SANDRO RONCA
Sistemi trifase
Le reti elettriche in corrente alternata trifase,
la potenza elettrica trifase e i metodi per la sua misura
© 2012 Sandro Ronca
Tutti i diritti riservati
Prima edizione: maggio2012
ISBN:
INDICE
1 IL SISTEMA TRIFASE
1.1 Il sistema trifase
1.2 Generazione di un sistema simmetrico di tensioni trifase
1.3 Collegamento a stella delle fasi generatrici
1.3.1 Tensioni di fase e di linea
1.4 Collegamento a stella degli utilizzatori
1.4.1 Sui versi delle correnti
1.5 Collegamento a stella con un carico equilibrato e filo neutro
1.6 Sistema trifase simmetrico ed equilibrato a stella con tre conduttori
1.6.1 Calcolo di tensioni e cadute di tensione mediante cdt industriale
1.7 Collegamento a triangolo delle fasi generatrici
1.8 Collegamento a triangolo degli utilizzatori
1.9 Sistemi trifase simmetrici e squilibrati
1.9.1 Sistemi squilibrati a stella con neutro
1.9.2 Sistemi squilibrati a triangolo
1.9.3 Sistemi squilibrati a stella senza neutro
1.9.3.1 Spostamento del baricentro delle tensioni
1.9.3.2 Trasformazione stella – triangolo
1.9.3.3 Trasformazione in triangolo di una stella squilibrata
1.10 Casi particolari di squilibrio
1.10.1 Collegamento a stella con fase interrotta
1.10.2 Collegamento a stella con fase in corto circuito
1.10.3 Collegamento a triangolo con fase interrotta
1.10.4 Collegamento a triangolo con fase in corto circuito
1.11 Composizione dei carichi trifase
1.11.1 Carichi a triangolo
1.11.2 Carichi a stella
1.11.2.1 Carichi a stella con neutro
1.11.2.2 Carichi a stella equilibrati senza neutro
1.11.2.3 Carichi a stella squilibrati senza neutro
1.11.3 Composizione di carichi trifase e monofase: esempio
1.11.3.1 Non tutti i triangoli sono uguali
1.12 Sistemi trifase dissimmetrici e squilibrati
Problemi
2 LA POTENZA NEI SISTEMI TRIFASE
2.1 La potenza elettrica istantanea nei sistemi trifase
2.1.1 Costanza della potenza istantanea nei sistemi simmetrici ed equilibrati
2.1.2 La potenza reattiva in un sistema simmetrico ed equilibrato
2.2 Potenza attiva e reattiva nei sistemi trifase
1
1
1
4
5
9
10
10
14
19
20
22
28
29
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34
34
38
39
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41
44
47
49
50
50
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54
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57
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61
65
71
73
73
75
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77
2.2.1 Potenza nel collegamento a stella
2.2.1.1 Potenze in una stella equilibrata
2.2.1.2 Potenze in una stella squilibrata
2.2.2 Potenze nel collegamento a triangolo
2.2.2.1 Potenze in un triangolo equilibrato
2.2.2.2 Potenze in un triangolo squilibrato
2.3 Rifasamento nei sistemi trifase
2.4 La potenza trifase complessa
Problemi
3 MISURA DELLA POTENZA TRIFASE
3.1 Misurare la potenza elettrica
3.1.1 Il wattmetro analogico
3.1.2 Wattmetro digitale e analizzatori di energia trifase
3.2 Misura della potenza nei sistemi trifase simmetrici ed equilibrati
3.2.1 Misura della potenza nei sistemi equilibrati a 4 fili
3.2.2 Misura della potenza nei sistemi equilibrati a 3 fili
3.2.2.1 Misura della potenza con centro stella artificiale
3.3 Metodi generali per la misura della potenza attiva nei sistemi trifase
3.3.1 Misura della potenza con tre wattmetri nei sistemi a 4 fili
3.3.2 Misura della potenza con tre wattmetri e centro stella artificiale
3.3.3 L’inserzione Aron
3.3.4 Inserzione Aron: espressione analitica delle letture dei wattmetri
3.3.5 L’inserzione Aron nei sistemi simmetrici ed equilibrati
3.3.5.1 Potenza reattiva e tan φ con l’inserzione Aron
3.4 Misura della potenza reattiva nei sistemi trifase
3.4.1 Il varmetro
3.4.2 Esempi di misura della potenza reattivva con varmetri
3.4.3 Wattmetri in quadratura
3.4.4 L’inserzione Righi
3.4.5 L’inserzione Barbagelata
Problemi
77
78
80
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97
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105
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119
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Simboli e abbreviazioni
Le grandezze complesse o vettoriali sono indicata con lettere in grassetto: es. , , , ecc.
