Introduzione al calcolo logico. - Digilander

Introduzione al calcolo logico.
Massimo Panzarella
Giuseppe Primiero
1
Il calcolo proposizionale
Una parte della logica è costituita dalla logica proposizionale, chiamata anche
calcolo proposizionale o degli enunciati. Tale logica viene chiamata proposizionale perchè l’elemento primitivo con cui si opera è la proposizione. Per
una sorta di indivisibilità della proposizione, si dirà che una proposizione è
atomica in quanto essa non è scomponibile e non deve essere scomposta nelle
sue parti costitutive. Se avviene ciò, si passa dalla logica proposizionale a
quella dei predicati o del prim’ordine. La caratteristica fondamentale di una
proposizione, è quella di essere vera o falsa: una proposizione possiede la
proprietà di essere o vera o falsa. Queste sono due proprietà esclusive tra
loro, non possono appartenere contemporaneamente alla stessa proposizione.
Da questo calcolo, se la proprietà fondamentale è la verità o la falsità della
proposizione, dobbiamo escludere quelle proposizioni a cui non appartiene
tale proprietà. Ad esempio le proposizioni che esprimono preghiere, esorti,
comandi, ecc. (come sottolinea Aristotele nel De Interpretazione 4, 17a, 1-5).
A tale gruppo appartengono tutte quelle proposizioni che non sono ”capaci
di significare”. In altri termini esse non hanno contenuto semantico secondo
il Vero o il Falso, infatti non è possibile esprimere la verità o la falsità ad
esempio di una preghiera o di un comando.
Esempi:
1) Paolo è biondo
2) Paolo ama Francesca
3) C’è bel tempo
4) C’era bel tempo
5) Non c’era bel tempo
1
sono proposizioni suscettibili di essere vere o false.
Esercizio: la proposizione ”C’è bel tempo oggi?” è da accettare per la
costruzione di una logica proposizionale? Ovvero: è una proposizione dotata
di capacità semantica? Ha la proprietà di significare secondo il vero o il falso?
La proposizione precedente non si trova in forma affermativa o negativa,
ma interrogativa, e come tale non va considerata per la logica proposizionale. Le proposizioni atomiche del calcolo devono essere in forma negativa o
affermativa, questa è una condizione necessaria per potere operare con proposizioni.
Analizzare e valutare la struttura logica di un discorso vuol dire anzitutto
fare uso di un vocabolario di espressioni rivolte alle asserzioni proprie del discorso. Ovvero si tratta di costruire un vocabolario che esprima la struttura
delle asserzioni del linguaggio stesso.
La relazione essenziale espressa dalla struttura del ragionamento logico-deduttivo
è quella che generalmente viene detta implicazione e la cui espressione
informale può essere formulata nei termini seguenti:
Def. 1 La relazione di implicazione stabilisce che un enunciato è collegato
ad un altro in modo tale che sarebbe inconsistente (contraddittorio) affermare
il primo e negare il secondo
L’inconsistenza, che abbiamo determinato come una proprietà che potremmo dire opposta che caratterizza quella del ragionamento logico, può
darsi secondo due diverse modalità
- Contrarietà
- Contraddittorietà
e la loro differenza può cosı̀ esemplificarsi:
p: ”x è alto più di 6 piedi”
q: ”x è alto meno di 6 piedi”
La relazione di inconsistenza tra p e q è evidente, ma può darsi un terzo
enunciato
r: ”x è alto esattamente 6 piedi”
2
il quale è inconsistente tanto con p quanto con q.
Se sostituiamo a q l’asserto non−p, otteniamo evidentemente un nuovo enunciato inconsistente con p, ma non si tratta della stessa relazione intercorrente
tra p e q. Non è infatti possibile esprimere in questo caso un enunciato che
sia inconsistente tanto con p quanto con non − p.
Dunque:
- la relazione che sussiste tra p e q, rispetto alle quali si dà r inconsistente
con entrambe, è di Contrarietà;
- la relazione che sussiste tra p e non−p, rispetto alle quali non esiste alcuna asserzione inconsistente con entrambe, è di Contraddittorietà.
Dunque la possibilità di esprimere un predicato inconsistente con due predicati dati ed appartenente al loro stesso ambito di incompatibilità, è esclusa
da un’inconsistenza predicativa espressa tramite negazione (in quanto tale
asserzione esclude esplicitamente quanto applicato nella sua contraddittoria)
1
.
