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Elettrostatica
30 maggio 2017
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Capitolo 1. Forza elettrica
2 / 21
Capitolo 1
Forza elettrica
1.1 Le cariche elettriche
Legge di Coulomb La carica elettrica è una proprietà della materia nota fin
dall’antichità. Il primo ad evidenziarne gli effetti fu probabilmente Talete con
l’elettrizzazione tramite strofinio di una bacchetta di ambra; a questo proposito
ambra si traduce in greco ηλεχτρον (elektròn), da cui appunto la parola elettricità.
Da vari esperimenti era noto che dovevano esistere due tipi di cariche elettriche,
positiva e negativa, che interagivano tra loro esercitando forze. Per giustificare
che in generale la materia si presenta neutra si suppone che le cariche all’interno
siano distribuite in maniera quasi identica tra positive e negative.
Nel XVII secolo avviene il primo tentativo di accumulare le cariche elettriche,
tramite l’invenzione del primo tipo di condensatore, chiamato bottiglia di Leiden
(italianizzato Leida), da parte di Pieter van Musschenbroek. Questo congegno
era costituito da una bottiglia in vetro rivestita internamente ed esternamente di
una lamina metallica; il rivestimento interno è collegato ad un generatore elettrico
tramite un conduttore e costituisce uno dei due elettrodi, mentre il rivestimento esterno costituisce l’altro elettrodo; il vetro è il dielettrico isolante. Sui due
elettrodi in questo modo può avvenire un accumulo di carica.
Coulomb, sperimentalmente, ricavò una legge per la forza di attrazione elettrostatica che si esercita tra due cariche puntiformi q1 e q2 , poste a distanza r l’una
dall’altra:
Fe = k
q1 q2
ur
r2
Commentiamo brevemente la legge sopra riportata. La forza elettrica che q1 esercita su q2 è proporzionale al prodotto tra le due cariche, ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra le cariche. ur è il versore diretto come la
congiungente le cariche (da q1 a q2 ) e dunque il verso della forza è determinato dal segno del prodotto q1 q2 . Ciò è coerente con il fatto che cariche di segno
opposto generano una forza di tipo attrattivo, mentre cariche di segno concorde
generano una forza di tipo repulsivo.
L’unità di misura adottata per la carica elettrica è appunto il coulomb (simbolo
C).
Capitolo 1. Forza elettrica
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2
La costante di proporzionalità è k ≈ 9 · 109 NCm2 , tuttavia per comodità (il motivo
sarà chiaro in seguito) si introduce una nuova costante:
ε0 =
1
C2
≈ 8, 85 · 10−12
4πk
N m2
In questo modo la legge di Coulomb assume la forma seguente:
Fe =
1 q1 q2
ur
4πε0 r2
Per questa legge vale il principio di sovrapposizione. In particolare si definisce
anche la densità di carica ρ = VQ per una distribuzione volumica, così come quelle
superficiale (σ) e lineare (λ).
Allora per generalizzazione si ha la formula estesa:
( )(
)