Le stesse lettere in carattere normale indicano i moduli:
L’unità immaginaria è indicata con (
), es.
.
Un numero complesso
in forma polare è indicato con la notazione
, in
cui
è il modulo e il segno ” ” precede il simbolo dell’angolo.
Il complesso coniugato è indicato con l’asterisco:
,
.
I valori massimi delle grandezze (ampiezze) sono indicati con il pedice M: , , ecc.
Valori continui o efficaci sono rappresentati da lettere senza pedici , , ecc.
Abbreviazioni comunemente usate
ddp
fem
cdt
fdp
II
differenza di potenziale
forza elettromotrice
caduta di tensione
fattore di potenza
PRESENTAZIONE
Il presente volume costituisce la naturale continuazione del precedente “Correnti alternate”. Esso
copre, in taluni casi ampliandoli, gli argomenti tipicamente trattati durante un corso di
Elettrotecnica di Istituto Tecnico, settore tecnologico, e può utilmente essere utilizzato per corsi
propedeutici alla formazione universitaria o per aggiornamento professionale.
La conoscenza del sistema trifase è capitolo fondamentale nella formazione dell’esperto in
tecnologie elettriche ed elettroniche e ad esso dovrebbe essere destinato sufficiente tempo e
adeguato approfondimento. Laddove si ritenga necessario maggiore supporto, riflessione e
penetrazione nei concetti di questa complessa materia, può utilmente collocarsi questo lavoro,
peraltro scritto con occhio attento alle particolari criticità che l’argomento presenta.
Il testo è corredato di numerose illustrazioni particolarmente curate per i loro aspetti didattici ed
ogni concetto sviluppato è seguito da uno o più esempi esplicativi e spesso da sintetici riassunti.
Per mettere alla prova le conoscenze acquisite al termine di ogni capitolo si troveranno significativi
problemi da risolvere.
Maggio 2012
Sandro Ronca
III
IV
1 IL SISTEMA TRIFASE
1.1 Il sistema trifase
Il sistema trifase è una tecnica di produzione, trasmissione e utilizzazione dell'energia elettrica
basata sull'utilizzo contemporaneo di tre tensioni uguali e ugualmente sfasate prodotte da
generatori, detti alternatori trifase.
Le tre tensioni sono sfasate tra loro di
e teoricamente potrebbero alimentare tre
diversi circuiti monofase. In tal caso sarebbero necessari 6 conduttori per trasmettere la potenza
elettrica ai tre utilizzatori. Tuttavia, come si vedrà, non è questo il modo in cui il sistema viene
normalmente utilizzato.
1.2 Generazione di un sistema simmetrico di tensioni trifase
Fig. 1.1 – Generatore trifase 'didattico'. Sinusoidi e relativi fasori.
Il sistema trifase si dice simmetrico se le tensioni sono uguali ed ugualmente sfasate.
In figura 1.1 si trova l’esemplificazione didattica di un generatore trifase costituito da tre
conduttori (lati attivi) posti ad una distanza angolare di 120° l’uno dall'altro, che vengono fatti
ruotare, convenzionalmente in senso antiorario, con velocità angolare costante, dentro un campo
magnetico anch’esso costante.
