Divisibilità e Fattorizzazione

Divisibilità e Fattorizzazione
Def:
dati due numeri naturali a e b:
- se a è DIVISIBILE per b, allora a è MULTIPLO di b,
- se b è DIVISORE di a, allora b è SOTTOMULTIPLO di a .
Es:
10 è divisibile per 2  10 è multiplo di 2
2 è divisore di 10  2 è sottomultiplo di 10
Proprietà:
L’insieme dei multipli di un numero è un insieme infinito.
L’insieme dei divisori di un numero è un insieme finito.
Es:
D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
D(32) = {1; 2; 4; 8; 16; 32}
M(4) = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40….}
M(10) = {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100….}
Def:
si dicono PARI tutti i MULTIPLI DI 2; si dicono DISPARI i numeri naturali non
pari.
Es:
28 è multiplo di 2  PARI
27 non è multiplo di 2  DISPARI
1
CRITERI DI DIVISIBILITA’
1. DIVISIBILITÀ PER 2: un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è
PARI;
Es:
296  6 è pari  è divisibile per 2
9870  0 è pari  è divisibile per 2
123  3 non è pari  non è divisibile per 2
2. DIVISIBILITÀ PER 3: un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue
cifre è divisibile per 3;
Es:
123  (1+2+3) = 6  6 è divisibile per 3  123 è divisibile per 3
24'732  (2+4+7+3+2) = 18 18 è divisibile per 3  24'732 è divisibile per 3
7'153  (7+1+5+3) = 16  16 non è divisibile per 3  7'153 non è divisibile per 3
3. DIVISIBILITÀ PER 4: un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono
un multiplo di 4, oppure 2 zeri;
Es:
716  16 è multiplo di 4  716 è divisibile per 4
518  18 NON è multiplo di 4  518 NON è divisibile per 4
1'200  finisce con 00  è divisibile per 4
1201  01 NON è multiplo di 4  non è divisibile per 4
1100  è divisibile per 4
2
4. DIVISIBILITÀ PER 5: un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0
oppure 5;
Es:
2'765  è divisibile per 5
1'110  è divisibile per 5
32'000  è divisibile per 5
5'555  è divisibile per 5
5. DIVISIBILITÀ PER 9: un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue
cifre è divisibile per 9;
Es:
162  (1+6+2) = 9  162 è divisibile per 9
7'308  (7+3+0+8) = 18  18 è multiplo di 9  è divisibile per 9
26'070  (2+6+0+7+0) = 15  15 NON è multiplo di 9  NON è divisibile per 9
6. DIVISIBILITÀ PER 11: un numero è divisibile per 11 se la differenza fra la
somma delle sue cifre di posto dispari e la somma delle sue cifre di posto pari
è un multiplo di 11;
Es:
 11 è multiplo di 11  9185 è divisibile per 11
 22 è multiplo di 11  170'918 è divisibile per 11
3
7. DIVISIBILITÀ PER 10, 100, 1000,…: un numero è divisibile per
10,100,1000,… se termina rispettivamente con 1,2,3,… zeri;
Es:
1'200  divisibile per 100
340
 divisibile per 10
54'000  divisibile per 1'000
12'100  divisibile per 100
8. DIVISIBILITÀ PER 25: un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre
sono divisibili per 25 oppure termina con 00.
Es:
725  25 è divisibile per 25  è divisibile per 25
1'875  75 è divisibile per 25  è divisibile per 25
2'505  05 NON è divisibile per 25  NON è divisibile per 25
14'000  00  è divisibile per 25
Def:
Un numero naturale si dice PRIMO se è divisibile solo per se stesso e per 1.
Un numero naturale si dice COMPOSTO se ammette altri divisori oltre se stesso e 1.
Es:
5
 D(5) = {1; 5}
primo
7
 D(7) = {1; 7}
primo
9
 D(9) = {1; 3; 9} composto
NUMERI PRIMI DA 1 A 47
1
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
4
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
Def:
Scomporre un numero in FATTORI PRIMI significa trovare tutti i numeri primi il
cui prodotto è uguale al numero dato.
METODO DELLA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI:
Esempio:
 Nella colonna di destra POSSONO esserci SOLO NUMERI
PRIMI
 Il metodo termina quando nella colonna di sinistra si arriva al
numero 1.
30 = 2·3·5
Esempio:
OSSERVAZIONE:
se un numero primo nella colonna di destra si ripete, nel risultato si DEVONO
utilizzare le POTENZE.
Esempio:
OSSERVAZIONE:
se il numero da scomporre termina con 0, si può dividere subito per 2·5 (=10), e poi
per gli altri numeri primi.
5
Esempio:
OSSERVAZIONE:
se il numero da scomporre termina con 2, 3, 4,… zeri, si deve dividere per 2·5 (=10),
fino a mandare via tutti gli zeri, poi si continua con gli altri numeri primi.
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