∫ ρ r′ r − r′
r − ri
q
q 
′
qi Fe =
dV
3 + +
′ 3
r − ri 4πε0
4πε0
|r − r |
V
i=1
)
(
)
(
) 
( ′) (
′
∫ λ r′ r − r′
∫ σ r
r−r
′
′
+
dS +
dl 
′ 3
′ 3
|r − r |
|r − r |
l
S
N
∑
(
)
Tra le particelle più interessanti nei fenomeni elettrici troviamo i protoni (con
carica positiva) e gli elettroni (con carica negativa). Una misura della carica di tali
particelle fu effettuata da Millikan. Egli trovò un valore molto ben approssimato
per la carica dell’elettrone pari a 1, 6 · 10−19 C .
Sperimentalmente si nota anche che la carica elettrica si conserva; anche nei casi
in cui andiamo a produrre della carica tramite qualche processo essa è sempre
accompagnata da una carica di segno opposto in modo che globalmente risulti
invariata.
1.2 Il campo elettrico
Campo elettrico prodotto da una carica puntiforme Storicamente il campo elettrico fu introdotto per ragioni concettuali: le cariche elettriche esercitano
forze a distanza, senza la necessità di un contatto. Si rendeva necessario un mediatore che “trasportava” la forza da una carica ad un’altra, per questo venne
introdotto il concetto di campo elettrico. Le cariche quindi non esercitano direttamente una forza, ma producono un campo elettrico, ed è quest’ultimo a
esercitare la forza sulle altre cariche.
Sebbene possa sembrare un artificio matematico vedremo in seguito che il campo
elettrico esiste e si propaga ad una velocità finita.
Consideriamo una carica Q nell’origine di un sistema di assi ortogonali e immaginiamo di posizionare in un punto r una carica di prova q0 , così piccola da poter
trascurare eventuali effetti dovuti alla sua presenza. Questa carica subisce, per
effetto della presenza di Q la forza di Coulomb:
Capitolo 1. Forza elettrica
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1 Qq0
ur
4πε0 r2
F =
Andiamo a definire il campo elettrico prodotto da Q nel punto r nel modo
seguente:
EQ (r) =
F
1 Q
=
ur
q0
4πε0 r2
Da questa definizione possiamo dire che se in un punto è presente un campo
elettrico E , una carica q posta in quel punto subirà una forza:
F = qE
Linee di campo Le linee di campo danno un’idea a livello grafico di come il
campo elettrico interagisca con lo spazio circostante.
Esse hanno alcune caratteristiche fondamentali:
• Sono tangenti al campo in ogni punto;
• Sono orientate;
• Per convenzione sono uscenti da una carica positiva ed entranti in una
negativa;
• Due linee di campo non si intersecano mai;
• A livello qualitativo possiamo dire che l’intensità di un campo elettrico è
tanto maggiore in una certa area tanto più sono fitte le linee di campo in
quell’area.
Siccome anche per il campo vale il principio di sovrapposizione, quando sono
presenti più cariche il campo generato da ciascuna interagisce con quello delle
altre. In particolare il campo generato da due cariche di segno opposto avrà le
linee di campo disposte come segue (una struttura del genere è detta dipolo
elettrico):
Capitolo 1. Forza elettrica
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Mentre in presenza di due cariche di segno concorde avremo una disposizione di