L’analisi di queste prime relazioni logiche scaturisce dunque dall’assunzione della relazione logica fondamentale di implicazione, che viene formalmente rappresentata dal connettivo binario 0 →0 ; ma si presenta subito la
necessità di meglio determinare la struttura fin qui utilizzata per queste relazioni con la costante della negazione. Inoltre nella presentazione di questi
primi due connettivi logici, che sembrano essere alla base del concetto di teoria logica in quanto fondamentali alla determinazione stessa che sussiste tra
proposizioni che stanno tra loro in una relazione caratteristica per la logica
(con particolare riferimento a quella di conseguenza), abbiamo utilizzato in
maniera ancora solo intutiva e non esplicitamente espressa i concetti di Vero
e Falso.
Nella costruzione di un linguaggio formale va dunque esplicitata l’esistenza
di un insieme
Def. 4 W = {V, F} ovvero {1, 0}
1
Il quadrato aristotelico delle opposizioni si completa con le due seguenti relazioni:
Def. 2 p è la subcontraria di q =df non − p è incongruente con non − q
cioè due enunciati sono subcontrari quando non possono essere entrambi falsi.
Def. 3 La subalternazione è la relazione che sussiste tra due proposizioni entrambe
positive o entrambe negative che abbiano quantità diverse
3
detto insieme dei valori di verità, e la cui interpretazione intuitiva è
V/1 = vero e F/0 = falso. Si noti che sebbene intuitivamente corretto,
non è più cosı̀ evidente che il numero degli elementi di tale insieme debba
essere ristretto a due: l’esplicitazione di tale insieme costituisce anzi una dichiarazione indiretta del fatto che lavoriamo con un linguaggio formale che
adotta uno schema di valutazione veritativo di tipo classico bivalente (e non
ad esempio una logica tri- o polivalente, nelle quali tra i valori ’V’ e ’F’
possono sussistere altri valri intermedi).
Il connettivo di implicazione, per il valore che esso ha espresso nella Definizione 1 datane sopra, può esere altrimenti definito in termini di negazione
e congiunzione, il che ci permette di introdurci a questo nuovo connettivo
vero-funzionale binario
Def. 5 p → q vuol dire ¬ [p ∧ ¬q]
Una volta entrati in possesso della nozione di asserzione contraddittoria (da cui deriviamo le seguenti forme sinonime: auto-contraddittoria,
logicamente falsa, logicamente impossibile) e di quella di negazione, ci
si presenta di conseguenza la possibilità di negare un’asserizone contraddittoria. Esprimendo la contraddizione per negazione, asserire la contraddittoria
di una contraddittoria vuol dire nient’altro che esplicitare la costante della
doppia negazione
Legge 1 p = ¬¬p
Un’espressione come questa, che costituisce una Legge del calcolo è detta
logicamente necessaria, analitica, verità necessaria, asserzione logicamente vera o tautologia (si useranno nel seguito indifferentemente
queste espressioni con particolare preferenza per l’ultima).
Dalla definizione di implicazione, per la quale può darsi anche che
- ogni enunciato falso implica qualsiasi enunciato
- ogni enunciato vero è implicato da qualsiasi enunciato
ricaviamo con facilità la definizione di equivalenza logica:
Def. 6 p è logicamente equivalente a q =df p → q ∧ q → p ovvero p ∧ ¬q è
contraddittoria
e la cui rappresentazione formale è la seguente
(p ↔ q) =df [(p → q) ∧ (q → p)] =df [(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]
In quanto segue si mostrerà che tutte le equivalenze logiche, definite dalla
formula sopra riportata, sono tautologie, cioè i due elementi dell’equivalenza
hanno lo stesso valore.
4
2
Costruzione del linguaggio
e Tavole di Verità
Il fattore essenziale della logica simbolica o formale è dunque quello di esprimere la forma delle relazioni tra asserzioni al di là delle loro manifestazioni
particolari o esemplificazioni.
Questo compito viene svolto tramite la trasformazione degli enunciati linguistici in formule al cui interno ciò che non è determinante ai fini della forma
logica viene espresso in termini di variabili. Cosı̀ l’enunciato linguistico
”Mario è figlio cadetto implica Mario ha un fratello”
potrebbe venire espresso dalla forma logica
”x è figlio cadetto implica x ha un fratello”
Ma al livello della logica proposizionale, ovvero il livello di base dell’analisi logica, nel quale si prendono in considerazione le proposizioni nella
loro interezza, non interessa ancora l’analisi degli enunciati al loro interno,
dunque delle loro variabili predicative, e gli elementi dell’analisi sono dunque
”x è un figlio cadetto” – p
”x ha un fratello” – q
dunque p → q
dove p e q sono dette variabili enunciative.
