1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA 2 Densità di carica e di

1
LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
Un conduttore ideale all’equilibrio elettrostatico ha un campo elettrico nullo
al suo interno. Cosa succede se viene generato un campo elettrico diverso da
zero al suo interno? La risposta è la comparsa di cariche in moto, vale a dire
di una corrente. La nascita della corrente elettrica è dovuta all’ideazione da
parte di Alessandro Volta (1745-18279 della pila (1800). Il concetto di corrente
rende possibile studiare in maniera quantitativa il fenomeno del magnetismo.
Lo scopo di questo capitolo sarà solo quello di introdurre alcuni concetti legati
alla corrente elettrica, mentre il legame tra correnti e magnetismo sarà mostrato
in seguito.
La corrente elettrica è definita come la quantità di carica che nell’unità di
tempo attraversa una sezione δa qualunque del conduttore:
dQ
(1)
dt
Purtroppo tale definizione non si collega direttamente al moto microscopico
delle cariche elettriche ovvero ai portatori di cariche. E’ necessario pertanto,
rifarsi ad un modello microscopico sul moto delle cariche.
I=
2
Densità di carica e di corrente
Sia dQ la carica contenuta in un volume d3 r. La densità di carica, indicata con
ρ, è definita dalla seguente relazione:
dQ = ρd3 r
(2)
Nel caso di una corrente le cariche sono in moto. I portatori possono essere
sia positivi che negativi. In ogni caso, supporremo che ciascun portatore abbia
una sola carica fondamentale. Pertanto, se si indica con n la densità numerica
(numero di particelle per unità di volume) di portatori, potremo scrivere:
ρ = nq
(3)
dove q è la carica fondamentale, che ciascun portatore ha con sé.
Possiamo procedere con un modello microscopico. In condizioni di equilibrio
elettrostatico, il campo elettrico in un conduttore è nullo. Se tuttavia, ai suoi
estremi si genera una differenza di potenziale, al suo interno si crea un campo
elettrico diverso da zero. Tale campo produce una forza elettrica che mette in
moto le cariche elettriche mobili del conduttore. Limiteremo il nostro studio
alle correnti che non variano nel tempo (correnti stazionarie).
Si consideri un conduttore filiforme di sezione costante δa. Se tutte le cariche
in moto hanno la stessa velocità v (questa velocità comune è detta velocità di
deriva), dopo un tempo ∆t il numero di cariche contenute nel suddetto volumetto di base δa ed altezza v∆t sarà:
∆N = nvδa∆t
1
(4)
Se moltiplichiamo per la carica fondamentale ciascun membro della (4) avremo
la quantità di carica presente nello stesso volumetto:
∆Q = ρvδa∆t
(5)
Dividiamo per l’intervallo temporale
∆Q
ρvδa∆t
=
∆t
∆t
e passando al limite per ∆t → 0,
∆Q
= ρvδa
∆t
troviamo proprio la corrente che fluisce nel conduttore, cioé
lim
∆t→0
I = ρvδa
(6a)
Se introduciamo il seguente vettore, detto densità di corrente:
j = ρv
(7)
I = jδa
(6b)
potremo scrivere
Al secondo membro abbiamo il modulo di un vettore per una superficie, cioè
un tipico flusso di un vettore attraverso una superficie. Se la densità e la velocità
cambiano da punto a punto, potremo scrivere:
Z
I=
d2 aua · j
(8)
δa
Una corrente può sempre pensarsi come il flusso di un vettore densità di
corrente attraverso la superficie considerata.
2.1
Densità di corrente e portatori di carica
Abbiamo detto che la corrente, in generale può essere costituita sia da portatori
di carica positiva che di carica negativa. Potremo allora scrivere
j− = ne qe v
j+ = nqv
2
(9)
Ricordiamo che, per convenzione, la carica dell’elettrone è negativa. Ancora
per convenzione, si è scelto come corrente positiva quella dei portatori di carica
positiva, cioè
j = j+ = nqv
(10)
Nei conduttori metallici i portatori sono gli elettroni, quindi il moto reale è
opposto a quello definito positivo per convenzione.
3
Legge di Ohm
In condizioni di equilibrio elettrostatico, il campo elettrico in un conduttore è
nullo. Se tuttavia, ai suoi estremi si genera una differenza di potenziale, al suo
interno si genera un campo elettrico. Questo campo produce una forza elettrica
che mette in moto le cariche elettriche mobili del conduttore: si genera, così,
una corrente elettrica nel conduttore.
Ci limiteremo allo studio delle correnti stazionarie, cioè alle correnti che non
variano nel tempo.
