Appunti

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CAPITOLO 1
NP-completezza
1. La classe P
Iniziamo con le seguenti semplici definizioni.
Definizione 1.1. Un linguaggio sull’alfabeto Σ è un sottoinsieme di Σ∗ (l’insieme delle
stringhe di lunghezza finita su Σ).
Tipicamente, l’alfabeto Σ coincide con l’insieme {0, 1}. La teoria dell’NP-completezza e
le definizioni delle classi P e NP sono invarianti rispetto alla scelta dell’alfabeto purché questi
contenga almeno due simboli.
Definizione 1.2. Un algoritmo A decide il linguaggio L se
A(x) = 1 se e solo se x ∈ L.
Definizione 1.3. Il linguaggio L appartiene alla classe P (in simboli L ∈ P) se esiste un
algoritmo A tale che
(1) A decide L;
(2) esistono una costante n0 ed una una costante c tali che per ogni x ∈ {0, 1}∗ di
lunghezza almeno n0 , A si ferma dopo al più |x|c passi.
1.1.
(1)
(2)
(3)
Esempi. È facile verificare che ciascuno dei seguenti linguaggi appartiene a P.
L = {x|x ha un numero pari di 0};
L = {x|x è la rappresentazione binaria di una potenza di 2};
Il linguaggio L di tutte le quadruple (G, u, v, k) tali che
• G è la rappresentazione di un grafo (ad esempio, G è la matrice di adiacenza di
un grafo). Per comodità, e con un piccolo abuso di notazione, indicheremo con
G sia il grafo che la sua rappresentazione.
• u e v sono due vertici di G che si trovano a distanza al più k.
2. La classe NP
In questa sezione definiamo la classe di linguaggi NP. Informalmente un linguaggio L
appartiene alla classe NP, se è possibile verificare in tempo polinomiale l’appartenenza di una
stringa x ad L. Formalmente abbiamo la seguente definizione.
Definizione 1.4. Un linguaggio L appartiene alla classe NP se esiste un algoritmo A(·, ·)
tale che
(1) esistono costanti n0 e c tale che per ogni x, y ∈ {0, 1}∗ con |x| ≥ n0 , A(x, y) si ferma
in al più |x|c passi;
(2) per ogni stringa x ∈ L esiste una stringa y ∈ {0, 1}? tale che A(x, y) = 1;
1
2
1. NP-COMPLETEZZA
(3) per ogni x 6∈ L e per ogni y ∈ {0, 1}? , A(x, y) = 0.
In altre parole se L ∈ NP allora per ogni x ∈ L esiste un certificato y di lunghezza
polinomiale nella lunghezza di x che è “verificato” da A in tempo polinomiale e se x 6∈ L non
esiste alcun certificato y. L’algoritmo A è anche chiamato algoritmo polinomiale di verifica.
Nota che, poiché il tempo di esecuzione di A è polinomiale nella lunghezza del primo input, y
ha a sua volta lunghezza polinomiale.
Consideriamo ad esempio il seguente linguaggio
Clique= {(G, k)|G è un grafo che ha un sottografo completo di taglia k}.
Per provare che Clique∈ NP dobbiamo esibire un algoritmo polinomiale A che soddisfa la
Definizione 1.4.
Consideriamo il seguente algoritmo.
A((G, k), (v1 , · · · , vl ))
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
10.
if l 6= k then
return 0;
for i = 1 to k
for j = i + 1 to k
if vi = vj then
return 0;
for i = 1 to k
for j = i + 1 to k
if (vi , vj ) non appartiene all’insieme degli archi di G then
return 0;
return 1;
L’algoritmo riceve una coppia (G, k) ed un certificato (v1 , · · · , vl ) per l’appartenenza di (G, k)
al linguaggio Clique. L’algoritmo A verifica che il certificato consiste di k vertici (righe 0102), che tutti i k vertici del certificato sono differenti (righe 03-06) e che i vertici del certificato
costituiscono un sottografo completo di G (righe 07-10). Se tutte le verifiche hanno successo
l’algoritmo restituisce 1; altrimenti l’algoritmo restituisce 0. Osserviamo che se G ha un sottografo completo di taglia k costituito dai vertici (v1 , · · · , vk ) allora l’algoritmo A con input
(G, k) e (v1 , · · · , vk ) restituisce 1. Quindi la condizione 2 della Definizione 1.4 è soddisfatta.
