orizzontale F
è applicata a m1. Se m1=2,0 kg ,
m2=3,0 kg, m3=4,0 kg e F=
18N,trovare (a) l’accelerazione
dei blocchi, (b) la forza risultante
su ciascun blocco e (c) la forza di
contatto tra i blocchi. Il coefficiente di attrito dinamico tra i blocchi e la
superficie è 0,1.
Esercizio 3.11) Quale forza
orizzontale deve essere
applicata al carrello in figura 12
affinché i blocchi rimangano
stazionari rispetto al carrello?
Supponiamo che in tutte le
superfici, ruote e pulegge siano
senza attrito. (Suggerimento si
noti che la tensione del filo
accelera m1.)
CAPITOLO 4
Esercizio 4a.1) L’orbita della luna attorno alla terra è approssimativamente
circolare con un raggio medio di 3, 84 108 m . Occorrono 273 giorni affinché la
luna compia una rivoluzione attorno alla terra. Trovare (a) la velocità
orbitale media della luna e (b) la sua accelerazione centripeta.
Esercizio 4a.2) Uno studente fa roteare una palla attaccata alla estremità
di una fune di lunghezza 0,5m secondo un cerchio verticale. La velocità
della palla è 4 m/s nel suo punto più alto e 6 m/s nel punto più basso.
Trovare l’accelerazione della palla (a) nel suo punto più alto e (b) nel suo
punto più basso.
Esercizio 4a.3) La figura 13 rappresenta l’accelerazione totale di una
particella che si muove in
verso orario su una
circonferenza di raggio
3,0 m a un certo istante.
A questo istante trovare
(a)
l’accelerazione
centripeta, (b) la velocità
della particella, e (c) la
sua
accelerazione
tangenziale.
Esercizio 4a.4) Una
massa di 3,0 kg attaccata a una corda di massa trascurabile ruota su una
circonferenza su un tavolo orizzontale privo di attrito. Il raggio della
circonferenza è 0,8 m e la corda può sopportare una massa di 25 kg prima
di spezzarsi. Qual è l’intervallo di velocità che la massa può avere prima di
spezzarsi?
Esercizio 4a.5) Una curva di una autostrada ha un raggio di 150 m ed è stata
progettata per una velocità di traffico di 17,9 m/s (64,4 km/h).(a) Se la
curva non è sopraelevata, trovare il minimo coefficiente di attrito tra auto
e strada. (b) Di quale angolo dovrebbe essere sopraelevata la curva se si
trascura l’attrito?
Esercizio 4a.6) Il pilota di un aeroplano esegue a velocità costante la
manovra del giro della morte in un piano verticale. La velocità dell’aereo è
480 km/h, e il raggio della circonferenza è 360 m. (a) Qual è il peso
apparente del pilota, nel punto più basso della traiettoria se il suo peso
effettivo è 740 N? (b) Qual è il suo peso apparente nel punto più alto della
traiettoria? (c) Descrivere come il pilota potrebbe esperimentare l’assenza
di peso se si variano sia il raggio che la velocità. (il peso apparente è uguale
alla forza del sedile sul suo corpo.)
Esercizio 4a.7) Una massa di 4,0 kg è attaccata ad una sbarra orizzontale
mediante due corde come in figura
16. Le corde sono in tensione
quando la sbarra ruota attorno al
suo asse. Se la velocità della massa
è 4,0 m/s quando è osservata nelle
posizioni che seguono, trovare la
tensione nelle corde nel caso in cui
la massa si trova, (a) nel suo punto
più basso, (b) in posizione orizzontale e (c) nel suo punto più alto.
Esercizio 41.b) Un’ automobile viaggia in direzione nord con una rapidità
di 60 km/h su una autostrada rettilinea. Un carro viaggia in direzione
opposta con una rapidità di 50 km/h. (a) Quale è la velocità dell’automobile
rispetto al carro? (b) Quale è la velocità del carro rispetto all’automobile?