questo genere:
Principio di sovrapposizione Immaginiamo di avere un sistema di n cariche
puntiformi qi poste ciascuna in un punto ri . Se una carica Q è posta nel punto r , si
può ottenere la forza agente su di essa sommando vettorialmente le forze esercitate
dalle singole cariche. La stessa cosa può essere fatta con il campo elettrico: il
campo elettrico generato dal sistema di cariche nel punto r è:
)
(
n
1 ∑ qi r − r i
E=
3
4πε0
i=1 r − ri
Capitolo 1. Forza elettrica
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Distribuzioni continue di carica Il principio di sovrapposizione può essere
applicato anche a distrubuzioni continue di carica.
Si consideri una distribuzione continua di carica, disposta lungo una curva Γ con
una densità di carica lineare λ . In un tratto dr′ è contenuta una carica dq = λdr′ .
Indicando con r′ i punti della distribuzione di carica, il campo generato da questa
nel punto r è dato dall’integrale:
1
EΓ (r) =
4πε0
∫
Γ
λ (r − r′ ) ′
dr
|r − r′ |3
Lo stesso ragionamento può essere applicato a distribuzioni di carica superficiali
σ o volumetriche ρ . Si ottiene:
1
EΣ (r) =
4πε0
EV (r) =
1
4πε0
∫
Σ
σ (r − r′ ) ′
dΣ
|r − r′ |3
V
ρ (r − r′ ) ′
dV
|r − r′ |3
∫
Campo generato da un filo Consideriamo un filo di lunghezza 2L uniformemente carico, con una densità di carica lineare λ , e andiamo a calcolare il campo
elettrico generato da tale distribuzione di carica in ogni punto dello spazio.
Come prima cosa stabiliamo un sistema di assi ortogonali, la distribuzione di
carica è posta lungo l’asse z , e l’origine del sistema di assi è posta al centro del
filo.
Indichiamo con r un generico punto dello spazio in cui calcolare il campo elettrico,
con r′ un punto della distribuzione di carica. Avremo:
Capitolo 1. Forza elettrica
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(
)
r′ = 0, 0, z ′
r = (x, y, z)
Da cui:
(
)
r − r′ = x, y, z − z ′
[
(
) ]3
r − r′ 3 = x2 + y 2 + z − z ′ 2 2
Possiamo dunque procedere al calcolo del campo elettrico calcolando il seguente
integrale:
λ
E (x, y, z) =
4πε0
∫
Γ
r − r′
dl
|r − r′ |3
Ora, sostituendo quanto ricavato prima e tenendo conto del fatto che dl = dz ′ ,
si ottiene l’integrale:
E (x, y, z) =
λ
4πε0
∫
L
−L
xex + yey + (z − z ′ )ez ′
[
] 3 dz
2
2
x2 + y 2 + (z − z ′ )
Dove ex , ey , ez sono i versori degli assi cartesiani.
Risolviamo ora separatamente gli integrali per le tre componenti del campo
elettrico. Partiamo col calcolare Ex :
λ
Ex =
4πε0
∫
L
x
′
[
] 3 dz
2
x2 + y 2 + (z − z ′ )2
−L
Operiamo la seguente sostituzione:
z − z′ =
√
x2 + y 2 sinh t
dz ′ = −
⇒
√
x2 + y 2 cosh t dt
Risolviamo ora l’integrale indefinito:
∫
√
x x2 + y 2 cosh t
[
(x2 + y 2 ) + (x2 + y 2 ) sinh2 t
] 3 dt =
2
x
x2 + y 2
∫
x
1
dt = 2
tanh t
x + y2
cosh2 t
Tenendo conto del fatto che, dalla nostra sostituzione:
z − z′
sinh t = √
x2 + y 2
e utilizzando la relazione:
tanh t = √
sinh t
1 + sinh2 t
Capitolo 1. Forza elettrica
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Si può procedere al calcolo dell’integrale definito, da cui:


L
λ  x
(z −
 √
Ex = −
4πε0 x2 + y 2
2
x2 + y 2 + (z − z ′ )
−L


λ
x
z+L
z−L
√

Ex =
−√
4πε0 x2 + y 2
2
2
2
2
2
2
x + y + (z + L)
x + y + (z − L)
z′)
Il calcolo della componente Ey è del tutto identico e porta al risultato:


Ey =
λ
y
√
2
4πε0 x + y 2
z+L
x2
+
y2
2
z−L
−√
x2
+ (z + L)
+
y2

2
+ (z − L)
Possiamo ora lanciarci nel calcolo della componente Ez :
λ
Ez =
4πε0
∫
z − z′
L
−L
[
x2 + y 2 + (z −
z ′ )2
] 3 dz
′
2
Operiamo una sostituzione differente:
(
)2
x2 + y 2 + z − z ′ = t
(
)
−2 z − z ′ dz ′ = dt
⇒
Da cui:
∫
−λ 1
Ez =
4πε0 2
b
dt
3
a
t2
con a = x2 + y 2 + (z + L)2 e b = x2 + y 2 + (z − L)2 . Integrando si ottiene:

Ez =
λ 
√
4πε0

1
x2
+
y2
2
+ (z − L)
1
−√
x2
+
y2

2
+ (z + L)
Unendo tutto ciò che è stato calcolato si ottiene: <dmath type = align> \underline{E}\left(x,y,z\right)= \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \begin{pmatrix}
\frac{x}{x^2+y^2} \left( \frac{z+L}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z+L\right)^2}} \frac{z-L}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z-L\right)^2}} \right) \\ \frac{y}{x^2+y^2}
\left( \frac{z+L}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z+L\right)^2}} - \frac{z-L}{\sqrt{x^2+y^2+\left(zL\right)^2}} \right) \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z-L\right)^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+\lef
\end{pmatrix} </dmath>
Campo generato da un disco Consideriamo un disco di raggio R carico
uniformemente con densità di carica σ e calcoliamo il campo generato lungo il
suo asse. Consideriamo un sistema di assi ortogonali, poniamo il disco nel piano
xy in modo che il suo centro coincida con l’origine.
Capitolo 1. Forza elettrica
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Utilizziamo un sistema di coordinate cilindriche per la risoluzione di questo problema. Un generico punto dell’asse del disco sarà del tipo:
r = (0, 0, z)
mentre un generico punto del disco sarà:
r′ = (ρ cos θ, ρ sin θ, 0)
Ricaviamo quindi:
r − r′ = (−ρ cos θ, −ρ sin θ, z)
(
)3
r − r′ 3 = ρ2 + z 2 2
Utilizzando quanto riportato sopra è possibile scrivere l’integrale necessario a
calcolare il campo elettrico:
σ
E (z) =
4πε0
∫
−ρ cos θex − ρ sin θey + zez
3
D
ds
(ρ2 + z 2 ) 2
In coordinate cilindriche abbiamo ds = ρdθdρ con ρ ∈ [0, R] , θ ∈ [0, 2π) . Si
ottiene l’integrale:
σ
E (z) =
4πε0
∫
R
(∫
2π
−ρ cos θex − ρ sin θey + zez
3
0
0
(ρ2 + z 2 ) 2
)
ρdθ dρ
Capitolo 1. Forza elettrica
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L’integrale in θ azzera in contributi ex ed ey , resta l’integrale del campo diretto
lungo l’asse z :
σ
2π
4πε0
E (z) =
∫
R
zρez
(ρ2
0
3
dρ
+ z2) 2
Utilizziamo la sostituzione ρ2 + z 2 = t ⇒ 2ρdρ = dt . Otteniamo:
σzez
E (z) =
4ε0
∫
R2 +z 2
z2
dt
σzez
3 =
2ε0
t2
(
−1
√
t
) R2 +z 2
2
z
Eseguendo i calcoli si ottiene:
σzez
E (z) =
2ε0
(
1
1
−√
|z|
R2 + z 2
)
1.3 Il potenziale elettrico
Circuitazione <definition>Si consideri un campo vettoriale V e una curva γ
. Si definisce circuitazione del campo V lungo γ la quantità:
∫
V · dl
CV (γ) =
γ
</definition>
La circuitazione è dunque l’integrale su una curva della forma differenziale V · dl
. Spieghiamone nel dettaglio il significato nel caso tridimensionale, avremo:
V (r) = (V1 (r) , V2 (r) , V3 (r))
Una generica curva γ : [a, b] → R3 può essere parametrizzata nel modo seguente:
γ (t) = (γ1 (t) , γ2 (t) , γ3 (t))
La circuitazione del Campo V è dunque data dal seguente integrale:
CV (γ) =
∫ b∑
3
(
)
Vi (γ (t)) γi′ (t) dt
a i=1
Circuitazione del campo elettrico Consideriamo una carica puntiforme q .
Essa produce un campo elettrico:
E=
1 q
u
4πε0 r2 r
Considero una curva γ che congiunge un punto A e un punto B .
Capitolo 1. Forza elettrica