Dunque un linguaggio logico che consideri gli enunciati nella loro interezza,
sarà un sistema di logica proposizionale con un vocabolario del seguente tipo:
- le lettere p q
- i simboli ¬
∧
r
s . . . come variabili enunciative, cioè proposizioni
∨
→ ↔
come costanti
2
Ogni combinazione lecita di variabili e costanti (Formula Ben Formata
o FBF), sarà detta FORMULA VERO-FUNZIONALE, dalle funzioni
di verità che la definiscono.
2
Si noti che utilizzeremo per il connettivo di doppia implicazione il simbolo ’↔ ’ quando
questo è connettivo del sistema; quando invece si vorrà indicare un’equivalenza tra formule
del sistema e dunque per considerazioni sul sistema, useremo il simbolo ’≡ ’
5
Dunque:
- se p è una formula allora ¬p sarà una formula;
- se p e q sono formule p ∧ q, p ∨ q, p → q, p ↔ q saranno formule;
- ogni giustapposizione del simbolo ¬ ad una formula tra parentesi sarà
una formula, come nel caso ¬(p → q);
- ogni espressione ottenuta per giustapposizione di una costante seguita
da una variabile o da una formula, ad un’altra variabile o formula, sarà
una formula ben formata; cosı̀
p ∨ (q → r)
[p ∨ (q → r)] → [¬(p → q)]
saranno formule ben formate.
Quest’ultima clausola permette ovviamente la formazione di FBF di qualsiasi grado di complessità.
Esempi di non-FBF:
- p¬q
mentre le costanti del linguaggio sopra definito sono in generale dette connettivi, il simbolo di negazione ¬ non può essere cosı̀ chiamato
perchè si applica propiamente ad una sola variabile enunciativa
- p ∧ q¬ → q
- (p∧)q → (¬r →)p
Una variabile proposizionale può rappresentare una sequenza di proposizioni combinate tra loro in maniera lecita da connettivi. Ovvero: una variabile enunciativa può corrispondere ad una FBF ad esempio della forma p ∨ q.
Assumiamo convenzionalmente in quanto segue che tale variabile enunciativa
possa essere indifferentemente rappresentata tanto da una meta-variabile del
tipo F1 , quanto da una variabile semplice del tipo p.
Il sistema vero-funzionale è un sistema interpretato: le variabili (p, q, r . . . )
rappresentano enunciati del linguaggio, e tali enunciati rappresentano i costituenti delle formule vero-funzionali. La verità o falsità di ogni formula
vero-funzionale è determinata interamente ed unicamente dalla verità o falsità delle sue asserzioni costituenti. Le regole che forniscono tali valori alle
formule vero-funzionali sono tali che forniscono il significato (interpretazione) delle costanti del sistema sui valori dell’insieme W (cfr. Def. 3). La
verifica di tale interpretazione avviene per mezzo delle tavole di verità.
6
Costruzione delle tavole di verità per costanti logiche.
Regola 1 La cifra che definisce le possibili combinazioni di valori di verità
è sempre rappresentata da nk , dove n è il numero dei valori di verità e k il
numero delle proposizioni in questione.
a) Valori di Verità: V e F (n = 2)
b) Proposizioni: p e q (k = 2)
Possibilità di combinazione tra p e q: nk = 22 = 4
Tavola 1.
1.
2.
3.
4.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Quali significati in termini vero-funzionali può dunque assumere un segno
generico (#) che lega p e q?
Obiettivo è la determinazione dei significati che può assumere la terza colonna della seguente tavola
Tavola 2.
p
V
V
F
F
q p#q
V
?
F
?
V
?
F
?
