Generare una successione di vettori
Metodi iterativi per sistemi
lineari
Convergenza in norma
Per una qualche norma vettoriale
Si dimostra che si ha convergenza in
norma se e solo se si ha
convergenza per componenti.
convergente alla soluzione del
sistema
Costruzione di un metodo
iterativo
Se M è non singolare si ha il sistema
equivalente
1
Relazione di ricorrenza
Se
è la soluzione del sistema allora
A partire da un
qualunque
Analisi di convergenza
Cercare condizioni su G ( su M) per
avere convergenza alla soluzione
Errore di troncamento al passo k
Residuo al passo k
Si ha convergenza quando
Si dimostra che è verificata se e solo
se
dove
Raggio
spettrale
Condizione sufficiente
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Criteri d’arresto
Si deve stabilire un criterio
soddisfatto il quale si può arrestare il
procedimento ottenendo
un’approssimazione della soluzione
di sufficiente accuratezza.
Il criterio ideale sarebbe
Criteri d’arresto
Si osserva che
per un valore piccolo di
ma la
soluzione esatta
non è nota.
Criteri d’arresto
Criteri d’arresto
Vale la relazione
Se
piccolo.
è piccola e anche
è piccola, allora l’errore è
se la matrice A non è troppo
malcondizionata si può usare il
seguente criterio d’arresto
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Formula generale di un
metodo iterativo
Metodi di decomposizione
Cercare una decomposizione di A
La scelta ‘ideale’ per M sarebbe
Ovviamente non è una scelta pratica
Scegliere M che ‘assomigli’ ad A ma abbia una struttura
che permetta di calcolarne facilmente l’inversa
Decomposizione di A
Si sceglie la matrice M nonsingolare
come un ‘pezzo’ di A di cui sia facile calcolare l’inversa.
Metodo di Jacobi
(in forma matriciale)
Matrice di Jacobi
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Metodo di Jacobi
Esempio
(per componenti)
Interpretazione geometrica
5
Metodo di Gauss-Seidel
Metodo di Gauss-Seidel
(per componenti)
(in forma matriciale)
Occorre risolvere un
sistema triangolare
inferiore ad ogni
passo
Algoritmo di sostituzione in avanti
Matrice di Gauss-Seidel
Esempio
6
Interpretazione geometrica
Osservazione
Fallimento dei metodi. (Es. GaussSeidel
Trovare condizioni su A tali da garantire la
convergenza dei metodi
Condizioni sufficienti per la
convergenza
A strettamente diagonale
dominante per righe o per colonne.
A irriducibilmente diagonale
dominante per righe o per colonne.
Definizione
Grafo associato ad una matrice di
ordine n: è costituitito da n nodi e
da archi orientati che collegano il
nodo i al nodo j se
Esempio
1
2
3
7
Definizioni
Un grafo orientato si dice
strettamente connesso se per ogni i,
j esiste un cammino orientato
(successione di archi consecutivi)
che li connette.
Una matrice A si dice irriducibile se il
grafo associato ad A è strettamente
connesso.
Esempi
1
2
3
Partendo dal nodo 2 non si riesce ad arrivare al nodo 1: la
matrice è riducibile
1
2
3
Tutti i nodi sono connessi: la matrice è irriducibile.
Definizione
Una matrice A si dice irriducibilmente
diagonale dominante per righe o per
colonne se è irriducibile e diagonale
dominante con almeno una riga o una
colonna per cui vale la disuguaglianza in
senso stretto.
Esempio
E’ irriducibile e diagonale
dominante con la disuguaglianza in
senso stretto per la seconda riga.
E’ irriducibilmente diagonale
dominante
Proprietà
Per le matrici irriducibilmente diagonali
dominanti i metodi di Jacobi e GaussSeidel convergono.
Se una matrice è irriducibilmente
diagonale dominante, allora è non
singolare.
Esistono versioni accelerate del metodo
di Gauss-Seidel che dipendono da un
parametro
Metodo SOR (Successive Over Relaxation)
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Osservazioni generali
La complessità di un metodo
iterativo è di un prodotto matricevettore per ogni passo.
La convergenza può essere lenta.
Si usano quando non è richiesta
molta accuratezza nella soluzione
(p. es. metodi inesatti).
Conclusioni
I metodi diretti comportano solo
prodotti matrice-vettore.
Sono convenienti quando
La matrice è sparsa o ha una struttura
che potrebbe venire distrutta da una
fattorizzazione
La matrice è densa e di grandi
dimensioni e non è disponibile
esplicitamente in memoria ma è nota
come operatore per i prodotti matricevettore
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