collana di istruzione scientifica serie di matematica

collana di istruzione scientifica
serie di matematica
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Al lettore
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L’editore
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Carlo Toffalori
Patrizio Cintioli
Logica matematica
McGraw-Hill
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sono riservati per tutti i Paesi.
Revisione: Giovanni Malafrina
Impaginazione: a cura di Patrizio Cintioli
Grafica di copertina: 46 xy studio, Milano
Realizzazione print on demand: Ilovebooks, Fara Gera d’Adda (Bergamo)
Stampa: Prontostampa, Fara Gera d’Adda (Bergamo)
ISBN 978-88-386-7320-7
Printed in Italy
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Indice generale
Prefazione
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Elementi di teoria degli insiemi
1.1
1.2
1.3
1.4
Introduzione
Cardinalità di un insieme
Il Teorema di Cantor-Bernstein
Il paradosso di Russell e gli assiomi di Zermelo-Fraenkel
Esercizi
Riferimenti bibliografici
1
1
4
7
11
12
2
Logica proposizionale
13
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Alfabeto e formule
Semantica e valutazioni
Cenni di sintassi
Connettivi, forme normali
Il problema della soddisfacibilità
Forme normali e clausole
Il Teorema di decomposizione e le regole
di Davis-Putnam
Il Teorema di risoluzione
Primi cenni sul problema P=NP
Esercizi
Riferimenti bibliografici
13
14
20
20
24
26
32
35
37
38
38
3
Logica dei predicati del primo ordine
39
3.1
3.2
3.3
3.4
Linguaggi e formule
Strutture e verità
Un teorema tecnico: il Teorema di coincidenza
Un
altro
teorema
tecnico:
il Teorema di sostituzione
Il Teorema di completezza
Il Teorema di compattezza
Verso il problema della classificazione
Il problema di decisione
Teorie complete
Insiemi definibili
39
43
47
2.8
2.9
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
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Indice generale
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
Tipi in una teoria completa
Il problema della soddisfacibilità
Enunciati universali
Il Teorema di Herbrand
Il Teorema di J.A. Robinson
Esercizi
Riferimenti bibliografici
79
82
84
90
91
102
103
4
Funzioni computabili
105
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
Una introduzione
Le funzioni parziali ricorsive e la tesi di Church
Insiemi ricorsivamente enumerabili
Insiemi aritmetici
Teorie decidibili
Teorie indecidibili: i teoremi di incompletezza di Gödel
Funzioni computabili secondo Turing
Il problema dell’arresto
Problemi non risolubili per algoritmi
Il decimo problema di Hilbert
Il problema della parola per i gruppi
La classe P e la tesi di Cook-Karp
Le
macchine
di
Turing
non
deterministiche
e la classe NP
P = NP e il Teorema di Cook
Problemi NP-completi
Le macchine di Turing probabilistiche
Cenni sui calcolatori quantistici
Esercizi
Riferimenti bibliografici
105
109
117
118
124
126
135
145
148
149
151
154
159
163
167
171
179
180
182
Logica e logiche
183
Riferimenti bibliografici
187
4.14
4.15
4.16
4.17
A
Bibliografia
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Prefazione
Che cosa è la logica
Che cosa sia la Logica molte barzellette, anche divertenti, si preoccupano di spiegarlo. Ma, escluso che la Logica, in particolare quella Matematica, sia una barzelletta, resta da chiarire che cosa essa rappresenti seriamente: perché nasce, a che
cosa serve.
Ora, è comune e facile constatazione che un qualunque testo classico di Matematica si sviluppi spesso attraverso un succedersi di definizioni e teoremi. Ma la
definizione di ogni nuovo concetto fa riferimento ad altre nozioni più vecchie e prima introdotte. Allo stesso modo, la dimostrazione di ogni nuovo risultato si basa
su premesse stabilite in precedenza. All’origine di questo procedimento a ritroso,
allora, dovranno esserci concetti primitivi, non definiti rigorosamente ma assunti
intuitivamente, e, d’altro lato, proposizioni non provate direttamente ma accettate
sulla base della loro evidenza (gli assiomi).
È anche ovvia osservazione che ogni dimostrazione matematica, a prescindere dagli
ingredienti (e cioè dai risultati precedenti cui si riferisce), si sviluppa secondo schemi spesso ripetitivi e comunque ricorrenti: ad esempio, il procedimento per assurdo, o quello per induzione. Né lo stile in cui il linguaggio matematico si estrinseca
rivela maggiore fantasia: proposizioni e dimostrazioni si enunciano snocciolando i
soliti per ogni..., esiste..., se ... allora.
Molte di queste considerazioni erano già patrimonio degli antichi Greci. Ad esempio, la paternità del metodo assiomatico sopra citato è fatta risalire ad Euclide; ed
anche a quei tempi lo studio del ragionamento era obiettivo di molti filosofi. Ma,
dalla seconda metà del diciannovesimo secolo, il concetto di insieme, introdotto da
Cantor, Dedekind e Peano, si propose come fondamento comune di tutta la Matematica. Cosı̀ Hilbert poté formulare un ambizioso progetto: assicurare solide basi
assiomatiche alla teoria degli insiemi ed a tutte le teorie matematiche, sviluppare
poi la Matematica come una sorta di gioco meccanico di deduzione a partire dagli
assiomi scelti.