Esercizio 4b.2) Un fiume ha una corrente di 0,5 m/s. Uno studente nuota
controcorrente per 1 km e ritorna al punto di partenza (figura 14). Se lo
studente può nuotare con
una velocità di 1,2 m/s in
acque ferme, quanto tempo
richiede
il
percorso?
Confrontare con il tempo
occorrente se le acque
fossero ferme.
Esercizio 4b.3) Una palla è
sospesa da un filo di 25 cm di lunghezza al tetto di un’auto in moto. Un
osservatore, situato nell’auto, nota che la palla è deflessa di 6 cm dalla
verticale verso la parte posteriore dell’auto. Qual è l’accelerazione
dell’auto?
Esercizio 4b.4) Una massa di 5,0 kg, posta su una superficie orizzontale
liscia è attaccata ad una bilancia a molla. La bilancia bloccata alla parete
anteriore, segna 18 N quando il vagone in moto. (a) Se la bilancia segna
zero quando il vagone è fermo, determinare l’accelerazione del vagone. (b)
Quale sarà il valore segnato se il vagone si muove se il vagone si muove con
velocità costante. (c) Descrivere le forze che agiscono sulla massa come
osservata da una persona, situata nel vagone, e da un’altra che si trova al
di fuori di esso.
CAPITOLO 5
Esercizio 5.1) Un blocco di 15 kg è tirato su una superficie orizzontale
scabra da una forza costante di 70 N che forma un angolo di 25° con
l’orizzontale. Il blocco è spostato di 5 m e il coefficiente di attrito dinamico
è 0,3. Trovare il lavoro eseguito (a) dalla forza di 70 N, (b) dalla forza di
attrito, (c) dalla forza normale, (d) dalla forza di gravità. (e) Qual è il lavoro
totale eseguito sul blocco?
Esercizio 5.2) Una forza F = 6i - 2 j N agisce su una particella che compie
uno spostamento s = 3i + j m . Trovare (a) il lavoro eseguito dalla forza
sulla particella e (b) l’angolo fra forza e spostamento.
Esercizio 5.3) Una cassa di 40 kg inizialmente ferma è spinta per 5 m da una
forza applicata costante di modulo 130 N diretta parallelamente al piano.
Se il coefficiente di attrito fra la cassa e il pavimento è 0,3 trovare (a) il
lavoro fatto dalla forza applicata, (b) il lavoro fatto dalla forza di attrito, (c)
la variazione dell’energia cinetica della cassa e (d) la velocità finale della
cassa.
Esercizio 5.4) Un blocco di 2 kg
è attaccato a una molla di
massa trascurabile di costante
elastica 500 N/m, come è
mostrato in figura 17. Il blocco
è tirato 5 cm verso destra dalla
posizione di equilibrio e poi
lasciato libero dalla quiete.
Trovare la velocità del blocco
quando esso passa dal punto di
equilibrio se (a) la superficie
orizzontale è priva di attrito, (b)
o se il coefficiente di attrito fra
blocco e superficie è 0,35.
Esercizio 5.5) Un blocco di 3 kg è tirato su un piano inclinato di 37° da una
forza costante orizzontale di modulo 40 N. Il coefficiente di attrito dinamico
vale 0,1 e il blocco è spostato di 2m lungo il piano inclinato. Calcolare (a) il
lavoro eseguito dalla forza di 40 N, (b) il lavoro eseguito dalla gravità, (c) il
lavoro eseguito dall’attrito e (d) la variazione di energia cinetica del blocco.
(Si noti che la forza applicata non è parallela al piano inclinato).
Esercizio 5.6) Una cassa di 200 kg è tirata da un motore lungo una
superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito tra cassa e superficie è 0,4.
(a) Quanta potenza deve erogare il motore per far muovere la cassa d una
velocità costante di 5 m/s? (b) Quanto lavoro è eseguito dal motore in 3
minuti?
