Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità
30 maggio 2017
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Indice
1 Concetti Base
1
1.1
Il modello matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
La funzione di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1
2
La probabilità
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Calcolo Combinatorio
2.1
6
Principi fondamentali
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Fonti per testo e immagini; autori; licenze
6
7
3.1
Testo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
Immagini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3
Licenza dell’opera
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capitolo 1. Concetti Base
1/7
Capitolo 1
Concetti Base
1.1 Il modello matematico
Il modello matematico Definiamo esperimento aleatorio un’osservazione relativa a un qualsiasi fenomeno il cui esito non sia prevedibile con certezza. Per
dare un modello matematico si seguono tre passi:
1. Si identifica un insieme Ω che contiene tutti i possibili esiti dell’esperimento
in esame e lo si definisce spazio campionario (in inglese sample space).
Per esempio se l’esperimento aleatorio fosse il lancio di un dado a 6 facce
potremmo scegliere Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , se invece fosse il lancio n volte di
una moneta, chiamando T e C i due esiti possibili si avrebbe Ω = {T, C}n
. Osserviamo in primo luogo che la scelta di Ω non è univoca poiché esso
non deve contenere tutti e soli gli esiti dell’esperimento.
2. Si stabilisce l’evento in esame, cioè si fa un’affermazione riguardante l’esito
dell’esperimento aleatorio la quale può essere verificata per alcuni esiti e non
verificata per altri. Matematicamente è identificato con un sottoinsieme A
di Ω che contiene tutti e soli gli esiti per cui l’evento si verifica. Per esempio
nel caso del dado potremmo considerare l’evento: “esce un numero pari” e
indentificarlo con l’insieme A = {2, 4, 6} , nel caso del lancio della moneta
potremmo studiare l’evento: “esce testa al primo lancio” e identificarlo con
l’insieme A = {T } × {T, C}n−1 . Se Ω è finito o numerabile posso scegliere
come eventi tutti i suoi sottoinsiemi, tuttavia se Ω è più che numerabile
dovremo restringerci ad alcuni sottoinsiemi per escludere casi patologici.
Occorre dunque specificare una classe A ⊆ P(Ω) di sottoinsiemi che considereremo come eventi. Richiederemo che la classe A sia una σ -algebra,
cioè che:
1)Ω ∈ A
2)A ∈ A ⇒ Ac ∈ A
∪
3)A1 , A2 , ..., An , ... ∈ A ⇒
An ∈ A
n∈N
Risulta dunque necessario per approcciarsi al calcolo delle probabilità avere
delle nozioni di teoria della misura.
Capitolo 1. Concetti Base
2/7
3. Fissati uno spazio campionario Ω e una σ -algebra A su Ω si assegna un
“grado di fiducia” a ciascun evento A ∈ A , espresso mediante un numero
P (A) ∈ [0, 1] detto probabilità dell’evento A . Matematicamente di definisce
una funzione P : A → [0, 1] detta probabilità che soddisfi determinate
proprietà:
(a) P (Ω) = 1 , cioè la probabilità che l’esito dia uno degli esiti possibili è
chiaramente massima.
(b) A, B ∈ At.c.A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) detta proprietà
dell’additività finita.
Facendo uso di un’interpretazione frequentista potremmo dire che, qualora sia
possibile ripetere l’esperimento un numero elevato di volte nelle medesime condizioni e in modi indipendenti, la probabilità di un evento P (A) si identifica con
la frequenza di volte in cui tale evento di verifica cioè P (A) = (numero di volte
in cui si verifica l’evento A)/(numero di ripetizioni). Mediante questa interpretazione risulta perfettamente logica la seconda proprietà. Possiamo ora estendere
questa proprietà a un numero infinito di eventi:
∀(An )n∈N ⊆ A tali che Ai ∩ Aj = ∅ ∀i ̸= j ⇒ P (
∪
An ) =
n∈N
∑
P (An )
n∈N
Ora che abbiamo fissato le notazioni definiamo la coppia (Ω, A) spazio misurabile,
e la terna (Ω, A, P ) spazio di probabilità.
1.2 La funzione di probabilità
1.2.1 La probabilità
Definizione (Probabilità):
La probabilità è una funzione P : A → [0, 1] tale che:
1. P (Ω) = 1
2. ∀(An )n∈N ⊆ A tali che Ai ∩ Aj = ∅ ∀i ̸= j ⇒ P (
∪
n∈N An )
=
∑
n∈N P (An )
Proposizione
Da queste due seguono altre proprietà:
• P (∅) = 0
• ∀A, B ∈ A t.c. A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Dimostrazione:
∪
Si ha che ∅ = n∈N An ove An = ∅ ∈∑A∀n , e dunque
∑ sono disgiunti. Per
P
(A
)
=
la proprietà (ii) si ottiene che P (∅) =
n
n∈N P (∅) ∈ [0, 1] .
