PAS 2014
GEOMETRIA
Programma di massima:
Elementi di logica elementare. La geometria degli Elementi di Euclide. De…nizioni,
assiomi e postulati. La geometria del triangolo. Criteri di uguaglianza. Teorema
di Pitagora. Teorema di Talete. Similitudine e criteri di similitudine tra …gure piane. La geometria del cerchio. Costruzioni con riga e compasso. Aree di poligoni,
e di …gure curve. Il numero . Geometria solida. Aree e volumi. Principio di
Cavalieri. Volumi di cilindri, coni, sfere. Calcolo approssimato di aree e volumi.
Poliedri. Formula di Eulero. Trasformazioni geometriche e simmetrie.
Bibliogra…a:
Euclide “Elementi”.
F.Enriques e U.Amaldi “Elementi di Geometria”.
A.P.Kiselev “Geometry: Plenimetry”, “Geometry: Stereometry”.
E.Moise “Elementary Geometry from an Advanced Standpoint”.
D.Hilbert “Fondamenti della Geometria”.
Gli Elementi di Euclide sono stati la didattica della Matematica per più di
2000 anni. I libri di Enriques Amaldi, Kiselev, Moise, sono classici testi scolastici
italiani, russi, americani. In…ne, il libro di Hilbert è per chi vuole approfondire
l’assiomatizzazione della Geometria Euclidea.
Esame: Il programma ministeriale è anche programma d’esame. Si consulti
anche il quadro di riferimento delle prove INVALSI. Per quanto riguarda il programma del corso, sono richieste le de…nizioni e gli enunciati delle proposizioni
di seguito presentate. Delle proposizioni contrassegnate con un asterisco (*) sono
richieste anche le dimostrazioni, non necessariamente quelle negli Elementi di
Euclide. In…ne, gli appunti che seguono possono contenere degli errori e non
fanno testo.
APPUNTI
Babilonia (1800
p a.C.).
YBC 7289: 2 1 + 24=60 + 51=602 + 10=603 = 1; 414212:::.
AO 6770: ”Si presta con interesse. Dopo quanti anni capitale e interesse
saranno uguali?”. Il codice di Hammurabi del XVIII secolo a.C. …ssa un interesse
massimo del 20%. (1 + 20=100)x = 2, x 3 + 47=60 + 13=602 + 20=603 = 3; 78:::,
3 anni 9 mesi 13 giorni.
Egitto (1800 a,C.).
Papiro Golenischef: Un tronco di piramide con basi quadrate di lati A e B ed
altezza H ha volume (A2 + AB + B 2 ) H=3.
Papiro Rhind: ”Il diametro di un campo rotondo è 9. Quant’è l’area? Sottrai
1/9 di esso, cioè 1, il resto è 8, moltiplica 8 per 8, il risultato è 64.” Se D = 2R
è il diametro, la stima per l’area è (D D=9)2 = 256=81R2 = 3; 16:::R2 .
Talete (600 a.C.): Misura dell’altezza delle piramidi con le ombre. Quando
l’ombra di un corpo ha la stessa altezza del corpo, l’ombra della piramide ha la
stessa altezza della piramide. Dal teorema di Talete si ricava l’equazione della
Y B
D B
=
.
retta per i punti (A; B) e (C; D),
X A
C A
2
Pitagora (500 a.C.): Se un teorema ha un nome, forse non è stato lui. Irrazionalità tra lato e diagonale di un quadrato. Scala musicale.
Ippocrate di Chio (400 a.C.): Elementi. Lunule.
I problemi della matematica greca: Duplicazione del cubo. Trisezione dell’angolo.
Quadratura del cerchio.
Euclide (300 a.C.): Elementi. Quando un allievo gli chiese che utilità avesse lo
studio della geometria, ordinò al suo servo di dargli una moneta, visto che aveva
bisogno di trarre guadagno da ciò che imparava. Al re Tolomeo che chiedeva una
via più corta per imparare la geometria, rispose che non esisteva una via regia!
Elementi di Euclide. Libro I. De…nizioni. Assiomi. Postulati. Geometria del
triangolo.
(*) Proposizione 4: Primo criterio di uguaglianza di triangoli. Lato-AngoloLato.
(*) Proposizioni 5 e 6 (Pons asinorum): Un triangolo con due lati uguali ha
anche due angoli uguali, e viceversa.
