Esame di Logica Matematica

Esame di Logica Matematica
19 Giugno 2008
Regolamento
• Tempo a disposizione: ore 2.
• Lo studente dovrà indicare in alto a sinistra sulla prima pagina di ogni foglio utilizzato
Nome, Cognome, Numero di matricola ed e-mail.
• Tutti i fogli utilizzati devono essere consegnati al termine della prova.
• Non è possibile consultare appunti o libri.
Esercizi
1. Dimostrare (per induzione) che data una formula proposizionale F costruita usando solo
atomi ed i connettivi ∧ e ∨, sussiste la seguente proprietà P:
P: Numero di Atomi = Numero di Connettivi + 1
Soluzione:
F ::= A | F1 ∧ F2 | F1 ∨ F2
Una formula è un atomo, oppure l’unione di due sottoformule F1 ed F2 tramite i connettivi
∧ e ∨.
Dimostro per induzione sulla struttura della formula:
• Caso Base: la formula è un atomo: P è banalmente verificata X.
• Passo Induttivo: Per ipotesi induttiva P vale su tutte le sottoformule di F .
Caso 1: sia F = F1 ∧ F2 pertanto il numero di atomi di F è uguale al numero di
atomi di F1 più il numero di atomi di F2 , per ipotesi induttiva si ha che il numero
di atomi di F1 è uguale al numero di connettivi di F1 + 1, analogamente per F2 il
numero di atomi è pari al numero dei connettivi in F2 + 1. Riassumendo il numero
di atomi di F è pari al numero di connettivi di F1 + il numero di connettivi di F2 +
2. Inoltre si osservi che il numero di connettivi di F è uguale al numero di connettivi
di F1 + il numero di connettivi di F2 + 1, pertanto si conclude che il numero di
atomi di F è pari al numero di connettivi di F + 1 da cui la tesi.
Caso 2: sia F = F1 ∨ F2 pertanto il numero di atomi di F è uguale al numero di
atomi di F1 più il numero di atomi di F2 , per ipotesi induttiva si ha che il numero
di atomi di F1 è uguale al numero di connettivi di F1 + 1, analogamente per F2 il
numero di atomi è pari al numero dei connettivi in F2 + 1. Riassumendo il numero
di atomi di F è pari al numero di connettivi di F1 + il numero di connettivi di F2 +
2. Inoltre si osservi che il numero di connettivi di F è uguale al numero di connettivi
di F1 + il numero di connettivi di F2 + 1, pertanto si conclude che il numero di
atomi di F è pari al numero di connettivi di F + 1 da cui la tesi. X
2. Si dimostri usando il calcolo della deduzione naturale che vale la seguente conseguenza
logica:
∃x(A(x) → B(f (x))), ∃x(C(x) → D(x)) |= (∀x¬B(x) ∨ ∀x¬D(x)) → ¬∀x(A(x) ∧ C(x))
Soluzione: Alb 1:
∃x(A(x) → B(f (x))), ∀x(A(x) ∧ C(x)), ∀x¬B(x) ⊥
∀x(A(x) ∧ C(x))
A(x) ∧ C(x)
A(x)
A(x) → B(f (x))
B(f (x))
⊥
1
∀x¬B(x)
¬B(f (x))
∃x(A(x) → B(f (x)))
⊥
1
Alb 2:
∃x(C(x) → D(x)), ∀x(A(x) ∧ C(x)), ∀x¬D(x) ⊥
∀x(A(x) ∧ C(x))
A(x) ∧ C(x)
C(x)
C(x) → D(x)
D(x)
⊥
1
∀x¬D(x)
¬D(x)
∃x(C(x) → D(x))
⊥
∃x(A(x) → B(f (x)))
∀x(A(x) ∧ C(x))(2)
∀x¬B(x)(1)
⊥
1
∃x(C(x) → D(x))
∀x(A(x) ∧ C(x))(2)
∀x¬D(x)(1)
Alb1
Alb2
⊥
∀x¬B(x) ∨ ∀x¬D(x)
⊥
2
¬∀x(A(x) ∧ C(x))
3
(∀x¬B(x) ∨ ∀x¬D(x)) → (¬∀x(A(x) ∧ C(x)))
3
1
3. Si dimostri usando il metodo di risoluzione che sussiste la conseguenza logica dell’esercizio
precedente.
Soluzione: Clausole: {¬A(a), B(f (a))}, {¬C(b), D(b)}, {¬B(y), ¬D(z)}, {A(v)},
{C(w)}
Risoluzione:
v=a
{¬A(a), B(f (a))}
{B(f (a))}
{A(v)}
{¬B(y), ¬D(z)}
y = f (a)
z=b
{¬D(z)}
{¬C(b), D(b)}
w=b
{¬C(b)}
{C(w)}
4. È data la seguente formula:
∀x(¬A(x) → ∃yB(y)) ∧ ¬∀xA(x) ∧ ¬∃xB(x)
La formula P è valida, soddisfacibile, oppure contraddittoria? Se P è valida se ne fornisca
una dimostrazione nel sistema formale preferito. Se è contraddittoria si dimostri la formula
¬P . Se è soddisfacibile senza essere valida, si forniscano sia un’interpretazione in cui P è
vera che una in cui P è falsa.
Soluzione: P è contraddittoria infatti:
∀x(¬A(x) → ∃yB(y)) ∧ ¬∀xA(x) ∧ ¬∃xB(x) ⊥
P
∀x(¬A(x) → ∃yB(y))
¬A(x) → ∃yB(y)
∃yB(y)
¬A(x)
1
P
¬∃xB(x)
⊥ 1
A(x)
∀xA(x)
P
¬∀xA(x)
⊥
5. (FACOLTATIVO) Si consideri il linguaggio dell’aritmetica sui simboli di funzione {0, succ,
+, ∗} e con il solo simbolo di uguaglianza come predicato. Supponendo che questi simboli
di funzione e di predicato siano interpretati col loro significato standard, si dia una definizione per il predicato P (x) la cui semantica è: “x è dispari ed è un quadrato perfetto”.
Si possono usare meta-definizioni (predicati) ausiliarie.
Soluzione
1 = succ(0)
2 = succ(1)
D(x) = ∃y(x = 2 ∗ y + 1)(x è dispari)
Q(x) = ∃y(x = y ∗ y)(x è un quadrato perfetto)
P (x) = D(x) ∧ Q(x)