Esercizio 5.7) Una particella di 4 kg si muove lungo l’asse delle x. La sua
posizione varia col tempo secondo la legge x t 2t 3 , dove x è in metri e t
in secondi.. Trovare (a) l’energia cinetica in ogni istante t, (b)
l’accelerazione della particella e la forza che agisce su di essa al tempo t, (c)
la potenza che è fornita alla particella al tempo t e (d) il lavoro eseguito
sulla particella nell’intervallo di tempo da t=0s a t=2,0 s. (Si noti
P
dW
dt
)
Esercizio 5.8) Una piccola sfera di
massa m è sospesa mediante una
corda di lunghezza L come in figura
18. Una forza variabile orizzontale
F è applicata alla massa in modo
tale che essa si muova lentamente
dalla posizione verticale fino a che
la corda forma un angolo con la
verticale. Assumendo che la sfera
sia sempre in equilibrio, (a)
mostrare che F mg tan . (b) Mostrare, mediante l’espressione
W F ds
, che il lavoro eseguito dalla forza F è uguale a mgL 1 cos . (Si
noti che s L e quindi ds Ld ).
CAPITOLO 6
Esercizio 6.1) Una forza conservativa
Fx (3x 5) N agisce
su una particella di
5,0 kg, essendo x espresso in metri. Quando la particella si muove lungo
l’asse x da x=1,0 m a x= 4,0, calcolare (a) il lavoro fatto da questa forza, (b)
la variazione dell’energia potenziale della particella e (c) la sua energia
cinetica nel punto x=4,0m , se la sua velocità è pari a 3,0 m/s nel punto
x=1,0 m.
Esercizio 6.2) Una particella di 200 g è lasciata libera dalla quiete in un
punto A che si trova sul diametro
interno di una cavità semisferica
liscia di raggio R=30 cm (figura 19).
Calcolare (a) la sua energia
potenziale gravitazionale nel punto
A rispetto al punto B, (b) la sua
energia cinetica nel punto B, (c) la
sua velocità in B e (d) la sua energia
cinetica e potenziale nel punto C.
Esercizio 6.3) La particella descritta nel problema 6.2 è lasciata libera dalla
quiete nel punto A, la velocità della particella nel punto B è 1,5 m/s. (a)
Qual è la sua energia cinetica in B? (b) Quanta energia cinetica si perde a
causa dell’attrito quando la particella va da A a B? (c) E’ possibile
determinare il coefficiente di attrito dinamico da questi risultati in maniera
semplice? (Spiegare)
Esercizio 6.4) L’energia meccanica totale iniziale di una particella che si
muove lungo l’asse delle x è 80 J. Una forza di attrito di 6N è la sola forza
che agisce sulla particella. Quando l’energia meccanica totale è 30 J,
trovare (a) la distanza che la particella ha percorso, (b) la variazione di
energia cinetica della particella e (c) la variazione della sua energia
potenziale.
Esercizio 6.5) Un bambino di 25 kg situato su un’altalena di 2,0 m è lasciato
libero, da fermo, quando i supporti dell’altalena formano un angolo di 30°
con la verticale. (a) Trascurando l’attrito trovare la velocità del bambino nel
punto più basso. (b) Se la velocità del bambino nel punto più basso è 2,0
m/s, quanto vale l’energia perduta a causa
dell’attrito?
Esercizio 6.6) Una massa di 3,0 kg è collegata ad
una molla di massa trascurabile mediante una
puleggia (figura 20). La puleggia è priva di attrito
e la massa è lasciata libera da ferma quando la
molla non è in tensione. Se la massa scende di
10 cm prima di fermarsi, trovare (a) la costante
elastica della molla, e (b) la velocità della massa
quando essa si trova a 5,0 cm dal suo punto di
partenza.
Esercizio 6.7) Un blocco di 2,0 kg situato su un piano inclinato scabro è
connesso ad una molla di massa trascurabile avente una costante elastica
di 100 N/m (Figura 21). Il blocco è
lasciato libero dalla quiete quando la
molla non è in tensione e la puleggia
è priva di attrito. Il blocco scende di
20 cm lungo il piano inclinato prima
di fermarsi. Trovare il coefficiente di
attrito dinamico tra il blocco e il piano
inclinato.