Se invece G non ha nessun sottografo completo di taglia k allora per ogni sequenza di
vertici (v1 , · · · , vl ) almeno una delle seguenti tre condizioni deve essere soddisfatta:
(1) l 6= k; in questo caso A restituisce 0 alla riga 02;
(2) qualche vertice di G appare due volte nella lista; in questo caso A restituisce 0 alla
riga 06;
(3) i k vertici sono distinti ma per qualche coppia (i, j) l’arco (vi , vj ) non è un arco di G;
in questo caso A restituisce 0 alla riga 10.
Quindi se (G, k) 6∈Clique, non esiste nessun certificato per cui A restituisce in output il valore
1. La condizione 3 della Definizione 1.4 è pertanto soddisfatta.
Nel prossimo teorema proviamo che L ∈ P allora L ∈ NP.
3. LA CLASSE NP − COMPLETE
3
Teorema 1.5. P ⊆ NP.
Dimostrazione. Sia L ∈ P. Allora esiste un algoritmo deterministico A che, su input x,
restituisce 1 se e solo se x ∈ L. Si consideri il seguente algoritmo B.
B(x, y)
01. return (A(x));
Osserviamo che se x ∈ L allora B(x, 0) = A(x) = 1 e quindi 0 è un certificato. Se invece x 6∈ L
allora per ogni possibile certificato y abbiamo che B(x, y) = A(x) = 0.
Non è noto se P 6= NP. Sebbene la maggior parte degli studiosi creda che P 6= NP non
abbiamo ancora una prova. La Teoria dell’NP-completezza (che verrà discussa nella prossima sezione) identifica i linguaggi più difficili di NP. Se almeno uno di essi ha un algoritmo
polinomiale che lo decide allora P = NP.
3. La classe NP − COMPLETE
Abbiamo le seguenti definizioni.
Definizione 1.6 (Riduzione). Sia L1 e L2 due linguaggi. Diciamo che L1 si riduce a L2
(in simboli L1 ≤p L2 ) se esiste un algoritmo polinomiale R tale che
R(x) ∈ L2 se e solo se x ∈ L1 .
Definizione 1.7 (NP-completo). Un linguaggio L è NP-completo se
(1) L ∈ NP;
(2) per ogni linguaggio L0 ∈ NP abbiamo che L0 ≤p L.
Denotiamo con NP − COMPLETE la classe dei linguaggi NP-completi.
Si noti la similarità della definizione di linguaggio NP-completo con la definizione di massimo di un insieme I definito come quell’elemento x ∈ I tale che, per ogni y ∈ I, vale y ≤ x.
La nozione di linguaggio NP-completo esprime formalmente il concetto di linguaggio più difficile di NP. Il seguente teorema rafforza la nostra intuizione dicendoci che se un linguaggio
NP-completo appartiene a P allora tutti i linguaggi in NP possono essere decisi in tempo
polinomiale.
Teorema 1.8. Sia L un linguaggio NP-completo. Se L ∈ P allora P = NP.
Dimostrazione. Sia L0 un linguaggio in NP. Mostriamo un algoritmo polinomiale A0 che
decide L0 .
Poiché L ∈ P allora esiste un algoritmo polinomiale A che decide L. Inoltre, siccome L è NPcompleto e L0 ∈ NP allora esiste un algoritmo polinomiale R che riduce L0 a L. Consideriamo
ora il seguente algoritmo A0
A0 (x)
01. y ← R(x);
02. return (A(y));
4
1. NP-COMPLETEZZA
Chiaramente l’algoritmo A0 è polinomiale. Supponiamo che x ∈ L0 . Allora, per le proprietà
della riduzione R, y ∈ L e quindi A(y) = 1. Supponiamo ora che x 6∈ L0 . Allora y 6∈ L e quindi
A(y) = 0. Possiamo quindi concludere che A0 è polinomiale e decide L0 e quindi L0 ∈ P.
Un altro modo di leggere il teorema precedente è che se un linguaggio L è NP-completo
allora L è da considerarsi “difficile”. Infatti se P 6= NP, allora non esiste alcuna algoritmo
polinomiale che decide L.
Il prossimo teorema è particolarmente utile per provare che un linguaggio è NP-completo.
Infatti, seguendo la definizione, per provare che un linguaggio L è NP-completo dobbiamo
provare che ogni linguaggio in NP si riduce ad esso il che può essere particolarmente difficile.