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Voglio calcolare la circuitazione del campo E lungo la curva γ . Considero un
tratto dl della curva e lo scompongo in una componente radiale dlr e una perpendicolare dl⊥ , in questo modo dl = dlr + dl⊥ . A questo punto si ha:
E · dl = E · (dlr + dl⊥ ) = E · dlr ur = Edlr
Si ha dunque che la circuitazione dipende solo dallo spostamento radiale rispetto
alla carica q . Di fatto si ha dlr = dr . La circuitazione del campo è quindi:
∫
∫
rb
CE (γ) =
rb
Edr =
ra
ra
1 q
dr = −
4πε0 r2
(
1 q
4πε0 r
) rb
(
)
1
1
q
−
=
4πε0 ra rb
ra
Si nota che il valore della circuitazione dipende solamente dagli estremi iniziale e
finale della curva, non dal suo percorso, ciò significa che il campo elettrostatico
generato da una carica puntiforme è conservativo. In particolare se γ è una curva
chiusa si avrà:
I
E · dl = 0
Cv (γ) =
γ
Per il principio di sovrapposizione, un campo elettrostatico generato da una qualunque distribuzione di carica può essere scomposto nella somma di campi generati
da cariche puntiformi, pertanto la circuitazione di qualunque campo elettrostatico lungo una linea chiusa risulta nulla, indipendentemente dalla distribuzione di
carica che lo genera.
Capitolo 1. Forza elettrica
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Possiamo inoltre ricavare una legge differenziale associata a questo fatto. Ricordiamo il teorema di Stokes per cui la circuitazione di un campo lungo una
curva chiusa γ è uguale al flusso del rotore del campo attraverso una qualunque
superficie che poggia sulla curva:
I
∫
(∇ ∧ E) · ndS
E · dl =
γ
S
Data una curva chiusa γ deve dunque valere, per ogni superficie S che ha come
bordo tale curva:
∫
(∇ ∧ E) · ndS = 0
S
Ciò è possibile solo se l’integrando è identicamente nullo. Ricaviamo quindi la
legge differenziale:
∇∧E =0
Il potenziale elettrico Grazie alla conservatività del campo elettrostatico è
possibile costruire un potenziale elettrostatico φ . Definiamo prima la differenza
di potenziale elettrostatico tra un punto A e un punto B come:
∫
φA→B = −
B
E · dl = −CE (γA→B )
A
Dove γA→B è una qualunque curva che collega A a B . Osserviamo in primo luogo
che tale quantità è ben definita proprio al fatto che la circuitazione del campo
elettrostatico dipende solo dai punti iniziale e finale della curva, in secondo luogo
osserviamo che il potenziale φ è una funzione scalare delle posizioni dei punti A
eB.
Notiamo che il potenziale elettrico di un punto non può essere calcolato in modo
assoluto, ha senso solamente parlare di differenza di potenziale tra due punti.
Possiamo però stabilire un punto A di riferimento, fissarne il potenziale a 0 e
calcolare il potenziale di ogni altro punto rispetto ad A . Per convenzione nella
maggior parte dei casi si utilizza come riferimento A = ∞ ponendo φ (∞) = 0 .
Possiamo ora continuare e ricavare una relazione interessante tra il campo elettrico e il potenziale:
∫
φ (x, y, z) =
∫
dφ = −CE = −
E · dl
Da cui:
dφ = −E · dl = − (Ex dx + Ey dy + Ez dz)
Tuttavia:
Capitolo 1. Forza elettrica
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dφ =
∂φ
∂φ
∂φ
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Uguagliando i termini si ottiene che il campo elettrostatico in un punto è pari a
meno il gradiente della funzione φ nel punto:
E (x, y, z) = −∇φ (x, y, z)
Potenziale elettrico generato da distribuzioni di carica Cominciamo con
l’eseguire il calcolo del potenziale generato da una carica puntiforme q posta
nell’origine di un sistema ortogonale in un punto dello spazio r . Il campo elettrico
generato dalla carica è radiale e vale:
E (r) =
1 q
4πε0 r2
Il potenziale è dunque dato dall’opposto dell’integrale del campo lungo una curva
