N × N - killingbuddha

ma anche
ALGEBRA I
Menegazzo & Pablo
(f (gh))(t) = f (g(h(t)))
g
INTERI L’insieme Z degli interi positivi viene definito da
Z := (N × N)/ ∼
/X
XA
AA
AA
f
f ◦g AA
X
ove (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c
Scegliendo come rappresentanti le coppie in cui almeno uno
La struttura (X X , ◦) è dunque un anello con unità: l’eledei due elementi è 0, N × N viene ripartito in tre classi:
{[(n, 0)] | n ∈ N}, interi positivi, {[(0, n)] | n ∈ N}, interi mento neutro è infatti la funzione 1 : X → X che manda
x ∈ X in x. E’ facile vedere che f ◦ 1 = 1 ◦ f = f per ogni
negativi, e {[(0, 0)]}, lo zero.
L’insieme degli interi dotato dell’operazione di somma tra f ∈ X X .
classi a = (m, n) e b = (p, q)
• f ∈ B A si dice iniettiva se x 6= y implica che f (x) 6=
f (y);
a + b := [(m + n, p + q)]
• f ∈ B A si dice suriettiva se dato comunque b ∈ B esiste
è un gruppo commutativo:
a ∈ A tale che f (a) = b.
• a+b=b+a
• f ∈ B A si dice biiettiva se è iniettiva e suriettiva.
∀ a, b ∈ Z;
• a + (b + c) = (a + b) + c
Osservazione. Se f ∈ B A è biiettiva, per ogni b ∈ B esiste
∀ a, b, c ∈ Z;
unico a ∈ A tale che f (a) = b. E’ cioè possibile definire una
g ∈ AB
g(y) = l’unica xtale che f (x) = y
• Esiste 0 ∈ Z tale che a + 0 = 0 + a = a;
• Esiste a′ ∈ Z tale che a + a′ = 0 per ogni a ∈ Z.
Cosı̀ costruita, gè tale che f (g(y)) = y, cioè f ◦ g = 1. In tal
Lo stesso insieme dotato dell’operazione di prodotto tra classi senso f è un elemento invertibile di B A , e g si dice inversa
a = (m, n) e b = (p, q)
(destra) di f .
DEFINIZIONE (Gruppo Simmetrico).
a · b := (mp + nq, mq + np)
S(X) := {f ∈ X X | f è biiettiva}
è un anello commutativo con unità:
• a·b = b·a
Osservazione. La struttura (S, ◦) è un gruppo, cioè l’oper-
∀a, b ∈ Z;
• a · (b · c) = (a · b) · c
azione di composizione tra gli elementi di S(X) ha le seguenti
proprietà:
∀a, b, c ∈ Z;
• f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h) per ogni f, g, h ∈ S(X);
• Esiste 1 ∈ Z tale che 1 · a = a · 1 = a per ogni a ∈ Z.
• Esiste u ∈ S(X) tale che u ◦ f = f ◦ u = f per ogni
f ∈ S(X);
In modo più generale dato un insieme K si può definire
una operazione chiusa in K con una funzione
⋆: K × K → K
• Esiste f −1 ∈ S(X) tale che f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = 1 per
ogni f ∈ S(X).
(a, b) 7→ a ⋆ b
COROLLARIO. L’elemento neutro è unico per ogni f ∈
Una struttura (K, ⋆) ove ⋆ ha la sola proprietà di essere
un’operazione chiusa viene detto magma.
Dalle proprietà assiomatiche di (Z, +, ·) si possono ricavare
tutta una serie di corollari:
S(X).
COROLLARIO. L’opposto è unico e cambia a seconda di f ∈
S(X).
1. L’elemento neutro per la somma è unico;
DEFINIZIONE. Se #X = n < ∞ il gruppo S(X) si dice
gruppo delle permutazioni di X e #S(X) = n!.
2. Se a + c = b + c allora a = c (legge di cancellazione);
Nell’insieme Z degli interi se ab = 0 possiamo dire che o
a = 0 o b = 0 (legge di annullamento del prodotto), ma ciò
non è vero in qualunque anello: ad esempio in (RR , +, ·), dove
somme e prodotto sono definiti da
3. L’opposto per la somma è unico per ogni a ∈ Z.
Funzioni Dati due insiemi A che funga da dominio e B
che funga da codominio una funzione f : A → B è un certo
(f + g)(x) := f (x) + g(x)
(f g)(x) := f (x)g(x)
sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B. Supponiamo
A ≡ B = X. L’insieme delle funzioni da X in X si può prese le due funzioni
dotare di una operazione (la composizione) che è associativa,
(
(
ma in genere non commutativa.
0 se x ≤ 0
−x se x ≤ 0
f=
g=
Vedere che vale f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h) è facile: per ogni
x se x > 0
0 se x > 0
t ∈ X vale che
si ha (f g)(x) = 0 per ogni x ∈ R, anche se né f né g sono la
((f g)h)(t) = (f g)h(t) = f (g(h(t)))
funzione nulla.
1
DEFINIZIONE (Dominio di Integrità). Un anello con unità in
Facciamo qualche esempio:
cui vale la legge di annullamento, che cioè è privo di divisori
dello zero, si dice dominio di integrità.
PROPOSIZIONE. Se X è un insieme di n elementi, allora
#P(X) = 2n .
Nell’insieme Z vale anche una relazione d’ordine, mutuata dalla relazione d’ordine in N, che gode delle seguenti Dimostrazione. Per induzione: se P(n) è la nostra proposizione, notiamo che P(0) è vera (base dell’induzione, si fa
proprietà:
la verifica praticamente sempre a mano). Notiamo poi che
• a ≤ b oppure b ≤ a per ogni a, b ∈ Z, e valgono entrambe la verità di P(n) implica la verità di P(n + 1). Infatti se
sse a = b
#X = n + 1, scelto a ∈ X l’insieme X \ {a} possiede n el• Se a ≤ b e c ∈ Z allora a + c ≤ b + c per ogni a, b, c ∈ Z ementi, e dunque per ipotesi induttiva #P(X \ {a}) = 2n .
Supponiamo di indiciare tali insiemi con
• Se a ≤ b e c ≥ 0 allora ac ≤ bc1
Y1 , Y2 , . . . , Y2n −1 , Y2n
Operazioni tra Insiemi Sia fissato un insieme X che
faccia da universo. A, B siano due suoi sottoinsiemi propri. Tutti i sottoinsiemi che contengono a (e tali insiemi sono tutti
e soli quelli che contengono a) saranno dunque del tipo Yj ∪
Definiamo
{a} con j = 1, . . . , 2n . Essi sono allora altri 2n sottoinsiemi.
A ∩ B := {x ∈ X | x ∈ A e x ∈ B}
Facendo la somma dei due, quelli che contengono a e quelli
A ∪ B := {x ∈ X | x ∈ A o x ∈ B}
che non lo contengono, si ha
A \ B := {x ∈ A | x ∈
/ B}
#P(X) = 2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1
Definiamo poi il complementare dell’insieme A ⊂ X come
Un esempio sul principio del minimo:
∁A := {x ∈ X | x ∈
/ A}
PROPOSIZIONE. Non esistono interi compresi tra 0 e 1.
Infine, l’insieme potenza o insieme delle parti di A ⊂ X è
Dimostrazione. Per assurdo, sia
P(A) := {J ⊂ X | J ⊆ A}
S = {x ∈ Z | 0 < x < 1}
Osservazione. La complementazione è un’operazione unaria
∁ : P(X) → P(X). E’ biiettiva (lo mostreremo in seguito).
Se S non è vuoto ammette minimo m: 0 < m < 1 e m ≤ s
per ogni s ∈ S. Ma allora si avrebbe 0 · m < m · m < 1 · m
Principio di Induzione L’assioma di induzione com- cioè m2 ∈ S e m2 < m, contraddicendone la minimalità.
pare nella costruzione dei numeri naturali proposta da Peano. Assurdo: allora S è vuoto.
Esso afferma quanto segue
Sia S ⊆ N un insieme con le proprietà che 0 ∈ S
e che k ∈ S =⇒ σ(k) ∈ S, ove σ : N → N è la
funzione successore di k. Allora S ≡ N.
Altri Esercizi sull’Induzione Mostrare per induzione
(su n) i seguenti asserti:
Pn
n
n−1
•
k=0 k k = n2
Il principio di induzione coinvolge invece proposizioni che
Pn
n n−k k
•
y = (x + y)n
k=0 k x
hanno come variabili numeri naturali, ed è ad un tempo
Pn
una tecnica di dimostrazione e la base di certe definizioni:
n(n+1)
k 2
•
k=0 (−1) k =
2
enunciamolo.
Pn
n 2
2n
•
= n
k=0 k
PROPOSIZIONE (Principio di Induzione). Sia data una
Q
n
n−1
famiglia di proposizioni (P(n))n∈N . Supponiamo P(n0 ) vera
• Se an := 22 + 1 allora an =
k=0 ak + 2
per un certo indice n0 ∈ N e supponiamo anche che la vern
ità di P(k) implichi la verità di P(σ(k)) = P(k + 1). Allora
• 2n+1 divide a2 − 1 se a è un numero dispari positivo.
l’insieme
S := {n ∈ N | P(n) è vera}
Esercizi su Funzioni e Relazioni Siano X e Y due
contiene tutti gli n ≥ n0 .
insiemi. Mostrare i seguenti fatti:
1. f : X → Y è iniettiva [suriettiva] sse ammette inversa
sinistra [destra].
Osservazione. Una formulazione (logicamente) equivalente al
principio di induzione è il principio del minimo: esso afferma che ogni sottoinsieme S non vuoto di numeri naturali
ammette un elemento minimo, cioè un elemento n0 tale che
n0 < n per ogni altro n ∈ S.
2. f : X → Y è biiettiva sse esistono una h che sia inversa
destra e una g che sia inversa sinistra di f .
3. Se f : X → X è tale che f ◦ f = 1 allora f è biiettiva.
1
Definitione in definitu ingredi non debet, ma basta ricordare
come sono definiti gli interi. I “positivi” sono i rappresentanti
delle classi [(n, 0)] con n ∈ N.
4. La funzione di complementazione ∁ : P(X) → P(X) è
biiettiva.
2
5. La funzione differenza simmetrica ∆Y : P(X) → P(X) Qualche esempio:
che manda l’insieme A in (A ∪ Y ) \ (A ∩ Y ), fissato
1. Se A = Z × (Z \ {0}) e (a, b)ρ(c, d) ⇐⇒ ad = bc allora
Y ∈ P(X), è biiettiva.
ρ è equivalenza su A.
1. Supponiamo f iniettiva, e sia tildex ∈ X fissato. Defini2. Fissato m ∈ Z, se A = Z e aρb ⇐⇒ b − a = hm per
amo g(y) come quell’x ∈ X tale che f (x) = y, oppure se
qualche h ∈ Z allora ρ è equivalenza su Z.
tale x non esiste definiamo g(y) := x̃. g è ben definita,
infatti se y = f (x1 ) = f (x2 ) allora x1 = x2 e inoltre DEFINIZIONE (Classe di Equivalenza). Sia ρ una relazione
g(f (x)) = x.
su un insieme A. Definiamo
Viceversa se g : Y → X è tale che g ◦ f = 1 assumiamo
che f (x1 ) = y = f (x2 ) per qualche x1 , x2 ∈ X. Allora
[a]ρ := {x ∈ A | xρa}
x1 = g(f (x1 )) = g(y) = g(f (x2 )) = x2
[a] è un sottoinsieme di A che si dice classe di equivalenza
“modulo” la relazione ρ. E’ un sottoinsieme che raccoglie
Assumendo che esista un’inversa destra per f , vediamo tutti gli elementi resi indistinguibili dalla relazione ρ, che ha
che è suriettiva. Infatti dato y si ha y = f (g(y)), e l’effetto di smembrare A in un numero (a volte finito, a volte
dunque se x := g(y) si ha f (x) = y, dato comunque no) di classi. L’elemento a viene detto rappresentante della
y ∈ Y . Viceversa se f è suriettiva definiamo la sua classe: la classe è invariante per cambi di rappresentante.
inversa destra: dato y ∈ Y esiste x tale che f (x) = y.
Se g(y) := quell’unico x tale che f (x) = y allora f ◦g = 1 DEFINIZIONE (Insieme Quoziente). L’insieme di tutte le
per costruzione.
classi di equivalenza modulo ρ si chiama insieme quoziente:
2. Facile noto (1). Se f è iniettiva [suriettiva] ha inversa dati X e ρ
X/ρ = {[a]ρ | a ∈ X}
sinistra [destra].
3. Noto (2), se f 2 = 1 possiamo usare g = f = h.
Qualche esempio (riferito a prima):
4. Resta da mostrare (come infatti è) che ∁(∁(A)) = A e
che ∆(∆(A)) = A per ogni A ∈ P(X).
1. Z × (Z \ {0})/ρ = Q
2. Scelto m ∈ Z, Z/ρ = Z/mZ, cioè l’anello delle classi di
resto modulo m secondo la divisione euclidea.
Osservazione. E’ importante notare che la condizione f ◦f = 1
è solo sufficiente e non necessaria! Esistono funzioni che sono
Altre proprietà delle relazioni di equivalenza:
biiettive anche senza che f 2 = 1.
• Dato A insieme e ρ relazione su A allora l’insieme
Farsi un esempio, e se non ci si riesce seguire:
quoziente
è un partizione di A. Ciò significa che
S
[a]
=
A e che [a] ∩ [b] 6= ∅ implica che aρb cioè
a∈A
PROPOSIZIONE. La funzione caratteristica X : P(X) →
[a]
≡
[b].
{0, 1} che manda A ⊂ X nella sua funzione caratteristica
χA : X → {0, 1} che vale 1 se x ∈ A e 0 altrimenti, è biiettiva.
• Definiamo la relazione xρf y ⇐⇒ f (x) = f (y). Essa
è una equivalenza (facile vederlo). Ogni relazione di
equivalenza si può ricondurre ad una di questo tipo. Sia
infatti ∼ una equivalenza su X. La mappa π : X →
