M. Macchioro - La prova di fisica per la maturità scientifica
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Simulazione della seconda prova dell’esame di maturità di Fisica, 11 marzo 2015
Lo studente deve svolgere un solo problema a sua scelta tempo massimo assegnato alla prove tre ore
Problema n. 1: Un generatore “IDEALE”
Il tuo amico Luigi pensa di aver avuto un’idea geniale: ha progettato un generatore di tensione alternata
che, una volta avviato, non necessita di ulteriore apporto di energia per il suo funzionamento se non quel
poco che serve a vincere gli esigui attriti del dispositivo. Ti mostra la rappresentazione schematica sotto
raffigurata descrivendola così:
R
B
A
L
d
a
Una barretta metallica, di massa m, può scorrere lungo i due binari paralleli di una guida ad U anch’essa
metallica. La barretta, di lunghezza L, è collegata al lato della guida parallelo ad essa mediante una molla
fissata con materiale isolante. Il tutto è immerso in un campo magnetico uniforme e costante ,
ortogonale al piano della guida.
La barretta viene spostata di un tratto a e poi bloccata in modo da mantenere la molla allungata. Una volta
tolto il blocco la barretta inizierà ad oscillare generando tra i poli A e B una differenza di potenziale
alternata che potrebbe essere utilizzata, ad esempio collegando ai poli una resistenza R, fin quando la
barretta si muove.
Volendo presentare la sua idea in un concorso scolastico, Luigi chiede a te di:
1. preparare una descrizione qualitativa e quantitativa del fenomeno fisico che determina la differenza
di potenziale tra i poli A e B, e calcolando il valore della costante elastica della molla che consente di
produrre una tensione di frequenza pari a quella della rete domestica di 50,0 Hz, nell’ipotesi che la
massa m abbia il valore 2,0∙10-2 kg.
2. valutare il valore massimo fmax della forza elettromotrice indotta f.e.m. che tale generatore produce
nel caso a=1,0∙10-2 m, L=1,0∙10-1 m, B=0,30 T.
Tu non sei convinto che il generatore ideato da Luigi una volta avviato possa fornire per sempre energia
elettrica ad una utenza, senza ulteriore apporto di energia; per capire meglio cerchi di ottenere energia dal
generatore e colleghi la resistenza elettrica R, come mostrato in figura, tra i poli A e B, misuri la differenza
di potenziale tra i poli in funzione del tempo e ne tracci un grafico.
3. Che tipo di grafico ottieni?
4. Che tipo di moto ha la barretta e perché?
5. Come spiegheresti a Luigi cosa avviene dal punto di vista energetico e perché la sua idea non è poi
così geniale come lui immagina?
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Problema n. 2: Una missione spaziale
Nel 2200 il più moderno razzo vettore interplanetario costruito dall’uomo può raggiungere il 75,0 % della
velocità della luce nel vuoto. Farai parte dell’equipaggio della missione che deve raggiungere un pianeta
che orbita intorno alla stella Sirio, che dista 8,61 anni-luce e si avvicina con velocità di 7,63 km/s al sistema
solare, effettuare ricerche lì per 2,00 anni e poi rientrare sulla Terra. Devi contribuire alla programmazione
di tutti i dettagli della missione, come ad esempio le scorte di cibo e acqua; prendendo come istante di
riferimento t=0 il momento della partenza dalla Terra, considerando che viaggerai sempre alla massima
velocità possibile e trascurando tutti gli effetti dovuti alla accelerazione del moto nella fase di partenza e di
arrivo, fatte tutte le ipotesi aggiuntive che ritieni necessarie, devi valutare:
1. quanto tempo durerà la missione per un osservatore sulla terra;
2. quanto tempo durerà il viaggio di andata e quello di ritorno secondo i componenti dell’equipaggio;
3. quanto tempo durerà complessivamente la missione secondo i componenti dell’equipaggio.