Invece grazie al prossimo teorema basterà mostrare che un linguaggio NP-completo si riduce a
L. Iniziamo con il provare il seguente lemma.
Lemma 1.9 (Transitività della relazione ≤p .). Sia L, L1 e L2 tre linguaggi tali che L2 ≤p L1
e L1 ≤p L. Allora L2 ≤p L.
Dimostrazione. Per ipotesi esistono due riduzioni polinomiali R1 e R2 tali che
• x ∈ L2 se e solo se R2 (x) ∈ L1 ;
• x ∈ L1 se e solo se R1 (x) ∈ L.
Consideriamo il seguente algoritmo.
R(x)
01. y1 ← R2 (x);
02. y ← R1 (y1 );
03. return (y);
Per le proprietà degli algoritmi R1 e R2 abbiamo che se x ∈ L2 allora y1 ∈ L1 e quindi y ∈ L;
inoltre se x 6∈ L2 allora y1 6∈ L1 e quindi y 6∈ L. Pertanto per l’algoritmo R vale la proprietà
x ∈ L2 se e solo se R(x) ∈ L. Inoltre l’algoritmo R è polinomiale e quindi abbiamo che
L2 ≤p L.
Abbiamo quindi il seguente teorema.
Teorema 1.10. Sia L un linguaggio NP e sia L1 un linguaggio NP-completo tale che
L1 ≤p L. Allora L è NP-completo.
Dimostrazione. Sia L2 un qualsiasi linguaggio NP. Allora L2 ≤p L1 . Applicando il
Lemma 1.9 abbiamo che L2 ≤p L. Inoltre per ipotesi abbiamo che L ∈ NP e quindi L è
NP-completo.
Grazie al Teorema 1.10, per provare che un linguaggio è NP-completo basta provare che
un altro linguaggio (che già sappiamo essere NP-completo) si riduce ad esso. Abbiamo però
bisogno di un primo linguaggio NP-completo da cui partire.
4. Il linguaggio CNFSAT
Una formula booleana Φ sulle variabili (x1 , · · · , xn ) è una formula che contiene i connettivi
logici ∧ (AND), ∨ (OR) e ¬ (NOT) e le variabili x1 , · · · , xn . Indichiamo invece con il termine
di letterale le variabili in forma negata e forma non negata. Ad esempio Φ = (((x1 ∧ x2 ) ∨ (x1 ∧
¬x3 )) ∧ (x1 ∨ x4 )) è una formula booleana sulle variabili (x1 , · · · , x4 ). Un assegnamento di
5. IL LINGUAGGIO 3SAT
5
verità t assegna ad ogni variabile della formula Φ un valore booleano ed induce naturalmente
un valore booleano t(Φ) della formula Φ. Ad esempio, l’assegnamento t tale che t(x1 ) = 0,
t(x2 ) = 1, t(x3 ) = 1 e t(x4 ) = 0 rende la formula formula Φ falsa (cioé t(Φ) = 0). Una formula
Φ si dice soddisfattibile se esiste un assegnamento di verità t tale che t(Φ) = 1; in questo
caso diciamo che t rende Φ vera. Definiamo il linguaggio SAT come il linguaggio che consiste
delle formule booleane Φ che sono soddifacibili. Indichiamo invece con CNFSAT il linguaggio
delle formule booleane in forma congiuntiva normale (AND di OR) che sono soddifacibili. Ad
esempio la formula Φ = (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ (¬x1 ∨ x2 ∨ x4 ) ∧ (x2 ∨ ¬x4 ) ∧ (x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ x5 )
è in formula congiuntiva normale e consiste di 4 clausole. La prima e la seconda clausola
contengono 3 letterali, la terza clausola contiene 2 letterali mentre la quarta clausola contiene
4 letterali.
Teorema 1.11. [Cook-Levin] Il linguaggio CNFSATè NP-completo.
5. Il linguaggio 3SAT
In questa sezione proviamo che il linguaggio 3SAT consistente di tutte le formule in forma
congiuntiva normale ove ogni clausola contiene esattamente 3 letterali è NP-completo.
Teorema 1.12. 3SAT∈ NP − COMPLETE.
Dimostrazione. Riduciamo CNFSAT a 3SAT e quindi, grazie al Teorema 1.10, otteniamo il teorema.