X/ ∼ che manda a in [a] è tale che aρπ b implica π(a) =
π(b), ma ciò accade sse [a] = [b], e dunque sse a ∼ b. In
tal senso ρπ coincide con ∼.
Dimostrazione. E’ facile far vedere che X è iniettiva e
suriettiva.
COROLLARIO. Da ciò (la presenza di una biiezione tra due
insiemi garantisce che essi abbiano identica cardinalità) discende che #P(X) = #2X = 2#X e dunque che #P(X) =
2n se X ha n elementi.
La mappa pı che manda a nella sua classe di equivalenza modulo ∼ si dice proiezione canonica sul quoziente
X/ ∼.
Siano ∆ : P(X) × P(X) → P(X) la differenza simmetrica e ∩ : P(X) × P(X) → P(X) la normale intersezione tra
insiemi. Mostrare che (P(X), ∆) è un gruppo commutativo
e che (P(X), ∩) è un anello con unità che non è un dominio Divisibilità Nell’insieme degli interi (ma vale in un
qualunque anello (A, ·)) si di ce che a divide b se esiste c ∈ A
di integrità.
tale che b = ac. Si indica con a | b.
Relazioni Sia A un insieme. Una funzione ρ sottoinsieme
del prodotto cartesiano A × A si dice relazione di equivalenza
se gode delle tre proprietà
LEMMA (Bèzout). Se c | a e c | b allora c | as + bt per ogni
s, t ∈ A
Dimostrazione. Abbiamo a = hc e b = kc. Ma allora sa +
tb = (sh + tk)c.
• Riflessiva: (a, a) ∈ ρ per ogni a ∈ A
• Simmetrica: (a, b) ∈ ρ ⇐⇒ (b, a) ∈ ρ
DEFINIZIONE (Unità). u ∈ A si dice invertibile (oppure una
• Transitiva: Se (a, b) ∈ ρ e (b, c) ∈ ρ allora anche (a, c) ∈
ρ
unità) se esiste v ∈ A tale che uv = 1.
3
• Se infine a < 0, −a > 0 e la tesi è vera per −a: −a =
bq ′′ + r′′ cioè a = b(−q ′′ ) + (−r′′ ). Se r′′ = 0 la tesi
è vera. Altrimenti a = b(−q ′′ ) − |b| + |b| − r′′ , e con
r := |b| − r′′ si soddisfa l’ipotesi 0 ≤ r < |b|. A seconda
del segno di b si ha poi a = b(q ′′ ± 1) + r
DEFINIZIONE (Associati). Sia A un anello commutativo con
unità, che sia dominio di integrità. Due elementi si dicono
associati se a | b e b | a. Si ha b = ha e a = kb, cioè a = kha,
a(1 − kh) = 0, cioè kh = 1 dato che A è dominio di integrità.
a e b sono associati se si uguagliano a meno di una unità.
Per l’unicità, supponiamo bq +r = a = bq ′ +r′ con 0 ≤ r, r′ <
′
′
′
con unità, che sia dominio di integrità. a ∈ A, a 6= 0 si dice |b|. Si ha r − r = b(q − q ): supponendo |r − r | 0si avrebbe
′
irriducibile se a = bc implica che b o c è una unità. (ogni |q − q | ≥ 1 cioè
volta che si fattorizza, a è associato ad uno dei fattori)
|b| > r′ ≥ r′ − r = |b|q − q ′ | ≥ b
DEFINIZIONE (Irriducibile). Sia A un anello commutativo
DEFINIZIONE (Primo). Sia A un anello commutativo con
Ma questo è assurdo. Dunque r = r′ , q = q ′ .
unità, che sia dominio di integrità. a ∈ A, a 6= 0si dice primo
se a | bc implica che a | b oppure a | c.
MCD, Identità di Bèzout
Osservazione. In Z le due ultime condizioni sono equivalen-
DEFINIZIONE (MCD di due elementi). Sia A un anello com-
ti, cioè ogni elemento irriducibile è primo e viceversa. Lo
vedremo poi.
mutativo con unità, dominio di integrità. Definiamo un massimo comun divisore tra a, b ∈ A come un elemento d ∈ A
∗
PROPOSIZIONE. Denotando con A l’insieme degli elementi tale che
invertibili di A (anello commutativo con unità), si ha che
• d | a, d | b (contemporaneamente)
(A∗ , ·) è gruppo.
• Se d′ ha le stesse caratteristiche, allora d′ | d.
Dimostrazione.
Osservazione. Il MCD tra due elementi di A è unico a meno di
• Se u1 , u2 ∈ A∗ allora u1 v1 = 1 = u2 v2 . Ma allora elementi associati. In Z con la divisione euclidea il MCD esiste per qualunque coppia a, b, ma vi sono domini di integrità
(u1 u2 )(v2 v1 ) = u1 (u2 v2 )v1 = u1 v1 = 1.
ove ciò non vale.
• 1 ∈ A∗ , evidentemente.
PROPOSIZIONE. Per ogni coppia a, b ∈ Z esiste un d =
• Se u ∈ A∗ allora vi sta anche il suo inverso (che è
MCD(a, b) ed esistono due interi s, t ∈ Z tali che d = as + bt.
invertibile con u come inverso).
Dimostrazione. Supponiamo a, non nulli. Sia
Mostriamo allora una implicazione del contenuto dell’ulS := {ax + by | x, y ∈ Z, ax + by > 0}
tima osservazione: supponiamo a ∈ A primo, non nullo.
a = bc, ciò vuol dire che (per esempio) b | a. Il fatto che Tale insieme è non vuoto, per esempio contiene a, b, dunque
a sia primo implica però anche che a | bo a | c. Supponiamo ha minimo. Diciamo d = as + bt tale minimo. Chiaramente
wlog a | b. Ma a | b, b | aimplica che b = au ove u è una unità. d soddisfa la seconda condizione per essere MCD(a, b). Ma
Ora, a = auc sse a(1 − uc) = 0. Ciò implica che uc = 1, cioè la prima?
che c è invertibile. Partendo da a | c si ottiene di converso
Sia a = dq + r con 0 ≤ r < d. 0 ≤ r = a − dq = a(1 −
che b è invertibile.
s) + b(−tq) < d. Per non contraddire la minimalità di d deve
essere r = 0, cioè d | a. Analogamente si arriva a dire che
Divisone Euclidea Ci occupiamo ora (E per un po’) d | b.
esclusivamente di Z. Molti dei risultati che qui otteniamo
si possono però estendere anche all’anello dei polinomi a
coefficienti in un campo.
Dati a, b ∈ Z, b 6= 0, esistono unici q, r ∈ Z tali che
a = bq + r
La coppia s, t si dice coppia di Bèzout, e l’identità
MCD(a, b) = sa + tb si dice identità di Bèzout. Né la coppia
né l’identità sono uniche.
con 0 ≤ r < |b|
Diofantee — Fattorizzazione Le nozioni appena
Dimostrazione. (Esistenza) Dividiamo la dimostrazione in scoperte ci permettono di trovare una importante condizione
necessaria (e anche sufficiente) alla risolubilità in Z di
vari casi:
equazioni del tipo
• a = 0: vero, dato 0 = 0 · b + 0 ∀b ∈ Z
ax + by = c
• a ≥ 0: per induzione su a, supponiamo la teso vera per PROPOSIZIONE. L’equazione ax + by = c ha soluzioni intere
ogni 0 < k < a. Se poi 0 ≤ a|b| allora a = b · 0 + a e la sse MCD(a, b) | c.
tesi è vera. Se invece |b| ≤ a si ha 0 ≤ a − |b| < a e per
ipotesi induttiva a − |b| = bq ′ + r′ . Allora, a seconda del Dimostrazione. Se c = au+bv, 8x, y) = (u, v) è una soluzione
intera della equazione. Allora MCD(a, b) | a e MCD(a, b) | b.
segno di b si ha
Ma ciò implica che esso divide ogni combo lineare dei due, e
(
in particolare allora divide c. Viceversa se MCD(a, b) = d | c
a = b(q ′ + 1) + r′
′
′
allora
c = kd, ma possiamo trovare una coppia di Bèzout
a = b(q − 1) + r
tale che d = as + bt: ciò significa che c = aks + bkt. (x, y) =
Dunque la tesi è vera per ogni a ≥ 0.
(ks, kt) è dunque una soluzione intera dell’equazione.
4
• In tal modo al generico passo si ha
Mostriamo ora l’implicazione dell’osservazione fatta su
irriducibili e primi, la cui validità in Z non è banale.
x1
x2
x1 − qx2
TEOREMA. Ogni intero p ∈ Z che sia irriducibile è anche
primo.
y1
y2
y1 − qy2
z1
z2
ove z1 = qz2 + r
z1 − qz2
• L’algoritmo si arresta quando si ha che r = 0. La riga
Dimostrazione. Supponiamo p | ab: allora ab = hp per
immediatamente superiore porge la terna (u, v, d):
qualche h ∈ Z. Supponiamo anche p ∤ a e mostriamo che
p | b. Siccome MCD(a, p) = 1 esiste una coppia di Bèzout s, t
u v d
In tal modo au + bv = d
tale che as+ pt = 1. Moltiplicando ambo i membri per b si ha
* * 0
b = sab + tbp. Siccome p | ab per ipotesi, e banalmente p | p,
allora pdeve dividere anche ogni loro combinazione lineare, e Congruenze Sia m ∈ Z, m > 1. Abbiamo già definito la
in particolare dividere b.
relazione di equivalenza tra interi detta congruenza modulo
TEOREMA. Ogni intero n ≥ 2 è primo oppure si scrive come m.
a ≡ b mod n
⇐⇒ a − b = kn, ∃ k ∈ Z
prodotto di primi. Tale scrittura, inoltre, è unica a meno
dell’ordine.
Si pongono ora alcune domande:
Dimostrazione. (Esistenza) Per induzione su n, 2 è primo.
Supponiamo che ogni 2 < k < n si scriva come prodotto di
primi e studiamo n. Se n è primo, tutto a posto. Se n non
è primo non è irriducibile: si scriverà dunque
e né a
Q n = ab Q
né b sono unità. Per ipotesi induttiva a = j pj e b = k pk .
La tesi è dunque provata.
(Unicità) Induzione sul numero m di fattori irriducibili.
Se m = 1 vuol dire che m è primo. Supponiamo che abbia
un’altra fattorizzazione p = q1k1 . . . qrkr . Esiste almeno qi > 1
dato che p > 1: dunque p divide (almeno) quel qi : 1 =
q1k1 . . . qiki −1 . . . qrkr , e ciò implica che ogni esponente rimasto
sia nullo, e in particolare che p = qi . La base dell’induzione
è provata. Supponiamo ora la tesi vera per ogni 1 < k < m e
studiamo m fattori. Sia n = ph1 1 . . . phs s con h1 + · · ·+ hs = m.
Supponiamo che esso abbia un’altra fattorizzazione q1k1 . . . qtkt
e che almeno pp , qj > 1. p1 divide il secondo membro, quindi
si ha
p1h1 −1 . . . pshs = q1k1 . . . qtkt
• In quante classi è partizionato Z/ ≡m ? Esse sono in
numero finito, e sono esattamente m:
per ipotesi induttiva la fattorizzazione di quella cosa è unica
a meno dell’ordine, e del prodotto per p1 , che è primo.
3. Se a ≡ b mod m e d | m allora a ≡ b mod d.
[0], [1], . . . , [m − 1]
• Quale può essere una interpretazione “geometrica” della
congruenza? Esso è l’insieme dei possibili resti che la
divisione euclidea tra un numero a ed il fissato m può
porgere.
• Quali proprietà algebriche rispetta la relazione di
congruenza modulo m? Essenzialmente queste:
1. Se a ≡ b mod m e c ≡ d mod m allora a + c ≡
b + d mod m e ac ≡ bd mod m
2. Se ac ≡ bc mod m e MCD(c, m) = 1 allora a ≡ b
mod m. Più in generale se MCD(c, m) = d a ≡ b
mod m
d.
L’insieme delle classi di equivalenza modulo m si denota in
Divisone Euclidea La trattazione che segue è spiccata- vari modi, Z/mZ, Zm , Z/ ≡m . La proprietà (1) permette
di affermare che in Z/mZ sono ben definite le operazioni di
mente algoritmica.
Il nostro problema è trovare una terna (u, v, d) di numeri somma e prodotto tra classi.
interi tale che dati a, b ∈ Z si abbia
La domanda successiva è: dato m ∈ Z, quanti sono gli
elementi
invertibili di Z/mZ? Se m = 2 Z/2Z è un campo,
• au + bv = d
mentre se m = 6 Z/6Z non è più nemmeno un dominio di
• MCD(a, b) = d
integrità. Vorremmo una regola generale:
Già sappiamo che questo problema ha soluzione per ogni scelta di a, b ∈ Z, ma non abbiamo ancora dato una
dimostrazione costruttiva. Di converso, ora forniamo un
algoritmo senza dimostrazione.
[a]è invertibile
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
• Dati a, b ∈ Z si costruisce la tabella
1 0 a
0 1 b
La normale divisione algebrica tra a e bdarà un
quoziente q e un resto r. Riportiamo sotto le due prime
colonne le quantità 1 − q · 0 e 0 − q · 1 ottenendo
1 0 a
0 1 b
1 q r
∃[b] tale che [b] = [1]
ab − 1 = mk ⇐⇒ ab − mk = 1
MCD(a, m) = 1
Cioè sse a ed m sono coprimi. Risulta dunque chiaro che
(Z/mZ)∗ ≃ Z/φ(m)Z
cioè che il gruppo degli invertibili di Z/mZ è l’anello delle
classi resto modulo φ(m), con φ(m) elementi.
Ciò ha un corollario:
COROLLARIO. Se p è primo, (Z/pZ)∗ è un campo.
5
Alcuni teoremi sui primi
Sistemi di Congruenze Lo strumento principale per
studiare sistemi di congruenze lineari del tipo
TEOREMA (Euclide). Esistono infiniti numeri primi.