Alcuni test effettuati nei laboratori della Terra sui componenti elettronici simili a quelli utilizzati
sull’astronave, indicano che è necessario effettuare alcuni interventi di manutenzione sull’astronave. Dopo
1,00 anni dalla partenza (tempo terrestre) viene quindi inviato un segnale alla navicella. Quando il capitano
riceve il segnale,
4. quanto tempo è trascorso sulla navicella dall’inizio del viaggio?
Ricevuto il segnale, il capitano invia immediatamente la conferma alla Terra;
5. dopo quanto tempo dall’invio del segnale alla navicella la base terrestre riceve la conferma della
ricezione?
Durante il viaggio di andata, il ritardo nelle comunicazioni con l’astronave aumenta con l’aumentare della
distanza; per illustrare al pubblico questo effetto
6. disegna su un piano cartesiano i grafici che mostrino rispetto al riferimento terrestre la distanza
dalla Terra dell'astronave e dei due segnali di comunicazione, in funzione del tempo.
Il responsabile della sicurezza della missione ti comunica una sua preoccupazione: teme che, a causa della
contrazione relativistica delle lunghezze, il simbolo della flotta terrestre riportato sulla fusoliera del razzo,
un cerchio, possa apparire deformato agli occhi delle guardie di frontiera, che potrebbero quindi non
riconoscerlo, e lanciare un falso allarme. Pensi che sia una preoccupazione fondata?
7. Illustra le tue considerazioni in merito a questa preoccupazione e dai una risposta al responsabile
della sicurezza, corredandola con argomenti quantitativi e proponendo una soluzione al problema.
Indicatori di valutazione portati a conoscenza dello studente:
- Osservare criticamente i fenomeni e formularne ipotesi esplicative utilizzando modelli, analogie e leggi.
- Formalizzare situazioni problematiche e applicare gli strumenti matematici e disciplinari rilevanti per la
loro risoluzione.
- Interpretare e/o elaborare i dati proposti, anche di natura sperimentale, secondo un’ipotesi, valutando
l’adeguatezza di un processo di misura e/o l’incertezza dei dati, verificando la pertinenza dei dati alla
validazione del modello interpretativo.
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Soluzione del problema 1
Punti 1-2
Il fenomeno sfruttato nel dispositivo è quello dell’induzione elettromagnetica, in base al quale una
variazione del flusso del campo magnetico, comunque prodotta, genera nello spazio una forza
elettromotrice indotta il cui valore dipende dalla rapidità con cui varia il flusso. In termini quantitativi il
fenomeno è descritto dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz, che può essere espressa in forma differenziale
nel modo seguente:
per calcolare la f.e.m. indotta (ε) è pertanto necessario conoscere l’espressione del flusso del campo
magnetico in funzione del tempo e calcolarne la derivata prima; il segno - , in base alla legge di Lenz,
determina il verso corretto della f.e.m.
Il moto della barretta metallica vincolata a una molla è un moto oscillatorio armonico semplice la cui
frequenza è data dalla nota relazione
da essa ricaviamo, come richiesto nel punto 1, il valore della costante elastica K necessario per avere una
tensione di frequenza di 50,0 Hz:
R
B
A
-A2
A2
L
A1 = dL
d
a
a
Osservando attentamente la figura, possiamo scrivere l’espressione del flusso magnetico in funzione del
tempo. Ricordiamo che, per definizione:
dove è l’angolo formato tra il campo magnetico e la normale alla superficie A. Nel nostro caso, essendo il
campo perpendicolare alla superficie, si ha
e, pertanto,
. La superficie A, invece, può
essere pensata come la somma algebrica tra la superficie fissa A1 = Ld e la superficie variabile A2 descritta
dalla barretta in moto oscillatorio. Ricordando la legge oraria del moto armonico:
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possiamo scrivere
notiamo che A2 può essere alternativamente positiva o negativa a seconda del segno del coseno.
