Universita` di Siena - Facolta` di Economia R.M. Goodwin Corso di

Universita' di Siena - Facolta' di Economia R.M. Goodwin
Corso di Economia dell'organizzazione - Sede di Arezzo
Test d'esame del 04.06.2007
SOLUZIONI
Es.1
Punto a)
(Totale punti 5)
L'intensita di incentivazione ottima e
=
P 0 (e)
1 + rC 00 (e)var(x)
dove r e il coeciente di assoluta avversione al rischio ed pari a 3 mentre
(2 0)2 + (0 0)2 + ( 2 0)2 = 8
var(x) =
3
3
Facendo i calcoli opportuni si ottiene = 5.
Punto b) Sia la componente ssa del contratto oerto al dipendente. Il suo equivalente
certo e allora
1 2
EC (e) = + e C (e)
2 r ( ) var(x)
Il dipendente massimizza il proprio equivalente certo risolvendo quando C 0 (e) = percio
otteniamo che
D
5 = e + 1 , e = 4
Quindi otteniamo EC (e ) = 92 che implica che deve essere maggiore o uguale 102
anche il dipendente non trovi conveniente scegliere l'oerta alternativa.
D
L'equivalente certo del contratto con la concorrente, EC (e), e massimizzato (dati
i termini contrattuali) rispetto a e quando vale la condizione C 0 (e) = che implica
D
Punto c)
50 = e + 1 , e = 49
dando EC (e ) > 10. Concludiamo allora che il dipendente scegliera di lavorare per la
concorrente.
D
Es.2 (Totale punti 5)
Si veda il Milgrom e Roberts capitolo 8.
Es.3
Punto a)
(Totale punti 5)
Se il prezzo dell'assicurazione e 19:5 allora troveranno conveniente assicurarsi solo
1
le imprese che si attendono un riborso suepriore a 19:5 meno i vantaggi derivanti dalla
riduzione del rischio, ovvero 19:5 5 = 14:5. In altre parole di assicureranno solo le imprese
con rimborsi attesi pari a 15, 16 e 17. In questo caso se P e il prezzo dell'assicurazione, n
il numero degli assicurati, x1 ; : : : ; x i rimborsi attesi dagli assicurati e c il coeciente di
costo amministrativo, allora il protto atteso della compagni assicurativa e pari a
X
Pn
x (1 + c) = 58:5 (15 + 16 + 17)(1 + 0:2) = 0:9
n
n
i
i
=1
Percio la compagnia assicurativa trova conveniente orire la polizza ad un prezzo pari a 19:5
(sebbene cio non garantisca che sia il prezzo che ne massimizza i protti).
Un modo per risolvere questa parte e calcolare i livelli di protto associati ai
10 prezzi dell'assicurazione che sono appena sucienti per indurre 1,2,...,10 imprese ad
assicurarsi e poi confrontarli. Un altro modo e il seguente. Innazitutto si noti che alla
compagni assicurativa conviene sempre fare prezzi a numeri interi poiche sono quelli che
rendono indierente l'impresa marginale e quindi le permettono di estratte tutto il surplus
possibile da questa. In secondo luogo si noti se abbassare il prezzo dell'assicurazione di
una unita per far assicurare un'impresa in piu non e conveniente allora certamente non lo e
abbassare il prezzo di due o piu unita per far assicurare due o piu imprese. Si puo quindi
procedere da P = 22 a scendere fermandoci non appena il protto della compagnia
assicuiratrice diminuisce.
P = 22 ) (22) = 22 17(1:2) = 1:6
P = 21 ) (21) = 21(2) (17 + 16)(1:2) = 2:4
P = 20 ) (20) = 20(3) (17 + 16 + 15)(1:2) = 2:4
P = 19 ) (19) = 19(4) (17 + 16 + 15 + 14)(1:2) = 1:4
Percio la compagnia assicurativa massimizza il proprio protto con un prezzo pari a 20 o a
21.
Punto b)
Punto c)
Se l'assicurazione e obbligatoria il protto e pari a
10
X
10P 1:2 x = 10P 150
i
i
=1
e quindi per un prezzo P = 15 fa protti nulli.
