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4.3Punti notevoli di un triangolo
I punti notevoli di un triangolo sono quattro, ossia BARICENTRO, CIRCOCENTRO, ORTOCENTRO e INCENTRO.
Possono essere considerati punti notevoli anche gli EXCENTRI di cui si parlerà alla fine del paragrafo. Si definisce ora il
concetto di luogo geometrico.
4.3.1 Definizione
Un luogo geometrico è l’insieme dei punti del piano che godono di una proprietà detta proprietà caratteristica del luogo
geometrico.
4.3.2 Definizione - Assi di simmetria
L’asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento.
L’asse di un segmento può anche essere definito come la retta passante per il punto medio del segmento e
perpendicolare al segmento stesso. Per essere sicuri che le due definizioni coincidano si devono dimostrare i teoremi
seguenti. La dimostrazione di questi due teoremi è semplice e viene lasciata per esercizio.
4.3.3 Teorema
La retta passante per il punto medio di un segmento AB e perpendicolare ad esso è formata da punti equidistanti dagli
estremi del segmento AB.
4.3.4 Teorema
I punti equidistanti da A e B sono tutti e soli quelli che si trovano sulla retta passante per il punto medio del segmento e
perpendicolare al segmento stesso.
I tre assi di un triangolo si incontrano nel circocentro.
Per trovare le equazioni dell’asse di un segmento AB si deve utilizzare la seguente costruzione geometrica.
• Si traccia la circonferenza che ha come centro A e raggio AB.
• Si traccia la circonferenza che ha come centro B e raggio AB.
• Le due circonferenze si intersecano in due punti. La retta che passa per questi due punti è l’asse di simmetria del
segmento AB ed interseca il segmento AB nel suo punto medio M.
Per trovare il circocentro basta trovare DUE assi e trovare il loro punto di intersezione, in quanto il terzo asse di
simmetria passa anch’esso per lo stesso punto.
4.3.5 Teorema
I tre assi di simmetria dei lati di un triangolo si intersecano in un unico punto.
Dimostrazione
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Si consideri l’asse del segmento AB. Esso è formato da tutti i punti che hanno la stessa distanza da A e da B. Si
consideri poi l’asse del segmento BC. Esso è formato da tutti i punti equidistanti da B e da C. Sia il punto D il punto di
intersezione dei due assi dei segmenti AB e BC. Esso è equidistante da A e da B perché è sull’asse di AB ed è
equidistante da B e da C perché è sull’asse di BC. Ne risulta che esso è equidistante anche da A e da C, quindi deve
appartenere all’asse del segmento AC.
Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, in quanto è equidistante da tutti e tre i vertici e tale
distanza è proprio il raggio della circonferenza.
Per trovare il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo si faccia riferimento alla figura seguente.
CH è l’altezza relativa al lato AB, CD è un diametro della circonferenza circoscritta. Si considerino i triangoli DCB e
AHC. Essi hanno:
• `ChatAH~=ChatDB` congruenti perché insistono sullo stesso arco CB.
• `AhatHC~=DhatBC` congruenti perché entrambi retti.
Essi sono simili per il primo criterio di similitudine e quindi hanno i lati in proporzione, da cui segue che AC:CD=CH:CB.
CD è il diametro della circonferenza circoscritta, ossia 2R se si indica con R il suo raggio.
AC:2R=CH:CB `=> 2R=(AC·CB)/(CH) => R=(AC·CB)/(2CH) => R=(AC·CB·AB)/(2CH·AB)=(AC·CB·AB)/(2CH·AB)`
CH·AB è il doppio dell’area del triangolo ABC, da cui si può concludere che
`R=(AB·AC·BC)/(4·text(Area)(ABC))`
Una interessante proprietà che si dimostra utilizzando gli angoli al centro e gli angoli alla circonferenza è che un
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triangolo inscritto in una semicirconferenza è retto. Essa può essere facilmente ricavata anche dalla formula precedente
per il calcolo del raggio della circonferenza circoscritta. Si consideri infatti il triangolo ABC inscritto in una
semicirconferenza di diametro AC=2R. Sostituendo nella formula precedente si ha:
`R=(AB*AC*BC)/(4*text(Area)(ABC)) => R=(AB*2R*BC)/(4*text(Area)(ABC)) =>`
`=> 1=(AB*BC)/(2·text(Area)(ABC)) => text(Area)(ABC)=(AB*BC)/2`
Da ciò segue che AB e BC devono essere i due cateti e il triangolo è retto in B.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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