Sulla base della Regola 1 e sull’esempio proposto dalla Tavola 2, è possibile proporre le definzioni e le tavole di verità dei connettivi fondamentali del
calcolo proposizionale:
1. Ogni asserzione della forma ¬p è vera se e soltanto se la sua asserzione
costituente è falsa, e falsa se e soltanto se la sua asserzione costituente
è vera:
Tavola 3.
p ¬p
V F
F V
7
2. Ogni asserzione della forma p ∧ q è vera se e soltanto se ambedue le
sue asserzioni costituenti sono vere, e falsa se e soltanto se almeno una
delle sue asserzioni costituenti è falsa:
Tavola 4.
p
V
V
F
F
q p ∧q
V
V
F
F
V
F
F
F
3. Ogni asserzione della forma p ∨ q è vera se e soltanto se almeno una
delle sue asserzioni costituenti è vera, e falsa se e soltanto se ambedue
le sue asserzioni costituenti sono false:
Tavola 5.
p
V
V
F
F
q p ∨q
V
V
F
V
V
V
F
F
4. Ogni asserzione della forma p → q è vera se e soltanto se non si dà il
caso che la prima delle sue asserzioni costituenti sia vera e insieme la
seconda sia falsa, e falsa se e soltanto se la prima delle sue asserzioni
costituenti sia vera e la seconda falsa:
Tavola 6.
p
V
V
F
F
q p→q
V
V
F
F
V
V
F
V
5. Ogni asserzione della forma p ↔ q è vera se e soltanto se le sue asserzioni costituenti sono o tutte e due vere o tutte e due false, e falsa se e
soltanto se una di esse è vera e l’altra falsa:
8
Tavola 7.
p
V
V
F
F
q p↔q
V
V
F
F
V
F
F
V
E’ possibile infine trovare, dati due valori di verità e due proposizioni, tutti
i possibili significati che può assumere un connettivo generico #.
Regola 2 La cifra che indica il numero dei possibili significati assunti da un
connettivo generico # è np , dove n è sempre il numero dei valori di verità,
e p il numero delle possibilità ottenuto dalla Regola 1, ovvero p = nk .
Nel caso di due proposizioni(e perciò per tutti i connettivi bi-argomentali,
il numero dei possibili significati che può assumere # sarà dunque 16 (24 =
16).
Con la seguente tavola biargomentale, possiamo determinare tutti i significati
che per ogni colonna può assumere il connettivo # (stabiliamo convenzionalmente che V = 1 e F = 0)
Tavola 8.
p
1
1
0
0
¬(p ∧ q)
9
0
1
1
1
q
1
0
1
0
T aut. p ∨q
1
2
1
1
1
1
1
1
1
0
¬(p ↔ q)
10
0
1
1
0
¬q
11
0
1
0
1
q→p
3
1
1
0
1
p p→q
4
5
1
1
1
0
0
1
0
1
¬(p → q)
12
0
1
0
0
¬p
13
0
0
1
1
q p↔q
6
7
1
1
0
0
1
0
0
1
¬(q → p)
14
0
0
1
0
p ∧q
8
1
0
0
0
¬(p ∨ q)
15
0
0
0
1
Contrad.
16
0
0
0
0
Le definizioni delle costanti nei termini dell’insieme di valori bivalente
{V,F} determina le condizioni di verità delle formule. A partire da queste
definizioni si determina anche l’interpretazione vero-funzionale delle formule
complesse.
9
Esempio
¬(p ∧ q) è vera se e solo se (p ∧ q) è falsa, e falsa se e solo se (p ∧ q)
è vera
Tavola 9.
p
V
V
F
F
q p ∧q
V
V
F
F
V
F
F
F
¬(p ∧ q)
F
V
V
V
Dunque l’assegnazione di valore di verità a formule complesse avviene
secondo i seguenti passaggi:
1 determinare la costante principale che si applica all’intera formula;
2 determinare le costanti parziali e il loro campo di applicazione;
3 annotare i valori per le formule subordinate minime;
4 applicare il valore di queste alla costante prossima di ampiezza maggiore;
5 risalire fino alla costante principale dell’intera formula e determinare
il valore di verità finale.
Lo scopo è ovviamente
- stabilire le relazioni logiche tra le formule del sistema;
- decidere per ogni formula se essa è una verità logica (tautologia).