che congiunge l’infinito al punto r . Poiché tale integrale non dipende dalla curva
scelta posso scegliere di integrare sulla direzione radiale, per cui:
∫
φ (r) = −
r
+∞
r
1 q
1 ( q ) dr =
4πε0 r2
4πε0 r +∞
=
1 q
4πε0 r
La generalizzazione al caso di distribuzioni continue di carica è abbastanza semplice, se considero una densità di carica lineare λ , distribuita su una curva γ , in
un tratto dl di curva sarà presente una carica dq = λdl , questa genererà in un
punto r dello spazio un potenziale:
dφ =
1
dq
1
λdl
=
′
4πε0 |r − r |
4πε0 |r − r′ |
Dove con r′ si intende la posizione di dq . Per ottenere il potenziale generato da
tutta la distribuzione nel punto r è sufficiente integrare:
φ (r) =
1
4πε0
∫
γ
λdl
|r − r′ |
Lo stesso ragionamento si applica in modo analogo a distribuzioni di carica
superficiali e volumetriche, ottenendo i risultati:
1
φ (r) =
4πε0
φ (r) =
1
4πε0
∫
S
σds
|r − r′ |
V
ρdV
|r − r′ |
∫
Ai fini pratici il calcolo del potenziale generato da una distribuzione di carica
risulta spesso più semplice del calcolo diretto del campo elettrico, è possibile
poi risalire a quest’ultimo dall’espressione analitica del potenziale, utilizzando la
relazione E = −∇φ .
Capitolo 1. Forza elettrica
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Energia potenziale di un sistema di cariche Cercheremo ora di ricavare l’espressione dell’energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche. Abbiamo
ricavato la relazione tra il campo elettrico e il potenziale:
E (x, y, z) = −∇φ (x, y, z)
Se in un punto (x, y, z) dello spazio è presente un campo elettrico E (x, y, z) , una
carica q posta in quel punto subirà una forza:
F = qE = −q∇φ = −∇ (qφ)
Essendo la forza elettrica conservativa essa ammette un energia potenziale U ,
quest’ultima deve soddisfare la relazione F = −∇U , uguagliando questa espressione a quella precedente si ottiene che l’energia potenziale di una carica in un
punto dello spazio dove sia presente un potenziale φ è U = qφ .
Se consideriamo ora un sistema di n cariche puntiformi qi , ciascuna in una
posizione ri , l’energia potenziale di ogni carica sarà pari a Ui = qi φi dove φi è
il potenziale elettrico nel punto ri . Tale potenziale è generato da tutte le altre
cariche del sistema, per cui:
φi =
n
∑
j=1∧j̸=i
1 qj
4πε0 rij
Dove rij è la distanza tra qi e qj .
Va ora fatta una precisazione: una carica singola e isolata nello spazio non possiede
energia potenziale, quest’ultima compare in seguito alla presenza di almeno due
cariche. Considerando un sistema composto da due cariche l’energia potenziale
elettrica è legata all’interazione della coppia di cariche. Ciò implica che nel calcolo
dell’energia totale del sistema di cariche è necessaria una correzione di un fattore
1/2 per non contare due volte l’energia legata ad ogni coppia di cariche. Da questa
osservazione si ha che l’energia totale di un sistema di n cariche è:
U=
1∑
1∑
Ui =
qi
2
2
n
n
n
∑
i=1
i=1
j=1∧j̸=i
1 qj
1
=
4πε0 rij
2
n
∑
i,j=1∧i̸=j
1 qi qj
4πε0 rij
1.4 Il dipolo elettrico
Potenziale di un dipolo elettrico Un dipolo elettrico è un sistema costituito
da due cariche, +q e −q , poste a una distanza δ tra di loro. Per studiare il dipolo
fisso un sistema di assi ortogonali e dispongo le cariche sull’asse z a distanza δ/2
dall’origine. Andiamo a calcolare il potenziale generato dal dipolo in un punto
r dello spazio. Questo sarà la somma del potenziale φ+ generato dalla carica
positiva e del potenziale φ− generato dalla carica negativa.
Capitolo 1. Forza elettrica
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Vale che:
δ
r+ = r − ez
2
δ
r − = r + ez
2
Con queste notazioni si ottiene:
(
)
q
1
1
− =
φ = φ+ + φ− =
4πε0 r+ r− 

