Lezione 19 Elementi interi ed estensioni intere.

Lezione 19
Prerequisiti: Moduli finitamente generati. Elementi algebrici.
Elementi interi ed estensioni intere.
Sia A un anello commutativo unitario, sia B un suo sottoanello. Tutti i sottoanelli considerati
conterranno l’unità moltiplicativa di A.
Definizione 19.1 Un elemento α ∈ A si dice intero su B se esiste un polinomio monico
f ( x ) ∈ B[ x ] tale che f (α ) = 0 . L’equazione f ( x ) = 0 si dice equazione di dipendenza intera per
α ∈ A su B. L’anello A si dice intero su B (oppure, un’estensione intera di B) se ogni elemento di A
è intero su B.
Osservazione 19.2
a) Ogni α ∈ B è intero su B; un’equazione di dipendenza intera è x − α = 0 .
b) Sia K un campo, sia F un sottocampo di K. Allora α ∈ K è intero su F se e solo se è algebrico su
F.
Esempio 19.3 I numeri complessi
2 , i sono interi su Z.
Definizione 19.4 Un numero complesso intero su Z si dice un intero algebrico.
Ogni intero algebrico, naturalmente, è un numero algebrico (cioè è algebrico su Q). Non vale, però,
il viceversa. Lo dimostriamo nel seguente
Esercizio 19.5 Provare che
1
non è intero su Z.
2
1
Svolgimento: Sia f ( x ) ∈ Z[ x ] non nullo tale che f   = 0 ,
2
n
n −1
f ( x ) = a n x + a n −1 x + + a1 x + a 0 , con a n ≠ 0 .
Allora
a
a
1 a
f   = nn + nn −−11 + + 1 + a 0 = 0 .
2
2
2 2
cioè
a n + 2a n −1 + + 2 n −1 a1 + 2 n a 0 = 0 .
Segue che 2 divide a n , quindi f ( x ) non è monico.
Con una facile generalizzazione di questo esercizio si prova:
Proposizione 19.6 Un elemento α ∈ Q è intero su Z se e solo α ∈ Z .
Tuttavia, è possibile costruire un intero algebrico a partire da un qualsiasi numero algebrico, nella
maniera indicata dalla seguente
Proposizione 19.7 Sia α ∈ C un numero algebrico. Allora esiste un intero non nullo m tale che mα
sia un intero algebrico.
n
Dimostrazione: Sia f ( x ) ∈ Q[ x ] , f ( x ) = ∑ a i x i , con a n ≠ 0 , tale che f (α ) = 0 . A meno di
i =0
moltiplicazione per un opportuno intero non nullo, possiamo supporre che a i ∈ Z per ogni
i = 0,..., n . Si ha
ann −1 f (α ) = 0 ,
cioè
n
n −1
n −1
i =0
i =0
i =0
0 = a nn −1 ∑ a i α i = a nnα n + ∑ a i a nn −1α i = ( a nα ) n + ∑ a i a nn −i −1 ( a nα ) i .
Quindi a nα annulla il polinomio monico
n −1
g ( x ) = x n + ∑ a i a nn −i −1 x i ∈ Z[ x ] .
i =0
Dunque a nα è un intero algebrico.
Proposizione 19.8 Sia α ∈ C un numero algebrico. Allora α è intero su Z se e solo se il polinomio
minimo di α su Q è a coefficienti interi.
Dimostrazione: Per provare l’implicazione non banale, supponiamo che il numero algebrico α ∈ C
sia intero su Z. Sia p ( x ) ∈ Q[ x ] il suo polinomio minimo su Q e sia f ( x ) = 0 la sua equazione di
dipendenza intera su Z. Allora esiste un polinomio q( x ) ∈ Q[ x ] (chiaramente monico) tale che
f ( x ) = p( x ) q( x ) . Per il Teorema di Gauss, esiste c ∈Q * tale che si abbia
p ( x) = cp ( x), q ( x) = c −1q ( x) ∈ Z[ x]. Allora f ( x ) = ~
p ( x ) q~( x ) , ed essendo p ( x) monico,
necessariamente c ∈ {1, −1} . Naturalmente, possiamo supporre che sia c = 1. Allora
~
p ( x ) = p ( x ) ∈ Z[ x ] , come volevasi.
Diamo ora una caratterizzazione degli elementi interi in un anello arbitrario.
Teorema 19.9 Sia A un anello commutativo unitario, sia B un suo sottoanello. Sia α ∈ A . Sono
equivalenti le seguenti condizioni:
a) α è intero su B;
b) B[α ] è un B-modulo finitamente generato;
c) esiste un sottoanello C di A contenente B tale che α ∈ C e C è un B-modulo finitamente
generato.
n
Dimostrazione: Proviamo che a ) ⇒ b) . Sia f ( x ) = ∑ bi x i ∈ B[ x ] un polinomio monico tale che
i =0
f (α ) = 0 . Allora
n −1
n −1
i =0
i =0
α n = − ∑ biα i ∈ ∑ Bα i ,
quindi
n −1
n
n −1
n −1
i =0
i =1
i =1
i =0
α n +1 = − ∑ biα i +1 = − ∑ bi −1α i = −bn −1α n − ∑ bi −1α i ∈ ∑ Bα i .
Con un facile ragionamento induttivo, si prova che, in generale, per ogni m ≥ n ,
n −1
α m ∈ ∑ Bα i .
i =0
n −1
i
Pertanto, B[α ] = ∑ Bα .
i =0
Per provare b) ⇒ c) basta prendere C = B[α ] .
r
Proviamo, infine, che c) ⇒ a ) . Sia C = ∑ Bγ i . Allora, per ogni i = 1,..., r, si ha che αγ i ∈ C , ed
i =1
esistono quindi bi1 ,..., bir ∈ B tali che
r
αγ i = ∑ bijγ j .
j =1
γ 1 
 
