Prova di Logica Matematica del 17/02/2004 (4)
Nome
Cognome
Matricola
Anno immatricolazione
Dire quali delle seguenti frasi è una asserzione
→
Tiziana non ha superato l’esame di Logica.
E’ arrivato Carles alla stazione?
Se tutto va bene, domani parti?
Non rompere il vaso!
Dire quale delle seguenti asserzioni è una contraddizione
(p1→ ¬p2)→ ¬(p1∧p2)
¬ [(¬p1→ ¬p2) → (p2 → p1)]
¬ [(¬( p1∨p2)) ∧p2]
¬p1→ (p1→(¬p1)
→
L'asserzione " x è divisibile per 5"
è sufficiente perché l’ultima cifra di x sia 0
è necessaria perché l’ultima cifra di x sia diversa da 0
è sufficiente perché l’ultima cifra di x sia 5 oppure 0
è sufficiente e necessaria perché l’ultima cifra di x sia 5
→
Dire quale delle seguenti formule è logicamente equivalente alla formula (p2∨p3) →( p1→( p3∨p1)).
((p2∨p3) ∧p1) →( p3∨p1)
(¬(p2∧p1)) ∧ p3
((p3∨p1) ∨p2) →( p1∨p2)
¬(¬p1∧¬p2) ∨p3
→
Dire quali delle seguenti asserzioni sono false
se oggi è domenica allora Natale è a maggio
se 10 è il doppio di 5 allora 10 non è il doppio di 5
se la capitale dell'Italia è Milano allora Roma è la capitale dell’Italia
se Roma è la capitale dell’Italia allora Milano è la capitale dell’Italia
→
→
Sia 11100 un numero scritto in base 2, dire quale delle seguenti è la sua rappresentazione in base 10
24
23
22
28
→
1
Dire quali dei seguenti numeri, scritto in base 2, coincide con il numero 59.
101001
111011
110111
101010
→
Trovare una formula avente come tavola di verità la seguente tavola:
p1
1
1
0
0
p2
1
0
1
0
1
1
0
1
(p1∧p2)∨ (p1∧¬p2) ∨( ¬p1∧¬p2)
Disegnare inoltre un circuito elettrico ed una rete di porte logiche corrispondente.
p1
p1
¬p1
p2
¬p2
¬p2
p1
p2
p1
p2
p1
p2
Si consideri la grammatica con l'alfabeto {p,w,f}, il cui start-symbol è a e le cui regole di produzione
sono a→wwf, w→fp, w→pf p→ww. Dire quali delle seguenti parole possono essere prodotte da tale
grammatica
ppwwp
wwwff
www
fppff
→
→
2
wff
Costruire un tableaux per la formula segnata F((p1 ∨¬p2) → (p2 → p1)) e dire se la formula è una tautologia.
F((p1 ∨¬p2) → (p2 → p1))
V (p1 ∨¬p2)
F (p2 → p1)
V p1
V ¬p2
V p2
V p2
F p1
F p1
F p2
×
×
pertanto essendo l’unico ramo chiuso la formula (p1 ∨¬p2) → (p2 → p1) è una tautologia.
Segnare tutte le formule in cui la variabile z occorre vincolata
∃z(x+4z≥x)→ ∃z(z=3)
(z≥3) →[∀y(∃z(y+2z≥y))]
∃x(∃y(x+6z≤3y))
∃y(∃x(yz=4x−3y))
∀y[∃x(x+3≥y)→ (z=x)]
→
→
L'asserzione "quelli che non hanno studiato saranno bocciati" equivale a:
(∃x(x ha studiato))∧(∃x(x sarà bocciato))
∃x[¬ (x ha studiato)∧(x sarà bocciato)]
∃x[(x ha studiato)→(x sarà bocciato)]
∀x[¬ (x ha studiato)→(x sarà bocciato)]
∀x[¬ (x ha studiato)→ ∃x(x sarà bocciato)]
→
Dire quale delle seguenti formule rappresenta l'asserzione "il sistema di equazioni
x-y = 2x
x - y = 2x+1
non ammette soluzioni".
