STATISTICA A – K
(60 ore)
Marco Riani
[email protected]
http://www.riani.it
Esercizio: si consideri una generica
popolazione X con media µ e varianza σ2
• Siano T1=(X1+X2+X3+X4)/4 e
T2=(3X1+4X2+X3+2X4)/10 due stimatori di
µ per campioni di ampiezza n=4
• Si effettuino le seguenti operazioni:
– Si verifichi che lo stimatore T2 è non distorto
– Si determini la varianza dei due stimatori e si
stabilisca quale dei due stimatori è più
efficiente
Hint: X1 X2 X3 X4 are random variables IID
(independent and identically distributed) with the
same distribution of X
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1
Soluzione
• Verifica che T2 è non distorto
• E(T2)=(1/10)E(3X1+4X2+X3+2X4)
=(1/10) [3 E(X1)+4E(X2)+E(X3)+2E(X4)]=
= (1/10) [ 3µ +4µ + µ + 2µ]=µ
• Calcolo della varianza dei due stimatori
• VAR(T1)=σ2/4=0,25σ2
• VAR(T2)= (1/100) [ 9σ2 +16σ2 + σ2+4σ2]
=(30/100) σ2=0,3σ2
• Dato che VAR(T1)<VAR(T2)
T1 è più efficiente e quindi preferibile
Esercizio
• Il tempo impiegato da un meccanico in un
negozio di biciclette per assemblare un
certo tipo di bicicletta può essere
considerato una v.c. normale con media
32 minuti e deviazione standard 3,5
minuti. Si calcoli la probabilità che il tempo
medio per assemblare 10 biciclette
– Non superi 33 minuti
– Sia compreso tra 28,5 e 31,5 minuti
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2
Soluzione
• X=v.c. tempo impiegato
• X~N(32, 3,52)
n=10
Il valore 0.8169 è stato ottenuto dalla funzione di
Excel =DISTRIB.NORM.ST(0,9035). Utilizzando
le tavole F(0,90)=0,81594
• Calcolo di
I valori 0,32572 e 0,00078 sono stati ottenuti con
le funzioni di Excel =DISTRIB.NORM.ST(-0,45175) e
=DISTRIB.NORM.ST(-3,16228).
Utilizzando le tavole si ottiene F(-0,45)-F(-3,16)=
0.32636- 0.00079=0.32557
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3
Esercizio
• Sia X1 X2 …, X80 un campione casuale
proveniente da una popolazione distribuita
secondo il modello f(x)=3x2 (0<x<1). Si
determini la probabilità che la media
campionaria sia minore di 0,8.
Esercizio
• Sia X1 X2 …, X80 un campione casuale
proveniente da una popolazione distribuita
secondo il modello f(x)=3x2 (0<x<1). Si
determini la probabilità che la media
campionaria sia minore di 0,8.
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4
Distribuzione del fenomeno
nell’universo
Rappresentazione grafica di f(x)=3x2
(0<x<1)
Soluzione
• Dato che
• Per calcolare la probabilità che la media
campionaria sia minore di 0,8 è
necessario trovare la media (µ) e la
varianza (σ2) dell’universo
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5
Soluzione
• Passo 1. Calcolare la media e la varianza
dell’universo X che presenta densità
f(x)=3x2 (0<x<1)
• X presenta distribuzione (non normale)
con E(X)=µ=3/4 e VAR(X)=σ2=3/80
• X presenta distribuzione non normale con
E(X)=µ=3/4 e VAR(X)=σ2=3/80
• La media campionaria di un campione di
80 osservazioni estratte da X presenta la
seguente distribuzione approssimata (per
il teorema centrale del limite)
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Esercizio
• Si definisce errore quadratico medio
(MSE=mean square error) di uno
stimatore T di un parametro θ la quantità
• E(T- θ)2.
– Dimostrare che se lo stimatore T è corretto il
suo MSE coincide con la sua varianza
– Dimostrare che se lo stimatore T è distorto il
suo MSE può essere scritto come:
MSE(T)=VAR(T) + Bias2
Soluzione: dimostrare che se lo stimatore T è
corretto il suo MSE coincide con la sua
varianza
• Se T è uno stimatore non distorto di θ
allora E(T)= θ quindi
• MSE=E(T- θ)2.