n∈N
Capitolo 1. Concetti Base
3/7
∑
Se per assurdo P (∅) > 0 si avrebbe
n∈N P (∅) = +∞ dunque dovrà essere P (∅) = 0 . Sia ora A1 = A, A2 = B e An = ∅ ∀n > 2 . Abbiamo così creato una successione
(A∑
n )n∈N ⊆ A di insiemi disgiunti, ottenendo dunque
∪
P (A ∪ B) = P ( n∈N An ) = n∈N P (An ) = P (A) + P (B) + 0 = P (A) + P (B)
Da queste proprietà si deduce che la probabilità non è altro che una misura su
(Ω, A) con massa totale pari a 1. Dunque in generale avendo uno spazio di misura
(Ω, A, µ) finito, cioè con µ(Ω) < +∞ , possiamo sempre definire una probabilità
ponendo P (A) = µ(A)/µ(Ω) ∀ A ∈ A . Ciò significa che probabilità e misure
finite sono uguali a meno di una costante moltiplicativa, tuttavia il calcolo delle
probabilità non risulta solo un caso specifico della teoria della misura, poiché ci
si pongono domande ben diverse.
Definizione (Densità discreta):
Sia Ω un insieme generico. Una funzione p : Ω → R+ si dice densità discreta se
soddisfa:
• p(ω) ≥ 0 ∀ω ∈ Ω
∑
•
ω∈Ω p(ω) = 1
Osservazione: Affinché una somma (probabilmente infinita) di termini positivi
sia finita è necessario che E = {ω ∈ Ω : p(ω) ̸= 0} sia un insieme finito o
numerabile. Possiamo dunque definire una densità discreta scegliendo l’insieme
E ⊆ Ω finito o numerabile in cui vogliamo che sia non nulla, ponendo p(ω) =
0∀ω ∈
/ E e definendo p(ω)∀ω ∈ E .
Definizione (Probabilità discreta):
Sia Ω un insieme generico su cui è definita una densità discreta p . Si definisce
probabilità discreta associata
∑ alla densità p la probabilità P : P → [0, 1] definita
ponendo ∀A ⊆ Ω P (A) := ω∈A p(ω) .
Proposizione
Tale definizione è ben posta, cioè la funzione P è effettivamente una probabilità.
Dimostrazione:
Si ha innanzitutto che P (Ω) = 1 per definizione di densità discreta. Sia ora
(An )n∈N ⊆ P(Ω) : Ai ∩ Aj = ∅ ∀i ̸= j =⇒
(
)
∑
∪
∑
∑
∑
∑ ∑
p(ω) =
P (An )
P(
An ) =
p(ω) =
p(ω)+
p(ω)+... =
n∈N
ω∈
∪
n
An
ω∈A1
ω∈A2
n∈N
ω∈An
n∈N
Proposizione
Sia (Ω, P(Ω), P ) uno spazio di probabilità finito o numerabile, allora P altro non
è che la probabilità discreta associata alla densità di probabilità p definita da
p(ω) = P ({ω})∀ω ∈ Ω .
Dunque se un esperimento aleatorio ha un insieme di esiti finito o numerabile è
prassi definire la probabilità di ogni singolo esito ω ∈ Ω e da questa ricavare la
Capitolo 1. Concetti Base
4/7
probabilità degli eventi visti come insiemi di esiti favorevoli.
Proposizione
Sia (Ω, A, P ) uno spazio di probabilità. allora vale che:
• ∀A, B ∈ A : A ⊆ B si ha che P (B\A) = P (B)−P (A), in particolare P (A) ≤
P (B)
• P (Ac ) = 1 − P (A)
• ∀A, B ∈ A si ha che P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B), in particolare P (A∪
B) ≤ P (A) + P (B)
Dimostrazione:
Si ha che:
• Se A ⊂ B possiamo scrivere B = A⊔(B\A) dunque P (B) = P (A)+P (B\A)
da cui P (B \ A) = P (B) − P (A) .
• P (Ac ) = P (Ω A) = P (Ω) − P (A) = 1 − P (A) .
• In generale possiamo scrivere B = (A ∩ B) ⊔ (B \ A) quindi P (B) = P (A ∩
B) + P (B \ A) da cui si ricava P (B \ A) = P (B) − P (A ∩ B) . Scrivendo
ora A ∪ B = A ⊔ (B \ A) si ottiene P (A ∪ B) = P (A) + P (B \ A) =
P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Osservazione:
Siano A, B, C tre eventi generici. Allora si ha che
P (A ∪ B ∪ C) = P ((A ∪ B) ∪ C) = P (A ∪ B) + P (C) − P ((A ∪ B) ∩ C) =
= P (A ∪ B) + P (C) − P ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) =
= P (A ∪ B) + P (C) − (P (A ∩ C) + p(B ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C)) =
= P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C).
Proposizione (Principio di inclusione-esclusione):
(
∀A1 , ..., An ∈ A =⇒ P
n
∪
i=1
)
Ai
=
n
∑
k=1
(−1)k+1 ·

∑
P
J⊂{1,..,n},|J|=k
∩

Aj 
j∈J
Definizione
Siano (An )n∈N sottoinsiemi di Ω e sia A un altro sottoinsieme di Ω . Scriveremo:
• An ↑ A per indicare che An ⊂ An+1 ∀n ∈ N e A =
diremo che An converge dal basso verso A .