Avremo
il flusso sarà
calcoliamo la f.e.m. indotta
Nella relazione trovata è immediato riconoscere nel prodotto
indotta, avremo pertanto:
il valore massimo della f.e.m.
Punti 3-4-5
Una volta avviato il sistema, la barretta attraversata da corrente si muove in un campo magnetico
ortogonale che produce su di essa una forza frenante ottenibile con la legge:
la forza risulterà sempre perpendicolare alla barretta e di verso opposto alla sua velocità, come si può
facilmente verificare con la regola della mano destra. Infatti, quando la velocità è orientata verso destra, il
flusso aumenta e per la legge di Lenz la corrente indotta, che si deve “opporre” alla variazione di flusso, è
oraria e, pertanto, scorre nella barretta verso il basso; con la regola della mano destra si ottiene che la
forza magnetica sulla barretta è diretta verso sinistra, cioè in verso contrario al moto.
R
B
A
i
v
L
Fm
d
a
La situazione opposta si verifica quando la barretta si muove verso sinistra. La combinazione tra l’azione
della forza elastica della molla e della forza magnetica frenante, conferirà alla barretta un moto armonico
smorzato. Il grafico della tensione in funzione del tempo sarà pertanto il seguente:
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V
t
A ogni oscillazione, lo smorzamento del moto della molla comporterà una diminuzione del valore massimo
della tensione.
Da un punto di vista energetico, l’energia conferita inizialmente alla molla:
viene interamente dissipata per effetto Joule nella resistenza R. Infatti per effetto della forza elastica
l’energia viene continuamente trasformata da potenziale a cinetica e viceversa, ma durante l’oscillazione la
forza frenante magnetica, compiendo un lavoro negativo, dissipa parte dell’energia meccanica, cosicché il
moto della barretta viene progressivamente smorzato. Quantitativamente si hanno le seguenti relazioni: la
potenza della forza magnetica, in valore assoluto, è
l’espressione
, però, è quella della f.e.m. cinetica, pertanto otteniamo:
che è l’espressione della potenza elettrica. Pertanto tutta l’energia sottratta al moto della barretta viene
dissipata per effetto Joule nella resistenza.
Concludiamo, pertanto, che il generatore ideato da Luigi non può produrre una tensione alternata in
quanto il sistema, pur essendo privo di attriti meccanici, è soggetto inevitabilmente a forze dissipative, di
natura elettromagnetica, che trasformeranno l’energia conferita inizialmente in energia termica dissipata
dalla resistenza.
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Soluzione del problema n. 2: Una missione spaziale
Punti 1-2-3
Nei primi tre punti viene richiesto il calcolo di alcuni intervalli di tempo in due diversi sistemi di riferimento.
Preliminarmente, osserviamo che la velocità di avvicinamento della stella Sirio al sistema solare è
trascurabile rispetto alla velocità dell’astronave (entrambe sono misurate nel riferimento terrestre), infatti:
avendo indicato con
e
rispettivamente la velocità dell’astronave e quella di Sirio, quest’ultima è
negativa avendo orientato l’asse di riferimento dalla Terra verso Sirio ed essendo Sirio in avvicinamento.
Terra
Sirio
Essendo
, nel prosieguo del problema considereremo Sirio ferma rispetto alla Terra.