Esercizio 6.8) Un blocco di 25 kg è
connesso a un altro blocco di 30 kg da una corda di massa trascurabile che
passa attorno ad una puleggia priva di attrito. Il blocco di 30 kg è attaccato
a una molla di massa trascurabile e di
costante 200 N/m, come mostrato in
figura 22. La molla non è in tensione
quando il sistema si trova nelle
condizioni indicate in figura e il piano è
liscio. Il blocco di 25 kg è tirato in giù
lungo il piano inclinato di 20 cm (sicché
il blocco di 30 kg è 40 cm al sopra del
pavimento) ed è lasciato libero da
fermo. Trovare la velocità di ciascun blocco quando quello di 30 kg si trova
a 20 cm del pavimento (cioè quando la molla non è in tensione)
Esercizio 6.9) Una funzione energia potenziale di un sistema è espressa da
U ( x) 3x 4 x 2 x3 (a) determinare la forza Fx in funzione di x. (b) Per quali
valori di x la forza è uguale a zero? (c)
Fare un grafico di U(x) e F(x) in funzione
di x e indicare i punti di equilibrio
stabile e instabile
Esercizio 6.10) Una massa di 1,0 kg
scivola verso destra su una superficie
con coefficiente di attrito 0, 25 .
(figura 23). Quando viene in contatto
con una molla di costante elastica k=50
N/m, la sua velocità è v=3,0 m/s.
La massa si ferma quando la molla è
stata compressa di un tratto d. La
massa è quindi spinta verso sinistra
dalla molla e continua a muoversi nella
direzione al di là della posizione di
equilibrio della molla. Infine la massa si ferma a una distanza D a sinistra
della posizione di equilibrio della molla. Trovare (a) il tratto d di cui è stata
compressa la molla, (b) la velocità v nella posizione di equilibrio della molla,
e (c) la distanza D, dove la massa si ferma, a sinistra della posizione di
equilibrio della molla.
CAPITOLO 7
Esercizio 7a.1) Una forza Fx che
agisce su una particella di 2 kg varia
nel tempo come è indicato in Fig. 24.
Calcolare (a) l’impulso della forza, (b)
la velocità finale della particella, se
questa è inizialmente in quiete, e (c)
la velocità finale della particella se
questa si muove inizialmente lungo
l’asse x con una velocità di -2 m/s.
Esercizio 7a.2) Una palla da baseball di massa 0.16 kg viene lanciata con
una velocità di 40 m/s, ed è rimandata verso il lanciatore con una velocità
di 55 m/s. Qual è l’impulso impresso alla palla? (b) Calcolare la forza
media esercitata dalla mazza se la palla rimane in contatto con questa per
2 x 10-3 s? Paragonare questa forza con il peso della palla e dire se
l’approssimazione impulsiva è valida.
Esercizio 7a.3) Due blocchi di masse M e
3 M si trovano su di un piano orizzontale
senza attrito. Una molla di massa
trascurabile è fissata ad uno di essi, ed i
due blocchi vengono spinti l’un contro
l’altro, con la molla, in mezzo (Fig. 25). La
corda che li tiene uniti viene bruciata, ed
il blocco di massa 3M si muove verso
destra con un velocità di 2 m/s. Qual è la
velocità del blocco di massa M
(assumere che i due blocchi siano
inizialmente fermi).
Esercizio 7a.4) Una massa di 2 kg ha velocità 2i – j m / s , e una massa di
3 kg ha velocità i
6j m / s
Calcolare (a) la velocità del centro di massa e
(b) la quantità di moto totale del sistema.
Esercizio 7a.5) Due bambini in una barca di 90 kg navigano verso sud con
una velocità costante di 1,5 m/s. Ciascun bambino ha una massa di 50 kg.
Qual è la velocità della barca immediatamente dopo che (a) uno dei
bambini cade in acqua dalla poppa della barca; (b) uno dei bambini si tuffa
dalla poppa della barca in direzione nord con una velocità di 2 m/s rispetto
a un osservatore fermo sulla spiaggia, e (c) uno dei bambini si tuffa verso
est (perpendicolarmente alla barca) con
una velocità di 3 m/s?