a x ≡ b1 mod n1

 1
Dimostrazione. La prova è per assurdo e risaleQa Euclide.
..
N
(I)
Se ve ne fossero solo N allora il numero P := k=1 pj + 1
.


a x ≡ b mod n
sarebbe incongruo a qualunque numero a lui minore, cioè
s
2
2
sarebbe primo. Assurdo.
è il Teorema Cinese dei resti. Prima di poterlo enunciare
TEOREMA. Se p ∈ Z è primo allora (a + y)p ≡ xp + y p
serve un altro risultato. Supponiamo di avere il sistema (I) e
mod p
di sapere che ogni sua congruenza è singolarmente risolubile:
Dimostrazione. Discende dall’uso del binomio di Newton e cioè MCD(ak , nk ) | bk per ogni k = 1, . . . s, e inoltre che
dal fatto che kp ≡ 0 mod k per ogni k 6= 0, p.
MCD(ni , nj ) = 1se i 6= j. A queste condizioni (I) si può
ricondurre al sistema

TEOREMA (Li’l Fermat). Se p ∈ Zè primo e a ∈ Z allora

x ≡ c1 mod r1

ap ≡ a mod p

..
′
(I )
.
Dimostrazione. Per induzione su a.


x ≡ c mod r
s
Congruenze Lineari Siano a, b ∈ Z.
2
Risolvere la
In che modo ciò è possibile? Sia dk = MCD(ak , nk ),
dividiamo ciascuna congruenza per il suo dk ottenendo
⋆
ax ≡ b mod n

′
′

significa trovare tutti gli z ∈ Ztali che az ≡ b mod n.

a1 x ≡ b1 mod r1
.
Abbiamo tre problemi:
..


