Geometria: generalità sul triangolo
I triangoli costituiscono le figure fondamentali della geometria piana elementare, essendo possibile
ricondurre a essi molte questioni.
Classificazione
Una classificazione dei triangoli in base ai lati li suddivide in triangoli scaleni, aventi tutti e tre i lati
disuguali, triangoli isosceli, aventi due lati uguali, triangoli equilateri, aventi tutti e tre i lati uguali. Una
classificazione è possibile anche in base agli angoli interni e suddivide i triangoli in triangoli acutangoli,
se hanno tutti gli angoli interni acuti, triangoli ottusangoli, se hanno un angolo interno ottuso, triangoli
rettangoli, se hanno un angolo interno retto.
Definizione rispetto ai lati
Nome triangolo
Definizione
triangoli scaleni
aventi tutti e tre i lati disuguali
triangoli isosceli
aventi due lati uguali
triangoli equilateri
aventi tutti e tre i lati uguali
Definizione rispetto agli angoli
Nome triangolo
Definizione
triangoli acutangoli
con tutti gli angoli interni acuti
triangoli ottusangoli
con un angolo interno ottuso
triangoli rettangoli
con un angolo interno retto
Proprietà ed elementi
Si definisce altezza di un triangolo il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto,
che dicesi in tal caso base; un triangolo ha quindi tre altezze, le quali concorrono tutte e tre in uno stesso
punto detto ortocentro. Le bisettrici degli angoli interni si intersecano in uno stesso punto detto incentro;
gli assi dei lati si incontrano in un punto detto circocentro; le mediane, segmenti condotti da un vertice al
punto medio del lato opposto, si incontrano in uno stesso punto detto baricentro.
Area di un triangolo
L'area di un triangolo è uguale al semiprodotto di una base per l'altezza corrispondente, essendo un
triangolo equivalente alla metà di un parallelogramma avente stessa base e stessa altezza. Se i tre vertici
del triangolo sono punti di un piano cartesiano allora l'area del triangolo è uguale alla metà del
determinante la cui prima riga consiste delle ascisse dei vertici, la seconda è composta dalle ordinate e la
terza da tutti uno:
x A xB xC
1
A = y A y B yC
2
1 1 1
Un altro modo di calcolare l'area di un triangolo, in funzione del perimetro, che è la somma dei tre lati, è
offerto dalla formula di Erone che permette di calcolare l'area A di un triangolo per mezzo delle
lunghezze a, b, c dei suoi lati:
A=
p( p − a)( p − b)( p − c)
essendo p il semiperimetro del triangolo.
I triangoli rettangoli
Nei triangoli rettangoli, il lato opposto all'angolo retto dicesi ipotenusa; gli altri due lati si dicono cateti.
Teorema di Pitagora
Tra questi lati esiste una relazione, definita dal teorema di Pitagora, che afferma: il quadrato costruito
sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. In termini numerici, dette a,
b, c le misure, rispettivamente, dell'ipotenusa e dei cateti, si ha: a2=b2+c2, formula che permette, noti i due
cateti, di calcolare l'ipotenusa e, noti un cateto e l'ipotenusa, di calcolare l'altro cateto.
Teoremi di Euclide
Altri teoremi notevoli riguardanti i triangoli rettangoli sono il I e il II teorema di Euclide, che affermano,
rispettivamente: in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua
proiezione sull'ipotenusa; in un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è media
proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. In termini numerici questi due teoremi si
esprimono, rispettivamente, denotando i vertici con A, B, C e con H il piede dell'altezza relativa
all'ipotenusa:
___ 2
___
___
AB = BC ⋅ BH
___ 2
___
___
AH = BH ⋅ CH
I due teoremi si possono esprimere anche in forma geometrica
Uguaglianza e similitudine dei triangoli
Due triangoli si dicono uguali se hanno uguali rispettivamente tutti i lati e gli angoli interni. I criteri di
uguaglianza dei triangoli affermano che, affinché due triangoli siano uguali, basta che abbiano uguali due
lati e l'angolo compreso, oppure un lato e gli angoli a esso adiacenti, oppure tutti e tre i lati, oppure due
lati e l'angolo opposto a uno di essi.
Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli uguali e i lati omologhi, cioè corrispondenti, in
proporzione. I criteri di similitudine dei triangoli affermano che affinché due triangoli siano simili, basta
che abbiano gli angoli uguali, oppure abbiano un angolo uguale e i lati che lo comprendono in
proporzione, oppure abbiano i tre lati fra loro proporzionali.