Punto d)
I guadagni attesi dalle imprese sono
2
x = 8 ) 8 + 5 15 = 2
x = 9 ) 9 + 5 15 = 1
x = 10 ) 10 + 5 15 = 0
x = 11 ) 11 + 5 15 = 1
x = 12 ) 12 + 5 15 = 2
x = 13 ) 13 + 5 15 = 3
x = 14 ) 14 + 5 15 = 4
x = 15 ) 15 + 5 15 = 5
x = 16 ) 16 + 5 15 = 6
x = 17 ) 17 + 5 15 = 7
Es.4 (Totale punti 5)
Si veda il Milgrom e Roberts capitolo 5.
(Totale punti 5)
Per calcolare le domande lorde e suciente risolvere il problema del consumatore.
Per il consumatore A abbiamo
Es.5
Punto a)
max
A A U (x ; y ) s:v: p x + p y = p x + p y
A
x
A
A
x
;y
A
y
A
x
A
y
A
dove il vincolo di bilancio appare con l'uguaglianza stretta per l'ipotesi di non sazieta locale.
Sostituendo i valori numerici e il vincolo di bilancio esplicitato per y , il problema di massimo
diventa
1
max
A ln(x ) + ln 15 2 x
che da le seguenti condizioni
C:P:O: x1 30 1x = 0 , x = 15
1
1
C:S:O:
(x )2 (30 x )2 < 0 ; 8x 2 (0; 30)
che, considerando il vincolo di bilancio, implicano che le domande lorde del consumatore A
sono x = 15 e y = 7:5 (NB: le condizioni del secondo ordine non sono necessarie se si
nota che il logaritmo e una funzione concava e che la somma di funzioni concave e anch'essa
una funzione concava). Poiche il consumatore B ha la stessa funzione di utilita di A ma
meta delle sue dotazioni iniziali si ottiene facilmente che le domande lorde sono x = 7:5
e y = 3:75.
A
A
A
x
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
Punto b) Le condizioni per l'equilibrio competitivo sono: i) prezzi positivi, ii) agenti che
massimizzano la propria funzione di utilita (o di protto), iii) domanda uguale all'oerta
3
in ogni mercato meno 1 (grazie alla legge di Walras). Se p = p = 1 allora il punto i) e
soddisfatto per ipotesi. Inoltre, risolvendo il problema del consumatore A
x
y
max
A A ln(x ) + ln(y ) s:v: x + y = x + y
A
x
A
A
A
A
A
;y
si ottiene facilmente che le sue domande lorde sono x = 10 e y = 10, ovvero le domande nette pari a zero. Similmente, si ottiene che per il consumatore B le domande lorde
sono x = 5 e y = 5. Una tale allocazione soddisfa la condizione ii) per costruzione.
Inoltre, anche la condizione iii) e soddisfatta poiche non c'e scambio e quindi la domanda e
trivialmente uguale all'oerta in ogni mercato.
A
B
A
B
Punto c) Prendiamo l'equilibrio competitivo individuato al punto b). Questo e associato
ad un'allocazione eciente poiche, come abbiamo visto studiando il modello neoclassico,
sotto le ipotesi correnti ogni equilibrio competitivo e associato ad un'allocazione eciente.
Per vericarlo ragioniamo per assurdo. Se non fosse eciente dovrebbe esistere un modo per
incrementare l'utilita di qualcuno senza diminuire l'utilita di nessuno. Poiche il rapporto
tra i prezzi e pari a 1 anche il rapporto tra i consumi dovra essere pari ad 1 cioe x = y e
x = y . Questo implica che l'unico modo di modicare l'allocazione individuata al punto
b) e quello di aumentare o diminuire proporzionalmente il consumo di entrambi i beni. Cio
tuttavia comporta un riduzione dell'utilita di uno dei due consumatori e quindi l'ipotesi
assurda e falsa: l'allocazione individuata al punto b) e eciente.
Il principio di massimizzazione del valore non vale poiche le funzioni di utilita non sono
quasi lineari, cioe siamo in presenza di eetti ricchezza.
A
B
B
Es.6 (Totale punti 5)
Si veda il Milgrom e Roberts capitolo 2.
4
A