a′ x ≡ b′ mod r
• Quando esistono soluzioni?
2
s
s
• Come trovare una soluzione?
Dal momento che MCD(a′k , rk ) = 1 ogni congruenza ha una
• Nota una soluzione, come trovarle tutte?
unica soluzione. Si ottiene allora proprio il sistema (I ′ ).
Abbiamo anche (per fortuna) modo di rispondere a tutte e
TEOREMA (Cinese dei Resti). Siano r1 , . . . rs ∈ Z con
tre le domande:
MCD(ri , rj ) = 1se i 6= j. Il sistema di congruenze (I ′ ) ha
• Se z ∈ Z è una soluzione di ⋆ allora az = ny + b cioè una unica soluzione mod r1 . . . rs .
az +hn = b, e dunque vi sono soluzioni sse MCD(a, n) =
Dimostrazione. Adottiamo questa notazione: R = r1 . . . rs ,
d, d | b.
Rk = R/rk . Si ha allora che MCD(Rk , rk ) = 1 per ogni k
• Supponendo che MCD(a, n) | b, d | b, allora possiamo e la congruenza Rk x ≡ ck mod rk ha sempre una soluzione
trovare u, v ∈ Z tali che au + nv = d. Moltiplicando x̃k . Ora, Rk x ≡ 0 mod ri se i 6= k. La soluzione x̃)R1 x̃1 +
ambo i membri per b/d si ha
. . . Rs x̃s dunque è una soluzione del sistema (si ha x̃ ≡ cj
mod rj ∀ j = 1, . . . , s). Mostriamo che è unica: ỹ è soluzione
b
b
b
au + nv = d
⇐⇒ ỹ ≡ cj mod rj per ogni j ⇐⇒ ỹ ≡ x̃ mod rj per ogni
d
d
d
j. Ciò accade sse rj | ỹ − x̃ per ogni j, cioè sse R = r1 . . . rs |
e dunque z = ub/d è una soluzione particolare di ⋆.
ỹ − x̃: ỹ ≡ x̃ mod r1 . . . rs
congruenza
• Data una soluzione z0 le altre soluzioni sono gli z tali
che az0 ≡ b ≡ az, cioè a(z0 − z) ≡ 0 mod n. Detto
d = MCD(a, n) si ha che se n | a(z0 − z) deve anche
essere nd | ad (z0 − z). Ma per definizione di MCD(a, n),
a
n
d e d sono interi coprimi. Dunque la condizione iniziale
si traduce in nd | z0 − z. Si ha cioè z0 − z = h nd ⇐⇒
z = z0 + h nd .
Osservazione. Conseguenza pressoché diretta di questo è
il risultato che segue: partiamo da una caratterizzazione
generale.
Siano A,B anelli con unità. Su A × Bsi possono definire
somme e prodotto:
• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
• (a,b)(c,d)=(ac,bd)
Riassumendo quanto detto: dati a, b, n ∈ Z la congruenza
ax ≡ b mod n ha soluzione sse MCD(a, n) | b. Una soluzione
si può trovare con l’algoritmo di Euclide, mediante la terna
(u, v, d) tale che au + bv = d. La soluzione particolare è
z0 = u db . Tutte le altre soluzioni formano l’insieme z0 +
Z nd , cioè sono z0 + h nd , al variare di h ∈ Z. Le soluzioni
della congruenza sono un’altra classe di congruenza modulo
n
d , quella formata dal rappresentante z0 . Le soluzioni in Zn
sono dunque in numero di d = MCD(a, n) e si trovano come
z0 + h nd , h = 0, . . . , d − 1.
Con tali operazioni A × B è ancora anello con unità (1A , 1B ).
La funzione f : A → B è inoltre isomorfismo di anelli se ne
preserva le operazioni: è facile verificare che se f è tale, manda 1A in 1B e elementi invertibili in elementi invertibili (in
particolare l’immagine dell’inverso è l’inverso dell’immagine).
PROPOSIZIONE. Siano r, s ∈ Z con MCD(r, s) = 1.
Z/rZ, Z/sZ, Z/rZ × Z/sZ sono tutti anelli con unità (l’ultimo dotato delle operazioni di somma/prodotto definite
6
sul prodotto cartesiano).
La funzione η : Z/rsZ →
Z/rZtimesZ/sZ che manda [x]rs in ([x]r , [x]s ) è isomorfismo
di anelli.
[45] non è una classe invertibile di Z/105Z. Un b tale
che [45][b] = [0] è, ad esempio, [7], dato che
45
105
[105] = [45]
MCD(45, 105)
MCD(45, 105)
= [45][7] = [0]
Dimostrazione. L’iniettività e la suriettività di η discendono
da quanto già sappiamo:
• Dato [x]rs = [y]rs , si ha rs | y −x ⇐⇒ r | y −x, s | y −x
[44] è invece invertibile perché coprimo con 105. Si ha
• Dato ([a]r , [b]s ) ∈ Z/rZ × Z/sZ esiste sempre
(unico) [x]rs tale che η([x]rs ) = ([a]r , [b]s ), cioè
(
x ≡ a mod r
(grazie al Teorema Cinese).
x ≡ b mod s
1
0
1
−2
3
−5
13
Funzione di Eulero — Gruppo (Z/nZ)∗ Definiamo
la funzione
φ: N → N
n 7−→ numero degli interi positivi coprimi con n
• Risolvere la congruenza
Osserviamo alcune cose
128x ≡ −18 mod 102
• Sia p ∈ N primo. φ(p) = p − 1.
h
h
Anzitutto MCD(102, 128) = 2 divide −18, dunque
la congruenza ha due soluzioni modulo 102. Si ha
poi 4 · 128 + (−5) · 102 = 2, cioè (−36) · 128 + 10 ·
102 = −18. Dunque [−36] è una soluzione della congruenza (lavoriamo solo con numeri positivi per scelta
di notazione, quindi sostituiamo [−36] = [66], ovviamente è la stessa cosa). L’altra soluzione si trova come
102
66 + MCD(102,128)
= [15]
h−1
• Sia p ∈ N primo, h ∈ N. Allora φ(p ) = p − p
dato
che i numeri minori di ph e con esso coprimi sono tutti
e soli i multipli di p minori di ph .
• Data la definizione di elemento invertibile di Z/nZ Si ha
che
#(Z/nZ)∗ = φ(n)
• Risolvere la congruenza
COROLLARIO. Se m ∈ N è primo, allora (Z/nZ)∗ è un
campo.
15x ≡ 6 mod 186
Noto anche che Z/rsZ ≃ Z/rZ × Z/sZ, si ricava un’altra
proprietà fondamentale della funzione φ(·). Gli elementi invertibili del primo anello sono in numero di φ(r), quelli del
secondo di φ(s), quelli del prodotto cartesiano in numero di
φ(rs). Ma allora sussiste la relazione
MCD(15, 6) | 6. La congruenza ha tre soluzioni incongrue modulo 186. Si ha (−2) · 186 + 25 · 15 = 3,
(−4) · 186 + 50 · 15 = 6, dunque z0 = 50. Le altre soluzioni si ottengono valutando mod 186 l’insieme {50 + 62h | h ∈ Z}. Otteniamo allora le classi
[50], [50 + 62] = [112], [50 + 62 · 2] = [174].
se MCD(r, s) = 1
• Risolvere il sistema di congruenze
(
12x ≡ 33 mod 105
15x ≡ 2 mod 52
Osservazione. In tal modo si può risalire a φ(n) nota
solamente la sua fattorizzazione in primi:
φ(653822) = φ(2 · 32 · 41879) = φ(2)φ(32 )φ(41879) = 251268
Anzitutto ogni congruenza presa da sola ammette
soluzione. Il sistema dato è dunque equivalente a
(
4x ≡ 11 mod 35
⋆
15x ≡ 2 mod 52
DEFINIZIONE (Divisore dello zero). In un anello commuta-
tivo (A, ·), a ∈ A si dice divisore dello zero se esiste b ∈ A non
nullo tale che ab = 0. Le condizioni di elemento invertibile
e di divisore dello zero sono mutuamente esclusive. Elementi
nilpotenti (tali cioè che an = 0 per qualche n) sono divisori
dello zero.
Risolvendo ⋆ si ottiene l’insieme delle soluzioni {29 +
35h | h ∈ Z}. Tra queste soluzioni, quali sono adatte anche alla seconda congruenza? 15(29 + 35h) ≡ 2
mod 52, 15 · 35h ≡ 2 − 15 · 29 mod 52, 5h ≡ 35
mod 52 h ≡ 7 mod 52. Si tratta cioè dell’insieme
delle soluzioni {7 + 52z | z ∈ Z}. A questo punto
29 + 35(7 + 52z) = 274 + 1820z, cioè il sistema di congruenze dato ha per unica soluzione in Z/1820Z la classe
[274].
Facciamo alcuni esempi:
• Sia Z/105Z l’anello delle classi di resto modulo 105. Determinare se [44], [45] sono elementi invertibili oppure
divisori dello zero.
Anzitutto 105 = 3·5·7 e 44 = 11·22, 45 = 32 ·5. Dunque
2
105
44
17
10
7
3
1
Dunque [44]−1 = [74].
2
φ(rs) = φ(r)φ(s)
0
1
−2
5
−7
12
31
Si pone φ(1) := 1
7
TEOREMA (Ruffini). Sia f ∈ K[x]. f (α) = 0 ⇐⇒ (x − α) |
Un esercizio teorico che conclude la sezione.
Fissata [a] ∈ Z/nZ, sia µ[a] : Z/nZ → Z/nZ l’applicazione che manda [x] in [a][x]. Per quali classi µ[a] è
iniettiva/suriettiva?
Mostriamo che [a] invertibile ⇐⇒ µ[a] è suriettiva. Se µ[a]
è suriettiva esiste [z] tale che µ[a] ([z]) = [1] e dunque [a][z] =
1. Viceversa se [a]è invertibile esiste [z] tale che [a][z] = 1.
Dato [y ∈ Z/nZ si ha che esiste [u] tale che µ[a] ([u]) = [y],tale
[u] è proprio [z][y]: µ[a] ([zy]) = [a][z][y] = [1][y] = [y]
f.
Dimostrazione. Se x − α | f allora f = (x − α) · q. Ma
να (f ) = 0να (q) = 0 indipendentemente dalla natura di q.
Viceversa se 0 = f (α) = (α − α) · q + r allora banalmente
r = 0.
DEFINIZIONE (Radice). α ∈ K si dice radice di f ∈ K[x] se