1
1
q 
=
√
−√
=
( δ )2
( δ )2
4πε0
r2 + 2 − δr · ez
r2 + 2 + δr · ez


q 
1
1

√
=
( δ )2 δr·ez − √
( δ )2 δr·ez
4πε0 r
1 + 2r − r2
1 + 2r + r2
Se r >> δ si ha che:
(
δ
2r
)2
±
δr · ez
→0
r2
Dunque è possibile utilizzare l’asintotico (1 + ε)α ∼ 1 + αε , ottenendo:
[
]
( )
( )
1 δ 2 1 δr · ez
1 δ 2 1 δr · ez
qδez · r
q
1−
+
−1+
+
=
φ∼
4πε0 r
2 2r
2 r2
2 2r
2 r2
4πε0 r3
Definendo il momento di dipolo p = qδez si ottiene:
Capitolo 1. Forza elettrica
16 / 21
φ=
p·r
4πε0 r3
In generale il vettore p sarà diretto lungo la congiungente le due cariche, da
quella negativa a quella positiva. Si noti inoltre che da misure del potenziale nel
punto r si possono ottenere informazioni solo sul momento di dipolo e non sulla
grandezza delle cariche o sulla loro distanza. Segue che dipoli diversi aventi lo
stesso momento risultano indistinguibili.
Campo di dipolo
Dall’espressione del potenziale si può ricavare il campo
elettrico generato da un dipolo; se θ è l’angolo tra p e r il potenziale può essere
scritto nella forma:
φ=
p cos θ
4πε0 r2
Utilizzando l’espressione del gradiente in coordinate sferiche:
∇=
∂
1 ∂
1
∂
er +
eθ +
eϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
Si ottiene:
Er = −
Eθ = −
p cos θ
∂φ
=
∂r
4πε0 r3
1 ∂φ
p sin θ
=
r ∂θ
4πε0 r3
Eϕ = 0
Sviluppo in multipoli Ci preoccupiamo ora di studiare come il potenziale
generato da una distribuzione di carica possa essere approssimato in zone lontane
dalla distribuzione rispetto
( ′ ) alle sue dimensioni. Consideriamo una distribuzione
di carica volumetrica ρ r . il potenziale che essa genera in un punto r è:
φ (r) =
=
1
4πε0
∫
1
4πε0
∫
( ′)
ρ r
′
|r − r |
( ′)
ρ r
′
dV =
V
′
1
2
dV =
(r2 + r′2 − 2r · r′ )
( ′)
∫
ρ
r
1 1
′
=
1 dV
(
)
′
(
)
4πε0 r V
′ 2
2
1 + rr − 2 r·r
r2
V
′
Andiamo ora a studiare il limite per cui r >> r in questo caso possiamo
sviluppare il denominatore in serie di Taylor. Ricordando che se x → 0 allora
Capitolo 1. Forza elettrica
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1
1
3
(1 + x)− 2 ∼ 1 − x + x2 + . . .
2
8
Si ottiene:
φ (r) =
1
4πε0
∫
v

( )
2 
( ′ )2
2
′
′
′
(
)
1
r·r
3
r
2r · r   ′
1 r
′
ρ r 1 +
+ 2 + 
−
dV
r
2 r
r
8
r
r2
Sviluppando i conti e arrestandosi al secondo ordine si ottiene:
∫
( ′) ′
1 1
ρ r dV +
4πε0 r V
∫
( ′) ′ ′
1 r
·
ρ
r r dV +
+
4πε0 r3 V