Esercizio 7a.6) Un oggetto di massa M a
forma di triangolo rettangolo ha le
dimensioni mostrate in Fig. 9.29.
Individuare le coordinate del centro di
massa, assumendo che l’oggetto abbia una
densità superficiale costante.
Esercizio 7b.1) Un proiettile di 8 g viene sparato in un pendolo balistico di
2,5 kg e vi rimane infisso. Se il pendolo sale verticalmente di 6 cm, qual è la
velocità del proiettile?
Esercizio 7b.2) Una sfera di 3 kg urta anelasticamente un’altra sfera in
quiete. Il sistema composto si muove con una velocità uguale ad un terzo
della velocità iniziale della sfera da 3 kg. Calcolare la massa della seconda
sfera.
Esercizio 7b.3) Una particella di 5 g si muove verso destra con una velocità
di 20 m/s e urta centralmente e elasticamente un’altra particella di 10 g,
inizialmente in quiete. Calcolare (a) la velocità finale di ciascuna particella
e (b) la frazione dell’energia iniziale trasferita alla particella di 10 g.
Risolvere il punto (a) anche nel sistema di riferimento del centro di massa.
Esercizio 7b.4) Una pallottola di 6 g
viene sparata contro un blocco di 2
kg, inizialmente in quiete sul bordo di
un tavolo alto 1 m (Fig. 26). Il
proiettile si conficca nel blocco e,
dopo l’urto, il blocco cade a 2 m dallo
spigolo del tavolo. Calcolare la
velocità iniziale del proiettile.
Esercizio 7b.5) Un blocco di massa M ha velocità iniziale v0 sopra una
superficie piana scabra. Dopo aver percorso una distanza d, il blocco urta
centralmente ed elasticamente un altro blocco di massa 2 M. Che distanza
percorrerà il secondo blocco prima di fermarsi? (Assumere che il
coefficiente di attrito sia lo stesso per i due blocchi).
CAPITOLO 8
Esercizio 8.1) Una ruota di 4 m di diametro gira con un’accelerazione
angolare costante di 4 rad/s2. La ruota parte da
ferma all’istante t = 0 e, a questo istante, il
raggio vettore dal centro ad un punto P sul
bordo della ruota forma un angolo di 57.3° con
la direzione orizzontale. Calcolare all’istante t =
2 s (a) la velocità angolare della ruota, (b)
velocità e accelerazione lineare del punto P e (c)
posizione nel punto P.
Esercizio 8.2) Tre particelle sono collegate da
sbarrette rigide, di massa trascurabile, poste
lungo l’asse y (Fig. 28). Se il sistema ruota
intorno all’asse x con una velocità di 2 rad/s, calcolare (a) il momento
d’inerzia del sistema rispetto all’asse di rotazione e l’energia cinetica totale,
1 2
I e (b) la velocità lineare di ciascuna particella e
2
1 2
l’energia cinetica totale, usando ora l’espressione miv i .
2
usando l’espressione
Esercizio 8.3)L’effetto risultante di una forza esterna e dell’attrito è un
momento di 24 N · m applicato a una ruota
che gira intorno al suo asse. La
forza esterna agisce per 5 s e, in questo intervallo di tempo, la velocità
angolare della ruota passa da 0 a 10 rad/s. A questo istante, la forza esterna
viene eliminata e la ruota si ferma in 50 s. Calcolare (a) il momento di
inerzia della ruota, (b) il momento dovuto all’attrito e (c) il numero di giri
fatto dalla ruota.
Esercizio 8.4) Una massa di 12 kg è fissata
a una corda che è avvolta su una puleggia
di 10 cm di raggio (Fig. 29).
L’accelerazione della massa lungo il piano
inclinato senza attrito è 2 m/s2.
Assumendo che l’asse della puleggia sia
pure senza attrito, calcolare (a) la
tensione della corda, (b) il momento
d’inerzia della puleggia e (c) la velocità angolare della puleggia 2 s dopo che
inizia a ruotare, partendo dalla quiete.