Sia Φ una formula in forma CNF. Costruiamo in tempo polinomiale una formula Φ0 in
forma 3CNF (cioè in forma CNF ove ogni clausola contiene esattamente 3 letterali) tale che
Φ0 è soddisfattibile se e solo se Φ è soddisfattibile. La costruzione considera ogni clausola C di
Φ separatamente e per ognuna di esse costruisce una sequenza S di clausole. La sequenza S
di clausole ha la proprietà che un assegnamento di verità soddisfa C se e solo soddisfa S. La
formula Φ0 è ottenuta legando insieme con l’operatore ∧ tutte le clausole ottenute. Pertanto
abbiamo che Φ0 è soddisfattibile se e solo se Φ è soddisfattibile. La costruzione distingue i
seguenti casi.
(1) La clausola C contiene un solo letterale a.
In questo caso l’insieme S consiste delle seguenti clausole (a∨y1 ∨y2 ) (a∨¬y1 ∨y2 )
(a ∨ y1 ∨ ¬y2 ) (a ∨ y¬1 ∨ ¬y2 ).
(2) La clausola C contiene due letterali (a1 ∨ a2 ).
In questo caso l’insieme S consiste delle seguenti clausole (a1 ∨a2 ∨y1 ) (a1 ∨a2 ∨¬y1 )
(3) La clausola C contiene tre letterali (a1 ∨ a2 ∨ a3 ). In questo caso l’insieme S consiste
della sola clausola C.
(4) La clausola C contiene k > 3 letterali (a1 ∨ a2 ∨ a3 ∨ · · · ∨ ak ).
In questo caso l’insieme S consiste delle clausole
(a1 ∨ a2 ∨ y1 ), (¬y1 ∨ a3 ∨ y2 ), . . . , (¬yk−3 ∨ ak−1 ∨ ak ).
Consideriamo per esempio la formula
Φ = (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ (¬x1 ∨ x2 ∨ x4 ) ∧ (x2 ∨ ¬x4 ) ∧ (x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ x5 ).
La formula Φ0 ottenuta è la seguente
Φ0 = (x1 ∨x2 ∨x3 )∧(¬x1 ∨x2 ∨x4 )∧(x2 ∨¬x4 ∨y1 )∧(x2 ∨¬x4 ∨¬y1 )∧(x2 ∨x3 ∨y2 )∧(¬y2 ∨¬x4 ∨x5 ).
6
1. NP-COMPLETEZZA
6. Il linguaggio Clique
In questa sezione mostriamo che il linguaggio Clique è NP-completo mostrando una
riduzione da 3SAT.
Teorema 1.13. Clique∈ NP − COMPLETE.
Dimostrazione. Sia Φ una formula in forma CNF ove ogni clausola contiene esattamente
3 letterali. Sia inoltre k il numero di clausole di Φ. La riduzione restituisce la coppia (G, k)
ove il grafo G è costruito nel modo seguente. Il grafo G ha un vertice per ogni occorrenza
di un letterale: Se il letterale xi appartiene alla j-esima clausola di Φ, il grafo G conterrà il
vertice v(i, j); diremo in questo caso che il vertice v(i, j) appartiene alla j-esima clausola. Se
il letterale ¬xi appartiene alla j-esima clausola di φ allora il grafo G conterrà il vertice n(i, j);
diremo in questo caso che il vertice n(i, j) appartiene alla j-esima clausola di φ. Ogni vertice
di G ha un arco verso ogni altro vertice di G con le seguenti eccezioni:
(1) non ci sono archi tra vertici della stessa clausola;
(2) non ci sono archi tra vertici corrispondenti ad un letterale ed al suo negato, anche se
appartengono a clausole differenti.
Dimostriamo che Φ ∈ 3SAT se e solo se (G, k) ∈ Clique.
(1) Supponiamo che Φ ∈ 3SAT.
Allora esiste un assegnamento di verità t tale che per ogni clausola esiste almeno
un letterale vero. Consideriamo quindi k vertici (uno per clausola) di G corrispondenti
a letterali di Φ veri per l’assegnamento t e mostriamo che constituiscono una clique
in G. Infatti, questi k vertici appartengono a clausole differenti e non abbiamo tra
questi vertici v(i, j) e n(i, j 0 ) cossipondenti ad una variabile xi ed al suo negato ¬xi
(altrimenti t non sarebbe un buon assegnamento di verità). Pertanto i k vertici
costituiscono un sottografo completo di taglia k e quindi (G, k) ∈ Clique.