∪
n∈N An
, in tal caso
Capitolo 1. Concetti Base
5/7
• An ↓ A per indicare che An ⊃ An+1 ∀n ∈ N e A =
diremo che An converge dall’alto verso A .
∩
n∈N An
, in tal caso
Proposizione
Valgono le seguenti proprietà:
1. An ↑ A ⇔ Acn ↓ Ac
2. se An ↑ A e Bn = An ∪ Ac ⇒ Bn ↑ Ω
∪
∪
3. siano (Cn ) generici e sia An = ni=1 Ci ⇒ An ↑ A := i∈N Ci
4. se An ↑ A e Bn = An \ An−1 (posto A
∪0n= ∅ ⇒ B1 =∪A1 ) =⇒ Bn ∩ Bm =
∅ ∀n ̸= m cioè i Bn sono disgiunti e i=1 Bi = An , i∈N Bi = A .
Teorema
Sia (Ω, A) uno spazio misurabile e sia P : A → [0, 1] tale che P (Ω) = 1 e P sia
finitamente additiva, cioè P (A ⊔ B) = P (A) + P (B) se A ∩ B = ∅. Allora le
seguenti condizioni sono equivalenti:
1. P è una probabilità, ossia è σ -additiva.
2. P è continua dal basso, ossia An ↑ A ⇒ P (An ) ↑ P (A)
3. Se An ↑ Ω ⇒ P (An ) ↑ 1
4. P è continua dall’alto, ossia An ↓ A ⇒ P (An ) ↓ P (A)
5. Se An ↓ ∅ ⇒ P (An ) ↓ 0
Dimostrazione:
1) ⇒ ∪
2) Sia An ↑ A e sia Bn = An \ An−1 , allora i Bn sono disgiunti e
An e n∈N Bn = A . Allora si ha
P (A) = P (
∪
Bn ) =
n∈N
= lim P (
N →∞
N
∪
n=1
∑
P (Bn ) = lim
n∈N
N →∞
N
∑
∪n
i=1 Bi
=
P (Bn ) =
n=1
Bn ) = lim P (AN ) =⇒ P (AN ) ↑ P (A)
N →∞
2) ⇒ 3) è banale poiché 3) è un caso particolare di 2).
3) ⇒ 2) si ha perché se An ↑ A posto Bn = An ∪ Ac ⇒ Bn ↑ Ω e dunque P (Bn )
Capitolo 2. Calcolo Combinatorio
Capitolo 2
Calcolo Combinatorio
2.1 Principi fondamentali
Per calcolo combinatorio si intendono le tecniche utilizzate per contare il numero
di elementi di un dato insieme. Lavoreremo essenzialmente con insiemi finiti.
Indicando con |A| la cardinalità dell’insieme A si ha che:
1. Se A = B ∪ C e B ∩ C = ∅ allora |A| = |B| + |C| .
2. Se A = B × C allora |A| = |B||C| .
3. Più in generale se A = A1 × A2 × · · · × An allora |A| = |A1 ||A2 | . . . |An | .
Definizione
Dati k ∈ N e A insieme finito si dicono disposizioni con ripetizione di k elementi
estratti da A le funzioni f : {1 . . . k} → A o equivalentemente gli elementi di Ak
(poiché questi insiemi sono in corrispondenza biunivoca)
Osserviamo innanzitutto che esse non sono altro che sequenze ordinate di k elementi scelti dall’insieme A in cui ciascun elemento può comparire più volte. Ci
sono esattamente |A|k disposizioni con ripetizione di k elementi estratti da A .
6/7
Capitolo 3. Fonti per testo e immagini; autori; licenze
7/7
Capitolo 3
Fonti per testo e immagini;
autori; licenze
3.1 Testo
• Corso:Calcolo delle probabilità/Concetti Base/Il modello matematico Fonte: https:
//it.wikitolearn.org/Corso%3ACalcolo_delle_probabilit%C3%A0/Concetti_Base/Il_modello_
matematico?oldid=28111 Contributori: Alice Roitberg, Alessandro Longo, WikiToBot, M.bona
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• Corso:Calcolo delle probabilità/Concetti Base/La funzione di probabilità Fonte:
https://it.wikitolearn.org/Corso%3ACalcolo_delle_probabilit%C3%A0/Concetti_Base/La_
funzione_di_probabilit%C3%A0?oldid=28113 Contributori: Valsdav, Alice Roitberg, ScimmiaSpaziale, Alessandro Longo, WikiToBot, M.bona e Move page script
• Corso:Calcolo delle probabilità/Calcolo Combinatorio/Principi fondamentali Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%3ACalcolo_delle_probabilit%C3%A0/Calcolo_Combinatorio/
Principi_fondamentali?oldid=28107 Contributori: M.bona, Move page script e Anonimo: 1
3.2 Immagini
3.3 Licenza dell’opera
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