2. La similitudine nei triangoli

3 – LA SIMILITUDINE NELLA GEOMETRIA PIANA 2. La similitudine nei triangoli Due triangoli che abbiano i tre angoli ordinatamente congruenti e i tre lati in proporzione si definiscono simili. Per decidere se due triangoli sono simili fra loro, non occorre verificare che siano soddisfatte tutte le condizioni indicate dalla definizione, perché da alcune di tali condizioni seguono le rimanenti. Tre teoremi, comunemente noti con il nome di criteri di similitudine dei triangoli, forniscono condizioni sufficienti affinché due triangoli siano simili. Primo criterio Se due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, allora sono simili. α
Ipotesi β
α
Æ Tesi β
AB
AC
BC
AB
AC
BC
Il solo confronto tra le ampiezze degli angoli, ci permette, dunque, di dedurre la condizione di proporzionalità tra le misure dei lati. Dal primo criterio di similitudine dei triangoli discende direttamente che: − tutti i triangoli equilateri sono simili fra loro; − due triangoli isosceli sono simili se hanno congruenti gli angoli alla base o gli angoli al vertice; − due triangoli rettangoli con un angolo acuto congruente sono simili. Secondo criterio Se due triangoli hanno due lati ordinatamente proporzionali e l’angolo compreso congruente, allora sono simili. 23 I – MATEMATICA E FISICA PER LA SCUOLA SECONDARIA DI II GRADO Ipotesi AB
BC
AB
BC
β
AB
Æ Tesi β
AC
AB
AC
α
γ
BC
BC
α
γ
Terzo criterio Se due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione, allora sono simili. Ipotesi
AB
AC
AB
AC
α
BC
Æ Tesi β
BC
γ
α
β γ
Applicazioni dei criteri di similitudine I criteri di similitudine dei triangoli trovano applicazione nella proporzionalità tra basi e altezze di triangoli simili. In triangoli simili, le basi stanno tra loro come le rispettive altezze. BA B’A’
CH C’H’
Inoltre, i criteri di similitudine dei triangoli si applicano, anche nelle dimostrazioni dei due teoremi di Euclide, a entrambi i triangoli ottenuti conducendo l’altezza relativa 24 3 – LA SIMILITUDINE NELLA GEOMETRIA PIANA all’ipotenusa di un triangolo rettangolo. Primo teorema di Euclide In un triangolo rettangolo, ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa. AB
AC
CB · HB CB · CH Secondo teorema di Euclide In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipo‐
tenusa è media propor‐
zionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. AH
CH · HB I criteri di similitudine dei triangoli trovano applicazione anche nei teoremi relativi alla circonferenza. 25