(2) Supponiamo che (G, k) ∈ Clique.
Allora esiste un sottografo completo C di k vertici in G. Per costruzione di G
abbiamo che
(a) ogni vertice di C appartiene ad una differente clausola di Φ ed ogni clausola di
Φ contiene un vertice di C;
(b) se v(i, j) appartiene a C allora certamente n(i, j 0 ) non appartiene a C.
Consideriamo quindi l’assegnamento di verità t che pone a vero tutti letterali corrispondenti a vertici di C. L’assegnamento t è certamente legale per la proprietà (2b)
e, per la proprietà (2a), soddisfa tutte le clausole di Φ. Quindi Φ ∈ 3SAT.
7. Il linguaggio 3Col
Il linguaggio 3Col consiste di tutti i grafi i cui vertici possono essere colorati usando 3
colori in modo tale che due vertici adiacenti sono colorati con colori diversi. È facile verificare
che 3Col ∈ NP.
Riduciamo 3SAT a 3Col usando i tre gadget descritti dalla Figura 1. In particolare la
riduzione per la formula Φ sulle variabile x1 , · · · , xn costruisce un grafo che contiene:
(1) un gadget per il vero e falso;
8. ESERCIZI
~
~
.........
..X
..... .........
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
.....
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...
V
F
~
7
.........
..X
..... .........
.....
.....
.....
.....
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...
.....
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.....
...
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.....
.
a...
¬a
~
~
Il gadget per il vero ed il falso
~
Il gadget per la variable a
~
V
.........
..... .........
.....
.....
.....
.....
.....
.....
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.....
.....
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...
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..
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~
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... .....
...
...
...
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...
..
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...
..
.
...
.
..
...
.
.
..
...
~
~
~
b
a
~
Il gadget per la clausola (a ∨ b ∨ c)
~
c
Figura 1. I tre gadget per la riduzione di 3SAT a 3Col.
(2) un gadget per ciascuno delle variabile; nota che i gadget delle variabili condividono il
vertice X con il gadget per il vero e il falso;
(3) un gadget per ogni clausola; nota che il gadget per la clausola (a ∨ b ∨ c) condivide il
vertice a con il gadget della variabile a, il vertice b con il gadget della variabile b, il
vertice c con il gadget della variabile c ed il vertice V con il gadget per il vero e falso.
Notiamo che il gadget per le variabili impone che i vertici a e ¬a devono essere colorati uno con
V ed uno con F. Possiamo inoltre verificare che se i tre vertici dei letterali di una clausola C
sono colorati con F allora non è possibile colorare i restanti vertici del gadget di C. Se invece
almeno uno di essi è colorato con V allora è possibile completare la colorazione del gadget di
C. Abbiamo quindi il seguente
Teorema 1.14. 3Col ∈ NP − COMPLETE.
8. Esercizi
Esercizio 1. Se L è un linguaggio, definiamo L̄ (il complemento di L) come la differenza
simmetrica
L̄ = Σ∗ \ L.
Provare che se L ∈ P allora L̄ ∈ P .
8
1. NP-COMPLETEZZA
Esercizio 2. Denotiamo con co-NP la classe dei linguaggi L tali che L̄ ∈ NP. Provare che
se NP 6= co-NP allora P 6= NP.
Esercizio 3. Sia L1 , L2 ∈ NP. Provare che L1 ∪ L2 e L1 ∩ L2 sono entrambi in NP.
Esercizio 4. Sia L un linguaggio. Definiamo il linguaggio L? come il linguaggio di tutte
le stringhe w tali che esistono w1 , · · · , wk per cui
(1) w = w1 ◦ · · · ◦ wk (“◦” denota la concatenazione di stringhe);
(2) w1 , · · · , wk ∈ L;
Provare che se L ∈ NP allora L? ∈ NP.
L?
Esercizio 5. Usando la notazione dell’esercizio precedente, provare che se L ∈ P allora
∈ P.
Esercizio 6. Si consideri il linguaggio Hamilton dei grafi hamiltoniani. Un grafo è
detto hamiltoniano se esiste un cammino che visita tutti i vertici una sola volta. Provare che
Hamilton∈ NP.
Esercizio 7. Provare l’equivalenza tra il problema decisionale e il problema di ricerca per
il linguaggio Clique.