[∃a∃b(a-b = 2a)]∧[∃a∃b¬(a-b = 2a+1)]
[∀x∀y¬(x-y = 2x)]∧[∀x∀y¬(x-y = 2x+1)]
∀a∀b[(a-b = 2a)→ ¬(a-b = 2a+1)]
[∃x∃y(¬(x-y = 2x))]∧[∃x∃y¬(x-y = 2x+1)]
∃a∃b[(a-b = 2a)∧(a-b = 2a+1)]
→
Ridurre la formula ¬[(∃z(z>x)∨¬(∃z∀x(x-z = 8)) ]in forma normale prenessa utilizzando un opportuno
sistema di riscrittura (scrivere tutti i passi della derivazione).
[¬ ((∃z(z>x)∨¬(∃z∀x(x-z = 8))) ]
[¬ (∃z(z>x))] ∧ [¬ (¬(∃z∀x(x-z = 8))) ]
[¬ (∃z(z>x))] ∧ [(∃z∀x(x-z = 8)) ]
[∀z ¬ (z>x)] ∧ [(∃z∀x(x-z = 8)) ]
[∀t ¬ (t>x)] ∧ [(∃z∀x(x-z = 8)) ]
(spingo all'interno ¬)
(spingo all'interno ¬)
(rinomino z con t)
3
∀t [[¬ (t>x)] ∧ [(∃z∀x(x-z = 8)) ] ]
∀t∃z [[¬ (t>x)] ∧ (∀x(x-z = 8)) ]
∀t∃z [[¬ (t>x)] ∧ (∀a(a-z = 8)) ]
∀t∃z∀a [[¬ (t>x)] ∧(a-z = 8) ]
(porto avanti ∀t)
(porto avanti ∃z)
(rinomino x con a)
(porto avanti ∀a)
Dire quale delle seguenti affermazioni è vera
[∃a[(c+a=b) →¬(∃ a∀c(c>a))]] è logicamente equivalente a ∀x∀y∃a[(c+x=b)∧(y>a)]
∃x1∃x2(x1-x2=x1) è logicamente equivalente a ∃x2∀x1(x1-x2=x1)
¬[∃a[(c+a=b) →(∃ a∀c(c>a))]] è logicamente equivalente a ∀x∀y∃a[(c+x=b)∧(y>a)]
¬[∃a[(c+a=b) →¬(∃ a∀c(c>a))]] è logicamente equivalente a ∀x∀y∃a[(c+x=b)∧(y>a)]
∃a∀b(a-b>0) è logicamente equivalente a ∃x2 (∀x1¬(x2-x1>0))
→
Si consideri il programma
amico(maria, carmela)
amico(maria, tiziana) amico(tiziana, cristina)
lavora(maria, carmela) lavora(tiziana, cristina)
collega(tiziana, maria).
collega (X, Y) :- lavora(X, Y).
collega (Y, X) :- collega(X, Y).
invita(X,Y) :- amico(X,Y), collega(X,Y).
Calcolare il minimo modello di Herbrand di tale programma, cioè gli elementi della successione T(∅),
T2(∅), . . .
Risposta
T(∅) = { amico(maria, carmela), amico(maria, tiziana), amico(tiziana, cristina), lavora(maria, carmela),
lavora(tiziana, cristina), collega(tiziana, maria)}.
T2(∅) = T(∅)∪{collega(maria, carmela), collega(tiziana, cristina), collega(maria, tiziana)}
T3(∅) = T2(∅)∪{collega(carmela ,maria), invita(maria,carmela), collega(cristina , tiziana),
invita(tiziana, cristina), invita(maria, tiziana)}
T4(∅) = T3(∅)
pertanto T3(∅) è il minimo punto fisso di T ed è quindi il modello minimo di Herbrand.
4