( ) (
)
′ 2
∫ ρ r′
·
r
3
r
′2
1
r  ′

+
− 3  dV

5
4πε0 V
2
r
r
( ′)
φ r =
Analizziamo ora i vari termini: il primo integrale corrisponde alla carica totale
della distribuzione, se quest’ultimo è diverso da 0, esso è il termine dominante
nello sviluppo del potenziale, se invece la distribuzione di carica è globalmente
neutra tale integrale è nullo e l’andamento è dato dai termini successivi. Il secondo
termine corrisponde al potenziale generato da un dipolo che abbia come momento
di dipolo p il secondo integrale, possiamo quindi definire il momento di dipolo di
una distribuzione di carica:
p=
1
4πε0
∫
( )
′
ρ r′ r′ dV
V
Il terzo termine della serie è detto potenziale di quadrupolo e l’integrale definisce
il momento di quadrupolo di una distribuzione di carica. Se avessimo tenuto
conto dei termini successivi nello sviluppo sarebbero comparsi altri termini che
avrebbero definito il momento di ottupolo e successivi.
Segue dunque che il potenziale generato da una qualunque distribuzione di carica volumetrica può essere approssimato, a grandi distanze, con uno sviluppo in
multipoli.
1.5 Legge di Gauss
Flusso di un campo vettoriale Ricordiamo la definizione di flusso di un
campo vettoriale:
<definition>Si consideri un campo vettoriale V : R3 → R3 , e si consideri una
superficie S : [a, b] × [c, d] → R3 . Si definisce flusso del campo V attraverso la
superficie S la quantità:
Capitolo 1. Forza elettrica
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∫
V · νdσ
Φv (S) =
S
Dove ν è il versore normale alla superficie.
Legge di Gauss
campo elettrico:
Consideriamo una carica puntiforme q , essa produce un
E=
qr
4πε0 r3
consideriamo una superficie chiusa S contenente la carica q e calcoliamo il flusso
del campo elettrico attraverso quest’ultima:
I
q
ΦE (S) =
E · νdσ =
4πε0
S
I
S
r·ν
dσ
r3
Se θ è l’angolo tra r e ν si ottiene:
I
q
ΦE (S) =
4πε0
S
cos θdσ
r2
tuttavia la quantità dΩ = cosrθdσ
rappresenta l’angolo solido infinitesimo sotteso
2
all’elemento di superficie dσ , da cui:
ΦE (S) =
q
4πε0
I
dΩ =
S
q
q
(4π) =
4πε0
ε0
Si può verificare con semplicità che il flusso di un campo vettoriale è additivo:
dati due campi elettrici E ′ ed E ′′ calcoliamo il flusso di E = E ′ + E ′′ :
∫
∫
( ′
)
E + E ′′ · νdσ =
ΦE =
E · νdσ =
S
S
∫
∫
=
E ′ · νdσ +
E ′′ · νdσ = ΦE ′ + ΦE ′′
S
S
Quindi si può immaginare ogni distribuzione di carica come composta da cariche
puntiformi infinitesime, segue la legge di Gauss:
Il flusso del campo elettrico E generato da una qualunque distribuzione di carica
attraverso una superficie chiusa è dato da:
ΦE (S) =
Q
ε0
Dove Q è la carica totale presente all’interno della superficie S
Possiamo anche in questo caso ricavare una legge differenziale associata alla
divergenza del campo elettrico, utilizziamo il teorema della divergenza per cui:
I
∫
E · νdσ =
S
∇ · EdV
V
Capitolo 1. Forza elettrica
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Dove l’integrale di volume è eseguito sul volume V racchiuso nella superficie S .
Scriviamo ora la carica totale contenuta nella superficie come:
∫
Q=
ρ (r) dV
V
Uguagliando i termini si ottiene:
∫ [
V
]
ρ (r)
dV = 0
∇·E−
ε0
Poichè tale relazione deve valere per ogni volume V l’unica possibilità è che
l’integrando sia nullo. Si ottiene quindi:
∇·E =
ρ
ε0
Capitolo 2. Fonti per testo e immagini; autori; licenze
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Capitolo 2
Fonti per testo e immagini;
autori; licenze
2.1 Testo
• Corso:Elettrostatica/Forza elettrica/Le cariche elettriche Fonte: https://it.wikitolearn.
org/Corso%3AElettrostatica/Forza_elettrica/Le_cariche_elettriche?oldid=28468 Contributori: Simone Vavassori, V.e.padulano, Irene, WikiToBot e Move page script
• Corso:Elettrostatica/Forza elettrica/Il campo elettrico Fonte: https://it.wikitolearn.
org/Corso%3AElettrostatica/Forza_elettrica/Il_campo_elettrico?oldid=28462 Contributori: Simone Vavassori, Alice Roitberg, V.e.padulano, Irene, WikiToBot e Move page script
• Corso:Elettrostatica/Forza elettrica/Il potenziale elettrico Fonte: https://it.wikitolearn.
org/Corso%3AElettrostatica/Forza_elettrica/Il_potenziale_elettrico?oldid=28466 Contributori: Simone Vavassori, WikiToBot e Move page script
• Corso:Elettrostatica/Forza elettrica/Il dipolo elettrico Fonte: https://it.wikitolearn.
org/Corso%3AElettrostatica/Forza_elettrica/Il_dipolo_elettrico?oldid=28464 Contributori: Simone Vavassori, WikiToBot e Move page script
• Corso:Elettrostatica/Forza elettrica/Legge di Gauss Fonte: https://it.wikitolearn.
org/Corso%3AElettrostatica/Forza_elettrica/Legge_di_Gauss?oldid=28470 Contributori:
Simone Vavassori, WikiToBot e Move page script
2.2 Immagini
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2.3 Licenza dell’opera
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