3
(*) Proposizioni 7 e 8: Terzo criterio di uguaglianza di triangoli. Lato-LatoLato.
(*) Proposizione 15: Angoli opposti al vertice sono uguali.
(*) Proposizione 16: In un triangolo un angolo esterno è maggiore degli angoli
interni non adiacenti.
Proposizioni 18 e 19: In un triangolo il lato maggiore sottende l’angolo maggiore, e viceversa.
Proposizione 20: In un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo
lato.
(*) Proposizione 26: Secondo criterio di uguaglianza di triangoli. Angolo-LatoAngolo e Angolo-Angolo-Lato.
(*) Proposizione 27: Se una trasversale taglia due rette con angoli uguali, le
due rette sono parallele.
(*) Proposizione 29: Una trasversale taglia due rette parallele con angoli
uguali. È la prima proposizione che utilizza il V postulato! Postulato equivalente: Per un punto c’è una sola parallela ad una retta.
(*) Proposizione 32: La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a
due angoli retti.
(*) Proposizion1 33 e 34: I lati opposti di un parallelogrammo sono uguali, gli
angoli opposti sono uguali, e le diagonali si tagliano a metà.
(*) Proposizione 35: Parallelogrammi con stessa base e stessa altezza hanno
la stessa area. In particolare, l’area di un parallelogrammo è base per altezza.
(*) Proposizioni 37, 38, 41: Un triangolo ha la metà area di un parallelogrammo
con la stessa base e stessa altezza. In particolare, l’area di un triangolo è base per
altezza diviso due.
(*) Proposizioni 47 e 48: In un triangolo rettangolo il quadrato sull’ipotenusa
è la somma dei quadrati sui cateti. Viceversa, se il quadrato su un lato è la somma
dei quadrati sugli altri due, il triangolo è rettangolo. Il teorema di Pitagora!
4
Teorema di
Pitagora nella
”Collezione Matematica”
di Pappo.
Sui lati AB e AC di un triangolo ABC si costruiscono due parallelogrammi
ADEB e ACFG, i cui lati ED e FG prolungati si incontrano in H. Il prolungamento
di HA interseca BC in I. Su questo prolungamento si prende un segmento IL uguale
ad HA, e si costruisce il parallelogrammo BNMC, con lati BN e CM paralleli e
uguali a IL. Allora ADEB è uguale a AHOB che è uguale a BNLI, e ACFG è
uguale a ACPH che è uguale a CILM. Quindi, CBNM è uguale alla somma di
ADEB e ACFG.
Elementi di Euclide. Libro II. Algebra Geometrica.
Proposizione 4: (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 .
Proposizioni 5, 6: (x + y) (x y) = x2 y 2 .
Elementi di Euclide. Libro III. Geometria del cerchio.
Proposizione 20: In un cerchio l’angolo al centro è doppio di un angolo alla
circonferenza.
Elementi di Euclide. Libro IV. Costruzione con riga e compasso di poligoni
regolari con 3, 4, 5, 6, 15 lati.
5
Elementi di Euclide. Libro V. Rapporti e proporzioni.
De…nizione 5: : = : se e solo se m = n implica m = n e viceversa,
m > n implica m > n e viceversa, m < n implica m < n e viceversa.
Elementi di Euclide. Libro VI. Figure simili.
De…nizione 1: Figure piane simili sono quelle che hanno angoli uguali e lati
corrispondenti in proporzione.
Proposizione 1: Triangoli e parallelogrammmi con la stessa altezza sono proporzionali alle basi.
(*) Proposizione 2: Una retta parallela ad un lato di un triangolo taglia gli altri
due lati in proporzione. Viceversa, una retta che taglia due lati in proporzione è
parallela al terzo lato. Il teorema di Talete!
(*) Proposizione 4: Due triangoli con angoli uguali hanno lati corrispondenti
in proporzione.
(*) Proposizione 5: Due triangoli con lati in proporzione hanno angoli uguali.
(*) Proposizione 6: Se due triangoli hanno un angolo uguale e i lati adiacenti
in proporzione, allora tutti gli angoli sono uguali e tutti i lati sono in proporzione.