• MSE=E(T- θ)2= E(T- E(T))2=VAR(T)
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Soluzione: Dimostrare che se lo stimatore T è
distorto il suo MSE può essere scritto come:
MSE(T)=VAR(T) + Bias2
• MSE(T)=E(T - θ)2= E(T- E(T) +E(T) - θ)2
• Svolgendo il quadrato si ottiene:
• MSE(T)=E(T – E(T))2 + (E(T) - θ)2
2*(E(T) - θ)*E(T – E(T))
• Il doppio prodotto è zero quindi
MSE(T)= E(T – E(T))2 + (E(T) - θ)2=VAR(T)+Bias2
STIMA PER
INTERVALLO
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8
Stima per intervallo
• Intervallo di confidenza di livello 1- α
=intervallo che contiene il vero (ma ignoto)
valore del parametro dell’universo con
probabilità 1-α
• 1-α= livello di confidenza
Stima della media dell’universo
(grandi campioni n>100)
• Teorema centrale del limite
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9
Costruzione dell’ int. di confidenza
per la media campionaria al 95%
0,025
0,025
0,95
-1,96
1,96
Costruzione dell’ int. di confidenza
per la media campionaria al 99%
0,005
0,005
0,99
-2,58
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2,58
10
Costruzione dell’ int. di confidenza
per la media campionaria
Costruzione dell’ int. di confidenza
per la media campionaria al 95%
Interpretazione: intervallo (simmetrico rispetto a X
medio) entro il quale è compresa, con probabilità 0,95,
la media d’un campione estratto a caso da un universo
di cui si conoscono la media μ e la varianza σ2.
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Esempio
• Un’azienda ha 25000 dipendenti; la
retribuzione media di tutti i dipendenti è
µ=1800 Euro con σ=700
• Calcolare l’intervallo in cui è compresa con
prob. 0,95 la media di un campione di 200
dipendenti
• 1-α=0,95 Î z(α)=1,96
• µ=1800
• 1-α=0,95 Î z(α)=1,96
• µ=1800
• Intervallo in cui è compresa con prob. 0,95
la media delle retribuzioni di un campione
di 200 dipendenti
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12
Costruzione dell’ int. di confidenza
per µ (p. 64)
Intervallo di confidenza di µ
• Intervallo entro cui è compresa con prob.
1-α l’ignota media dell’universo µ
• Osservazione: la varianza dell’universo è
solitamente ignota Î stimata con scor
• Errore standard
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Intervallo di confidenza di µ ad
uso operativo (p. 65)
• Ipotesi: n>=100
• Esempio: stima della durata media del
funzionamento delle pile d’un certo tipo
• n=160
=248 ore; s=26 ore
• Livello di confidenza =0,99
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Osservazione
• Nell’esempio precedente avevamo potuto
applicare il teorema centrale del limite
poiché n era elevato (n>30)
• Cosa faccio quando n è piccolo?
Ip. Il fenomeno presenta
distribuzione normale nell’universo
X~N(µ, σ2)
• Se σ2 è noto
• per qualunque n (anche n=1)
• Se σ2 ignota e viene stimato con scor allora
Distribuzione “t di
Student” con n-1
gradi di libertà
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15
Confronto tra una v.a. t di Student con
g gradi di libertà ed una v.a. N(0,1)
t(α) valori critici (“percentili”)
nella v.a. t con g gradi di libertà
• F[-t(α)]= α/2
F[t(α)]= 1-α/2
• Tavola in appendice: non riporta F(t) ma i
“percentili” t(α) per α e g prefissati
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VALORI CRITICI t(α) DELLA VARIABILE ALEATORIA T DI STUDENT PER g
GRADI DI LIBERTA’ ED AL LIVELLO DI SIGNIFICATIVITA’ α
α
0,1
0,05
0,02
0,01
0,001
1
6,314
12,706
31,821
63,656
636,578
2
2,920
4,303
6,965
9,925
31,600
3
2,353
3,182
4,541
5,841
12,924
4
2,132
2,776
3,747
4,604
8,610
5
2,015
2,571
3,365
4,032
6,869
6
1,943
2,447
3,143
3,707
5,959
7
1,895
2,365
2,998
α/2 3,499
5,408
8
1,860
2,306
2,896
3,355
5,041
g
9
1,833
2,262
2,821
3,250
4,781
10
1,812
2,228
2,764
3,169
-t(α)
4,587
11
1,796
2,201
2,718
3,106
4,437
12
1,782
2,179
2,681
3,055
4,318
13
1,771
2,160
2,650
3,012
4,221
14
1,761
2,145
2,624
2,977
…..
…..
……
…..
………..