Posto γ =   , e considerata la matrice M = (bij ) , si ha dunque
γ 
 r
(αI r − M )γ = 0 ,
ove Ir è la matrice identità di ordine r. Moltiplichiamo entrambi i membri a sinistra per la matrice
aggiunta di N = αI r − M , che è
N * = (c*ji ),
ove
cij* = (−1)i + j Nij ,
essendo Nij il determinante della sottomatrice di N ottenuta eliminando la i-esima riga e la j-esima
colonna. Allora N * N = (det N ) I r , quindi
(det N ) I r γ = 0 ,
cioè
(det N )γ i = 0 per ogni i = 1,..., r .
Ma allora (det N )c = 0 per ogni c ∈ C , in particolare ciò vale per c = 1 . Pertanto
det N = det(αI r − M ) = 0,
ossia α è radice del polinomio
p ( x ) = det( xI r − M ) ,
che è il polinomio caratteristico della matrice M (a coefficienti in B), e, pertanto, è monico. Quindi
α è intero su B.
Osservazione 19.10 Si noti l’analogia tra l’equivalenza a ) ⇔ b) e la proprietà valida per i campi:
data un’estensione K di un campo F, l’elemento α ∈ K è algebrico su F se e solo se F [α ] è di
grado finito su F (vedi Algebra 2, Proposizione 22.10). Quest’ultima è stata così generalizzata. Il
prossimo enunciato estende la Proposizione 22.6 del corso di Algebra 2.
Corollario 19.11 Se A è un B-modulo f.g., allora A è intero su B.
Esempio 19.12
a) In base alla Proposizione 19.6, Q non è un'estensione intera di Z.
b) Per ogni polinomio monico non costante f ( x ) ∈ Z[ x ] , l’anello Z[ x ] ( f ( x )) è un’estensione
n −1
intera di Z: infatti, se n = deg f ( x ), allora Z[ x] ( f ( x)) = ∑ Z( x i + ( f ( x)) è uno Z-modulo
i =0
finitamente generato, e la conclusione segue allora dal Corollario 19.11.
c) Z[x ] non è un’estensione intera di Z: ciò segue dal Teorema 19.9, perché Z[x ] non è uno Zmodulo finitamente generato (vedi Esempio 17.12 c)), e quindi x non è intero su Z .
Analogamente a quanto visto per le estensioni algebriche (vedi Algebra 2, Proposizione 22.14), vale
Proposizione 19.13 (Transitività delle estensioni intere) Sia C un sottoanello del sottoanello B di A.
Se A è un’estensione intera di B, e B è un’estensione intera di C, allora A è un’estensione intera di
C.
Dimostrazione: Si procede analogamente a quanto fatto per i campi, utilizzando l’equivalenza
a ) ⇔ b) del Teorema 19.9.
Teorema 19.14 Siano A, B domini d’integrità, e sia A un’estensione intera di B. Allora A è un
campo se e solo se B è un campo.
Dimostrazione: Supponiamo che A sia un campo, e sia β ∈ B, β ≠ 0 . Allora β è invertibile in A, e
β −1 è intero su B. Quindi
( β −1 ) n + bn −1 ( β −1 ) n −1 + + b1 β −1 + b0 = 0 ,
per opportuni bi ∈ B . Moltiplicando per β n −1 , otteniamo
β −1 = −bn −1 − bn − 2 β − − b1 β n −2 − b0 β n −1 ∈ B.
Ciò prova che B è un campo.
Viceversa, supponiamo che B sia un campo. Sia α ∈ A, α ≠ 0 . Essendo α intero su B, si ha
α n + bn −1α n −1 + + b1α + b0 = 0
(1)
per opportuni bi ∈ B . Supponiamo che n sia il più piccolo possibile. Allora b0 ≠ 0 , quindi b0 è
invertibile in B. Dalla (1) ricaviamo allora
[
]
1 = b0 −1b0 = b0 −1 ( −α n − bn −1α n −1 − − b1α ) = α b0 −1 ( −α n −1 − bn −1α n −2 − − b1 ) ,
ove l’elemento tra parentesi quadre appartiene ad A. Ciò prova che A è un campo.
Diamo ora le nozioni analoghe a quelle di chiusura algebrica e di campo algebricamente chiuso.
Definizione 19.15 L’insieme B degli elementi di A interi su B si dice la chiusura intera di B in A.
Se B = B , B si dice integralmente chiuso in A.
Esempio 19.16
a) In virtù della Proposizione 19.6, la chiusura intera di Z in Q è Z.
b) Z non è integralmente chiuso in C, in quanto infiniti elementi di C \ Z , tra cui, ad esempio,