(*) Proposizione 8: L’altezza relativa all’ipotenusa divide un triangolo rettangolo in due triangoli simili a quello di partenza. Corollario: L’altezza relativa
all’ipotenusa è media proporzionale alla proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Proposizioni 19 e 20: I rapporti tra le aree di triangoli o poligoni simili sono
uguali ai rapporti tra i quadrati dei lati.
(*) Proposizione 31: In un triangolo rettangolo una …gura costruita sull’ipotenusa
è la somma di …gure simili costruite sui cateti. Il teorema di Pitagora!
Elementi di Euclide. Costruzioni con riga e compasso.
Libro I Proposizione 1: Triangolo equilatero.
6
Libro I Proposizione 9: Bisettrice di un angolo.
Libro I Proposizione 10: Punto medio di un segmento.
Libro I Proposizioni 11 e 12: Perpendicolare ad una retta per un punto.
Libro I Proposizioni 21 e 31: Trasporto di un angolo, e parallela ad una retta
per un punto.
Libro III Proposizione 1: Trovare il centro di un cerchio.
Libro VI Proposizione 12: Trovare il quarto proporzionale tra tre segmenti.
Libro VI Proposizione 13: Trovare il medio proporzionale tra due segmenti.
In particolare, con riga e compasso si possono e¤ettuare somme, sottrazioni,
prodotti, divisioni, estrazioni di radici quadrate. Cioè, si possono risolvere le
equazioni di primo e secondo grado.
Elementi di Euclide. Libro XII. Aree e volumi.
Proposizione 7: Un prisma con base triangolare può essere diviso in tre piramidi con basi triangolari di ugual volume. In particolare, una piramide è la
terza parte di un prisma con la stessa base e la stessa alteza.
De…nizione di misura: L’area è una funzione che associa ad ogni …gura piana
un numero reale non negativo con le seguenti proprietà. (1) L’area dell’unione di
…gure disgiunte è la somma delle aree delle …gure. (2) Le aree di …gure congruenti
sono uguali. (3) L’area di un quadrato con lato 1 è 1. La de…nizione di volume è
simile.
7
Principio di Cavalieri: Se le lunghezze delle sezioni di due …gure piane tagliate
da rette parallele hanno tutte un dato rapporto, anche le aree delle …gure hanno
lo stesso rapporto. Se le aree delle sezioni di due solidi tagliate da piani paralleli
hanno tutte un dato rapporto, anche i volumi dei solidi hanno lo stesso rapporto.
Cerchio
R
= ;
Ellisse
S
S
Ellisse = Cerchio:
R
Il volume di un corpo è la somma delle sue sezioni. Stesse sezioni, stesso
volume.
Un cilindro è la la regione di spazio formata dall’unione di segmenti uguali e
paralleli con un estremo in una base in un piano e l’altro estremo in un piano
parallelo.
Un cono è la la regione di spazio formata dall’unione di tutti i segmenti con un
estremo in una base in un piano e l’altro estremo in un vertice esterno al piano.
Un prisma è un cilindro con base poligonale. Un tetraedro è un cono con base
triangolare. Una piramide è un cono con base poligonale.
Un prisma ha lo stesso volume di un parallelepipedo con stessa area di base e
stessa altezza. Il volume di un prisma o di un cilindro è area di base per altezza.
8
Un cubo si può scomporre in sei piramidi uguali con le facce per basi e vertici
nel centro. Una piramide con area di base L2 e altezza L=2 ha volume L3 =6.
Confrontando questa piramide con un tetraedro, piramide, o cono, con area di
base k L2 e altezza L=2, dal principio di Cavalieri si ricava che il volume di un
tetraedro, piramide, o cono, è un terzo dell’area di base per l’altezza.
Circonf erenza
:
Diametro
Il perimetro di un cerchio è proporzionale al raggio: 2 R.
L’area di un cerchio è proporzionale al quadrato del raggio:
R2 .
La super…cie di una sfera è proporzionale al quadrato del raggio: 4 R2 .
Il volume di una sfera è proporzionale al cubo del raggio: 4=3 R3 .
=
La Misura del cerchio di Archimede:
(*) Un cerchio è uguale ad un triangolo rettangolo con un cateto uguale al
raggio e l’altro cateto uguale alla circonferenza.
9
(*) La circonferenza di un cerchio è tripla del diametro e lo supera ancora di
meno di un settimo del diametro e di più di dieci settantunesimi. 3 + 10=71 <
< 3 + 1=7.