esiste m ∈ N tale che (x − α)m | f e (x − α)m−1 6| f . m si
dice molteplicità di α come radice di f .
POLINOMI
PROPOSIZIONE. Il numero delle radici dif ∈ K[x] è al
DEFINIZIONE (Campo). Un anello moltiplicativo con unità
massimo r = deg f , se contiamo ogni radice αj con la sua
(A, ·) in cui ogni elemento non nullo ammette un inverso
molteplicità mj .
prende il nome di campo. Di solito si denota con la lettera
K.
Dimostrazione. Induzione su deg f .
Osservazione. Campi sono domini di integrità, cioè sono privi
Facciamo qualche esempio
di divisori dello zero.
nata x è una espressione formale del tipo (a0 , . . . an , . . . ) ove
ai ∈ K per ogni i ed esiste un indice N tale che ak = 0 per
ogni k ≥ N .
• Fattorizzare x4 + 3 in Z7 [x].
3 ≡ −4 mod 7, dunque x4 +3 ≡ x4 −4 = (x2 +2)(x2 −2).
Ora, x2 + 2 è irriducibile in Z7 [x]. Invece, dato che
32 ≡ 2 ≡ 42 mod 7, x2 − 2 si fattorizza in (x− 3)(x− 4).
Risultato: x4 + 3 = (x − 3)(x − 4)(x2 + 2).
L’insieme dei polinomi nella indeterminata x a coefficienti
in un campo K si denota con K[x] e ha struttura di anello
moltiplicativo con unità quando vi abbiamo definito somma
e prodotto.
• Mostrare che f = x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 3 e g = x + 1
sono coprimi in Z/7Z[x] e trovare a, b ∈ Z7 [x] tali che
af + bg = 1.
Si usa l’algoritmo di Euclide:
DEFINIZIONE (Polinomio). Un polinomio nella indetermi-
• (a0 , . . . an , . . . ) + (b0 , . . . , bm , . . . ) = (a0 + b0 , . . . , an +
b n , . . . am + b m , . . . )
f
1
0
0
1
g
1 −(x3 − 3x2 + 5x) 3
• (a0 , . P
. . an , . . . )(b0 , . . . , bm , . . . ) = (c0 , . . . , cm+n , . . . ) ove
ck = i+j?k ai bj .
Basta ora invertire [3] in Z7 (si può!) per trovare gli a, b
richiesti. 3·5 = 1 mod 7 dunque 5f −5(x3 −3x2 −5x)g =
1: a = 5, b = 2x3 + x2 + 4x.
Il grado de prodotto di due polinomi è uguale alla somma
dei gradi dei fattori, mentre il grado della somma è sempre
minore uguale al massimo tra i due gradi.
DEFINIZIONE. Possiamo
• Un altro esempio sulla fattorizzazione: se f = x5 +2x4 +
5x3 − 3x e g = x3 + 5x − 10
definire una applicazione di
valutazione
1
0
1
1 (x2 + 5)
− 17
να : K[x] → K
che manda f = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ K[x] in f (α) =
a0 + ai α + · · · + an αn in K.
1
170
Osservazione. να è omomorfismo di anelli.
2
(x + 5)
α
0
1
−(x2 + 2x)
1 (x4 + 2x3 + 5x2 + 10x)
17
1
4
3
2
−
(x + 2x + 5x + 10x)
170
In tal modo αf + βg = 1.
In modo simile a quanto accadeva in Z si può definire in
K[x] un algoritmo di divisione euclidea e una identica teoria
dei MCD tra polinomi.
Sia K campo, f, g ∈ K[x], g 6= 0. Allora esistono unici
q, r ∈ K[x] tali che f = qg+r con la condizione deg r < deg g.
La dimostrazione procede in modo identico a quanto fatto in
Z, con l’osservazione che l’ipotesi di K campo non può essere
rimossa.
Con tali proprietà K[x] è un dominio a fattorizzazione unica, cioè ogni suo elemento non nullo si scrive in modo unico a
meno dell’ordine e di associati come prodotto di irriducibili.
La dimostrazione anche in tal caso è simile a quella passata,
per induzione su deg f .
f
g
17x
−10⋆
1MCD(f,g)
β
Il risultato ⋆ ci permette ora di generalizzare: nel caso di
fattorizzazione unica in Z due interi si dicevano coprimi se
MCD(a, b) = ±1. Ora possiamo adottare una definizione
più generale, ricordando che proprio {±1} era l’insieme degli
invertibili di Z. In K[x] infatti gli elementi invertibili sono
tutti e soli i polinomi di grado 0, ossia le costanti non nulle
α ∈ K. In tal senso dunque f, g ∈ K[x] si dicono coprimi se
esiste una terna (u, v, α) tale che
• u, v ∈ K[x]
• α ∈ K \ {0}
• uf + vg = α
8
COROLLARIO. Tra i polinomi irriducibili di K[x] vi sono i Osservazione. Il criterio appena dato non è utile per affermare
polinomi di grado 1. Per essere irriducibile e di grado > 1 un che un polinomio in Q[x] è riducibile. Casomai serve perché
polinomio deve essere privo di radici in K. Ad esempio x2 + 2 l’implicazione è la seguente:
è irriducibile in R[x], Z7 [x]3 , non in C[x].
f irriducibile in Z[x] =⇒ f irriducibile in Q[x]
• In C[x] i polinomi irriducibili sono tutti e soli quelli di
grado 1.
Esistono infatti polinomi irriducibili su Q che sono riducibili
su Zp : un esempio può essere x4 + 5, che non avendo radici
• In R[x] i polinomi irriducibili sono tutti e soli quelli di
reali è irriducibile su Q (campo contenuto propriamente in R).
grado 1 e quelli di grado 2 senza radici reali.
In Z7 però (x4 + 5) = (x2 + 3)(x2 + 4) = (x+ 5)(x+ 2)(x2 − 3).
• Non possiamo trovare un criterio generale per individuare i polinomi irriducibili di Q[x] e di Zp [x]. E’ però TEOREMA (Criterio di Eisenstein). Sia f (x) = a0 + a1 x +
sempre possibile ricondurre lo studio di f ∈ Q[x] al- · · · + an xn ∈ Z[x]. Supponiamo esista un primo p tale che
lo studio di un certo f ∗ ∈ Z[x], una volta che si sia
• p 6| an ;
dato anche a Z[x] (anello dei polinomi a coefficienti in• p | ai per ogni i ∈ {0, . . . , n − 1};
teri) struttura di anello moltiplicativo. Vediamo come,
e soprattutto cosa valga ancora e cosa no.
• p2 6| a0
DEFINIZIONE (Polinomio Primitivo). f ∈ Z[x] si dice prim- Allora f è irriducibile su Q.
itivo se MCD(a0 , . . . , an ) = 1. f ∈ Z[x] si dice monico se
an = 1. Ovviamente ogni monico è primitivo.
Dimostrazione. Basta provare l’irriducibilità su Z. Supponiamo per assurdo f = gh, g, h ∈ Z[x]. g(x) = b0 + b1 x +
PROPOSIZIONE. Sia f ∈ Q[x], f 6= 0. Esistono allora α ∈
· · · + br xr e h(x) = c0 + c1 x + · · · + cs xs . Ora, a0 = b0 c0
Q, f ∗ ∈ Z[x] unici a meno di segno, tali che f = αf ∗ .
e dunque p | b0 o p | c0 (non entrambi, data l’ipotesi 3).
wlog supponiamo p | b0 , p 6| c0 . Se i < n allora p | ai ma
Dimostrazione.
a
i = bi c0 + · · · + b0 ci (i è l’indice più basso tale che p 6| bi ).
a0
an n
f (x) =
+ ···+
x
p | bj per ogni j = 0, . . . i − 1 e deve dividere anche bj c0 . Ma
b0
bn
non può dividere nessuno dei due per le ipotesi fatte.
Sia d = mcm (b0 , . . . , bn ), m = MCD(a0 , . . . , an ).
Osservazione. La condizione è solo sufficiente, non necessaria
m ∗
n
df (x) = m(c0 + c1 x + · · · + cn x ⇐⇒ f (x) = f (x) (cioè non tutti gli irriducibili soddisfano a quelle ipotesi).
d
PROPOSIZIONE. Se p è primo il polinomio
LEMMA (Gauss). Il prodotto di due polinomi primitivi è
primitivo.
p−1
X
p−1
p−2
P(x) = x
+x
+ ···+ x + 1 =
xk
m
Dimostrazione. Per assurdo f = a0 + · · · + am x , g =
k=0
b0 + · · · + bn xn e f g non primitivo. Allora esiste un primo p che divide tutti i coefficienti di f g. Siano dunque ah , bk è irriducibile su Q.
i coefficienti di f, g con indici più bassi non divisi da p. Allora
Dimostrazione. Serve un lemma
ch+k = ah bk +(ah−1 bk+1 +· · ·+a0 bh+k )+(ah+1 bk−1 +· · ·+ah+k b0 )
LEMMA. L’applicazione Tp : K[x] → K[x] che manda f (x)
in
f (p(x)) con p(x) ∈ K[x] fissato è isomorfismo d’anelli. In
Ora, p | ch+k , divide anche le parentesi, e dunque deve
particolare
se p è lineare (cioè irriducibile su ogni K) Tp è
dividere ah oppure bk Ma ciò è assurdo
una biiezione, e f e il suo trasformato hanno lo stesso grado.
Quanto detto porge allora il risultato fondamentale:
Pp−1
p
−1
adoperiamo la
Forti di ciò, sappiamo che k=0 xk = xx−1
TEOREMA (Gauss). Sia f ∈ Z[x]. Se f si decompone in sostituzione P 7→ Tx+1 (P). Si ha
f = gh con g, h ∈ Q[x] allora i decompone anche nel prodotto
(x + 1)p − 1
di due polinomi a coefficienti interi, e tali polinomi g ∗ , h∗
(x + 1)p−1 + · · · + (x + 1) + 1 =
x+1−1
hanno gli stessi gradi di g, h.
P
p
d1 ∗
d2 ∗
p p−k
g (x) e h(x) = m
h (x), g ∗ , h∗
Dimostrazione. g(x) = m