i, sono interi su Z. Segue che Z non è integralmente chiuso né in Q(i ) , né in Q( 2 ) .
2,
Esercizio 19.17 Determinare la chiusura intera di Z in Q(i ) .
u
r
Svolgimento: Sia α = + i ∈ Q(i ) , ove u, r ∈ Z, v, s ∈ N * , MCD(u, v ) = MCD( r, s ) = 1 . Ciò
v
s
include il caso in cui u = 0, v = 1 oppure r = 0, s = 1 . Supponiamo α intero su Z, α ∉ Q . Il
polinomio minimo di α su Q, che è
p ( x ) = ( x − α )( x − α ) = x 2 − 2 Re(α ) x + α α = x 2 −
2u
u2 r2
x+ 2 + 2 ,
v
v
s
in virtù della Proposizione 19.8 è allora a coefficienti interi. In particolare v | 2u , cioè, essendo u e v
coprimi, v | 2. Se v = 2 , allora u ≠ 0 e
u2 r2
4r 2
+ 2 ∈ Z , da cui u 2 + 2 ∈ Z
4 s
s
(2)
quindi s | 2. Se s = 1 , allora, in virtù di (2), si ha 2 | u , contro l’ipotesi che u e v siano coprimi.
Quindi s = 2 . Poiché anche r e s sono coprimi, r è, come u, dispari. Allora u 2 + r 2 ≡ 2 (mod 4),
dunque
u2 r2 u2 + r2
+
=
∉Z ,
4 s2
4
che contraddice (2). Ciò esclude che possa essere v = 2 . Pertanto v = 1 , e quindi s = 1 , per cui
α = u + ir ∈ Z[i] .
Viceversa, se α = u + ir ∈ Z[i ] , allora α è radice del polinomio
p ( x ) = x 2 − 2ux + u 2 + r 2 ,
monico, a coefficienti interi.
Con ciò abbiamo provato che la chiusura intera di Z in Q(i) è Z[i].
Osservazione 19.18 Z[i] non è, però, la chiusura intera di Z in C: infatti 2 è intero su Z, ma non
appartiene a Z[i]. D’altra parte, ogni elemento di C intero su Z è algebrico su Q. Quindi la chiusura
intera di Z in C coincide con la chiusura intera di Z in Q0, il campo dei numeri algebrici.
Esercizio 19.19 Determinare la chiusura intera di Z in Q( 5) .
Svolgimento: Osserviamo anzitutto che, se α ∈ Z[ 5 ] , α = u + 5r, con u, r ∈ Z , r ≠ 0, allora il
polinomio minimo di α su Q è
p( x ) = ( x − u − 5r )( x − u + 5r ) = x 2 − 2ux + u 2 − 5r 2 ,
che è a coefficienti interi; quindi α è intero su Z. Dunque Z[ 5 ] è contenuto nella chiusura intera
di Z in Q( 5 ) . Ci chiediamo se valga anche l’inclusione contraria. Può rispondere subito
negativamente chi ha familiarità con il numero aureo (studiato da Fibonacci (1170-1250) e da Luca
Pacioli) (1445-1517):
5 −1
≈ 0, 618 .
2
Φ=
Si tratta di un numero irrazionale definito come la lunghezza della parte maggiore x di un segmento
di lunghezza unitaria
1−x
x
quando la suddivisione è tale che
x
1
=
1− x x
ossia, a parole, vale la seguente proporzione: parte maggiore : parte minore = tutto : parte
maggiore.
L’ultima uguaglianza equivale all’equazione quadratica
x2 + x −1= 0 ,
le cui soluzioni sono:
x1 =
−1+ 5
,
2
x2 =
−1− 5
.
2
Esse sono evidentemente intere su Z, ma non appartengono a Z[ 5 ] . Quindi la chiusura intera di Z
u
r
in Q( 5 ) è più grande di Z[ 5 ] . La determiniamo. Sia α = + 5 ∈ Q( 5 ) , ove
v
s
u, r ∈ Z, v, s ∈ N * , r ≠ 0, MCD(u, v ) = MCD( r, s ) = 1 . Il polinomio minimo di α su Q è:
p ( x) = x 2 −
2u
u 2 5r 2
x+ 2 − 2 .
v
v
s
Se α è intero su Z, allora, in virtù del Proposizione 19.8, si conclude che p ( x ) ∈ Z[ x ] . Segue che
v | 2 . Se v = 1 , allora s = 1 , e in tal caso
α = u + 5r ∈ Z[ 5 ] .
(3)
Supponiamo adesso che v = 2 . Allora
 u 2 5r 2 
20r 2
4 − 2  = u2 − 2
s 
s
 4
è un intero multiplo di 4. Dato che per ipotesi 2 non divide u, segue che 4 non divide il secondo
addendo, cioè 4 | s 2 . Inoltre s 2 | 20 , perché r e s sono coprimi. Quindi s = 2 . In tal caso
α=
u
r
+ 5 ,
2
2
(4)
ed il suo polinomio minimo su Q è
p ( x) = x 2 − ux +
u 2 − 5r 2
∈ Z[ x] .
4
In conclusione, la chiusura intera di Z in Q( 5 ) è l’insieme degli elementi del tipo (3) e del tipo
(4), ossia è
1 + 5 
u r