1−α
α/2
+t(α)
4,140
………
40
1,684
2,021
2,423
2,704
3,551
60
1,671
2,000
2,390
2,660
3,460
∞
1,645
1,960
2,326
2,587
3,291
Dato che
• F[-t(α)]= α/2
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F[t(α)]= 1-α/2
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Intervallo di confidenza di livello 1 – α per la
media dell’universo μ, nel caso di piccoli
campioni e nell’ipotesi che X~N(μ, σ2) con σ
ignoto:
• Esempio: stima della durata media del
funzionamento delle pile d’un certo tipo
• n=10
=248 ore; s=26 ore
• Livello di confidenza =0,99
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18
• Esempio: stima della durata media del
funzionamento delle pile d’un certo tipo
• n=10
=248 ore; s=26 ore
• Livello di confidenza =0,99
• L’ipotesi X~N(µ, σ2) è ragionevole
• g=9 Î t(0,01)=3,250
Confronto tra i due intervalli di
confidenza
• n elevato (v.a. normale standardizzata)
• n piccolo (v.a. T di Student)
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Elementi che fanno variare l’ampiezza
dell’intervallo di confidenza (p. 70)
• s.q.m. dell’universo σ
• Più σ è elevato, maggiore è la variabilità
della v.a. media campionaria Î stima
meno precisa
• Livello di confidenza 1-α
• Aumentando 1- α, si riduce αÎ si
incrementa z(α), t(α) (l’intervallo aumenta)
Elementi che fanno variare l’ampiezza
dell’intervallo di confidenza
• Numerosità del campione n
• Per dimezzare l’ampiezza occorre
quadruplicare n
• Se n è “piccolo” non vale più il teorema
centrale del limite Î t(α) sostituisce z(α)
• σ ignoto Î fattore correttivo (n/(n-1))0,5
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20
Significato della probabilità associata
all’intervallo di confidenza
• Formulazione deduttiva
• Principio del campionamento ripetuto
⇒ distribuzione campionaria di
• Formulazione induttiva
μ è una costante (non una v.a.) ⇒ come si
può attribuire una probabilità ad
un’affermazione che riguarda μ?
Principio del campionamento ripetuto ⇒
gli estremi dell’intervallo sono v.a. (v.
esempio pp. 64-66)
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21
Stima della frequenza relativa
(grandi campioni)
• V.a. Frequenza relativa campionaria, P:
E(P) = π
• Teorema centrale del limite
Intervallo di conf. della
frequenza relativa
• Intervallo di confidenza di livello 1 – α
per la frequenza relativa dell’universo
π, nel caso di grandi campioni:
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22
Esempio: stima della quota di mercato
• n = 400 consumatori; 82 acquirenti
• p = 82/400 = 0,205 ⇒ 20,5% (stima
campionaria di π)
• Calcolare l’intervallo di confidenza di π
al livello di confidenza di 0,95
Esempio: stima della quota di mercato
• n = 400 consumatori; 82 acquirenti
• p = 82/400 = 0,205 ⇒ 20,5% (stima
campionaria di π
• errore standard della v.a. P:
s(p) =
= 0,020
• Teorema centrale del limite
1−α=0,95 ⇒ z(0,05) = 1,96
0,205±1,96⋅0,020
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23
Esempio: stima della quota di mercato
• n = 400 consumatori; 82 acquirenti
• p = 82/400 = 0,205 ⇒ 20,5% (stima
campionaria di π)
• Calcolare l’intervallo di confidenza di π
al livello di confidenza di 0,99
• 1 − α = 0,99 ⇒
z(0,01) = 2,58
0,205 ± 2,58⋅0,020
• Intervalli ampi (stima poco precisa)
aumentare n
⇒
Cosa succede se n è piccolo?
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24
Esercizio
Il direttore di un centro commerciale vuole
modificare l’orario di apertura del centro. In
un campione casuale di 300 clienti, 246 si
sono dichiarati favorevoli al nuovo orario
proposto.
• Si determini l’intervallo di confidenza della
frequenza relativa dell’universo
•
con probabilità 0,95
•
con probabilità 0,995
e si commentino in termini comparati i
suddetti intervalli
Soluzione
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25
Esercizio: stima della percorrenza media
delle vetture diesel di un certo modello al
primo guasto
• n=400
=34.000 Km; scor=9000 Km
• Calcolare l’intervallo di confidenza di µ al
95% e al 99%
Soluzione
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26
Esercizio
• La deviazione standard della statura degli
studenti iscritti ad una università è 5,8 cm.
Quanti studenti si devono estrarre a sorte
dalla popolazione se si vuole con
probabilità del 90% che l’errore di stima
della media non superi i 2 cm.