Il seno di un angolo è la metà della corda. Il semiperimetro di un poligono
regolare con n lati iscritto in un cerchio di raggio unitario è n sin ( =n).
Lati
6
12
24
48
96
Semiperimetro
3
p
p
6q 2
3 = 3; 105:::
p
p
2
2
+
3 = 3; 132:::
12
r
q
p
p
2
2 + 2 + 3 = 3; 139:::
24
s
r
q
p
p
48
2
2 + 2 + 2 + 3 = 3; 141:::
Il Cilindro e la Sfera di Archimede:
(*) Un cilindro con base il cerchio massimo della sfera e altezza il diametro
è una volta e mezza la sfera e la sua super…cie, comprese le basi, è una volta e
4 3
mezza la super…cie della sfera. Cioè, il volume di una sfera di raggio R è
R e
3
2
l’area è 4 R .
10
Un cerchio è formato da tanti triangoli con base sulla circonferenza e altezza il
raggio. L’area del cerchio è uguale alla lunghezza della circonferenza per il raggio
diviso due. Una sfera è formata da tanti coni con base sulla super…cie e altezza il
raggio. Il volume della sfera è uguale all’area della super…cie per il raggio diviso
tre. Perimetro cerchio: 2 R. Area cerchio:
R2 . Super…cie sfera: 4 R2 .
3
Volume sfera: 4=3 R .
La geometria sulla carta a quadretti. L’area di una …gura si calcola contando
i quadretti. Ad ogni quadretto si può associare il suo centro. Invece di contare i
quadretti si possono contare i centri.
Il problema del cerchio di Gauss: Il numero di punti a coordinate intere in un
cerchio di raggio R è circa uguale all’area del cerchio R2 , e l’errore è minore del
perimetro 2 R.
fx2 + y 2
R2 g
Raggio
10
100
1000
P unti Interi 317 31417 3141549
Metodo Montecarlo: All’interno di un quadrato si traccia un cerchio. Se si
scelgono a caso un grande numero di punti nel quadrato, il rapporto tra punti nel
11
cerchio e punti nel quadrato è circa uguale al rapporto tra area del cerchio ed area
del quadrato.
La formula di Eulero per poliedri: Vertici - Lati + Facce = 2.
La formula di Eulero per gra… planari: Vertici - Lati + Facce = 2.
Si può dimostrare la formula per induzione sul numero di facce. Se un grafo
connesso ha solo una faccia, F = 1, i vertici sono uno in più dei lati, V = L + 1,
quindi V
L + F = 2. Se il grafo ha più di una faccia, eliminando un lato di
con…ne tra due facce senza disconnettere il grafo si elimina anche una faccia, e
V L + F rimane costante. Si può anche dimostrare la formula per induzione sul
numero di vertici o sul numero di lati.
Poliedri Platonici, con tutte le facce uguali e tutti i vertici uguali.
In un vertice si incontrano almeno 3 facce, e la somma degli angoli al vertice
è minore di 360o . Se le facce sono poligoni regolari, possono essere solo triangoli,
quadrati, pentagoni. Se le facce sono triangoli con angoli di 60o , i triangoli al
vertice possono essere 3, 4, 5, tetraedro, ottaedro, icosaedro. Se le facce sono
quadrati con angoli di 90o , i quadrati al vertice sono 3, esaedro. Se le facce sono
pentagoni con angoli di 108o , i pentagoni al vertice sono 3, dodecaedro.
Tetraedro:
4 vertici, 6 lati, 4 triangoli.
12
Esaedro:
8 vertici, 12 lati, 6 quadrati.
Ottaedro:
6 vertici, 12 lati, 8 triangoli.
Dodecaedro:
20 vertici, 30 lati, 12 pentagoni.
Icosaedro:
12 vertici, 30 lati, 20 triangoli.
13
ESERCIZI
Negare la proposizione: ”La somma delle cifre decimali di ogni numero intero
multiplo di 3 è divisibile per 9”. La proposizione è vera? La sua negazione è vera?
La proposizione è falsa. Controesempi: 3, 6, 12, 15,.... Quindi la sua negazione
è vera: ”Esiste un multiplo di 3 la cui somma delle cifre decimali non è divisibile
per 9”.
