11/10/2012
Torino, 28 settembre 2012
Liceo scientifico A. Volta di Torino
Una proposta per la matematica del
biennio tra contenuti e attività
Pierangela Accomazzo
Silvia Beltramino
La Commissione CIIM sulle indicazioni curricolari
Pierangela Accomazzo
Marilina Ajello
Gianpaolo Baruzzo
Silvia Beltramino
Sebastiano Cappuccio
Maria Angela Chimetto
Rossella Garuti
Raffaella Manara
Paola Ranzani
Riccardo Ruganti
Luigi Tomasi
Sergio Zoccante
Coordinatore: Ercole Castagnola
Le linee guida indicate dalla CIIM:
Coerenza con le Indicazioni Nazionali e la normativa in
vigore sull’obbligo scolastico.
Continuità con le Indicazioni Nazionali per la Scuola del
Primo Ciclo.
Materiali scelti prevalentemente tra quelli disponibili
rete proposte
di sicura affidabilità
e già
Flessibilitàindelle
didattiche per
unsperimentati.
facile
adattamento
a ogni corso
di Studi Superiori.
attenzione
alle “novità”
Particolare
novità delle Indicazioni
relative agli ambiti “Geometria” e “Dati e previsioni”.
Esempi e indicazioni per un uso consapevole dello
strumento informatico.
Modalità per la realizzazione di momenti di
Didattica laboratoriale.
Indicazioni su pratiche didattiche da evitare.
Indicazioni sulle prove di verifica.
1
11/10/2012
Due proposte di percorso …
… a seconda degli ordini di scuola e
degli orari curricolari
Percorso ‘analitico’
Percorso ‘sintetico’
I quadri orari della scuola della riforma: i corsi con
Matematica ‘debole’
‘debole’
COSA? Quali argomenti sono
irrinunciabili? Che cosa considerare già
svolto negli anni precedenti?
COME? Con quale profondità, con
quali metodologie?
COME valutare?
Le scelte della Commissione:
Non penalizzare nessun ambito
Evidenziare i collegamenti tra i vari ambiti
in orizzontale (Nuclei diversi)
in verticale (primo/secondo grado)
Articolare gli argomenti in ‘blocchi’ tematici, con
indicazioni metodologiche
numero di ore indicativo
Per ogni ‘blocco’ si suggeriscono una o più
attività
2
11/10/2012
La suddivisione oraria del primo anno
Percorso “sintetico”
Aritmetica e algebra
15 h (A1): Aritmetica
(fino ai numeri razionali).
Aritmetica
Algebra (uso delle lettere
e algebra
fino
ai prodotti notevoli)
Relazioni e funzioni
5 h (R1): Introduzione al
concetto di funzione
10 h* (C1): Equazioni e
disequazioni di I grado (in
comune tra Aritmetica e
algebra e Relazioni e
funzioni)
Geometria
20 h (G1): Recupero,
consolidamento e
approfondimento delle
conoscenze pregresse sulle
figure del piano. Proprietà
essenziali di triangoli e
poligoni attraverso
procedimenti costr
costruttivi
tti i e
argomentativi
10 h* (C2): Lettura tabelle,
rappresentazione grafica di
dati e grafico di funzioni
f n ioni
(in comune tra Relazioni e
funzioni, Geometria e Dati
e previsioni)
Dati e previsioni
15 h (D1): Indagine
5 h* (C3): Analisi di
statistica (con tutti i
diverse funzioni (in
possibili collegamenti con
comune tra Relazioni e
gli altri ambiti)
funzioni e Dati e previsioni)
Nelle Indicazioni nazionali si legge:
L’aritmetica aiuta l’alg
gebra e l’algebra
[email protected]
aiuta l’aritmetica
ARITMETICA E ALGE
EBRA
“il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal
calcolo aritmetico a quello algebrico”
[…] “lo studente acquisirà la capacità di
eseguire
i calcoli
l li con le
l espressioni
i i lletterali
tt li sia
i
per rappresentare un problema (mediante
un’equazione, disequazioni o sistemi) e
risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in
particolare in aritmetica”
http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/licei2010///indicazioni_nuovo_impaginato/_Liceo%20delle%20scienze
%20umane.pdf
Pensa un numero intero
• somma ad esso 12
• moltiplica il risultato per 5
• sottrai 4 volte il numero pensato
• somma al risultato 40
L’uso delle lettere non
si riduca al solito
calcolo algebrico, ma
anzi lo preceda e
serva ad esprimere le
proprietà dei numeri
Che numero hai ottenuto?
n
…+12
7
7+12
…y5
… - 4y…
(7+12)y5 (7+12)y5 –
4y7
Indicazioni del “Percorso Sintetico”
…+40
Cosa ottieni?