Esperimenti condotti su una classe di conduttori, (unico oggetto della nostra
attenzione) hanno mostrato che il campo elettrico generato nel conduttore, in
seguito all’applicazione ai suoi estremi di una differenza di potenziale, è proporzionale alla densità di corrente
E = rσ j
(11)
dove rσ è una costante, detta resistenza specifica, che dipende solo dal materiale.
La precedente equazione è detta legge locale di Ohm (Georg Simon Ohm, 17891854, Germania). La convenzione adottata per il verso del campo è quella che
va dai punti a potenziale maggiore a quelli a potenziale minore.
La legge di Ohm che abbiamo appena presentato ha il vantaggio concettuale
di anteporre il concetto di campo a quello di corrente: senza la creazione del
campo elettrico all’interno del conduttore non vi sarebbe il moto delle cariche
e quindi la corrente. Tuttavia, una seconda forma, detta forma integrale della
legge di Ohm è estremamente importante, perché si presta ad una immediata
3
verifica sperimentale e perché contiene in maniera esplicita la corrente elettrica
che nel S.I. è una unità di misura fondamentale.
Si prenda un filo conduttore, di sezione costante δa e lunghezza L. La
differenza di potenziale ai capi del conduttore può scriversi come
∆V = EL
Il campo è dato dalla legge di Ohm, per cui la precedente relazione diventa
∆V = rσ jL
Non rimane che esprimere la densità di corrente in funzione della corrente.
Poiché siamo in regime stazionario, avremo
I = jδa
e quindi
∆V =
rσ L
I
δa
La quantità
L
1 L
=
(12)
δa
σ δa
si chiama resistenza del conduttore e si misura in ohm (Ω). Allora, rσ si misura
−1
in Ωm e la quantità σ, detta conducibilità, si misurerà in (Ωm) .
La legge di Ohm dice anche che la corrente che fluisce nel conduttore è
proporzionale alla differenza di potenziale ai capi del conduttore:
R = rσ
∆V = RI
(13)
Le dimensioni di R, nel S.I., sono quelle di volt su ampère,
V
A
Notiamo che per i conduttori ohmici (così sono chiamati i materiali che
"seguono" la legge do Ohm), la corrente si può anche scrivere
Z
I=σ
E · ua d2 a
(14)
[R] =
δa
dove δa è la sezione trasversa del conduttore.
4
3.1
Legge di Ohm per un circuito
Per generare una corrente in un conduttore occorre stabilire una differenza di
potenziale ai suoi capi A e B. Questa differenza di potenziale viene generata da
un apposito apparato, detto generatore di corrente continua o batteria, esterno
al conduttore (si faccia riferimento alla figura seguente):
In particolare, il dispositivo mostrato in figura è detto circuito elettrico.
Il conduttore, in relazione alla corrente continua di cui stiamo discutendo, è
caratterizzato dalla sola resistenza R, mentre il generatore sarà caratterizzato
da una forza elettromotrice Vf em e da una resistenza elettrica RG (resistenza
interna).
Il circuito elettrico sarà schematizzato come segue
dove il simbolo grafico
indica il generatore, mentre il simbolo
5
rappresenta una resistenza.
Per convenzione, la corrente fluisce, all’esterno del generatore dal polo positivo al polo negativo. La corrente che scorre nel circuito è determinata dalla
legge di Ohm, con in serie le resistenze R ed RG :
I=
Vf em
R + RG
(15)
che possiamo riscrivere come:
RI = Vf em − IRG
La quantità RI è uguale, per la legge di Ohm, alla differenza di potenziale
∆V ai capi A e B del conduttore. Quindi, la (15) si può scrivere:
∆V = Vf em − IRG
(16)
La (16) ci dice che la differenza di potenziale ai capi A e B della resistenza
è sempre inferiore alla forza elettromotrice Vf em fornita dal generatore (si dice
che vi è una caduta di potenziale o di tensione ai capi della resistenza). La
eguaglia solo nel caso in cui il circuito sia aperto (I = 0):
∆V = Vf em
(17)
Supponiamo ora che la resistenza R del conduttore sia praticamente nulla:
In tal caso, si parla di "corto circuito" (suol dirsi che il circuito è in corto) e
dalla (15) si può dedurre la corrente Icc detta, appunto, di corto circuito. Posto
R = 0 nella (15) avremo
6
Icc =
Vf em
RG
(18)
In definitiva, possiamo dire che la corrente elettrica in un circuito, con solo
resistenze, può assumere diversi valori in funzione della resistenza e della differenza di potenziale, in particolare, può andare da un valore nullo, quando il
circuito è aperto, ad un valore massimo Icc , che si ha in corto circuito.