Ogni conduttore diviene sede di una fem sinusoidale e le tre sinusoidi ottenute sono a loro
volta sfasate di 120° l'una rispetto all'altra. Nella situazione rappresentata in figura, all'istante
iniziale la fem istantanea del conduttore 1 è nulla e avrà un massimo quando il conduttore
taglierà l'asse polare Nord-Sud. Se , ,
sono i valori efficaci delle tre fem indotte nei
rispettivi lati attivi, esse si potranno esprimere mediante le seguenti espressioni:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Per simmetria, la terza (1.3) può anche scriversi:
(1.3 a)
perché essa si trova ad essere in ritardo di 240° rispetto alla
, ma anche in anticipo di 120°
sulla medesima.
I fasori sono sfasati tra loro di 120° ovvero di
radianti. I rapporti di fase possono essere
individuati attraverso tre versori1 tradizionalmente indicati con:
versore (operatore di rotazione)
effetto
rotazione di 0°
Rotazione antioraria di 120°
rotazione antioraria di 240°
per cui ogni sistema trifase simmetrico, individuato un fasore tensione , può essere descritto da:
Un versore è un vettore di modulo unitario, che ha il compito di indicare il verso di una grandezza vettoriale ed è
anche interpretabile come operatore di rotazione (v. ad es. Sandro Ronca, Correnti alternate, SBF, 2012, cap.2 e 3)
1
2
(1.4)
(1.5)
(1.6)
questa sequenza è detta diretta ed è quella normalmente utilizzata nella rappresentazione di un
sistema simmetrico di tensioni trifase. La terna di fasori così ottenuta è detta anche terna diretta.
Il senso ciclico delle fasi è la sequenza secondo cui esse si succedono: 1→2→3 (2→3→1; 3→1→2)
per una terna diretta e1→3→2 (3→2→1; 2→1→3) per una indiretta o anticiclica.
Esempio 1.2.1
Si abbia
. In tal caso:
Fig. 1.2 – Esempio di terna diretta di tensioni trifase simmetriche
A proposito della fig. 1.1, notiamo che, sebbene dal punto di vista concettuale un alternatore
trifase potrebbe anche essere realizzato secondo quello schema (campo magnetico fisso e
conduttori che costituiscono l’indotto rotanti all’interno del campo), la realizzazione di un
alternatore reale segue lo schema inverso: il campo magnetico induttore ruota all’interno della
macchina mentre il sistema indotto (i lati attivi) è collocato nello statore, cioè nella parte fissa,
della macchina.
3
I lati attivi non sono poi singoli conduttori, ma avvolgimenti di N spire in cui le N fem, ognuna
generata da un lato attivo, si sommano. Il gruppo di lati attivi che appartiene ad ogni fase viene
spesso detto semplicemente “fase”. Diremo quindi: fase 1, fase 2, fase 3, od anche secondo una
denominazione ancora spesso usata fase R (fase 1), fase S (fase 2) o fase T (fase 3).
Lo schema descritto (campo magnetico induttore rotante, avvolgimenti delle fasi indotte
collocate nello statore), comporta il vantaggio di poter collegare direttamente con l’esterno gli
avvolgimenti di fase, per i quali sono in gioco normalmente potenze elevate.
Se l’induttore non è un magnete permanente, un sistema di due anelli e spazzole serve per
alimentare con una corrente continua gli avvolgimenti del rotore (elettromagnete rotante) che
richiedono però potenze molto ridotte rispetto alla potenza generata dalla macchina.
Cosa si è appreso
un alternatore trifase può generare tre distinte forze elettromotrici sinusoidali
Il sistema di fem generato è simmetrico se le fem sono uguali in modulo e
ugualmente sfasate di 120°
o i ritardi delle fem si determinano in senso orario: se il fasore 2 è spostato di
120° in senso orario rispetto al fasore 1, allora il fasore 2 è in ritardo (di 120°)
sul fasore 1
o una terna di tensioni si dice diretta se le fem si susseguono nell’ordine 1,2,3
cioè se la fem 2 è in ritardo di 120° sulla fem 1 e la fase 3 è in ritardo di 120°
sulla fase 2 (o in anticipo di 120° sulla fase 1)
o negli alternatori reali l’indotto (le fasi su cui sono indotte le fem) è fissa ed è
collocata nello statore. Il campo magnetico rotante induttore è prodotto dagli
avvolgimenti o da magneti permanenti situati nel rotore
o
o
1.3 Collegamento a stella delle fasi generatrici
Fig. 1.3 – Collegamento a stella delle fasi nel generatore ‘didattico’.