p p−2
p p−3
k=0 k x
p−1
1
2
=x
+
x
+
x
+ ···+ p
primitivi. Posto d1 d2 := d, m1 m2 := m si ha mf (x) =
x
1
2
∗
∗
∗
df (x). Deve essere m = d e dunque f (x) = g (x)h (x). Se
p
f (x) ∈ Z[x] non è primitivo, ponendo f = df ∗ sarà df ∗ = gh, A questo punto p | a0 = p, p 6| an = 1, p | j per ogni
da cui f ∗ = d−1 gh. Siccome f ∗ è primitivo si fattorizza su j = 1, . . . , n − 1, e dunque si può applicare Eisenstein.
∗
∗
Z[x] e dunque f = ḡ h̄ con ḡ, h̄ ∈ Z[x]. Ma allora f = df =
COROLLARIO. Sia p ∈ N un primo.
Il polinomio
dḡh̄ è una fattorizzazione di f su Z[x].
Pp−1
k k
(−1)
x
è
irriducibile
su
Q.
k=0
3
Per vederlo si osservi che non esiste nessun a tale che il suo
quadrato sia congruo a −2 modulo 7.
Dimostrazione. Esercizio. (E’ identica alla precedente).
9
PROPOSIZIONE. Sia f ∈ Z[x], f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn .
Se r/s è una radice razionale di f , ed MCD(r, s) = 1, allora
r | a0 e s | an .
Dimostrazione.
0=f
ω2
b
r s
r
rn
= a0 + a1 + · · · + an n =
s
s
ω1
b
= sn a0 + a1 rsn−1 + · · · + an rn = ⋆
⋆ = s(sn−1 a0 + · · · + an−1 r) + an rn
(1)
⋆ = r(an rn−1 + · · · + a1 sn−1 ) + sn a0
b
ω3
b
(2)
Se in (1) dividiamo per s e in (2) dividiamo per r, il risultato
deve ancora essere un numero intero. Dunque, siccome per
ipotesi r, s sono coprimi si ha la tesi.
b
b
ω5
ω4
Una serie di esercizi
• Dire se f (x)
= x4 + 2x2 − 1 è riducibile in
C[x], R[x], Q[x], Z7 [x].
E’ riducibile su C e su R, dato che possiede almeno una radice
reale e che C è algebricamente chiuso. Per vedere se lo è su
Q supponiamo abbia una radice razionale. Essa allora deve
essere tale da soddisfare l’ultima proposizione dimostrata, e
dunque una eventuale radice razionale è ±1. Ma nessuna
delle due è radice del polinomio dato, dunque esso non ha
fattori lineari. Potrebbe però spezzarsi nel prodotto di due
polinomi di secondo grado: eguagliando i coefficienti in (x2 +
axx + b)(x2 + cx + d) = x4 + 2x2 − 1 si ottiene un sistema che
non ha soluzioni intere. E’ dunque irriducibile. Vediamo in
Z7 : il test si può fare a mano, e si nota che f (3̄) = f (4̄) = 0̄.
Si hanno allora come unici fattori lineari di f e f (x) = (x −
3)(x − 4)q(x). Per trovare q(x) ed eventualmente ridurlo si
opera la consueta divisione.
x4 + 2x2 − 1
...
...
x2 − 2
x2 + 4
f (x) = (x2 +4)(x−3)(x−4)
0
q(x) è irriducibile, dato che non esiste a ∈ Z tale che a2 ≡
−4 ≡ 3 mod 7.
Resta da fattorizzare f su R e su C. Ponendo t = x2 si
2
deve ridurre
p il √polinomio t +
p 2t −√1, che ha come radici
t1,2 = ± 1 + 2 e t3,4 = ± 1 − 2. Solo due di queste
sono reali.
q
q
√
√
√
f (x)R = x + 1 + 2
x − 1 + 2 (x2 − 1 + 2)
f (x)C = (x − t1 )(x − t2 )(x − t3 )(x − t4 )
5
4
3
2
• Dire se f (x) = 24x +6x −9x +6x +39x−21 è fattorizzabile
su C, R, Z.
Lo è in tutti e tre gli anelli (in R potrebbe essere meno banale
vederlo).
• Decomporre f (x) = x5 + 1 come prodotto di irriducibili in
C[x], R[x], Q[x], Z[x], Z5 [x], Z19 [x].
Cominciamo con C[x]: se z è una radice di f allora z 5 =
−1 = cos π + i sin π. Dunque z è uno dei seguenti numeri
complessi:
ωk = cos
(2k + 1)π
(2k + 1)π
+ i sin
5
5
f (x) =
5
Y
j=1
(x − ωj )
10
Osserviamo che ω3 = −1 è la sola radice reale. Inoltre viene
alla luce una proprietà dei polinomi ciclotomici (cioè quelli
della forma xn ±1), quella per cui ωk = ωn−k . Nota quest’ultima proprietà abbiamo già trovato la fattorizzazione di f in
R[x]:
π
3π
f (x) = (x + 1) x2 − 2 cos x + 1
x2 − 2 cos
+1
5
5
In Z[x] (e Q[x]) x5 + 1 = (x + 1)(x4 − x3 + x2 − x + 1).
Studiamo
allora (x4 − x3 + x2 − x + 1: esso è della forma
Pp−1
k k
k=0 (−1) x ed è dunque irriducibile su Q, dunque in tale
campo abbiamo finito. Il polinomio è per di più primitivo,
e dunque irriducibile anche su Z. Rimangono i due campi
finiti: in Z5 [x] x5 + 1 = (x + 1)5 , e in Z19 [x] dobbiamo
mostrare che g(x) = x4 − x3 + x2 − x + 1 non ha radici
intere modulo 19. Se α fosse una di esse infatti dovrebbe
essere α5 ≡ −1, e dunque α1 0 ≡ 1. Ma per LF T si ha
α19 ≡ α, cioè α18 ≡ 1. Esistono dunque a, b ∈ Z tali che
α18a+10b = αMCD(18,10) = α2 = 1. Ma le uniche radici che
sono tali, ±1, non annullano g. Esso è dunque irriducibile in
Z19 [x].
• Studiare l’irriducibilità di g(x) = 2x4 − 3x − 3 e di f (x) =
x4 + x3 + 6x2 − 4x + 1.
Si può applicare Eisenstein in entrambi i casi: nel secondo si
applica il criterio a Tx+1 (f ).
• Abbiamo detto che l’irriducibilità di un polinomio in Q[x]
può essere ridotta allo studio dell’irriducibilità dello stesso
polinomio pensato come elemento di Zp [x], ove p è un primo
che non divide il termine direttivo (cioè il coefficiente di xn ).
Rimarchiamo che tale condizione, p 6| an è essenziale: quanto
segue chiarirà la questione.
Sia p ∈ Z fissato e νp : Z → Zp la mappa che manda a ∈ Z
nella classe di resto [a] ∈ Zp . E’ una facile verifica il fatto che
νp è un omomorfismo di anelli. Possiamo anche pensare una
mappa ξp : Z[x] → Zp [x] che manda g(x) = a0 + a1 x + · · · +
an xn in [ao ]+[a1 ]x+· · ·+[an ]xn . Ora, ξp è omomorfismo solo
se p 6| an , dato che altrimenti il grado di g(x) può cambiare.
GRUPPI
PROPOSIZIONE. Siano H, K sottogruppi di un gruppo G.
Allora H ∪ K ≤ G se e solo se h ⊆ K o viceversa.
DEFINIZIONE (Gruppo). Un gruppo è un insieme G su cui
è definita una operazione binaria ∗ che soddisfa i seguenti Dimostrazione. L’implicazione ⇐ è banale. Per quanto
riguarda l’altra si assuma hnot ⊆ K e mostriamo che se H∪K
assiomi:
è sottogruppo allora devono essere uno contenuto nell’altro.
• ASSOCIATIVITA’ : a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
Sia h ∈ H \ K e k ∈ K. Mostriamo che anche k ∈ H. Sic• ESISTENZA di un NEUTRO ι ∈ G tale che a ∗ ι = come H ∪ K è sottogruppo, kh ∈ H ∪ K. I casi allora sono
2:
ι ∗ a = a.
• hk ∈ H e allora h−1 hk = k ∈ H
• ESISTENZA DELL’INVERSO: Ogni a ∈ G possiede un
inverso a−1 tale che a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = ι.
Osservazione. L’elemento neutro è unico per ogni g ∈ G. Ogni
• hk ∈ Ke allora hkk −1 = h ∈ K
Ma la seconda possibilità è proibita per ipotesi.
g ∈ G ha uno e un solo inverso.
PROPOSIZIONE. Sia Ω 6= ∅ e (Pi )i∈I = P una partizione di
Dimostrazione. Per quanto riguarda la prima asserzione, Ω. Definiamo
supponiamo κ essere un altro elemento neutro: allora κ = κ ∗
SP = {σ ∈ S(Ω) | σ(Pi ) ∈ P ∀i ∈ I}
ι = ι. Per la seconda asserzione, supponiamo ⊣ e a entrambi
inversi di a ∈ G. Allora ⊣ = ⊣ ∗ ι = ⊣ ∗ a ∗ a = ι ∗ a = a. Esso è sottogruppo di S(Ω).
DEFINIZIONE (Gruppo definito su un anello). Sia R un
anello con unità. L’insieme dei suoi elementi invertibili
Dimostrazione.
• idΩ (Pi ) = Pi per ogni i ∈ I.
U(R) := {r ∈ R | r è invertibile }
• σ, τ ∈ S implica che σ(Pi ) = Pj e τ (Pj ) = Pr . Ora,
τ (σ(Pi )) = Pr .
è un gruppo con l’operazione di prodotto in R.
• σ ∈ SP implica che σ(Pi ) = Pj , e dunque σ −1 (Pj ) = Pi
per ogni i ∈ I.
Osservazione. Se R = Zn allora U(Zn ) = {[a] | MCD(a, n) =
1}e #U(Zn ) = φ(n).
Alcuni esempi di sottogruppi:
Riprendiamo anche una definizione data all’inizio:
• R+ è sottogruppo di (R× , ·).
DEFINIZIONE (Gruppo simmetrico). Sia X 6= ∅ un insieme.L’insieme delle funzione biiettive d X in sè prende
il nome di gruppo simmetrico su X e si indica con S(X).
Se #X = n + ∞ allora S(X) = Sn ed è il gruppo delle
permutazioni di n elementi. #Sn = n!.
• {1, −1} è sottogruppo di (Q× , ·).
• Se A ⊆ X, GA := {σ ∈ S(X) | σ(A) = A} è sottogruppo
di S(X).
Notazioni Sia (G, ∗) un gruppo e g ∈ G. Per denotare
la successiva composizione di g con sé stesso possiamo usare
tale che
due notazioni:

• idG ∈ H

se n > 0
g + g + · · · + g
ADDITIVA:
ng
=
0
se
n=0
• g, h ∈ H =⇒ gh ∈ H


−g − g − · · · − g se n < 0
• g ∈ H =⇒ g −1 ∈ H


allora H ha la stessa struttura di gruppo di Ge si dice
se n > 0
g · g · · · · · g
sottogruppo di G. SI indica con H ≤ G.
MOLTIPLICATIVA:
ng =
1
se n = 0

 −1 −1
−1
g
·
g
·
·
·
·
·
g
se
n<0
Notiamo come si comporta la struttura di sottogruppo
per operazioni insiemistiche. Vedremo che essa è stabile per DEFINIZIONE (Sottogruppo ’). Sia g ∈ G, gruppo in
intersezioni di sottogruppi, ma non cosı̀ per unioni.
notazione moltiplicativa.
DEFINIZIONE (Sottogruppo). Sia Gun gruppo. Se H ⊆ G è
PROPOSIZIONE. SeT(Gi )i∈I è una famiglia di sottogruppi di
un gruppo G allora
G.
i∈I
hgi := {g n | n ∈ Z}
Gi = H è anch’esso sottogruppo di
Dimostrazione. Vediamo subito che idG ∈ H dato che idG ∈
Gi per ogni i ∈ I, e che se g, h ∈ H allora g, h ∈ Gi implica
che gh ∈ Gi per ogni i ∈ I. Da ultimo, si ha che g ∈ G
implica g −1 ∈ Gi (nello stesso!), e ciò valendo per ogni i ∈ I
si evince che H ≤ G.
è sottogruppo di G, ed è il più piccolo sottogruppo che
contiene g.
DEFINIZIONE (Periodo). Sia (G, ∗) un gruppo. Si definisce
periodo di g il minimo intero m > 0 tale che g m = idG . Se
tale intero non esiste diremo che g è aperiodico o di periodo
infinito.
11
Osservazione. Se G =√(Q, ·), 1 ha periodo 1, −1 ha periodo
semplicemente riordinando la matrice della permutazione e
leggendola dal basso verso l’alto. Nell’esempio precedente,
τ = σ −1 = ( 12 23 31 ). Si verifica a mano che σ ◦ τ = τ ◦ σ = id
PROPOSIZIONE. Sia G un gruppo, g ∈ G. Se g ha periodo (la permutazione che manda 1 ≤ j ≤ n in j).
infinito allora g h = g k implica h = k, e dunque hgi è un
La finitezza di Sn implica che ogni suo elemento abbia
sottogruppo con infiniti elementi. Se invece gha periodo n periodo finito. Il problema di come calcolare il periodo di
allora vale
una permutazione senza conti va affrontato definendo alcune
hgi = {id, g, g 2 , . . . , g n−1 }
cose.
h
k
e dunque hgi ha cardinalità n. Inoltre g = g implica h ≡ k
DEFINIZIONE (Orbita). Sia n = {1, . . . , n}, σ ∈ Sn . Definimod n.
amo la relazione di equivalenza ∼σ : x ∼σ y ⇐⇒ esiste
h
h
k
Dimostrazione. Se g ha periodo infinito g = g implica h ∈ N tale che y = σ (x). In tal modo Sn è partizionato in
g h−k = id, cioè h − k = 0, h = k. Se invece g ha peri- classi di equivalenza che chiamiamo orbite di x ∈ n.
odo n gli elementi = id, g, g 2 , . . . , g n−1 } sono tutti distinti,
O(x) := [x]∼σ = {σ h (x) | h ∈ Z}
per definizione di periodo. Resta da provare che g h ∈ hgi per
ogni h ∈ Z. Dividendo h per n si ha h = nq + r:
Non
è
difficile
notare
che
O(x)
=
2
m−1
{x,
σ(x),
σ
(x),
.
.
.
,
σ
(x)},
ove
m
è
il
periodo
di
σ.
g h = g nq+r = (id)q g r = g r
In buona sostanza il fatto che n/ ∼σ sia un partizione di
ricordando che r è tale che 0 ≤ r ≤ n − 1 si conclude.
n assicura che se y 6∼ x allora O(x) ∩ O(y) = ∅. Se ora
pretendiamo che gli elementi di un’orbita siano ordinati in
modo tale che ogni elemento è il trasformato mediante σ del
PROPOSIZIONE. Sia G un gruppo. Allora l’insieme
precedente otteniamo quello che si dice un ciclo.
Z(G) := {g ∈ G | gh = hg ∀ h ∈ G}
DEFINIZIONE (Ciclo). Un ciclo è una permutazione γ ∈ Sn
è sottogruppo di G.
tale che esiste una k–upla a1 , . . . , ak ∈ n tale che γ(aj ) =
aj+1 per ogni j = 1, . . . , k − 1 e γ(ak ) = a1
Dimostrazione. E’ una facile verifica del fatto che sono
In tal modo, ogni permutazione σ ∈ Sn si può scrivere in
rispettati gli assiomi di gruppo.
modo unico (a meno dell’ordine) come prodotto dei suoi cicli
ESERCIZIO Sia G un gruppo. Definiamo una relazione (che sono un particolare ordinamento degli elementi di una
g ∼ h ⇐⇒ esiste x ∈ G tale che h = x−1 gx. Mostrare che ∼ partizione di n).
è una equivalenza su G, che se G è abeliano G/∼ è il quoziente
PROPOSIZIONE. Ogni permutazione è prodotto dei suoi
banale (cioè G/∼ = G) e che #(G/∼) = 1 ⇐⇒ #G = 1
cicli, che sono disgiunti e che quindi commutano tra loro.
(cioè sse G è il gruppo banale {id}).
Dimostrazione. Che i cicli commutino lo abbiamo già visto.
Dimostrazione. Il tutto è un facile esercizio.
Usiamo questo fatto per vedere che, se γ , . . . , γ sono i cicli
1
k
(cioè le orbite ordinate) di una particolare permutazione, inPERMUTAZIONI Vale la pena concentrare l’atten- dicato con γi il ciclo dell’orbita di un dato elemento x ∈ n,
zione sul primo esempio di gruppo (finito) che abbiamo avuto, si ha
il gruppo delle permutazioni di n elementi. Sintetizziamo i
(γ1 ◦ · · · ◦ γk )(x) = γ1 ◦ · · · ◦ γi (x) = γ1 ◦ · · · ◦ γj (σ(x))
principali risultati:
2. Se G = (C, ·), i =
−1 ha periodo 4.
DEFINIZIONE (Permutazione). Sia n := {1, 2, . . . , n}. Una
permutazione di n elementi è una biiezione σ : n → n.
ove γ1 ◦ · · · ◦ γj è il prodotto di k − 1 cicli disgiunti. A
questo punto l’elemento σ(x) appartiene all’orbita di x, e un
qualunque altro ciclo agisce su O(x) come l’identità. Si ha
allora che
Le permutazioni formano come già detto il gruppo simmetrico Sn (la verifica che gli assiomi di gruppo sono rispettati
(γ1 ◦ · · · ◦ γk )(x) = γ1 ◦ · · · ◦ γj (σ(x)) = σ(x)
è semplice).
Un modo sintetico di rappresentare graficamente l’azione
di una permutazione su n è il seguente: costruiamo la matrice PROPOSIZIONE. Ogni permutazione è prodotto di scambi.
2 × n formata da
Dimostrazione. Il ciclo (1 2 . . . m) si può scrivere come
• Nella prima riga gli n elementi di n ordinati crescenti.
(1 2 . . . m) = (1 m)(1 m − 1)(1 m − 2) . . . (1 2)
• Nella seconda riga (subito sotto l’elemento j–esimo) il
Considerato che ogni permutazione si scrive come prodotto
suo trasformato σ(j).
dei suoi cicli e che la scrittura di sopra ha l’unico effetto di
Con un esempio, σ ∈ S3 che manda 1 in 3, 2 in 1 e 3 in shiftare a destra di un posto tutti i termini, la tesi segue
2 si scrive ( 13 21 32 ) Il gruppo Sn è finito, di cardinalità n! naturalmente.
(provare!) e per n ≥ 3 non è abeliano (le verifiche di ciò sono
facili). La rappresentazione visiva che abbiamo dato di una PROPOSIZIONE. Il periodo di σ è il mcm tra i periodi dei
permutazione permette di calcolare facilmente il suo inverso suoi cicli.
12
Dimostrazione. Sia N il periodo di σ e M
= Dimostrazione. Sia a := 2k + 1. Allora
mcm(m1 , . . . , mk ), ove mj è il periodo del ciclo γj nel
n
prodotto σ = γ1 . . . γk . Si ha id = σ N = γ1N . . . γkN . I cicli
⋆ = (2k + 1)2 − 1 =
sono disgiunti, dunque non può essere che uno qualunque
2n n 2n n X
X
2
2
j
di loro sia l’inverso di un qualunque altro: devono tutti
=
(2k) − 1 =
(2k)j
j
j
essere ridotti all’identità, e dunque mj | N per ogni j,
j=0
j=1
cosa che implica mcm(m1 , . . . , mk ) | N . Di converso,
γ1M . . . γkM = σ M id e dunque N | M . Allora N = M .
Ora si tratta di scrivere in un altro modo la cosa
n
Parità
⋆=
2
X
j=1
TEOREMA. Ogni permutazione si scrive in modo univoco
come prodotto di un numero pari o dispari di trasposizioni, e
tale condizione è disgiuntiva (non è cioè possibile scrivere la
stessa σ come prodotto di un numero pari e dispari di scambi,
anche se è possibile scriverla come prodotto di scambi diversi,
della stessa parità).
1≤i<j≤n
i−j
σ(i) − σ(j)
n
=
2
X
2n (2n − 1) . . . (2n − j + 1)
j!
j=1