5 u , r ∈ Z, u ≡ r (mod 2)  = Z 
 +
.
2 2

 2 
Proviamo l’uguaglianza. L’inclusione ⊃ risulta immediata, se si tiene conto che, come verrà
dimostrato nella Proposizione 19.23, l'insieme di sinistra è un anello. Per provare ⊂ basta osservare
che, per ogni u, r ∈ Z , con u ≡ r (mod 2) ,
2
1 + 5 
u r
u − r 1 + 5 
3r − u  1 + 5 

 +

 ∈ Z
+
5=
.
2 2
2  2 
2  2 
 2 
In generale si dimostra la seguente
Proposizione 19.20 Sia m ∈ Z , m diverso da 0, 1, e privo di quadrati. Allora la chiusura intera di Z
in Q( m ) è
 Z[ m ]
se m ≡ 2,3 (mod 4)



,
Z 1 + m
  2  se m ≡ 1 (mod 4)

 
ove abbiamo posto
m = i − m se m < 0.
Nota Il caso a cui siamo interessati è, naturalmente, quello in cui m non è un quadrato perfetto.
Allora ci si può sempre ricondurre al caso in cui m è un intero privo di fattori primi ripetuti (privo di
quadrati). Infatti, se d2 è la parte quadrata di m (ossia il più grande quadrato perfetto che divide m),
si ha
m = d2
m
d
2
=d
m
d2
,
così che
 m 
Q( m ) = Q 
2 
,
 d 
ove
m
d2
è un intero privo di quadrati, diverso da 0 e da 1.
Esempio 19.21 Tramite la Proposizione 19.20 ritroviamo i risultati a noi già noti per m = −1 e
m = 5 . Inoltre concludiamo che la chiusura intera di Z in Q( − 5 ) = Q(i 5 ) è Z[ − 5 ] = Z[i 5 ] , e
1 + − 3 
1 + i 3 
la chiusura intera di Z in Q( − 3 ) = Q(i 3 ) è Z 
 = Z
.
2


