Appunti
di geometria
Si dicono complanari due rette che appartengono allo stesso piano.
L’ assioma A1 ci dice che due punti in comune sono, in sostanza, la stessa retta (si dice che le due rette
sono coincidenti); se l’erede sono distinte, potranno allora presentarsi due possibili soluzioni:
Le rette hanno solo un punto di intersezione ed allora si dicono incidenti
Le rette non hanno alcun punto di intersezione ed allora si dicono parallele
L’ insieme delle rette che passano per P si dice fascio di rette proprio o anche fascio di rette di centro P.
Il fascio di rette improprio è formato da rette tutte parallele tra loro.
P
r
A
fascio di rette proprio
fascio di rette improprio
due segmenti sono consecutivi se hanno in comune soltanto un estremo
due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta.
A
C
B
Segmenti consecutivi
A
B
C
Segmenti adiacenti
Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati; si dice concavo se li contiene.
Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice ed un lato in comune e se gli altri lati si trovano da parti
opposte rispetto al lato comune
Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e se i lati non comuni appartengono alla stessa retta.
Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte; l’angolo piatto si indica di solito con la
lettera greca π, un angolo in cui i lati si sovrappongono si dice angolo giro, angolo nullo se è convesso.
Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati del primo sono i prolungamenti dei lati dell’altro.
Teorema. Angoli opposti al vertice sono congruenti.
Hp. ab opposto al vertice di cd
Th. ab cd
Dimostrazione.
L’angolo ab e l’angolo cd sono supplementari dell’angolo bc ; in base al precedente teorema essi sono
dunque congruenti.
I triangoli
Scaleno : un triangolo che ha tutti i lati disuguali
Isoscele: un triangolo che ha due lati congruenti; i lati congruenti si dicono anche lati obliqui, il terzo
lato si chiama base.
Equilatero un triangolo che ha tutti i dati congruenti.
Inoltre si dice:
Bisettrice: relativa ad un angolo interno del triangolo sia la retta bisettrice dell’angolo, sia il segmento
di bisettrice che ha un estremo nel vertice dell’angolo e l’altro sul lato opposto a tale vertice.
Mediana: relativa ad un lato del triangolo il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato
opposto.
Classificandoli in base agli angoli:
Acutangolo: un triangolo che ha tutti gli angoli acuti.
Ottusangolo: un triangolo che ha un angolo ottuso.
Rettangolo: un triangolo che ha un angolo retto.
Criteri di congruenza dei triangoli
1) Primo criterio di congruenza dei triangoli. Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’angolo
fra essi compreso ordinatamente congruenti.
2) Secondo criterio di congruenza dei triangoli. Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e gli angoli
ad esso adiacenti ordinatamente congruenti.
3) Terzo criterio di congruenza dei triangoli. Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati
ordinatamente congruenti.
Teorema. In un triangolo isoscele gli angoli adiacenti alla base sono congruenti.
Parallelismo e perpendicolarità
Due rette r e s si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli fra loro congruenti;
ciascuno di questi angoli è un angolo retto.
Teorema. In ogni triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza.
Teorema. Se due rette distinte s ed r sono perpendicolari ad una stessa retta t allora non hanno alcun
punto in comune; due rette si dicono parallele se non si intersecano oppure se sono coincidenti.
Quando una retta t incontra altre due rette a, b si vengono a formare quattro angoli che per la posizione
che occupano, prendono nomi diversi, si dicono:
Alterni interni; coppie di angoli come γ e 𝛼 ′
Alterni esterni; coppie di angoli come 𝛼 e 𝛾 ′
Corrispondenti; coppie di angoli come 𝛼 e 𝛼 ′
Coniugati interni; coppie di angoli come γ e 𝛽 ′
Coniugati esterni ; coppie di angoli come β e 𝛾 ′
La retta t prende il nome di trasversale.
I nomi dati alle copie di angoli richiamano la loro posizione rispetto alle due rette e alla trasversale:
Alterni significa che essi trovano da parte opposta rispetto alla trasversale;
Corrispondenti che occupano una posizione analoga rispetto alle due lettere e alla trasversale, ad
esempio al di sotto delle rette e a destra della trasversale;
Coniugati che stanno dalla stessa parte rispetto alla trasversale;
Interni che si trovano ( almeno in parte visto che l’angolo una parte di piano illimitata) all’interno della
zona delimitata dalle due rette;
Esterni che si trovano all’esterno di tale zona.
Criterio generale di parallelismo. Due rette sono parallele se, tagliate da una trasversale, formano:
Angoli alterni incongruenti, oppure
Angoli corrispondenti congruenti, oppure
Angoli coniugati supplementari.
Teorema. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti:
I due cateti
Un cateto e un angolo acuto
L’ipotenusa ed un angolo acuto
L’ipotenusa e un cateto
I quadrilateri
Parallelogramma
Teorema. Un quadrilatero è un parallelogramma se:
Ha i lati opposti e paralleli, oppure
Ha i lati opposti congruenti,oppure
Ha gli angoli adiacenti supplementari, oppure
Ha gli angoli opposti congruenti, oppure
Ha le diagonali che si incontrano nel punto medio oppure
Ha una coppia di lati opposti paralleli e congruenti
Rettangolo
Si chiama rettangolo un parallelogramma che ha tutti gli angoli congruenti
Teorema. Un rettangolo ha le diagonali congruenti.
Rombo
Si chiama rombo un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti
Teorema. Un rombo ha le diagonali che sono tra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti.
Quadrato
Si chiama quadrato un parallelogramma che ha tutti gli angoli e i lati congruenti.
Trapezio
Si chiama trapezio un quadrilatero che ha due lati paralleli.
Teorema ( della corrispondenza di Talete ).
Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, se sulla prima trasversale si individuano due
segmenti congruenti, allora anche i loro corrispondenti sulla seconda trasversale sono congruenti.