Un esempio che può mettere in evidenza la relazione logica tra due enunciati è il seguente:
a. Determiniamo i valori di verità di due formule F1 e F2 , tali che siano
F1 = p ∧ q
F2 = p ∨ q
per gli stessi valori assegnati a p e q. Se non si dà il caso che sussita
una combinazione di valori tale che contemporaneamente F1 è vera e
F2 è falsa per gli stessi valori assegnati alle costituenti, si avrà anche
che, per la tavola di verità del connettivo di implicazione,
F1 → F2
10
E come è facile vedere è proprio questo il caso
Tavola 10.
p
V
V
F
F
F1
q p ∧q
V
V
F
F
V
F
F
F
F2
p ∨q
V
V
V
F
F1 →F2
(p ∧q) → (p ∨ q)
V
V
V
V
in quanto non si dà nelle ultime due colonne il caso V F , dunque (p ∧
q) → (p ∨ q) è legge logica.
b. Si possono trovare due formule F1 e F2 tali che esse non hanno valori
di verità differenti, o meglio sono verificate solo quando hanno valori
di verità identici, e cioè F1 ≡ F2 è legge logica.
Per esercizio verificare tale caso per le formule
F1 = p ∨ q
F2 = ¬(¬p ∧ ¬q)
c. Esistono due formule F1 e F2 contraddittorie, tali cioè che per ogni
valore possibile delle loro costanti, le asserzioni della loro forma hanno
valori di verità opposti.
Verificare per esercizio rispetto alle formule
F1 = p ∨ q
F2 = ¬p ∧ ¬q
d. Esistono due formule contrarie, tali cioè che non esiste combinazione
dei valori di verità delle loro costituenti, per la quale siano entrambe
vere.
Verificare rispetto alle formule
F1 = p ∧ q
F2 = ¬p ∧ ¬q
e. Esistono due formule subcontrarie, tali cioè che non c’è combinazione
dei valori di verità delle loro costituenti, per la quale siano entrambe
false.
Verificare rispetto alle formule
F1 = p ∨ q
F2 = ¬p ∨ ¬q
11
In questo modo otteniamo dalle tavole di verità tutte le regole logiche
(quelle che in pratica permettono di stabilire se una formula implica, è logicamente equivalente o contraddice un’altra). Un’altra possibilità è data
dall’uso del connettivo di equivalenza logica ’≡’, il quale è stato già definito
in termini di
- vero se le costituenti della formula p ≡ q hanno lo stesso valore di verità
- falso se hanno valori diversi
Nel primo caso la formula stessa è analitica o tautologica, essendo i suoi
valori tutti ’V ’. Dunque unire tramite il simbolo ’≡’ due formule logicamente
equivalenti, produrrà una verità logica, una tautologia. Perciò ad esempio
possiamo far corrispondere alla definizione contestuale
Def. 7 p ∨ q è logicamente equivalente con ¬(¬p ∧ ¬q)
il fatto che la tavola di verità della formula
(p ∨ q) ≡ [¬(¬p ∧ ¬q)]
è tautologica (si verifichi per esercizio). Si riportano qui di seguito corrispondenze analoghe per gli altri connettivi:
1. per l’implicazione c’è una fomula tautologica della forma
(p ∧ q) → (p ∨ q)
2. per l’equivalenza logica c’è una fomula tautologica della forma
(p ∧ q) ≡ (p ∨ q)
3. per formule contraddittorie c’è una fomula tautologica della forma
[(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)]
verificare tale regola sulla formula seguente
[(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)] ∧ ¬[(p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q)]
4. per formule contrarie c’è una fomula tautologica della forma
¬(p ∧ q)
verificare tale regola sulla formula seguente
¬[(p ∧ q) ∧ (¬p ∧ ¬q)]
12
5. per formule subcontrarie c’è una fomula tautologica della forma
p∨q
verificare tale regola sulla formula seguente
(p ∨ q) ∨ (¬p ∨ ¬q)
Abbiamo dunque rispetto alla colonna di valori vero-funzionali
- formule tautologiche (tutti ’V ’)
- formule autocontraddittorie (tutti ’F ’)
- formule contingenti o sintetiche (miste, ’V’ e ’F’)
Le formule tautologiche sono leggi del sistema.
