Anova e regressione

Anova e regressione
Andrea Onofri
Dipartimento di Scienze Agrarie ed Ambientali
Universitá degli Studi di Perugia
22 marzo 2011
Nella sperimentazione agronomica e biologica in genere è normale organizzare prove sperimentali replicate, anche per studiare l’effetto di una fattore
quantitativo su una variabile dipendente, anch’essa quantitativa.
In questa situazione, l’impiego di metodiche di confronto multiplo, se
non del tutto errato, è comunque da considerare ’improprio’. Infatti, l’inclusione di alcuni particolari livelli della variabile indipendente è frutto solo
delle esigenze organizzative, senza alcune interesse particolare per lo sperimentatore, che è invece interessato a capire come cresce/decresce/varia la
Y (variabile dipendente nel suo complesso) in funzione della X (variabile
indipendente) lla risposta della variabile dipendente nel suo complesso. In
sostanza lo sperimentatore è interessato a definire una funzione di risposta e
non a confronbtare tra loro la risposta a due particolari livelli di X.
Immaginiamo una prova sperimentale organizzata per valutare l’effetto
della concimazione azotata sulla produzione del frumento, i cui risultati sono
riportati in tabella .
L’analisi inizia, come al solito, con l’ANOVA, che porta al seguente risultato:
> model <- lm(Yield ~ factor(Block) + factor(Dose), data=dati)
> anova(model)
Analysis of Variance Table
Response: Yield
Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
factor(Block) 3
28.24
9.41
1.7947
0.2181
factor(Dose)
3 1740.39 580.13 110.5889 2.023e-07 ***
Residuals
9
47.21
5.25
--1
2
>
Osserviamo che l’effetto del trattamento è significativo e il SEM è pari a
1.15. Prima di proseguire, verifichiamo che non ci sono problemi relativi alle
assunzioni parametriche di base e che, quindi, la trasformazione dei dati non
è necessaria.
N.
N.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Tabella 1: prova
Dose
Produzione
di azoto
frumento
180.00
53.62
180.00
55.78
180.00
51.55
180.00
52.64
120.00
42.30
120.00
42.88
120.00
44.53
120.00
37.84
60.00
34.46
60.00
34.09
60.00
31.84
60.00
34.51
0.00
25.46
0.00
26.47
0.00
28.35
0.00
20.22
Da questo momento in avanti, l’analisi non prosegue con un test di confronto multiplo (infatti quale senso avrebbe confrontare tra loro le risposte a
N0, N60, N120 e cosı̀ via?), ma con una analisi di regressione lineare, dalla
quale otteniamo le stime:
> model2 <- lm(Yield ~ Dose, data=dati)
> summary(model2)
Call:
lm(formula = Yield ~ Dose, data = dati)
Residuals:
Min
1Q
Median
3Q
Max
3
-5.3427 -0.8948
0.3903
1.1913
3.7633
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 24.586750
1.041575
23.61 1.12e-12 ***
Dose
0.154967
0.009279
16.70 1.22e-10 ***
--Residual standard error: 2.49 on 14 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9522,
Adjusted R-squared: 0.9488
F-statistic: 278.9 on 1 and 14 DF, p-value: 1.219e-10
In entrambi i casi, le stime sono buone, con bassi errori standard e
significativamente diverse da zero (test di t).
Figura 1: Risultati dell’analisi di regressione lineare
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L’analisi di regressione appena eseguita (Fig. 1) mostra che una parte
dell’effetto del trattamento (ma solo una parte) è attribuibile alla dipendenza
lineare della Y (produzione) sulla X (dose). In effetti, se osserviamo l’ANOVA
della regressione vediamo che:
> model.regr anova(model.regr)
Analysis of Variance Table
Response: yield
Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
dose
1 1729.50 1729.50 278.73 1.225e-10 ***
Residuals 14
86.87
6.20
--Signif. codes: 0 ’***’ 0.001 ’**’ 0.01 ’*’ 0.05 ’.’ 0.1 ’ ’ 1
>
Se dal residuo della regressione togliamo l’effetto del blocco (che la regressione non considera esplicitamente) otteniamo 58.63 (86.87 - 28.24), con
11 gradi di libertà), che rappresenta l’errore della regressione.
Possiamo notare che l’errore della regressione è più alto di quello dell’analisi della varianza, dato che il residuo dell’ANOVA contiene solo la misura
dello scostamento di ogni dato rispetto alla media del suo gruppo, che si può
considerare ’errore puro’, mentre il residuo della regressione, oltre all’errore
puro, contiene anche una componente aggiuntiva detta appunto ’mancanza
di adattamento’ e legata al fatto che la regressione lineare è solo un’approssimazione della reale relazione biologica tra la concimazione e il suo effetto
sulla produzione del frumento. Se infatti la regressione fosse perfetta, le medie osservate giacerebbero sulla retta di regressione e la devianza spiegata
dalla regressione sarebbe identica a quella spiegata dall’ANOVA.
La quota di devianza attribuibile alla mancanza d’adattamento può essere
quindi ottenuta per differenza tra il residuo della regressione e il residuo
dell’ANOVA (58.63 - 47.21 = 11.42). Questa devianza ha un numero di gradi
di libertà pari ancora alla differenza tra quelli del residuo della regressione e
quelli del residuo dell’ANOVA (11 - 9 = 2).
Una volta calcolata la varianza legata alla mancanza d’adattamento (11.42/2
= 5.71), questa può essere confrontata con l’errore puro (appunto dato dalla
varianza del residuo dell’ANOVA) tramite test F (5.71/5.25 = 1.09); dato che
il test non è significativo, non vi è mancanza d’ adattamento e la regressione
fornisce una descrizione adeguata dei dati sperimentali.
In caso contrario (test F significativo) il modello non è adeguato e non
rappresenta quindi i dati sperimentali. Inoltre la devianza residua della regressione è una stima distorta della devianza d’ errore, perché contiene sia la
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componente random (errore sperimentale) che quella sistematica (deviazione
dalla regressione).
In conclusione, organizzare prove replicate anche in caso di analisi di
regressione è positivo, in quanto ci consente un’ulteriore test per verificare la
bontà dell’adattamento, cioè il test F per la mancanza d’adattamento. Da
un punto di vista pratico, è sufficiente eseguire separatamente l’ANOVA per
calcolare l’errore sperimentale puro e poi l’analisi di regressione, ottenendo
per differenza la quota di devianza attribuibile alla mancanza d’adattamento,
e la relativa varianza, da confrontare poi con la varianza dell’errore puro
nell’ANOVA