4
Naturalmente è necessario collegare le fasi generatrici con i carichi elettrici esterni. Si potrebbe
collegare ogni fase ad un singolo utilizzatore alimentando così, con un solo generatore , tre
distinti circuiti elettrici monofase, ma non è questa la soluzione più vantaggiosa. Le fasi generatrici
vengono normalmente collegate tra loro secondo due schemi: stella e triangolo.
Nel collegamento a stella un terminale di ogni lato attivo è collegato agli altri formando un
nodo comune detto centro stella. Gli altri terminali costituiscono i morsetti di uscita e saranno
collegati ciascuno con una fase (un terminale) dell'utilizzatore (fig. 1.3).
1.3.1 Tensioni di fase e di linea
Nel collegamento a stella le tensioni possono essere misurate tra i terminali 1,2,3 e il terminale
comune 0 (centro stella). Queste sono dette tensioni di fase e si indicano generalmente con il
simbolo E. Tuttavia è possibile misurare anche le tensioni tra una fase e l'altra: V12, V23, V31.
Queste sono le cosiddette tensioni di linea o concatenate.
Fig. 1.4 – Tensioni di fase E e tensioni concatenate o di linea V nel collegamento a stella
Le tensioni concatenate si ottengono per differenza di due tensioni di fase consecutive:
(1.7)
(1.8)
(1.9)
In figura 1.4 sono rappresentate le sinusoidi delle tensioni di fase (tratteggiate) e delle tensioni
concatenate con i rispettivi fasori. La relazione tra i moduli dei due sistemi di tensioni può essere
ricavata dalla disposizione dei fasori, così come evidenziata in figura 1.5, dove si vede chiaramente
che il modulo di
si ottiene come somma delle proiezioni di
ed .
5
Detto quindi il modulo di
, uguale anche per le altre due tensioni concatenate, ed
comune del modulo delle tensioni di fase si ha:
(1.10)
Fig. 1.5 – Per determinare la relazione tra i moduli delle tensioni di linea e di fase
Fig. 1.6 – Per determinare la relazione di fase tra tensioni di linea e di fase
6
il valore
Il modulo di una qualsiasi delle tensioni di linea è
volte maggiore del modulo di una
qualsiasi tensione di fase. Ciò vale ovviamente se il sistema di tensioni è simmetrico. Si deve però
tener conto anche della relazione tra le fasi dei due sistemi di tensione. In figura 1.6 si sono
disposti diversamente i fasori delle tensioni di linea (concatenate). Questa operazione è sempre
possibile in quanto i vettori sono indipendenti dal punto di applicazione.
Se il vettore viene spostato “parallelamente a se stesso” cioè senza variarne direzione e verso e
senza cambiare il modulo, il vettore rimane lo stesso. Rispettando questa regola, i fasori delle
tensioni di linea sono stati applicati al “centro della stella”2 dei fasori di fase.
Risulta così evidente che la terna delle tensioni di linea è in anticipo di 30° sulla terna delle
tensioni di fase e questo è un fatto del tutto generale, fintantoché le tensioni restano simmetriche.
Dal punto di vista matematico si può individuare l’operatore
di rotazione antioraria di 30° 3:
(1.11)
e dire ad esempio che:
(1.12)
e in generale:
(1.13)
Riassumendo così in un'unica formula quanto sopra discusso. La scrittura
significa che quando
, l’indice (che dovrebbe valere 4), assume nuovamente il valore 1.
Esempio 1.3.1
Si abbia
. Determinare la terna delle tensioni di linea.
Sulla base delle relazioni 1.4, 1.5 e 1.6 si ha per le tensioni di fase:
Applicando ora la 1.13 si trovano le tensioni concatenate (figura 1.7) :
2
Non confondere il centro (punto di applicazione) di una stella di vettori con il “centro stella” fisico delle fasi.
3
il nome u per ricordare l’unitarietà del modulo
.
7