Leggi del calcolo proposizionale
1. Doppia Negazione
p 𠪪p
2. Commutazione
a. (p ∨ q) ≡ (q ∨ p)
b. (p ∧ q) ≡ (q ∧ p)
3. Teoremi di De Morgan
a. (¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q)
b. (¬(p ∨ q)) ≡ (¬p ∧ ¬q)
con le rispettive varianti
a*. (p ∧ q) ≡ ¬(¬p ∨ ¬q)
b*. (p ∨ q) ≡ ¬(¬p ∧ ¬q)
4. Associazione
a. (p ∨ (q ∨ r)) ≡ ((p ∨ q) ∨ r)
b. (p ∧ (q ∧ r)) ≡ ((p ∧ q) ∧ r)
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5. Distribuzione
a. (p ∧ (q ∨ r)) ≡ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
b. (p ∨ (q ∧ r)) ≡ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
6. Trasposizione
(p → q) ≡ (¬q → ¬p)
7. Implicazione materiale
a. (p → q) ≡ (negp ∨ q)
con la rispettiva variante
a*. (p → q) ≡ ¬(p ∧ ¬q)
8. Equivalenza materiale
a. (p ↔ q) ≡ ((p → q) ∧ (q → p))
b. (p ↔ q) ≡ ((p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q))
9. Esportazione
((p ∧ q) → r)) ≡ (p → (q → r))
Da alcune di queste leggi è possibile ricavare delle equivalenze tra le costanti del sistema, ed è possibile definire tutti i connettivi in termini di negazione più un altro connettivo. Cosı̀ abbiamo le due seguenti serie di riduzioni:
1 Riduzione delle costanti logiche a ¬ e ∧
a.) p ∨ q ≡ ¬(¬p ∧ ¬q)
b.) p → q ≡ ¬(p ∧ ¬q)
c.) (p ↔ q) ≡ ¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬(q ∧ ¬p)
2 Riduzione delle costanti a ¬ e ∨
d.) (p ∧ q) ≡ (¬(¬p ∨ ¬q)
e.) (p → q) ≡ (¬p ∨ q)
f.) (p ↔ q) ≡ ((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p))
Il processo di riduzione dei connettivi del sistema può essere condotto
avanti ulteriormente con l’introduzione di un connettivo che abbia un significato tale che tutti gli altri possano essere definiti per tramite suo. Tale connettivo detto Barra di Sheffer viene definito dalle funzioni di verità
14
della colonna 9 della Tavola 8. su riportata, e in quanto negazione della
congiunzione, può leggersi come ”non ... e ...”:
f 9(0, 1, 1, 1) = p | q
Riportiamo dunque le equivalenze della Barra di Sheffer con gli altri
connettivi(si può verificarne la tavola di verità per esercizio):
(p ∨ q) ≡ ((p | p) | (q | q))
(p ∧ q) ≡ ((p | q) | (p | q))
A : (p → q) ≡ (((p | p) | (p | p)) | (q | q))
B : (q → p) ≡ (((q | q) | (q | q)) | (p | p))
(p ↔ q) ≡ ((A | B) | (A | B))
¬p ≡ (p | p)
Un’altro connettivo che opera allo stesso modo è quello espresso dalle funzioni di verità della colonna 15 della stessa Tavola, detto anche Funzione
Freccia:
f 15(0, 0, 0, 1) = p ↓ q
Con uno sguardo attento ai valori di verità di questi due connettivi si
comprende con facilità il motivo per cui essi sono anche chiamati rispettivamente ’NAND’ e ’NOR’: il connettivo della Barra di Sheffer rappresenta
nient’altro che la negazione della congiunzione e dunque l’incompatibilità
(p | q) ≡ ¬(p ∧ q)
mentre il connettivo della Funzione Freccia rappresenta la negazione della
disgiunzione, ovvero il ”nè...nè...”
(p ↓ q) ≡ (¬p ∧ ¬q) ≡ ¬(p ∨ q)
15
3
Le proprietà metateoriche e le questioni di
decisione e completezza
Ponendo l’implicazione come relazione logica di base, abbiamo indirettamente (benchè formalmente in maniera già più corretta) espresso il fatto che la
struttura della teoria logica è la struttura argomentativa, e il suo oggetto è
il procedere formale da premesse a conclusioni.
Riconosciamo in tale oggetto il metodo stesso del pensare logico, identifichiamo il procedere della relazione di conseguenza (che si esprime nell’ambito generico della logica proprio con il concetto base di argomento) come
il modo della logica di supportare il procedere alla verità, col fine essenziale
di rappresentare all’interno del linguaggio artificiale in cui essa si esprime,
regole di calcolo sistematiche che permettano di analizzare il valore del dire
logico proprio nei termini del Vero che esso è in grado di determinare.