[(7+12)y5 - 4y7]+40
Prova ora a “generalizzare” l’espressione
scritta, in modo indipendente dal numero
pensato
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11/10/2012
La gara di calcolo mentale ovvero … altri trucchi “magici”
L’aritmetica aiuta l’alg
gebra e l’algebra
aiuta l’aritmetica
Considera il prodotto 15·25
puoi riscriverlo come (20 − 5)·(20 + 5)
quindi per la solita proprietà, hai 20·20 + 20·5 – 5·20 -5·5
dopo le semplificazioni ottieni
20·20 + 20·5 – 5·20 -5·5
Cioè
202 − 52.
Prova tu ora a “calcolare” in questo modo i prodotti seguenti:
28·32 =……………………………………………………………
97·103 =……………………………………………………………
Eseguire operazioni tra
numeri
• a mente
• con gli usuali algoritmi
scritti
• con strumenti
valutando quale
strumento può essere
più opportuno
Indicazioni del “Percorso Sintetico”
• Interpretare
geometricamente
l’equivalenza di due
formule
• esprimere con parole
e con formule le
regolarità osservate
Indicazioni del “Percorso Sintetico”
L’aritmetica aiuta l’alg
gebra e l’algebra
aiuta l’aritmetica
Si sa che il prezzo p di un
abito ha subìto una
maggiorazione del 6% e,
altresì, una diminuzione
del 6%; non si ha ricordo,
però, se sia avvenuta
prima l’una o l’altra delle
operazioni.
Che cosa si può dire del
prezzo finale dell’abito?
Dalla congettura,
all’argomentazione, alla
dimostrazione:
i simboli per esprimere,
comunicare, generalizzare e
risolvere problemi
Indicazioni del “Percorso Sintetico”
Consigli e sconsigli
È importante mantenere forte, soprattutto nelle
prime manipolazioni algebriche, il significato delle
formule e far capire all’allievo che il calcolo
algebrico non è fine a se stesso.
Nell’affrontare le tecniche di calcolo
algebrico sarà opportuno individuare il
giusto equilibrio fra la ricerca del valore
semantico (il ‘senso’ di una formula in un
certo contesto) e l’abilità sintattica (cioè di
calcolo formale) che è in parte legata
all’addestramento.
4
11/10/2012
Consigli e sconsigli
Gli esercizi dovranno essere scelti per la loro valenza
operativa e non dovranno costituire compito
eccessivamente ripetitivo
Invitare gli allievi ad analizzare tabelle di valori e a
esprimere con parole e con formule le regolarità osservate
(eventualmente anche mediante rappresentazioni
grafiche), a fare previsioni … un utile strumento di lavoro è
il foglio elettronico o la costruzione di alcuni semplici
PROVE INVALSI
algoritmi implementabili sul calcolatore
Classe II sup. – 20
011
Non trasferiscono
all’ambito numerico il
raccoglimento a fattor
comune. Il calcolo
simbolico è un campo di
esperienza recintato e
non comunicante con gli
oggetti numerici. L’algebra
non è strumento di
pensiero
Classe II sup. – 2012
PROVE INVALSI
Non risp
2,4
A
35,0
B
1,9
C
22,0
D
38,7
Se il contesto è quello
delle ‘lettere’ gli allievi
individuano più
facilmente la proprietà
delle operazioni a cui
fare ricorso
ricorso.
I registri numerico ed
algebrico
sembrerebbero
costituire, per molti,
campi di esperienza
separati.
5
11/10/2012
La suddivisione oraria del primo anno
Percorso “sintetico”
Aritmetica e algebra
15 h (A1): Aritmetica
(fino ai numeri razionali).
Algebra (uso delle lettere
fino ai prodotti notevoli)
Relazioni e funzioni
5 h (R1): Introduzione al
concetto di funzione
Relazioni
e funzioni
10 h* (C1): Equazioni e
disequazioni di I grado (in
comune tra Aritmetica e
algebra e Relazioni e
funzioni)
10 h* (C2): Lettura tabelle,
rappresentazione grafica di
dati e grafico di funzioni
f n ioni
(in comune tra Relazioni e
funzioni, Geometria e Dati
e previsioni)
Geometria
20 h (G1): Recupero,
consolidamento e
approfondimento delle
conoscenze pregresse sulle
figure del piano. Proprietà
essenziali di triangoli e
poligoni attraverso
procedimenti costr
costruttivi
tti i e
argomentativi
Dati e previsioni
15 h (D1): Indagine
5 h* (C3): Analisi di
statistica (con tutti i
diverse funzioni (in
possibili collegamenti con
comune tra Relazioni e
gli altri ambiti)
funzioni e Dati e previsioni)
RELAZIONI E FUNZIO
ONI – 1° ANNO
Nelle Indicazioni nazionali si legge:
y
Obiettivo di studio sarà il linguaggio degli insiemi e
delle funzioni, anche per costruire semplici
rappresentazioni di fenomeni e come primo passo
all’introduzione del concetto di modello matematico.