Esercizio 8.5) Un disco pieno omogeneo di
raggio R e massa M è libero di ruotare, senza
attrito, intorno ad un perno passante per il
bordo del disco (Fig. 30). Se il disco è
inizialmente in quiete nella posizione
indicata a tratto continuo, (a) qual è la
velocità del suo centro di massa quando
raggiunge la posizione indicata a tratteggio?
Qual è la velocità del punto più in basso del
disco, nella posizione indicata con la linea tratteggiata? (c) Ripetere la parte
(a) del problema usando come oggetto un anello omogeneo, invece del
disco.
Esercizio 8.6) Un cilindro pieno omogeneo,
di massa M e raggio R, ruota intorno ad un
asse orizzontale senza attrito (Fig. 31). Due
masse uguali sono appese a corde di massa
trascurabile, che sono avvolte sul cilindro.
Se il sistema parte da fermo, calcolare (a) la
tensione
di
ciascuna
corda,
(b)
l’accelerazione di ciascuna massa, e (c) la
velocità angolare del cilindro, dopo che le
masse sono scese di un tratto h.
Esercizio 8.7) Una massa m1 è collegata per
mezzo di una corda di massa trascurabile
ad una massa m2, che può scivolare su una
superficie senza attrito (Fig. 32). La
puleggia ruota intorno ad un asse liscio e
ha momento d’inerzia l e raggio R.
Assumendo che la corda non slitti sulla
puleggia, calcolare (a) l’accelerazione delle
due masse, (b) le tensioni T1 e T2 e (c) i
valori numerici di a, T1, T2 se I = 0.5 kg · m2, R = 0.3 m, m1 = 4 kg e m2 = 3 kg.
(d) Quali sarebbero i risultati se la puleggia avesse momento d’inerzia
trascurabile?
Esercizio 8.8) Una corda di nylon di 3 m è avvolta intorno a una bobina
cilindrica omogenea di raggio 0.6 m e massa 1 kg. La bobina è montata su
un asse senza attrito, ed è inizialmente ferma. La corda viene svolta dalla
bobina con un’accelerazione costante di 2.5 m/s2. (a) Quanto lavoro è stato
fatto sulla bobina, quando raggiunge la velocità angolare di 6 rad/s? (b)
Assumendo che vi sia abbastanza corda sulla bobina, dopo quanto tempo
questa raggiunge la velocità di 6 rad/s? (c) Vi è corda sufficiente sulla
bobina, affinché questa raggiunga la velocità di 6 rad/s?
Esercizio 8.9) Una sbarretta omogenea
di lunghezza L e massa M è calettata su
di un asse orizzontale senza attrito,
posto a uno dei suoi estremi. La
sbarretta viene abbandonata, in
quiete, in posizione verticale, come
mostrato in Fig. 33. Quando la
sbarretta si trova in posizione
orizzontale, calcolare (a) la velocità
angolare della sbarretta, (b) la sua
accelerazione angolare, (c) le componenti x e y dell’accelerazione del suo
centro di massa, e (d) le componenti della reazione vincolare del perno.
Esercizio 8.10) Una particella inizialmente
dotata di una velocità v0j nel punto (-d, 0),
viene accelerata dalla forza peso diretta
lungo l’asse y (Fig. 34). (a) Si trovi
l’espressione della variazione con il tempo
del suo momento angolare rispetto
all’origine, (b) il valore del momento
meccanico rispetto all’origine agente in
ogni istante sulla particella; (c) verificare,
utilizzando i risultati di (a) e (b) che dL
dt
Esercizio 8.11) Una particella di massa 0.3 kg è attaccata all’estremità di
un’asta lunga 100 cm e di massa 0.2 kg, che ruota su un piano orizzontale
liscio con velocità angolare di 4 rad/s. Si calcoli il momento angolare del
sistema rispetto all’asse di rotazione perpendicolare al piano se l’asta ruota
(a) intorno al suo punto centrale, (b) intorno all’estremità opposta alla
massa.