Tale valore trova poi un’altra determinazione in termini di validità del ragionare logico, proprietà che potremmo identificare con una certa correttezza della struttura sintattica del linguaggio in questione, la quale assicura il
permanere della verità per mezzo delle proprietà strutturali dei passaggi costituenti l’argomentare logico. La validità e la verità rappresentano perciò il
campo concettuale all’interno del quale inquadrare rispettivamente la dimensione sintattico-strutturale del linguaggio e quella semantico-interpretativa.
Tanto la verità come proprietà ”significativa” del calcolo, quanto la validità
considerata a sua volta come capacità del corretto argomentare logico di
mantenere il vero nei suoi passaggi di forma, hanno fondamento primo nella
verità necessaria delle leggi logiche che stanno alla base del calcolo: l’analisi
del sistema logico trova il suo principio dunque nella verità dei principi del
calcolo, le leggi logiche, la cui necessità trova fondamento in elementi primi
indefinibili. Dunque la logica si trova ad affrontare i seguenti problemi:
a) il problema del rapporto tra la verità delle leggi logiche e la validità
delle dimostrazioni
b) il problema della definibilità contestuale delle leggi del calcolo, definibili solo a partire da elementi primi indefinibili, dai quali deriva il
contesto (grammatica logica, costanti, variabili, insieme dei valori di
verità, parentesi)
c) il problema della riducibilità delle costanti
16
Per quanto riguarda il calcolo proposizionale, esso risulta possedere tutte le proprietà metalogiche, che progressivamente vengono a mancare nel
passaggio a sistemi di complessità superiore 3 . Cosı̀ il calcolo in questione è:
- Consistente: un sistema S si dice consistente se e solo se almeno una
delle FBF del linguaggio formale di S, non è un teorema.
Ciò vuol dire che il sistema non dimostra falsità: se infatti pensiamo
che una FBF - essendo la buona formazione solamente una proprietà
strutturale - può ben essere falsa, allora dobbiamo assumere che nel
nostro sistema almeno una di esse possa non essere teorema, in quanto
falsa. Viceversa se tutte le FBF possono essere dimostrate, il nostro
sistema sarà in grado di dimostrare falsità.
- Semanticamente completo: un sistema S si dice semanticamente
completo se e solo se in esso tutte le FBF logicamente valide sono
teoremi.
Ciò vuol dire che il sistema S dimostra tutte e sole le FBF logicamente
valide (vere), non dimostra alcuna formula logicamente non valida e
non esiste nessuna formula valida che non sia suo teorema.
- Sintatticamente completo: un sistema S si dice sintatticamente
completo se e solo se non esiste alcuno formula che possa essere aggiunta al sistema come schema di assioma senza dar luogo ad inconsistenza.
Ciò significa che la struttura assiomatica dei principi (o leggi logiche)
è completa, e tale che non esiste alcuna forma logica ”estraibile” da
una formula, che possa rappresentare un modo valido di inferire verità
all’interno del sistema: ovvero aggiungendo uno schema d’assioma a
quelli già esistenti, si sarebbe in grado di dimostrare una qualsiasi formula, dunque anche una falsità potrebbe divenire teorema all’interno
del sistema.
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Come abbiamo già accennato il calcolo proposizionale costituisce la dimensione più
semplice della logica, rispetto alla quale esistono sistemi logici di complessità linguistica e
sintattica progressivamente superiore. E’ naturale che l’analisi del sistema logico si ponga
delle questioni che riguardino le proprietà sintattico-semantiche e la capacità espressiva
del sistema stesso rispetto al dominio delle verità che esso deve poter esprimere: occorre
dunque considerare la struttura meta-teorica, ovvero l’analisi della dimensione che fa riferimento al calcolo nella sua interezza e parla ”delle proprietà del calcolo”, e non più di
quelle del linguaggio che nel calcolo è costruito. L’analisi metateorica si rivelerà essenziale
nell’analisi delle strutture logiche più complesse, rispetto alle quali sarà in grado per un
verso di fornire una definizione formale di Verità all’interno di un linguaggio (con Tarski),
e per altro verso di mostrare il limite estremo della capacità espressiva della logica e con
ciò anche la sua limitazione essenziale (con Gödel).
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- Decidibile: un sistema S è detto decidibile se e solo se in esso è dato
un metodo effettivo per determinare se una qualsiasi FBF data è un
teorema, ovvero un sistema nel quale l’insieme dei teoremi è un insieme decidibile.