Soluzione
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27
Esercizio
• I dati che seguono si riferiscono alla
durata (in migliaia di Km) di una cinghia da
automobile in un campione di 15
osservazioni
• 115,4 85,2 89,1 118,3 88,4 109,3 104,3
69,3 105,5 106,8 103,1 101,6 102,9 89,6
109,3
• Facendo le opportune ipotesi, si costruisca
un intervallo di confidenza per la media al
99%
Soluzione
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28
Esercizio
• Di seguito sono riportati i Km percorsi in un
giorno da un campione di taxi operante in
una grande città
• 173 195 115 122 154 149 120 148 152 68
132 91 120 148 103 101
• Sulla base di questo campione assumendo
che la popolazione generatrice sia normale
è stato determinato il seguente intervallo di
confidenza (116,55 144,7). Si calcoli il livello
di confidenza su cui è stato calcolato
Soluzione
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29
Variante al precedente esercizio
• Se i dati di base fossero stati i seguenti:
• 172 195 115 122 154 149 120 148 152 68
132 91 120 148 103 101
• Quale sarebbe stato il livello di confidenza
dell’intervallo (116,55 144,7)?
Soluzione
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30
Esercizio
Nella seguente distribuzione di frequenze è
riportato il numero di dipendenti di 50 aziende
tessili operanti in una determinata provincia.
Numero di dipendenti
Frequenze assolute
5
8
12
14
15
545
12
11
11
8
7
1
Si calcoli l'intervallo di confidenza al 99% della media
dell'universo del numero di dipendenti commentando i
risultati ottenuti (con o senza il valore anomalo)
Soluzione
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31
Esercizio
Un’azienda produce rotoli di stoffa della
lunghezza di 70m. Tali rotoli possono
presentare difetti di diversa natura. L’azienda
è interessata a stimare il numero medio di
difetti presenti nei rotoli prodotti. In un
campione casuale di 85 rotoli si è trovata la
seguente distribuzione
n. difetti
0
1
2
3
4
5
6
Frequenza
16
26
22
13
5
2
1
Si determini l’intervallo di confidenza al 99% per
la media dei difetti presenti nei rotoli di stoffa
Soluzione
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32
Esercizio
• Con riferimento all’esercizio precedente, si
consideri che un rotolo risulta vendibile se
presenta un massimo di 3 difetti. Sulla
base dello stesso campione di cui
all’esercizio precedente, si costruisca un
intervallo di confidenza al 95% per la
proporzione di rotoli considerati vendibili
Soluzione
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33
Esercizio
• Nel processo di controllo del peso delle confezioni di
un determinato prodotto l’azienda esamina un
campione di 800 confezioni e trova che 15 di esse
hanno un peso fuori norma.
• Si determini l’intervallo di confidenza al 97% della
proporzione di pezzi fuori norma.
• Se la proporzione di pezzi fuori norma nell'universo
fosse uguale a 1,5%, effettuando cinque estrazioni
– si calcoli la probabilità di trovare esattamente due pezzi
fuori norma;
– si scriva e si calcoli l'espressione che consente di calcolare
la probabilità di ottenere un numero di pezzi fuori norma
compreso tra due e quattro (estremi compresi).
– rappresentare graficamente la densità
Soluzione
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34
Esercizio
• Data una scheda telefonica da 5 euro di
cui non si sa se sia mai stata usata e nel
caso sia stata usata non si conosce
l’ammontare ancora disponibile, è
ragionevole ipotizzare per tale ammontare
X la seguente funzione di densità f(x)=1/5
per [0 ≤x≤5]
• Verificare che f(x)=1/5 per [0 ≤x≤5] sia
una densità e rappresentarla graficamente
• Calcolare il credito residuo atteso (E(X))
• Calcolare la varianza del credito residuo
(VAR(X))
• Devo fare una telefonata da 2 € calcolare
la prob che la scheda sia sufficiente per
fare la telefonata
• Ho 60 schede tutte con un ammontare che
si distribuisce come descritto sopra. Qual
è la prob che l’ammontare complessivo sia
superiore a 180 €
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35
Soluzione
Esercizio
• La durata di un macchinario si distribuisce secondo
una distribuzione normale di media 2 anni e scarto
quadratico medio 0,5 anni. Si determini:
1. prob che il macchinario duri più di 28 mesi.
2. l’intervallo di ampiezza 2 anni al quale corrisponde la
massima prob di contenere la durata effettiva del
macchinario. Calcolare tale probabilità.
3. Se il costo di acquisto del macchinario è di 1000
euro e il costo del suo funzionamento è stimato in
150 euro all’anno, si calcolino la media e la varianza
del costo complessivo del macchinario.
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36
Soluzione
Marco Riani, Univ. di Parma - Statistica AK
37