y
Lo studente sarà in grado di passare agevolmente da
un registro di rappresentazione a un altro (numerico,
grafico,
fi
ffunzionale),
i
l ) anche
h utilizzando
tili
d strumenti
t
ti
informatici per la rappresentazione dei dati.
y
…lo studente apprenderà a descrivere un problema
con un’equazione, una disequazione o un sistema di
equazioni o disequazioni; a ottenere informazioni e
ricavare le soluzioni di un modello matematico di
fenomeni
http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/licei2010///indicazioni_nuovo_impaginato/_Liceo%20delle%20scienze
%20umane.pdf
[email protected]
Introduzione al conc
cetto di funzione
Analizzare e rappresentare fenomeni che variano
nel tempo
Inspirate ed espirate con
regolarità più volte per
circa 1 minuto. Che tipo
di grafico può
rappresentare a vostro
avviso la variazione della
quantità d'aria presente
nei polmoni nel minuto
appena trascorso?
Le funzioni sono strumenti
matematici particolarmente
adatti alla descrizione di
fenomeni (non solo del mondo
fisico) e alla costruzione di
semplici modelli matematici per
effettuare scelte e avanzare
previsioni
Giustificate la risposta
Indicazioni del “Percorso Sintetico”
6
Introduzione al conce
etto di funzione
11/10/2012
L'insegnante traccia alla lavagna alcuni grafici.
Ciascun gruppo deve dare l'incarico a un suo componente
di riprodurre una modalità di respirazione che dia luogo a
una variazione della quantità d'aria presente nei polmoni,
ben rappresentata dal grafico preso in considerazione.
Si dovranno far cogliere agli studenti gli
aspetti qualitativi dei grafici (è opportuno
utilizzare anche il linguaggio naturale)
ponendo, sin dai primi esempi, quesiti del
tipo: “Prova a descrivere l’andamento del
grafico, è costante? Cresce? Dove
cresce? Come cresce? Decresce? Come
decresce? Ci sono valori massimi? Ci
sono valori minimi?, ecc.”.
Indicazioni del “Percorso Sintetico”
Allineamenti – esplo
oriamo le funzioni
lineari
Introduzione al conc
cetto di funzione
Studiare il perimetro dei quadrati di lato variabile x;
Attenzione al passaggio da un registro
rappresentativo all’altro ed al controllo dei
risultati.
E’ consigliato l’uso di software opportuni
Indicazioni del “Percorso Sintetico”
Formula: y = 4x
La funzione "cresce costantemente” (linearmente).
Corsi di pallavolo
• quota di iscrizione di 20 euro
• quota mensile di 5 euro
Marco ha speso 75 euro: per quanti mesi ha frequentato il
corso?
Ha a disposizione 123 euro: per quanti mesi al più può
f
frequentare
t
il corso?
?
L’argomento equazioni e disequazioni (che
si consiglia di non separare) deve essere
affrontato abbastanza presto. Gli studenti
devono acquisire padronanza consapevole
e non solo meccanica di metodi risolutivi
scegliendo registri e ambiti operativi e
mantenendo il controllo dei risultati.
Indicazioni del “Percorso Sintetico”
7
Allineamenti – esplo
oriamo le funzioni
lineari
11/10/2012
20+5x=75
20+5x<123
Consigli …
L’introduzione al concetto di funzione deve
avvenire attraverso esempi di situazioni
molto diverse tra loro (utilizzate per le
indagini statistiche, costruite a partire da
relazioni geometriche, che si riferiscono a
situazioni di vita reale, basate su proprietà
tratte dall’aritmetica, ecc..) e l’uso delle
rappresentazioni (numerica, simbolica, grafica) deve
essere sempre accompagnato dall’analisi
dall analisi dei vantaggi
e dei limiti che ognuna di esse comporta.
L’uso di un software opportuno
è consigliato per compilare
tabelle e realizzare grafici.
… e Sconsigli
Da evitare l’introduzione al concetto di funzione con
la rappresentazione sagittale della corrispondenza tra
due insiemi, è utile solo dopo avere messo insieme
una vasta gamma di situazioni (empiriche e
algebriche) dove si sono cercate e capite le relazioni
che intercorrono tra le grandezze in gioco.