Dato un angolo di 19 gradi, costruire con riga e compasso un angolo di 1 grado.
Basta osservare che 19 19 = 360 + 1.
Un triangolo con due altezze uguali è isoscele?
L’area di un triangolo è base per altezza diviso due. Un triangolo con due
altezze uguali ha anche due basi uguali.
Data una retta AB e due punti C e D nello stesso semipiano, con riga e
\ = BXD.
\ In un
compasso trovare un punto X sulla retta AB tale che AXC
bigliardo colpire con la biglia bianca quella rossa dopo una sponda, due sponde,
tre sponde,...
Basta trovare il simmetrico del punto D rispetto alla retta AB, e congiungere
C con questo simmetrico.
L’algoritmo di Erone per il
calcolo di una radice quadrata:
A
1
x(n) +
:
x(n + 1) =
2
x(n)
p
p
Per calcolare
A,
si
parte
da
una
approssimazione
x(0).
Se
x(0)
A, allora
p
p
p
A=x(0)
A. Se x(0)
A, allora A=x(0)
A. Questo suggerisce di considerare come nuova approssimazione la media aritmetica x(1) = (x(0) + A=x(0)) =2.
14
Ed iterando,
x(n + 1) =
1
2
x(n) +
A
x(n)
:
p
Per esempio, per calcolare 2 = 1; 414213:::, partendo da x(0) = 3=2 si ottiene
x(1) = 17=12 = 1; 416:::, x(2) = 577=408 = 1; 414215:::,... Ad ogni passo, il
numero di decimali corretti raddoppia.
Volume di un
tronco di piramide.
Se la piramide completa con base quadrata di lato A ha altezza X, per similitudine quella con base di lato B ha altezza XB=A, ed il tronco di piramide ha
altezza H = X XB=A. Quindi, X = HA= (A B). Il tronco di piramide è la
di¤erenza tra le due piramidi ed ha volume
1 2
AX
3
1 2
1 3
B XB=A =
A
3
3
B 3 H= (A
B) =
1 2
A + AB + B 2 H:
3
Il baricentro di un
triangolo è a 2/3
delle mediane.
Se O è il punto d’incontro delle mediane BF e CD e se GO = OF e HO = OD,
allora DOG = HOF e DGHF è un parallelogrammo. Per il teorema di Talete
15
sui triangoli ABC e ADF , AB = 2AD, quindi BC = 2DF = 2GH. Sempre
per Talete sui triangoli OBC e OGH, BC = 2GH, quindi OB = 2OG = 2OF .
Similmente, CO = 2OD e AO = 2OE.
Una mediana di
un triangolo è minore
della semisomma dei
lati adiacenti.
Prolungando la mediana AD di un segmento DE = AD e congiungendo E
con C, si ottiene un triangolo CDE uguale ad ABD. In un triangolo la somma
di due lati è maggiore del terzo. Quindi,
AB + AC = AC + CE > AE = 2AD:
La somma delle mediane
di un triangolo è minore
del perimetro e maggiore
del semiperimetro.
Per la disuguaglianza triangolare,
8
< AD + DB > AB;
BE + EC > BC;
:
CF + F A > AC;
16
1
(AB + BC + AC) :
2
Ogni mediana è minore della semisomma dei lati adiacenti,
8
< AC + AB > 2AD;
AB + BC > 2BE;
AB + BC + CA > AD + BE + CF:
:
BC + CA > 2CF;
AD + BE + CF > AB + BC + AC
AF
BD
CE =
Una bisettrice di
un triangolo è minore
della semisomma dei
lati adiacenti.
Siano BE e CF le perpendicolari alla bisettice AD di un triangolo ABC.
Allora AB > AE e AC > AF . Inoltre, nell’ipotesi AB > AC, si ha BE > C F/ e,
per la similitudine dei triangoli BED e CF D, si ha anche ED > DF . Quindi,
AB + AC > AE + AF = 2AF + F D + DE > 2 (AF + F D) = 2AD:
Una bisettrice di un triangolo è minore della semisomma dei lati adiacenti.
