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4.1Definizioni e criteri di congruenza e similitudine
Il triangolo può essere considerata la figura principale della geometria, in quanto è possibile, a partire da essa, ricavare
tutti i poligoni regolari e irregolari. Per questa ragione, e anche per le numerose proprietà che la riguardano, è la più
studiata di tutte le figure geometriche e sono stati dimostrati su di essa numerosi teoremi. In questo primo paragrafo si
daranno le definizioni di base che permetteranno nei paragrafi successivi di dimostrare molti interessanti risultati. Si
inizierà con il definire i segmenti e i poligoni, e si definirà il triangolo come un poligono con tre lati.
4.1.1 Definizione
Un segmento è la parte di retta compresa tra due suoi punti detti estremi del segmento. Due segmenti sono detti
consecutivi se hanno un solo vertice in comune. Segmenti a due a due consecutivi formano una spezzata. Sono detti
adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.
Segmenti consecutivi e adiacenti.
4.1.2 Definizione
Una poligonale è una spezzata chiusa, ossia una spezzata in cui il primo e l'ultimo estremo coincidono. La figura
formata dalla poligonale e dai punti al suo interno è detta poligono. Gli estremi dei segmenti sono detti vertici del
poligono. I segmenti sono detti lati del poligono. Un segmento che congiunge due vertici del poligono non consecutivi è
detto diagonale del poligono. Un segmento che congiunge due punti della poligonale è detta corda del poligono.
4.1.3 Definizione
Un triangolo è un poligono con tre lati.
Nella figura seguente i lati sono i segmenti AB=c, AC=b e BC=a. Gli angoli (interni) sono `alpha=ChatAB`,
`beta=AhatBC` e `gamma=BhatCA`
Si dice che un angolo è opposto a un lato se il vertice dell'angolo non è uno degli estremi del lato. Nella figura
seguente il lato a e l'angolo `alpha=ChatAB` sono detti opposti.
Si dice che un angolo è adiacente a un lato se esso è uno dei lati dell'angolo. Sono adiacenti il lato b e l'angolo
`alpha=ChatAB`. E' consuetudine disegnare il triangolo in modo che l'angolo `alpha` che ha come vertice A, sia opposto
al lato a, e che, inoltre, l'angolo `beta` che ha come vertice B, sia opposto al lato b, e che, infine, l'angolo `gamma` che
ha come vertice C, sia opposto al lato c.
Si dice che un angolo è compreso tra i due lati che lo determinano. Nella figura seguente l'angolo `alpha=ChatAB` è
compreso tra i lati CA e CB.
L'angolo `BhatCD`, è detto angolo esterno del triangolo. La somma dei tre lati a, b e c è detta perimetro.
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Triangolo.
I triangoli possono essere classificati in base ai lati o agli angoli.
Euclide, nei suoi Elementi, dimostra numerose proposizioni riguardanti i triangoli. Nel libro primo egli definisce in
maniera intuitiva i concetti primitivi che oggi sono chiamati con i nomi di punto, retta, piano, angolo retto, acuto, ottuso,
segmento, figura, cerchio, eccetera. Alla diciannovesima definizione viene introdotto il triangolo e ne viene fatta la
classificazione in base ai lati.
Classificazione in base ai lati. (Libro primo degli Elementi, diciannovesima definizione)
Un triangolo è detto:
• Equilatero se ha tutti i lati congruenti tra loro.
• Isoscele se ha due lati congruenti tra loro. Nel triangolo isoscele i due lati uguali tra loro sono detti lati obliqui,
l'altro è detto base.
• Scaleno se ha tutti i lati non congruenti tra loro.
Classificazione dei triangoli in base ai lati.
Alla ventesima definizione del libro primo i triangoli vengono classificati in base agli angoli.
Classificazione in base agli angoli. (Libro Primo degli Elementi, ventesima definizione)
Un triangolo è detto:
• Acutangolo se ha tutti gli angoli acuti.
• Ottusangolo se ha un angolo ottuso.
• Rettangolo se ha un angolo retto.
Nei triangoli rettangoli i due lati perpendicolari tra loro sono detti cateti, l'altro è detto ipotenusa.
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Classificazione dei triangoli in base agli angoli.
La prima proposizione del Libro I degli Elementi riguarda la costruzione geometrica del triangolo equilatero di cui sia
dato un lato, e questa è una costruzione nota sin dalle scuole medie inferiori.
Molte altre proposizioni del Libro I degli Elementi (I fondamenti della geometria) riguardano i triangoli, e ora elenchiamo
i principali risultati dimostrati da Euclide, anche se in realtà alcuni risultati di Euclide sono esposti in maniera
leggermente differente da come vengono trattati oggi nei moderni libri di testo.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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