La storia, i libri di testo, …
Da “Multiformat, mod 10, - Maraschini-Palma”
Euclide (III sec. a.C.) nel I libro degli Elementi distingue:
Termini (23)
Postulati (5)
Nozioni comuni (5)
Nell’attuale terminologia e in molti libri di testo “termini” e “postulati” costituiscono gli assiomi
Tuttavia, in Euclide, la distinzione tra postulato e nozione comune (nel senso appunto di assioma) esiste:
I postulati riguardano la geometria
Le nozioni comuni sono “proprietà logiche” indipendenti dal particolare contenuto geometrico
Però nei libri di testo scolastici gli assiomi di Euclide vengono, in parte, sostituiti da alcuni di Hilbert (ma in
genere non viene esplicitamente detto)
Si potrebbe anche fare uno studio in questo verso…
Hilbert nel 1899, sostituisce agli assiomi di Euclide un insieme formale, composto di 21 assiomi, che evita le
contraddizioni derivanti da quello di Euclide. Indipendentemente e contemporaneamente, uno studente
statunitense di 19 anni, Robert Moore pubblicò un insieme di assiomi equivalenti. È interessante notare
che, sebbene alcuni assiomi siano gli stessi, qualche assioma di Moore è un teorema nel sistema di Hilbert,
e viceversa.
Gli assiomi di Hilbert dal sito: www.batmath.it › Matematica › geo home › Capitolo 0
Assiomi di incidenza
Dati due punti qualsiasi A, B esiste una retta a che contiene entrambi i punti A, B.
Dati due punti qualsiasi A, B non esiste più una retta che contiene entrambi i punti A, B.
Esistono almeno due punti su una retta. Esistono almeno tre punti che non giacciono su una retta.
Dati tre punti qualsiasi A, B, C che non giacciono sulla stessa retta esiste un piano α che contiene
ciascuno dei tre punti A, B, C. Per ogni piano esiste un punto che gli appartiene.
Dati tre punti qualsiasi A, B, C che non giacciono sulla stessa retta esiste non più di un piano che
contiene ciascuno dei tre punti A, B, C.
Se due punti A, B di una retta a giacciono su un piano α allora ogni punto di a giace sul piano α.
Se due piani α, β hanno un punto A in comune, allora essi hanno almeno un altro punto B in
comune.
Esistono almeno 4 punti che non giacciono su un piano.
Assiomi di ordine
Se un punto B giace tra un punto A e un punto C allora i punti A, B, C sono tre distinti punti di una
retta e B giace anche tra C ed A.
Dati due punti A e C, esiste sempre almeno un punto B sulla retta AC tale che C giace tra A e B.
Dati tre punti su una retta esiste non più di un punto che giace tra gli altri due.
Siano A, B, C tre punti che non giacciono su una retta e sia a una retta nel piano ABC che non
incontra nessuno dei tre punti A, B, C. Se la retta a passa per un punto del segmento AB, passa
anche per un punto del segmento AC, o per un punto del segmento BC.
Assiomi di congruenza
Se A, B sono due punti su una retta a, e A' è un punto sulla stessa o un'altra retta a' allora è sempre
possibile trovare un punto B' su un dato lato della linea a' tale che AB e A'B' siano congruenti.
Se un segmento A'B' e un segmento A"B" sono congruenti allo stesso segmento AB, allora i
segmenti A'B' e A"B" sono congruenti tra di loro.
Su una retta a siano AB e BC due segmenti che, eccettuato B, non hanno punti in comune. Inoltre,
sulla stessa o un'altra retta a', siano A'B' e B'C' due segmenti che, eccettuato B', non hanno punti in
comune. In questo caso, se AB è congruente ad A'B' e BC è congruente a B'C', allora AC è
congruente ad A'C'.
Se ABC è un angolo e B'C' è un raggio, allora esiste esattamente un raggio B'A' su ogni lato della
retta B'C' tale che A'B'C' e ABC siano congruenti. Inoltre ogni angolo è congruente a se stesso.
Se per due triangoli ABC e A'B'C' vale che AB è congruente ad A'B', AC è congruente ad A'C' e BAC
è congruente a B'A'C', allora anche gli angoli ABC e A'B'C' sono congruenti.
Assioma di parallelismo
Sia a una retta ed A un punto fuori di essa. Allora esiste al più una retta nel piano che contiene a ed
A, che passa per A e non interseca a.
Assiomi di continuità
Se AB e CD sono due segmenti, esiste un numero n tale che n copie di CD costruite
consecutivamente da A lungo il raggio AB andranno oltre il punto B (Assioma di Archimede).
E' impossibile ampliare un insieme di punti su una retta con il suo ordine e con relazioni di
congruenza che conservino le relazioni esistenti tra gli elementi originali e gli assiomi di ordine e
congruenza sulla retta (Assioma di continuità ).
Hilbert afferma esplicitamente che dall'assunzione che non esistono parallele segue che la somma degli
angoli di un triangolo è più grande di due retti. Inoltre ricorda anche che altri postulati oltre quello di
parallelismo possono essere negati senza contraddizione, e che esistono molte altre geometrie logicamente
possibili, oltre alle note geometrie non euclidee.
Vogliamo porre in particolare l'accento sul primo degli assiomi di continuità (Assioma di Archimede).
Questo postulato era in realtà già adombrato da Euclide, nella Definizione quarta del Libro 5: Si dice che
hanno fra loro rapporto grandezze le quali possono, se moltiplicate, superarsi reciprocamente.
Questo assioma è raramente introdotto in maniera esplicita nei testi elementari di geometria,
probabilmente perché non è facile farne capire l'importanza. Come già per il postulato delle parallele, il suo
significato si può capire a fondo solo costruendo un sistema dove esso non valga. Lo stesso Hilbert propone
un modello di Geometria non archimedea, ma la sua trattazione non è semplice. Oggi l'idea di una retta
reale non-archimedea ha assunto una grande importanza per l'uso che se ne fa nella costruzione dei numeri
iperreali, introdotti, tra l'altro, per una trattazione alternativa del concetto di limite e di quelli connessi
dell'analisi.
Noi vogliamo qui proporre un modello molto semplice in cui questo
principio non vale, solo per aiutare a capire il problema. Si consideri un insieme di due (o più) rette
parallele, che possiamo supporre equidistanti, tanto per fissare le idee. Su ciascuna di esse si fissi lo stesso
verso, per esempio da sinistra a destra. I punti sulle rette si pensino disposti in successione: quelli della
prima retta vengono prima di quelli della seconda, e così via. Per questo insieme di punti si può anche
parlare di segmenti congruenti, sia quando stanno su una stessa retta, sia quando stanno su rette diverse, e
tuttavia esso è un insieme in cui non vale il principio di Archimede: qualunque multiplo di un segmento che
sta su una retta non può mai superare un segmento che sta su una retta successiva.
