La Logica delle Proposizioni

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La Logica delle Proposizioni
Gasparotto Matteo
a.s. 2012-13
Gasparotto Matteo ()
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Contenuti
1
Le Proposizioni Logiche
2
I Connettivi Logici
3
Alcune Proprietà
4
Le Deduzioni
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Le Proposizioni Logiche
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Logica o non Logica?
Alcuni concetti fondamentali
Proposizione: unità elementare del discorso, formata da
soggetto, predicato e complemento
Proposizione Logica: proposizione alla quale possa essere
assegnato un valore di verità
Valori di Verità: VERO [V o T] e FALSO [F]
Proposizione Atomica: (semplice) proposizione contenente un
unico predicato
Proposizione Composta: proposizione ottenuta dalla
composizione di proposizioni atomiche
Variabile Logica: variabile (lettera) che può assumere solo due
valori (V,F)
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Alcuni Esempi
1
A: 7 è un numero primo
V
2
p: Quattro moltiplicato per due fa nove
F
3
x: Tutti gli italiani conoscono la logica
4
ATTENZIONE: Dove stai andando? Non è proposizione logica!
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V/F
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I Connettivi Logici
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La negazione
Simbolo:
¬
¬p si legge: “non p”
Azione: Inverte il valore di verità della variabile a cui è applicata
Tavola di Verità
p ¬p
V F
F V
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Connettivo ET
Simbolo:
∧
p ∧ q si legge: “p et q”; “p e q”; “p AND q”
Azione: Assegna valore VERO alla congiunzione di due proposizioni
solo quando entrambe sono vere
Tavola di Verità
p q p∧q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
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Connettivo VEL
Simbolo:
∨
p ∨ q si legge: “p vel q”; “p o q”; “p OR q”
Azione: Assegna valore VERO alla congiunzione di due proposizioni
quando almeno una di esse è vera
Tavola di Verità
p q p∨q
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
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Connettivo AUT
Simbolo:
⊕
p ⊕ q si legge: “p aut q”; “p o q”; “p XOR q”
Azione: Assegna valore VERO alla congiunzione di due proposizioni
quando solo una di esse è vera
Tavola di Verità
p q p⊕q
V V
F
V F
V
F V
V
F
F F
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Implicazione Materiale
Simbolo:
→
p → q si legge: “p implica q”; “se p allora q”
Azione: Assegna valore FALSO alla congiunzione di due proposizioni
solo quando l’antecedente è vera e la conseguente è falsa
Tavola di Verità
p q p→q
V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
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Doppia Implicazione
Simbolo:
↔
p ↔ q si legge: “p se e solo se q”; “p sse q”
Azione: Assegna valore VERO alla congiunzione di due proposizioni
solo quando entrambe assumono lo stesso valore di verità
Tavola di Verità
p q p↔q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
V
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Ancora alcune definizioni
Espressione logica: espressione ottenuta dalla congiunzione di
variabili logiche mediante l’uso di connettivi
Costanti logiche: proposizione logica che assume sempre lo stesso
valore di verità. In particolare si hanno
Tautologie: sempre VERO
[>]
Contraddizioni: sempre FALSO
[⊥]
Due espressioni logiche si dicono equivalenti se ammettono gli stessi
valori di verità.
E1 = E2
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Alcune Proprietà
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La Negazione ¬
Notes
¬¬p = p
Proviamo l’equivalenza mediante Tavola di Verità
p ¬p
V F
F V
¬¬p
V
F
Le colonne corrispondenti alle proposizioni dell’uguaglianza assumo
gli stessi valori di verità, pertanto sono equivalenti
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La Congiunzione ∧
1
Notes
Commutativa
p∧q =q∧p
2
Associativa
(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r )
3
Distributiva rispetto a ∨
p ∧ (q ∨ r ) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )
4
Legge di De Morgan
¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q
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La Congiunzione ∨
1
Notes
Commutativa
p∨q =q∨p
2
Associativa
(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r )
3
Distributiva rispetto a ∧
p ∨ (q ∧ r ) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r )
4
Legge di De Morgan
¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q
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Altre Equivalenze Notevoli
Proprietà: Valgono le seguenti equivalenze
1
p → q = ¬p ∨ q
2
p ↔ q = (p → q) ∧ (q → p)
3
p ⊕ q = ¬(p ↔ q)
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Le Deduzioni
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Le regole del ragionamento
La logica si pone (tra gli altri) l’obiettivo di definire delle regole di
deduzione per costruire dimostrazioni corrette
Nel 1935 il logico Gerhard Gentzen introduce, indipendentemente da
Stanislaw Jaškowski (1934), il sistema della deduzione naturale per
catturare in maniera intuitiva e precisa le leggi utilizzate
comunemente nel ragionamento matematico, definendolo sotto forma
di alberi di derivazione
Nel Medioevo vennero formalizzate alcuni modelli di ragionamento
deduttivo introdotte dai matematici greci: i sillogismi
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Ancora Definizioni
Sillogismo: modello di ragionamento dimostrativo composto da due
premesse (maggiore e minore) ed una conclusione
Ragionamento: insieme di proposizioni distinte in premesse e
conclusione
Deduzione: o ragionamento valido, è un ragionamento che da
premesse vere conduce a conclusioni vere
Simbolo:
`
P1 , P2 ` C si legge: “da P1 , P2 si deduce C ”
Albero di Derivazione: schema che riproduce le inferenze che dalle
premesse conducono alla conclusione
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Modus Ponens [MP]
Definizione: (p → q) ∧ p ` q
Albero di Derivazione:
p→q
p
q
Tavola di Verità:
p q
V V
V F
F V
F F
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p→q
V
F
V
V
p
V
V
F
F
q
V
V
F
F
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Modus Tollens [MT]
Definizione: (p → q) ∧ ¬q ` ¬p
Albero di Derivazione:
p→q
¬q
¬p
Tavola di Verità:
p→q
V
F
V
V
p q
V V
V F
F V
F F
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¬q
F
V
F
V
¬p
F
F
V
V
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Sillogismo Disgiuntivo [SD]
Definizione:(p ∨ q) ∧ ¬p ` q
Albero di Derivazione:
p∨q
¬p
q
Tavola di Verità:
p q
V V
V F
F V
F F
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p∨q
V
V
V
F
¬p
F
F
V
V
La Logica delle Proposizioni
q
v
F
V
F
a.s. 2012-13
24 / 24