= 2n 
Dimostrazione. Consideriamo i, j ∈ n, con i 6= j, e σ ∈ Sn .
Valutiamo la quantità
Y
(2n )!
2j k j =
j!(2n − j)!
2j k j =
n
2
X
(2n − 1) . . . (2n − j + 1)
j!
j=1

= 2n k 
n

2j k j  =
2
X
(2n − 1) . . . (2n − j + 1)
j!
j=1

2j k j−1 
Ora, con un astuto cambio di indice (j − 1 = r) si ha
!
2n
X
(2n − 1) . . . (2n − r) r+1 r
n
evidentemente tale valore può essere solo ±1: dato che σ è
2 k
2 k
=
(r + 1)!
una biiezione i denominatori delle frazioni riproducono in un
r=0
!
altro ordine (e proprio questo è il senso di permutazione), e
2n
X
(2n − 1) . . . (2n − r) r r
n+1
al massimo con alcuni segni cambiati, i valori a numeratore.
=2
k
2 k
∼
(r + 1)!
Si può dunque definire una “parità” ǫ : Sn −−→ {+1, −1} che
r=0
è morfismo suriettivo di gruppi (cioè ǫ(σ ◦ τ ) = ǫ(σ)ǫ(τ )).
Si tratta solo di mostrare che il contenuto delle parentesi è
Faremo seguire la tesi dal seguente
un numero pari:
LEMMA. Se σ ∈ Sn è una trasposizione, allora ǫ(σ) = −1.
n
In tal modo acquista senso la definizione di parità di una
permutazione. Se τ è prodotto di un numero pari di scambi allora ǫ(τ ) = (−1)2k = 1, mentre se è il prodotto di un
numero dispari di scambi allora ǫ(τ ) = −1. Mostriamo il
Lemma: sia σ = (h k) (cioè h = σ(k) e viceversa) scambio ordinato in modo da avere h < k. Siano poi i, j ∈ n e
i−j
studiamo σ(i)−σ(j)
h−k
Se {i, j} = {h, k} si ha k−h
h−k = k−h = −1 Se i, j 6∈ {h, k}
i−j
si ha i−j
= 1. Se poi abbiamo che i 6∈ {h, k} e invece j = h
i−j
oppure j = k, tutti e soli i casi in cui σ(i)−σ(j)
< 0 sono quelli
per cui h < i < k, e sono dunque in numero di k − h − 1.
Analogamente se j 6∈ {h, k} e invece i = h oppure i = k, vi
i−j
sono k − h − 1 casi in cui σ(i)−σ(j)
< 0. In totale dunque si
ha ǫ(σ) = (−1)2(k−h−1)+1 = −1.
COROLLARIO. Un m–ciclo è prodotto di m − 1 scambi,
quindi un ciclo è pari se e solo se m è dispari.
COMPLEMENTI Alcuni problemi nati mentre si studiava per quest’esame (che copio immutati anche nel
linguaggio colloquiale scelto per le conversazioni).
2
X
(2n − 1) . . . (2n − r)
r=0
(r + 1)!
2r k r
Sono portato a credere che la cosa si faccia con la formula di
Stiefel, ma ora ho sonno, quindi invoco la dimostrazione per
narcolessia. . .
Dimostrazione. 4 La tua tesi è dimostrare che ogni numero
n
della forma (2k + 1)2 − 1 è divisibile per 2n+2 . Ovviamente
k naturale, ed n maggiore di 1 altrimenti non varrebbe.
Premessa: sia n = 1. Allora ciò è vero perchè risulta
(2k + 1)2 − 1 = (2k + 1 + 1)(2k + 1 − 1) = (2k + 2)2k =
4k(k + 1), cioè 4 moltiplicato per due interi consecutivi di
cui almeno uno è ovviamente divisibile per due. Dunque
tale espressione è divisibile per 8. Ora sia n > 1. Applichiamo il prodotto notevole della differenza di quadrati:
n
n−1
n−1
(2k + 1)2 − 1=((2k + 1)2
+ 1)((2k + 1)2
− 1)=((2k +
n−1
n−2
n−2
1)2
+ 1)((2k + 1)2
+ 1)((2k + 1)2
− 1) e avanti cosı̀.
Tre sono le cose su cui ragionare ulteriormente, poi la tesi è in
mano nostra. La prima: a parte l’ultimo fattore della nostra
scomposizione, ognuno dei fattori precedenti della scomposizione cosı̀ iterata è dispari in quanto somma di una potenza
di un dispari con 1. La seconda: l’ultimo fattore della nostra scomposizione è il caso base n = 1, che sappiamo essere
n
Sia a un numero dispari. Allora 2n+2 | a2 − 1
4
13
Due to Paoloz
2n −1
1 X 2
1
j
k − k = 2n (2n − 1)(2n − 2)
=
2 j=2
6
2
n
2X
−1 multiplo di 8. La terza: dato n, i fattori che compaiono nella
nostra scomposizione sono esattamente n. Dunque, i primi
n-1 fattori sono divisibili per 2, l’ultimo per 8, cioè 2 alla
terza. Totale: la fattorizzazione è divisibile per 2n+2 .
j=2
n
2X
−1 j
r
n
n
2 −1
1 X
=
k(k − 1) . . . (k − r + 1)
r! j=r
Dimostrazione. Studiamo a2 −
per una nota identità alj=r
P1:
n−1
gebrica si ha xn − 1 = (x − 1) k=0 xk . Dunque nel nostro
Insomma, non è impossibile trovare una qualche formula
caso
chiusa che non usi Analisi superiore. Il problema è diventato
n
n
2X
−1
2X
−1
inutilmente più difficile. :(
n
a2 − 1 = (a − 1)
ak = (a − 1)
(2h + 1)k
k=0
k=0
Mostrare che 42n − 1 è un multiplo di 15 per ogni n ≥ 1
perchè a = 2h + 1 è dispari. Ora
(a − 1)
n
2X
−1
k=0
k
(2h + 1) = (a − 1)
n
2X
−1 X
k k j j
2 h
j
k=0 j=0
Il difficile ora è riordinare la doppia sommatoria in un modo
comprensibile. Proviamoci:
⋆=
n
2X
−1 X
k
!
!
k j j 0 0 0
2 h
2 h
j
0
!
1 0 0
=
2 h
0
!
2 0 0
2 h
0
k=0 j=0
!
1 1 1
2 h
1
!
2 1 1
2 h +
1
+
+
=
!
2 −1 0 0
2 h
0
=
+
...
+
Dimostrazione. 6 Si nota che 16 ≡ 1 mod 15 e dunque
42n (42 )n = 16n ≡ 1n = 1 mod 15. Ogni potenza di 16 è
congrua a 1 modulo 15, dunque 16n − 1 ≡ 0 mod 15.
7
Dimostrazione.
42n − 1 = 16n − 1 = (15 + 1)n − 1 =
Pn
k
k=1 15 , che è multiplo di 15.
!
2 2 2
2 h
2
Se 2h + 1 è un numero primo, allora h = 2n per qualche
n ∈ N.
..
.
!
2n − 1 1 1
2 h + ...
1
!
2n − 1 2n −1 2n −1
2
h
2n − 1
n
Dimostrazione. Mostriamo equivalentemente che se la scomposizione in primi di n contiene numeri dispari (cioè
qualunque primo diverso da 2) allora si riesce a fattorizzare
2n + 1. E’ poi un fatto noto questo Lemma.
LEMMA. Se r ∈ N è dispari allora xr + 1 = (x +
Raccogliamo tutti i termini dello stesso grado in h:
⋆
=
0
0
!
+
+
1
1
!
+
+
2
2
!
+
+
+
!
n
1
2
··· +
0
!
2
+ ··· +
1
!
3
+ ··· +
2
−1
0
!!
1)
20 h0
2n − 1
1
!!
2n − 1
2
!!
2h
2rs + 1 = (2s )r + 1 = (2s + 1)(altra roba)
(2h)
L’unico modo di far restare 2h + 1 primo è avere r = 1 (la
sommatoria in tal modo si riduce al solo termine in 0) e s =
2m .
P n
2 −1
k
1
+ 2h
+
In pratica bisogna studiare j=0
k=1
P n
−
2 −1 k
4h2
+ · · · + (2h)2 1 . Le sommatorie però
k=2
3
purtroppo non sembrano avere tutte una espressione
elementare. Si riducono infatti ad essere
n
n
2X
−1 2X
−1
j
=
1 = 2n
0
j=0
j=0
Sia p > 5 un primo. Mostrare che il numero delle cifre
del periodo nello sviluppo decimale di 1/p è un divisore di
p − 1.
5
Due to Paoloz
Mia
7
Due to Joe
n
2X
−1 j=1
k k
k=0 (−1) x .
2
!
n
2n − 1
(2h)2 −1
2n − 1
k
0
Pr−1
Riordiniamo i primi della scomposizione di n in modo da
isolare la massima potenza di 2, e sia s tale potenza. Per il
Lemma di prima si ha che
..
.
P2n −1
Dimostrazione. 5 Anzitutto 42 n − 1 = (4n + 1)(4n − 1). Se
n è dispari 4n + 1 si scompone in 4 + 1 = 5 per un altro
fattore, e 4n − 1 in 4 − 1 = 3 per un altro fattore. Risultato,
42n − 1 = 15h per un qualche h ∈ N. Se poi n è pari allora
n = 2k, e 42k − 1 è divisibile per 42 − 1 = 15
n
2X
−1
2n (2n + 1)
j
=
j=
1
2
j=0
6
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