Il problema di determinare la decidibilità di un sistema è storicamente
conosciuto come Entscheidungsproblem, ovvero Problema della Decisione: nel caso della logica proposizionale vero-funzionale, abbiamo visto
come esista proprio questo metodo effettivo per calcolare il valore di
verità di una formula. L’effettività consiste nell’essere tale procedura
concludibile in un numero finito di passaggi e senza l’intervento di elementi o procedure che non siano quelle calcolabili proprie del sistema:
e noi abbiamo anche visto come il metodo tabulare rappresenti proprio
un sistema che calcola valori di verità sulla base degli elementi della
formula, degli elementi dell’insieme W sul quale avviene l’interpretazione delle formule, sulla base ancora della definizione delle costanti
del linguaggio che fornscono un valore in ogni caso di possibile combinazione di elementi semplici, e infine sulla base di due leggi di calcolo
esponenziale il cui valore è sempre determinabile.
Rispetto alle due dimensioni fondamentali del calcolo, quella sintattica e
quella semantica, che abbiamo visto riproposte nella proprietà di completezza del sistema, si può ancora fare riferimento a due concetti essenziali per la
considerazione della capacità espressiva del nostro linguaggio formalizzato.
La completezza sintattica è stata indicata come un’inestendibilità del sistema
di assiomi rispetto ad ulteriori schemi: cioè a dire tutte le possibili forme di
derivazione sono espresse dagli schemi già presenti nel sistema. E il concetto
sintattico relativo è proprio quello di derivabilità:
Un enunciato q è derivabile da un’insieme di enunciati p1 . . . pn
se esiste una successione finita di espressioni tale che
1. ogni elemento di tale successione appartiene a p1 . . . pn o è
ottenuto da elementi precedenti per applicazione delle leggi del
sistema e delle trasformazioni strutturali lecite nel sistema
2. l’ultimo membro della successione è q
La completezza semantica è stata invece definita come capacità del sistema di dimostrare tutte le verità del suo linguaggio. Il concetto corrispondente
è quello di conseguenza:
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La relazione di conseguenza sussiste se la verità delle premesse
stabilisce la verità della conclusione, e se qualunque interpretazione vero-funzionale che verifica le premesse, verifica anche la
conclusione
Appare adesso evidente come la capacità espressiva del sistema possa
essere indicata come possibilità che l’insieme delle espressioni che sono derivabili dagli assiomi coincida con l’insieme delle loro conseguenze. Questo
apre la questione sulla capacità del sistema di dimostrare tutte le verità che
competono al suo universo di discorso e dunque della possibilità di fornire metodiche sistematiche per l’ottenimento di ogni verità, riproducibilità
meccanica dei nessi razionali. Esplicitando ancor più questa questione, ci
stiamo in sostanza chiedendo quale spazio è riconoscibile tra il dire proprio
della logica e la natura del vero e della sua possibilità di essere detto. Da
una parte abbiamo infatti il tentativo della logica di operare in maniera sistematica proprio sul dire in quanto tale, rispetto alla sua forma assertiva
e consequenziale e volutamente escludendo dalla sua rappresentazione del
linguaggio, ogni elemento che non sia essenziale alla struttura argomentativa; d’altra parte la logica rileva nella capacità stessa del dire l’elemento
finitista, sistematico e di computazione effettiva che già più sopra abbiamo
messo in luce. Sembra che rispetto a questa dimensione, il campo semantico
che compete al linguaggio della logica proposizionale sia soddisfatto in maniera completa dalla natura del calcolo vero-funzionale che abbiamo studiato.
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ESERCIZIO
Dopo avere formalizzato secondo il calcolo proposizionale il principio di non
contraddizione, il principio del terzo escluso e il principio d’identità come
segue:
a) ¬(p ∧ ¬p)
b) p ∨ ¬p
c) p → p
1. Sintassi
Verificare tramite le leggi del calcolo proposizionale (leggi di trasformazione, p. 13 e 14 della dispensa Introduzione al calcolo logico) l’equivalenza formale tra i principi in questione.
2. Semantica
Giustificare tali equivalenze, argomentando opportunamente, da un
punto di vista teorico che entri nel merito del significato delle costanti
logiche.
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Bibliografia essenziale
- Aristotele
De Interpetazione, BUR, 1992
- Copi, Irving M. & Cohen, Carl
Introduzione alla Logica, Il Mulino, 1997
- Strawson, F.P
Introduzione alla teoria logica, Einaudi, 1961
- Agazzi, E.
La logica simbolica, La Scuola, 1990
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