Esercizio 8. Supponiamo che esista un oracolo O per decidere il linguaggio NP-completo
L. Provare che esiste un algoritmo polinomiale che usa O come oracolo, effettua un numero
polinomiale di chiamate ad O e risolve il problema di ricerca associato ad L.
Esercizio 9. Abbiamo un trasmettitore che vuole inviare un messaggio ad un insieme
D = {d1 , · · · , dm } di m destinazioni. Il trasmettitore è collegato ad n coppie di ripetitori
(ai , bi ), i = 1, · · · , n ed ogni ripetitore ai (rispettivamente bi ) è collegato ad un sottoinsieme
Ai (rispettivamente Bi ) di destinazioni. Per evitare interferenze per ogni coppia di ripetitori
(ai , bi ) possiamo avere esattamente un solo ripetitore attivo. Diciamo che è possibile trasmettere il messaggio se esiste un modo di attivare i ripetitori in modo tale che per ogni coppia solo
un ripetitore è attivo ed ogni destinazione è adiacente ad almeno un ripetitore attivo.
Provare che decidere se una trasmisisone è possibile è NP-completo.
Esercizio 10. Provare che il problema di determinare se una formula Φ in forma congiuntiva normale con esattamente 3 letterali per clausola ammette un assegnamento di verità
tale che per ogni clausola esistono almeno due letterali veri è decidibile in tempo polinomiale.
Esercizio 11. Provare che il problema di determinare se una formula Φ in forma congiuntiva normale con esattamente 3 letterali per clausola e dove ogni letterale compare esattamente
3 volte ammette un assegnamento di verità che la soddisfa è decidibile in tempo polinomiale.
Esercizio 12. Abbiamo provato che Max2SAT è completo. Questo non significa che
Max2SAT è difficile per tutte le classi di input.
Provare che è possibile decidere in tempo polinomiale se (Φ, m − 1) ∈ Max2SAT, dove m
è il numero di clausole di Φ. Estendere questo risultato al caso (Φ, m − c) per ogni costante
c > 0.
Esercizio 13. Un monomio è un AND di letterali. Una formula è in forma disgiuntiva
normale (DNF in breve) se è un OR di monomi. Ad esempio la seguente formula è in forma
DNF Φ = (x1 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ (¬x1 ∧ ¬x2 ∧ x4 ).
NOTE BIBLIOGRAFICHE
9
Definiamo il linguaggio DNFSAT come il linguaggio delle formule in DNF che sono
soddisfattibili. Provare che DNFSAT ∈ P.
Esercizio 14. Data una formula in 3CNF possiamo usare la legge distributiva per construire una formula equivalente in DNF. Ad esempio abbiamo che
(x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ) ∧ (¬x1 ∨ ¬x2 ) ≡ (x1 ∧ ¬x1 ) ∨ (x1 ∧ ¬x2 ) ∨ (x2 ∧ ¬x1 ) ∨ (¬x3 ∧ ¬x1 ) ∨ (¬x3 ∧ ¬x2 ).
Poiché abbiamo visto che DNFSAT∈ P (Esercizio 13) abbiamo che P = NP. Dove è l’errore?
Note bibliografiche
La teoria dell’NP-completezza è stata introdotta da S. Cook in [2] (che ha provato che il
linguaggio delle formule in forma disgiuntiva normale che non sono una tautologia è completo)
e da L. Levin in [6] (che ha provato la completezza di diversi linguaggi). La prova dell’NPcompletezza di Clique e dei Grafi di Hamilton è stata data da Karp [5]. Il libro di Garey e
Johnson [4] è un’ottima guida alla teoria dell’NP-completezza.
Versione: 1.38 del 18 novembre 2005.
Capitolo tratto dagli appunti del corso avanzato di Algoritmi e Strutture Dati di G. Persiano.
Versione corrente disponibile all’URL
http://libeccio.dia.unisa.it/ASDII/2005/Appunti/PNP.pdf.
Bibliografia
[1] Stephen A. Cook. The complexity of theorem-proving procedures. In Proceedings of the third annual ACM
symposium on Theory of computing, pages 151–158. ACM Press, 1971.
[2] M.R. Garey and D.S. Johnson. Computers and Intractability. Freeman, 1979.
[3] R. M. Karp. Reducibility among combinatorial problems. Complexity of Computer Computations, pages
85–103, 1972.
[4] L. Levin. Universal sequential search problems. Problemy Peredachi Informatsii, 9(3):265–266, 1973.
11