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Campo elettrico
Campo elettrico
creato da una distribuzione di carica uniforme su una corona circolare
Consideriamo una
Fig.1
corona circolare il cui raggio
interno sia praticamente
uguale al raggio esterno e
supponiamo che la sua
superficie sia ricoperta di
carica, uniformemente
distribuita. Sia Q la carica
complessiva, ed S l’area della
superficie.
Vogliamo determinare
l’intensità del campo elettrico
generato dalla carica in un punto dell’asse della corona che si trovi a distanza d dal
centro della stessa.
Nella risoluzione del problema consideriamo Q>0
Il problema si risolve con considerazioni geometriche sulla simmetria della
figura ed applicando il principio di sovrapposizione dei campi elettrici, nonché lo
strumento del calcolo integrale.
Facciamo riferimento alla Fig.1
Consideriamo un settore circolare di piccole dimensioni della corona; in esso è
immagazzinata una certa quantità di carica ∆q e indicando con ∆s l’area della
superficie elementare considerata e con σ la densità superficiale di carica, possiamo
scrivere:
∆q=σ⋅∆s
(1)
Sia R il raggio della corona circolare e d la distanza del punto P considerato sul suo
asse. Risulta
R=OP= R 2 + d 2
(2)
Osserviamo che al settore circolare elementare considerato si può far corrispondere il
suo simmetrico rispetto al centro O della corona. Siano E1, E2 i campi elettrici
elementari generati nel punto P dalle cariche ∆q1, ∆q2, racchiuse nelle due superfici.
Dalle considerazioni fatte sulle dimensioni della corona circolare emerge che dette
cariche possono essere considerate puntiformi e dunque i moduli dei campi elettrici
generati si ottengono dal modello di campo elettrico generato da una carica
puntiforme. Poiché il punto P è equidistante dalle due cariche ∆q1, ∆q2, i campi
elettrici generati avranno la stessa intensità:
E1 = E 2 = K
∆q1
∆q
= K 2 1 2 , dove K è la costante di Coulomb.
2
r
R +d
Se consideriamo le proiezioni dei due vettori E1, E2 sul piano perpendicolare all’asse
della corona circolare si evince che le componenti vettoriali sono opposte, quindi
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2
Campo elettrico
nella somma vettoriale dei due campi si elidono; pertanto il campo elettrico risultante
ha solo componente lungo l’asse della corona ed il suo modulo è
E = 2 E1 ⋅ cos θ = K
2∆q
⋅ cos θ
R + d2
(3)
2
Nella formula θ indica l’angolo acuto formato dal segmento OP con l’asse
dell’anello.
L’intensità complessiva del campo elettrico si può determinare ricorrendo ad un
modello semplice. Se si suddivide la superficie della corona in 2N parti uguali, la
carica contenuta in ciascuna contribuisce alla creazione del campo sempre con lo
stesso valore, la cui componente lungo l’asse dell’anello è
∆q
⋅ cos θ
R +d2
E i ⋅ cos θ = K
2
La componente complessiva del campo elettrico si ottiene allora eseguendo la somma
dei contributi dati dalle singole cariche elementari. Possiamo considerare le aree
elementari a coppie e sfruttare la (3). Possiamo scrivere:
N
N
2∆q i
i =1
i =1
R2 + d 2
E Tot = ∑ 2 E i ⋅ cos θ = ∑ K
⋅ cos θ = K
N
Q cos θ
cos θ
⋅
2∆q i = K 2
∑
2
2
R + d i =1
R + d2
Concludiamo che l’intensità del campo elettrico nel punto P vale
ETot ( P ) = K
Q cos θ
R2 + d 2
e come si vede dipende dalla distanza del punto dal centro dell’anello.
Possiamo dare una forma diversa eliminando cosθ. Infatti, essendo
cos θ =
d
R2 + d 2
,
si ha
ETot ( P) = K
Q
(R
2
+ d2
)
3
2
Applicazione
Dati dell’anello
R=40cm
Q=6,0⋅10nC
Intensità del campo elettrico sui punti dell’asse
E=
54
(0,16 + d )
2 1.5
(N / C)
Osservazione
Il valore del campo elettrico nel centro dell’anello è nullo. Si può giustificare
l’affermazione con semplici considerazioni di carattere geometrico sfruttando la
simmetria centrale. Lasciamo il compito al lettore.
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it