 2 
Ricordiamo che la chiusura algebrica di un campo F in una sua estensione K è un sottocampo di K
contenente F (vedi Algebra 2, Teorema 22.11). Un enunciato analogo vale per la chiusura intera di
un sottoanello di un anello. Diamo prima un risultato preliminare di teoria dei moduli, che
corrisponde alla Proposizione 21.5 (teorema di moltiplicazione dei gradi per le estensioni
successive), e si prova in modo del tutto simile. Pertanto ne omettiamo la dimostrazione.
Ricordiamo che ogni anello commutativo unitario è un modulo su ogni suo sottoanello.
Lemma 19.22 Sia B un sottoanello di A contenente il sottoanello C. Se A è un B-modulo f.g., e B è
un C-modulo f.g., allora A è un C-modulo f.g.
Proposizione 19.23 La chiusura intera B del sottoanello B in A è un sottoanello di A contenente B
(detto anche anello degli interi di A su B).
Dimostrazione: Siano x, y ∈ B . Poiché x è intero su B, per il Teorema 19.9, B[x ] è un B-modulo
finitamente generato. Essendo y intero su B, a maggior ragione lo è su B[x ] . Quindi, sempre per il
Teorema 19.9, B[ x, y ] = B[ x][ y ] è un B[x ] -modulo finitamente generato. Dal Lemma 19.22 segue
che B[ x, y ] è un B-modulo finitamente generato. Per il Corollario 19.11, ciò implica che B[ x, y ] è
intero su B. Pertanto, gli elementi x − y , xy ∈ B[ x, y ] sono interi su B. Ciò basta per concludere che
B è un sottoanello di A.
Proposizione 19.24 B è un anello integralmente chiuso in A.
Dimostrazione: Sia α ∈ A intero su B . Allora, per il Teorema 19.9, B[α ] è un B -modulo f.g., e
quindi B[α ] è intero su B . Per la Proposizione 19.13, segue che esso è intero anche su B. Dunque,
in particolare, α è intero su B, cioè α ∈ B .
Definizione 19.25 Un dominio d’integrità A si dice integralmente chiuso se è integralmente chiuso
nel proprio campo dei quozienti.
Attenzione! Questa definizione non è analoga a quella di campo algebricamente chiuso.
Ricordiamo che un campo algebricamente chiuso non ammette estensioni algebriche proprie. Invece
non è vero che un anello integralmente chiuso non ammetta, in generale, estensioni intere proprie.
Esempio 19.26 In base all’Esempio 19.16 a), Z è integralmente chiuso. Tuttavia, Z ammette
estensioni algebriche proprie, come quelle presentate nell’Esempio 19.12 b): se f ( x ) ∈ Z[ x ] è un
polinomio di grado maggiore di 1, l’anello Z[ x ] ( f ( x )) è un’estensione intera propria di Z.
Esiste un interessante criterio sufficiente affinché un dominio di integrità sia integralmente chiuso.
Proposizione 19.27 Ogni dominio a fattorizzazione unica è integralmente chiuso.
Dimostrazione: Sia A un dominio a fattorizzazione unica, sia K il suo campo dei quozienti. Sia
α ∈ K , α = uv −1 , con u, v ∈ A, v ≠ 0 , u, v relativamente primi. Se α è intero su A, allora
(uv −1 ) n + a n −1 (uv −1 ) n −1 + + a1uv −1 + a 0 = 0
per opportuni a i ∈ A . Allora
u n + a n −1 vu n −1 + + a1 v n −1u + a 0 v n = 0.
Segue che v | u n , ma u, v sono coprimi. Pertanto v è invertibile in A, dunque α = uv −1 ∈ A .
Esempio 19.28 Ogni anello di polinomi su un dominio a fattorizzazione unica è integralmente
chiuso, in quanto è esso stesso un dominio a fattorizzazione unica (vedi Algebra 2, Teorema 19.7).
In particolare, se F è un campo, l’anello F [x ] è integralmente chiuso nel suo campo dei quozienti,
che è il campo delle funzioni razionali F (x ) . Inoltre Z[x ] è integralmente chiuso nel suo campo
dei quozienti, che è Q(x ) .
Osservazione 19.29 La Proposizione 19.27 non si può invertire. In base alle Proposizioni 19.20 e
19.24, l’anello Z[ − 5 ] = Z[i 5 ] è integralmente chiuso nel suo campo dei quozienti
Q(i 5 ). Tuttavia non è un dominio a fattorizzazione unica (vedi Algebra 2, Osservazione 18.18).