17
Posizionando un triangolo OAB nel piano cartesiano, con origine in O e asse
delle ordinate una delle bisettrici, A = s ( cos (#) ; sin (#)), B = t (cos (#) ; sin (#)),
OA = s, OB = t, e la bisettrice OC = 2st sin (#) = (s + t). In particolare,
OA + OB
s+t
2st
OC =
sin (#)
2
2
s+t
s+t
2st
(s t)2
>
=
0:
2
s+t
2 (s + t)
Lunule di Leonardo:
Le due lunule costruite
sulle semicirconferenze
hanno la stessa area del
triangolo rettangolo.
Un angolo alla circonferenza è metà dell’angolo al centro, quindi un triangolo
ABC inscritto in un semicerchio con diametro BC è rettangolo in A. I semicerchi
con diametri AB, BC, CA, hanno aree proporzionali ai quadrati dei diametri,
( =8) AB 2 , ( =8) BC 2 , ( =8) AC 2 . Per il teorema di Pitagora, la somma dei
quadrati sui cateti è uguale al quadrato sull’ipotenusa. Moltiplicando tutto per
=8 si ottiene anche che la somma dei semicerchi sui cateti è uguale al semicerchio
sull’ipotenusa. Sottraendo la parte comune, si ottiene che la somma delle due
lunule è uguale al triangolo.
Arbelo di Archimede:
L’arbelo delimitato dalle
semicirconferenze AB, BC,
CA, ha la stessa area del
cerchio con diametro BC.
18
L’area dell’arbelo è
=
8
AC 2
8
(AB + BC)2
AB 2
BC 2
8
8
AB 2 BC 2 =
4
AB BC.
BD2 . Il triangolo ACD è rettangolo
4
in D e, per il teorema di Euclide, AB : BD = BD : BC, cioè BD2 = AB BC.
L’area del cerchio con diametro BD è
Un tetraedro
con lato X
hapvolume
2 3
X .
12
p
L’
altezza
di
un
triangolo
equilatero
di
lato
X
è
CD
=
CB 2p BD2 =
p
3=2X. L’area di un triangolo equilatero di lato X è 1=2AB CD = 3=4X 2p
. Il
baricentro di un triangolo è a due terzi della mediana,pCO = 2=3CD =pX= 3.
L’altezza di un tetraedro regolare di lato X è OH = p CH 2 CO2 = 2=3X.
2 3
Quindi il volume di un tetraedro regolare di lato X è
X .
12
Se i lati di un triangolo A
sono uguali alle mediane
di un triangolo B, l’area
di A è 3/4 dell’area di B.
19
Raddoppiando il triangolo ABC si forma un parallelogrammo ABCG, che si
può dividere in quattro parallelogrammi uguali. Da ADF H = DBEF , si ricava
DH = BF . Da CGHE = CBDK, si ricava CH = CD. Quindi i lati di CDH
solo lunghi quanto le mediane di ABC. In…ne,
jCDHj = jABCGj jADHj jBCDj jCGHj
1 1 1
3
= 1
jABCGj = jABCj :
8 4 4
4
Se i lati di un triangolo A sono uguali alle mediane di un triangolo B,
l’area di A è 3/4 dell’area di B.
p
Le mediane di un triangolo equilatero sono 3=2 i lati, e l’area del triangolo
delle mediane è 3=4 del triangolo di partenza. D’altra parte, ogni triangolo può
essere trasformato in equilatero tramite una trasformazione lineare:
Z = X;
W = X + Y:
Questa trasformazione conserva le basi X e dilata le altezze Y di un fattore ,
quindi dilata le aree di un fattore . Inoltre, conserva i rapporti tra i segmenti.
Scegliendo e in modo opportuno, si può trasformare un arbitrario triangolo
B nel piano (X; Y ) in un triangolo equilatero D nel piano (Z; W ), ed il triangolo
delle mediane A associato a B si trasforma nel triangolo delle mediane C associato
a D. Per le aree si ha
jAj =
jCj =
3
3
jDj = jBj :
4
4
20
In ogni decomposizione
di una sfera in pentagoni ed
esagoni, i pentagoni sono 12.
Per la formula di Eulero: V ertici Lati + F acce = 2. In una decomposizione
in X pentagoni ed Y esagoni con tre spigoli in ogni vertice, si ha
V ertici =
V ertici
5X + 6Y
;
3
Lati + F acce = 2;
5X + 6Y
; F acce = X + Y:
2
5X + 6Y
5X + 6Y
+ X + Y = 2; X = 12:
3
2
Lati =
21