Nel 1931, i teoremi di incompletezza di Gödel affossarono il progetto di Hilbert,
e rivelarono l’impossibilità umana di cogliere i fondamenti matematici generali.
Sull’importanza di questi teoremi (che affermano in termini scientifici la limitatezza umana e, pur tuttavia, la coscienza umana del proprio limite) torneremo in
dettaglio nel Capitolo 4. Comunque il progetto hilbertiano ed i teoremi di Gödel
concentrarono l’attenzione generale, da un lato proprio sul problema delle basi
assiomatiche della Matematica, dall’altro sullo studio dell’altra questione che ri-
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viii
Prefazione
guarda il linguaggio strutturale in cui scrivere la Matematica ed i procedimenti
mentali attraverso cui sviluppare le dimostrazioni. La Logica Matematica si interessa a questi problemi. Infatti, con la teoria degli insiemi, approfondisce la
Matematica di base entro la quale tutta la Matematica (l’Analisi, la Geometria,
l’Algebra) può svilupparsi: a questo argomento dedicheremo rapidi cenni nel Capitolo 1, soprattutto a proposito del concetto di numero cardinale. D’altro canto,
la Logica si preoccupa del linguaggio e del ragionamento matematico. In questo
ambito, tre sono i punti fondamentali da chiarire:
1. quali sono le proposizioni (le formule) che si vogliono trattare;
2. quali sono gli osservatori (le valutazioni, o le strutture) che giudicano la verità
di una formula;
3. e, finalmente, che cosa è la verità: con quali criteri, cioè, un osservatore riconosce una formula come vera.
Nascono allora varie possibili logiche, ad esempio:
• la logica proposizionale (argomento del Capitolo 2);
• la logica dei predicati del primo ordine (che sarà trattata nel Capitolo 3).
La logica proposizionale è molto semplice. In essa formule e valutazioni sono
povere ed essenziali, e la relativa verità altrettanto schematica. Pur tuttavia la
logica proposizionale contiene in sé, come vedremo, il germe e la sostanza di uno
dei principali problemi della scienza dei calcolatori, e cioè P = N P .
La logica dei predicati del primo ordine è più fine: formule e, conseguentemente,
valutazioni e verità hanno una introduzione più complicata, che consente l’uso dei
classici quantificatori ∀, ∃ (per ogni..., esiste...) che costituiscono una delle basilari
peculiarità del linguaggio matematico, ed insieme uno dei principali tormenti degli
studenti che vi si accostano.
Al concetto generale di logica dedicheremo comunque una breve Appendice, nella
quale si mostrerà come, in un senso opportuno, la logica dei predicati del primo
ordine sia la migliore possibile.
In ogni logica, si definiscono poi due concetti:
• conseguenza (una formula si dice conseguenza di altre se ogni osservatore che
giudica vere le ipotesi giudica vera anche la formula);
• dimostrabilità (una formula si dice dimostrabile da altre se ad essa si può arrivare
a partire dalle ipotesi tramite classici schemi di ragionamento).
Si dice che una logica soddisfa la proprietà di completezza se i due concetti di
conseguenza e dimostrabilità si equivalgono: la logica dei predicati del primo ordine
ha la proprietà di completezza.
Queste nozioni hanno chiare applicazioni pratiche. Ad esempio, può essere utile
disporre, per una data logica, di un metodo generale che sappia decidere se una
certa formula è o no conseguenza di alcune date ipotesi (ovvero se è dimostrabile da
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Prefazione
ix
esse, quando vale la completezza). La ricerca di questi metodi generali è chiamata
problema della soddisfacibilità.
Vedremo che non sempre è facile trovare un algoritmo per la soddisfacibilità; anche
quando l’algoritmo esiste, non sempre è semplice trovarne uno realmente utile e
rapido nella pratica. Queste riflessioni porteranno, nel Capitolo 4, alla trattazione
dei due concetti di esistenza ed efficienza degli algoritmi. La relativa teoria, anche
se risale, almeno in parte, agli anni Trenta e dunque precede storicamente i moderni
calcolatori, ha tuttavia ovvie e forti intersezioni con l’Informatica. Le tratteremo
ancora nel Capitolo 4, che includerà cenni su recenti sviluppi, quali macchine
probabilistiche, calcolatori quantistici, il problema P = N P .
Ogni capitolo sarà corredato da opportuni riferimenti bibliografici (la bibliografia
è in fondo al volume) per lettori interessati ad eventuali integrazioni ed approfondimenti. Segnaliamo comunque sino da adesso come riferimenti generali di Logica
Matematica [1, 12, 23, 24, 25, 27].
Circa il possibile svolgimento degli argomenti inclusi in questi appunti, un’ovvia
scelta (non bisognosa di troppa logica) è quella di procedere secondo l’ordine delle
pagine. Segnaliamo però la possibilità di trattare autonomamente il Capitolo
2, la parte del Capitolo 3 strettamente connessa al problema della soddisfacilità
(dunque i paragrafi 3.12 - 3.15 e le minime premesse necessarie) e il Capitolo 4
(esclusi semmai i paragrafi 4.4 - 4.6) per un modulo di carattere applicativo ed
informatico. Il Capitolo 1, insieme al resto dei Capitoli 3 e 4 e all’Appendice,
può invece essere l’argomento di un modulo di carattere maggiormente teorico e
didattico.
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