8
Risultati in Italia
Non risp
5,6
A
47,3
B
20,8
C
9,2
D
17,1
Classe II sup. – 201
11
PROVE INVALSI
Classe II sup. – 201
11
PROVE INVALSI
Classe II sup. – 20
012
PROVE INVALSI
11/10/2012
Risultati in Italia
Non risp
11,8
A
8,1
B
33,2
C
38,1
D
8,9
9
Percorso “analitico”
11/10/2012
Conoscenze
Abilità
Competenze
Attività
Equazioni e
disequazioni
Equazioni e
disequazioni di
primo grado:
metodi numerici
(tabelle), grafici
(piano
cartesiano),
simbolici Î
“Relazioni e
funzioni”,
funzioni lineari
Sviluppare il
significato di variabile
e di equazione,
comprendendone il
ruolo nei diversi
contesti.
Tradurre agilmente
dal linguaggio
naturale al linguaggio
algebrico e
viceversa.
Impostare e risolvere
problemi
modellizzabili
attraverso equazioni,
disequazioni e
sistemi di primo e
secondo grado.
Risolvere per via
grafica, numerica o
algebrica equazioni,
disequazioni, sistemi
di primo grado; saper
verificare la
correttezza dei
risultati.
Individuare le
strategie
appropriate per la
soluzione di
problemi
analizzare dati e
interpretarli
sviluppando
deduzioni e
ragionamenti sugli
stessi anche con
l’ausilio di
rappresentazioni
grafiche, usando
consapevolmente
gli strumenti di
calcolo e le
potenzialità
offerte da
applicazioni
specifiche di tipo
informatico
1F - Allineamenti – esploriamo le funzioni lineari
([email protected])
Risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si
formalizzano con equazioni e disequazioni di primo grado,
individuare relazioni significative fra grandezze di varia
natura, utilizzare consapevolmente notazioni e sistemi di
rappresentazione vari per indicare e definire relazioni e
funzioni, leggere in un grafico o in una tabella numerica le
proprietà qualitative delle funzioni
2F - Equazioni e disequazioni di primo grado ([email protected])
3F - Risparmiare sulla bolletta del telefono ([email protected])
Impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili
attraverso equazioni, disequazioni, sistemi di primo e
secondo grado. Risolvere, per via grafica o algebrica,
problemi che si descrivono mediante equazioni,
disequazioni,
disequazioni funzioni
4 – Fare matematica con i documenti storici – equazioni
(IPRASE)
Documento ricco di spunti e attività. La parte specifica
sulle equazioni si trova a pagina 51, Sono riportati esercizi
e problemi – proposti nella storia – che in alcuni casi
possono essere risolti senza impostare un’equazione, altri
invece che richiedono una rilettura attenta per la
comprensione del testo.
5F – Una bilancia virtuale per risolvere equazioni (applet
scaricabile dal sito:
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html
?open=instructions&from=category_g_4_t_2.html)
Bilancia virtuale, funziona solo con i numeri interi positivi.
6F – Esercizi sulle equazioni (Ma.Co.Sa)
7F – Problemi sui sitemi lineari (Ma.Co.Sa)
Un cenno al problema della
verifica e della valutazione
L’attenzione
ai comportamenti degli
studenti
Una griglia per l’osservazione
l osservazione in
laboratorio
Prove che tendano a verificare la
spendibilità delle nozioni apprese in
contesti diversi
15 h
10 h
5h
10 h
10 h
5h
10 h
5h
5 h
5 h
• Indagine statistica (es. attività [email protected] “I giovani e la musica”)
80
ore
• Numeri naturali, interi e razionali: proprietà e operazioni
• Introduzione al concetto di funzione (es. attività [email protected] “Introduzione al concetto di funzione”)
• Recupero, consolid. e approf. delle conoscenze pregresse sulle figure dello spazio e del piano: proprietà essenziali dei
triangoli e dei quadrilateri, parallelismo e perpendicolarità. Si consiglia di privilegiare l’aspetto costruttivo e argomentativo,
utilizzando anche software di Geometria dinamica (es. attività [email protected] “Esplorazione di figure piane: dalle congetture alla
dimostrazione”)
• Equazioni e disequazioni di primo grado (es. attività [email protected] “Equazioni e disequazioni di primo grado”)
• Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni
• Isometrie del piano (es. attività [email protected] “Tangram e tassellazioni”)
• Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni
• Analisi di diverse funzioni (si consiglia di far riferimento al sito MaCoSa, andando alle voci “Funzione” 1 e 2)
• Calcolo simbolico fino ai prodotti notevoli (es. attività [email protected] “L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta
l’aritmetica”)
10
11/10/2012
http://www.umiciim.it/costruzione_di_percorsi_didattici_di_matematica_coeren
ti_con_le_indicazioni_della_riforma--85.html
http://www.risorsedocentipon.it
http://www.invalsi.it
11
11/10/2012
[email protected]
[email protected]
12