Notiamo ancora che la distanza tra la Terra e Sirio, sempre espressa nel riferimento terrestre, è espressa in
anni luce (a.l.). E’ noto che 1 a.l. è la distanza percorsa dalla luce in 1 anno, pertanto una distanza misurata
in anni luce può sempre essere pensata come il prodotto di c per il tempo misurato in anni:
Questa osservazione può essere utilizzata per calcolare la durata della missione per un osservatore
terrestre, essa può essere calcolata osservando che il viaggio di andata ha la stessa durata di quello di
ritorno e considerando la durata della sosta:
la durata della missione è, pertanto:
Per determinare la durata del viaggio d’andata, quello di ritorno e la durata totale della missione secondo
l’equipaggio, richieste nei punti 2 e 3, è sufficiente osservare che l’orologio a bordo dell’astronave,
supposto inizialmente sincronizzato con quello terrestre, misura il tempo proprio, in quanto l’evento
“viaggio” avviene nel sistema di riferimento dell’astronave. Basta quindi calcolare il fattore relativistico
e ricordare la legge sulla dilatazione dei tempi
il viaggio di ritorno avrà chiaramente la stessa durata:
la sosta durerà sempre 2,00 anni, essendo in quel periodo l’astronave ferma. Pertanto la durata totale della
missione, per i membri dell’equipaggio, è:
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Punti 4-5-6
Indichiamo con Δt il tempo, misurato da Terra, che impiega il segnale elettromagnetico a raggiungere
l’astronave, per ricavarlo imponiamo che lo spazio percorso dall’astronave sia uguale a quello percorso dal
segnale, tenendo conto che il segnale è inviato dalla Terra dopo 1,00 anni dalla partenza dell’astronave:
il tempo totale misurato da Terra (Δttotale) sarà pertanto 4,00 anni.
Per determinare quanto tempo è trascorso per i membri dell’equipaggio, si applica la dilatazione dei tempi:
Per sapere quanto tempo impiega il segnale mandato dal capitano dell’astronave per giungere a Terra,
bisogna sapere a quale distanza da Terra si trova l’astronave al momento dell’invio del segnale di risposta:
Il segnale di risposta, pertanto, impiegherà 3,00 anni per tornare a Terra che, sommati ai 3,00 anni
impiegati dal primo segnale per giungere all’astronave, daranno un tempo complessivo di 6,00 anni tra
l’invio del primo segnale e l’arrivo del segnale di risposta.
Osserviamo esplicitamente che nella risoluzione di quest’ultimo punto si è tenuto conto del 2° postulato
della relatività ristretta, infatti la velocità del segnale, in particolare quello di risposta, vale c
indipendentemente dal moto relativo dell’osservatore e della sorgente.
Il grafico richiesto nel punto 6 è semplicemente quello delle leggi orarie dell’astronave, del segnale di
andata e di quello di ritorno, tutto valutato rispetto a Terra:
legge oraria dell’astronave
legge oraria del segnale di andata
legge oraria del segnale di ritorno
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s (anni luce)
5,25
3,00
0,75
0
1,00
4,00
7,00
t(anni)
in rosso l’astronave, in verde il segnale di andata, in azzurro il segnale di risposta.
Punto 7
Il fenomeno della contrazione delle lunghezze è strettamente correlato a quello della dilatazione dei tempi
sfruttato nella risoluzione dei punti precedenti. In base a esso, la dimensione lineare parallela alla direzione
del moto di un corpo in movimento appare accorciata di un fattore pari a γ rispetto a quando il corpo è
fermo; nel contempo, la contrazione non riguarda le dimensioni perpendicolari alla direzione del moto.
La preoccupazione del responsabile della sicurezza, pertanto, è fondata, perché, se il cerchio è stampato
sul fianco dell’astronave, esso apparirà di forma ellittica alle guardie di frontiera. Infatti i vari diametri del
cerchio subiranno diverse contrazioni a seconda dell’angolo che formano rispetto alla direzione del moto,
avremo la massima contrazione per il diametro parallelo alla direzione del moto e poi contrazioni via via
decrescenti fino al diametro perpendicolare alla direzione del moto, che non subirà contrazione.
Calcoliamo la massima contrazione del diametro:
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Astronave ferma, il
simbolo appare a forma di
cerchio
Astronave in
movimento, il
simbolo appare
di forma ellittica
L’inconveniente può essere facilmente risolto sagomando l’astronave in modo che il simbolo della flotta
sia stampato su un piano perpendicolare alla direzione del moto dell’astronave, in modo che nessun
diametro subisca la contrazione relativistica.
