Esame di Logica Matematica 19 Giugno 2008 Regolamento • Tempo a disposizione: ore 2. • Lo studente dovrà indicare in alto a sinistra sulla prima pagina di ogni foglio utilizzato Nome, Cognome, Numero di matricola ed e-mail. • Tutti i fogli utilizzati devono essere consegnati al termine della prova. • Non è possibile consultare appunti o libri. Esercizi 1. Dimostrare (per induzione) che data una formula proposizionale F costruita usando solo atomi ed i connettivi ∧ e ∨, sussiste la seguente proprietà P: P: Numero di Atomi = Numero di Connettivi + 1 Soluzione: F ::= A | F1 ∧ F2 | F1 ∨ F2 Una formula è un atomo, oppure l’unione di due sottoformule F1 ed F2 tramite i connettivi ∧ e ∨. Dimostro per induzione sulla struttura della formula: • Caso Base: la formula è un atomo: P è banalmente verificata X. • Passo Induttivo: Per ipotesi induttiva P vale su tutte le sottoformule di F . Caso 1: sia F = F1 ∧ F2 pertanto il numero di atomi di F è uguale al numero di atomi di F1 più il numero di atomi di F2 , per ipotesi induttiva si ha che il numero di atomi di F1 è uguale al numero di connettivi di F1 + 1, analogamente per F2 il numero di atomi è pari al numero dei connettivi in F2 + 1. Riassumendo il numero di atomi di F è pari al numero di connettivi di F1 + il numero di connettivi di F2 + 2. Inoltre si osservi che il numero di connettivi di F è uguale al numero di connettivi di F1 + il numero di connettivi di F2 + 1, pertanto si conclude che il numero di atomi di F è pari al numero di connettivi di F + 1 da cui la tesi. Caso 2: sia F = F1 ∨ F2 pertanto il numero di atomi di F è uguale al numero di atomi di F1 più il numero di atomi di F2 , per ipotesi induttiva si ha che il numero di atomi di F1 è uguale al numero di connettivi di F1 + 1, analogamente per F2 il numero di atomi è pari al numero dei connettivi in F2 + 1. Riassumendo il numero di atomi di F è pari al numero di connettivi di F1 + il numero di connettivi di F2 + 2. Inoltre si osservi che il numero di connettivi di F è uguale al numero di connettivi di F1 + il numero di connettivi di F2 + 1, pertanto si conclude che il numero di atomi di F è pari al numero di connettivi di F + 1 da cui la tesi. X 2. Si dimostri usando il calcolo della deduzione naturale che vale la seguente conseguenza logica: ∃x(A(x) → B(f (x))), ∃x(C(x) → D(x)) |= (∀x¬B(x) ∨ ∀x¬D(x)) → ¬∀x(A(x) ∧ C(x)) Soluzione: Alb 1: ∃x(A(x) → B(f (x))), ∀x(A(x) ∧ C(x)), ∀x¬B(x) ⊥ ∀x(A(x) ∧ C(x)) A(x) ∧ C(x) A(x) A(x) → B(f (x)) B(f (x)) ⊥ 1 ∀x¬B(x) ¬B(f (x)) ∃x(A(x) → B(f (x))) ⊥ 1 Alb 2: ∃x(C(x) → D(x)), ∀x(A(x) ∧ C(x)), ∀x¬D(x) ⊥ ∀x(A(x) ∧ C(x)) A(x) ∧ C(x) C(x) C(x) → D(x) D(x) ⊥ 1 ∀x¬D(x) ¬D(x) ∃x(C(x) → D(x)) ⊥ ∃x(A(x) → B(f (x))) ∀x(A(x) ∧ C(x))(2) ∀x¬B(x)(1) ⊥ 1 ∃x(C(x) → D(x)) ∀x(A(x) ∧ C(x))(2) ∀x¬D(x)(1) Alb1 Alb2 ⊥ ∀x¬B(x) ∨ ∀x¬D(x) ⊥ 2 ¬∀x(A(x) ∧ C(x)) 3 (∀x¬B(x) ∨ ∀x¬D(x)) → (¬∀x(A(x) ∧ C(x))) 3 1 3. Si dimostri usando il metodo di risoluzione che sussiste la conseguenza logica dell’esercizio precedente. Soluzione: Clausole: {¬A(a), B(f (a))}, {¬C(b), D(b)}, {¬B(y), ¬D(z)}, {A(v)}, {C(w)} Risoluzione: v=a {¬A(a), B(f (a))} {B(f (a))} {A(v)} {¬B(y), ¬D(z)} y = f (a) z=b {¬D(z)} {¬C(b), D(b)} w=b {¬C(b)} {C(w)} 4. È data la seguente formula: ∀x(¬A(x) → ∃yB(y)) ∧ ¬∀xA(x) ∧ ¬∃xB(x) La formula P è valida, soddisfacibile, oppure contraddittoria? Se P è valida se ne fornisca una dimostrazione nel sistema formale preferito. Se è contraddittoria si dimostri la formula ¬P . Se è soddisfacibile senza essere valida, si forniscano sia un’interpretazione in cui P è vera che una in cui P è falsa. Soluzione: P è contraddittoria infatti: ∀x(¬A(x) → ∃yB(y)) ∧ ¬∀xA(x) ∧ ¬∃xB(x) ⊥ P ∀x(¬A(x) → ∃yB(y)) ¬A(x) → ∃yB(y) ∃yB(y) ¬A(x) 1 P ¬∃xB(x) ⊥ 1 A(x) ∀xA(x) P ¬∀xA(x) ⊥ 5. (FACOLTATIVO) Si consideri il linguaggio dell’aritmetica sui simboli di funzione {0, succ, +, ∗} e con il solo simbolo di uguaglianza come predicato. Supponendo che questi simboli di funzione e di predicato siano interpretati col loro significato standard, si dia una definizione per il predicato P (x) la cui semantica è: “x è dispari ed è un quadrato perfetto”. Si possono usare meta-definizioni (predicati) ausiliarie. Soluzione 1 = succ(0) 2 = succ(1) D(x) = ∃y(x = 2 ∗ y + 1)(x è dispari) Q(x) = ∃y(x = y ∗ y)(x è un quadrato perfetto) P (x) = D(x) ∧ Q(x)