Esercizio 8.12) Lo studente di Fig. 35
regge due pesi ognuno di 10 kg di
massa. Quando ha le braccia distese
orizzontalmente i pesi sono a 1 m
dall’asse di rotazione e lui ruota con
velocità angolare di 3 rad/s; poi lo
studente tira a sé i pesi
orizzontalmente a 0.3 m dall’asse. Si
calcoli, considerando costante il
momento d’inerzia dello studente e
dello sgabello pari a 8 kg · m2, (a) la
velocità angolare finale del sistema e (b) la sua variazione di energia
meccanica.
Esercizio 8.13) (a) Si calcoli l’accelerazione di un disco omogeneo che ruota
lungo un piano inclinato e la si compari a quella di un cerchio. (b) Quale è
il minimo coefficiente di attrito necessario a mantenere il disco in moto di
puro rotolamento?
Esercizio 8.14) Una sfera piena omogenea di
raggio r è posta sulla superficie interna
scabra di una ciotola emisferica di raggio R.
La sfera parte da ferma in un punto definito
da un angolo con la verticale (Fig. 36), si
determini la sua velocità quando passa al
fondo della ciotola (moto di puro
rotolamento).
Esercizio 8.15) Una macchina da corsa accelera uniformemente da 0 km/h
a 80 km/h in 8 s. La forza esterna che accelera la macchina è la forza di
attrito tra i pneumatici e la strada. Se le ruote non slittano determinare il
minimo coefficiente di attrito fra i pneumatici e il suolo.
Esercizio 8.16) Una corda di massa trascurabile
è avvolta intorno ad un disco omogeneo di
raggio R e massa M, mentre l’altro estremo è
agganciato a un supporto fisso (Fig. 37). Il disco
è lasciato partire da fermo, si mostri che mentre
il disco scende (a) la tensione della corda è un
terzo del peso del disco, (b) l’accelerazione del
centro di massa è
2
g
3
e (c) dopo una discesa di h
la velocità del centro di massa è (4gh/3)1/2.
Verifica il risultato
(c) usando bilanci energetici.
Esercizio 8.17) A uno spianaterra, assimilabile a un cilindro omogeneo di
raggio R e massa M (Fig. 38), è applicata una forza orizzontale costante F;
se esso sotto l’azione di questa forza si muove senza slittare su un piano
orizzontale, si mostri che (a) l’accelerazione
del suo centro di massa è 2F/3M e (b) il
minimo coefficiente d’attrito per consentire
il puro rotolamento è F/3Mg. (Considera i
momenti rispetto al centro di massa).
Esercizio 8.18) Si consideri di una sfera
omogenea che rotola lungo un piano
inclinato (fig. 39). (a) Scelto come polo per
i momenti il punto P di contatto
istantaneo tra sfera e piano, si mostri che
l’accelerazione del centro di massa è
ac
5
gsen
7
. (b) Si mostri che il minimo
coefficiente d’attrito perché la sfera rotoli
senza slittare è
min
2
tan .
7
Esercizio 8.19) Un’asta omogenea di massa m1 e lunghezza l è libera di
ruotare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per il
suo centro. Inizialmente l’asta è in quiete in posizione orizzontale. Un
punto materiale di massa m2 cade dall’alto con direzione ortogonale
all’asta e colpisce l’asta in corrispondenza di un suo estremo con velocità
vi. Dopo l’urto il punto materiale rimane attaccato all’estremo dell’asta.
Determinare la velocità angolare ωf del sistema asta + punto materiale
immediatamente dopo l’urto (l’asta è ancora in posizione orizzontale) e la
velocità vfCM del suo centro di massa (determinare la posizione del centro
di massa del sistema rispetto ad O). Determinare in questo istante
(immediatamente dopo l’urto) anche la accelerazione angolare αf del
sistema e la reazione vincolare Rf. Determinare inoltre la velocità angolare
ωv, l’accelerazione angolare αv del sistema e la reazione vincolare Rv nel
momento in cui il sistema, ruotando, passa per la verticale.
vi
ωf , αf
O
·
·
·
ωv , αv
CAPITOLO 9
Esercizio 9.1) Sulla trave uniforme di
Fig. 49 pesante W e lungo L sono
poggiati i due pesi W1 e W2; la trave è
appoggiata su due punti. Si calcoli per
quale valore di x la trave in equilibrio
poggia solo sul punto P, cioè la reazione
normale dell’appoggio O è nulla.
Esercizio 9.2) Una placca piatta ha la
forma a T e le dimensioni di Fig. 41;
trovare la posizione del baricentro
(suggerimento: i pesi delle parti rettangolari
sono proporzionali ai rispettivi volumi).
Esercizio 9.3) In un’automobile, avente una
massa di 1600 kg, la distanza tra l’asse
anteriore e quello posteriore è 3 m. Se la
reazione normale sulle ruote anteriori è
maggiore del 20% di quella sulle ruote
posteriori, si determini (a) la posizione del
baricentro rispetto all’asse anteriore e (b)
la reazione normale su ogni ruota.
Esercizio 9.4) Il ponte di Fig. 42, lungo 50
m e di massa pari a 8 x 104 kg è appoggiato
ai suoi estremi. Sul ponte si trova a 15 m
dalla fine un camion di massa 3 x 104 kg, si
calcolino le forze agenti sul ponte ai punti
di appoggio.
Esercizio 9.5) Una scimmia di 25 kg si sposta
lungo una scala a pioli di 30 kg lunga L (Fig. 43).
Non vi è attrito su entrambe le estremità della
scala, che è fissata in basso alla parete con una
corda orizzontale che può reggere al massimo
25 kg. (a) Tracciare il diagramma delle forze
applicate alla scala; (b) trovare quale è la
tensione della corda quando la scimmia dista
dall’estremità inferiore di un terzo della
lunghezza della scala e (c) calcolare quale è la
massima distanza dall’estremità inferiore che la
scimmia può raggiungere senza rompere la corda.
Esprimere la risposta come frazione di l.
Esercizio 9.6) Alla trave di Fig. 44, lunga 4 m e con
una massa di 10 kg, è appeso un corpo di 20 kg.
(a) Disegna il diagramma delle forze agenti sulla
trave. (b) Determina la tensione del cavo e le
componenti della reazione del perno.
Esercizio 9.7) Una massa di 150 kg poggia,
come in Fig. 12.26, su una trave di 50 kg. La
massa è anche collegata all’estremo della
trave tramite una fune passante attraverso
una puleggia. Assumendo il sistema in
equilibrio (a) disegna il diagramma delle
forze agenti sul sistema massa-trave; (b)
calcola la tensione della fune e le
componenti della forza di reazione del
perno O.
Esercizio 9.8) Una scala a pioli di 15 m pesante 500 N poggia contro una
parete liscia in modo da formare un angolo di 60° con l’orizzontale. (a)
trovare le componenti orizzontale e verticale della reazione del suolo sulla
scala quando su di essa poggia a 4 m dal fondo un pompiere pesante 800
N. (b) La scala inizia a slittare quando il pompiere sale a 9 m dal fondo, si
calcoli il coefficiente di attrito tra scala e suolo.
Esercizio 9.9) Sul blocco di Fig. 46, avente
massa di 100 kg, agisce una forza F. (a) Se il
blocco scivola a velocità costante quando F
è pari al peso di 50 kgf ed h=1,0 m, trova il
coefficiente di attrito dinamico e la
posizione della reazione normale. (b)
Determinare per quale valore di h il corpo
inizia ad inclinarsi dalla posizione verticale e
su quale spigolo.
Esercizio 9.10) Una trave omogenea di peso w ed inclinata di rispetto
all’orizzontale poggia sul pavimento ed è
sostenuto da una corda orizzontale
attaccata alla parete. (a) Si calcoli quale è
il massimo peso W che può essere appeso
all’estremità della trave senza farla slittare
in funzione del coefficiente di attrito
statico s tra pavimento e trave. (b) Si
calcoli anche, in termini di w, W e s , la
forza di reazione del pavimento e quella
con cui la trave agisce sulla fune.