3.2
Esempi
Esempio 1: Resistenze in serie
Si abbiano due conduttori di resistenza R1 ed R2 in un circuito elettrico
collegati come nella figura seguente
Diremo che le due resistenze sono in serie. Vogliamo determinare la resistenza equivalente Req (la resistenza fittizia che si può sostituire alle due resistenze senza cambiare le proprietà del circuito) delle due resistenze.
Ai capi delle due resistenze avremo, rispettivamente,
∆VAB = R1 I
∆VBC = R2 I
(E1)
La differenza di potenziale tra i punti A e C sarà
∆VAC = ∆VAB + ∆VBC
(E2)
che per la (1) diventa:
∆VAC = R1 I + R2 I = (R1 + R2 ) I
Possiamo concludere che la resistenza equivalente è
Req = R1 + R2
(E3)
Esempio 2: Resistenze in parallelo.
Si abbiano due conduttori di resistenza R1 ed R2 in un circuito elettrico
collegati come in figura
7
Diremo che le due resistenze sono in parallelo. Vogliamo determinare la
resistenza equivalente Req (la resistenza fittizia che si può sostituire alle due
resistenze senza cambiare le proprietà del circuito) delle due resistenze.
Per la legge di Ohm, le correnti nelle due resistenze saranno
I1 =
∆VAB
R1
I2 =
∆VAB
R2
(E4)
La corrente totale sarà
I = I1 + I2 =
∆VAB
= ∆VAB
R
da cui
1
1
1
=
+
Req
R1 R2
µ
1
1
+
R1 R2
¶
(E5)
ovvero
R1 R2
(E6)
R1 + R2
che rappresenta la resistenza equivalente nel caso di due resistenze collegate in
parallelo.
Dai due esempi appena sviluppati è possibile estrapolare alcune considerazioni.
Per N resistori (così si chiamano i conduttori caratterizzati da una "resistenza") collegati in "serie", la resistenza equivalente è uguale alla somma
delle singole resistenza
N
X
Req =
Ri
(E7)
Req =
i=1
Da ciò emerge che la resistenza equivalente di un insieme di resistenze collegate
in serie è maggiore di ogni resistenza che fa parte della serie.
Per N resistori collegati in "parallelo", invece, la resistenza equivalente è pari
a
1
Req = PN
(E8)
i=1 Ri
8
da cui si evince che la resistenza equivalente, nel collegamento in parallelo, è
sempre minore della resistenza più piccola.
Non si può non notare l’analogia con il collegamento di condensatori e la corrispondenza "incrociata": il collegamento in parallelo dei condensatori è analogo
(formalmente) al collegamento in serie delle resistenze (e viceversa)
3.3
Effetto joule
Le cariche in moto nei conduttori subiscono continuamente degli urti. Questi
urti sono paragonabili a forze di attrito che rallentano le particelle cariche. La
presenza di questo attrito porterà alla dissipazione di parte della loro energia
che poi apparirà sotto forma di riscaldamento del conduttore (effetto Joule).
Vogliamo determinare l’energia dissipata nell’unità di tempo.
Il lavoro fatto dal campo elettrico per spostare una carica infinitesima dQ
tra due punti del conduttore, tra i quali vi sia una differenza di potenziale ∆V
è
dL = dQ∆V
Poichè la velocità iniziale e finale della carica sono identiche, ciò implica che
tutto il lavoro del campo verrà dissipato (la forza dissipativa compie un lavoro
pari e di segno opposto a quello del campo). Il calore dissipato per unità di
tempo sarà
dL
dQ
=
∆V = I∆V
dt
dt
Usando la legge di Ohm in forma integrale ∆V = RI, arriviamo alla seguente
espressione dell’energia dissipata per unità di tempo nel conduttore:
dL
(19)
= RI 2
dt
che esprime, in forma quantitativa, l’effetto Joule (e rappresenta l’energia dissipata per unità di tempo attraverso gli urti degli elettroni di conduzione del
metallo contro gli altri elettroni del metallo e le varie imperfezioni).
3.4
La forza elettromotrice e il campo elettrico non conservativo
Abbiamo visto che per produrre una corrente occorre una sorgente di energia
(la batteria) che spinga gli elettroni in movimento nel conduttore. Il moto
degli elettroni viene impedito dalla resistenza del circuito che si manifesta con il
fenomeno della dissipazione di energia in calore. Vogliamo mostrare che l’energia
che viene dissipata trae origine da un campo elettrico non conservativo.
Consideriamo un filo di rame di lunghezza L e sezione a chiuso. Se non si inserisce una batteria non avremo corrente, come sappiamo. Questo risultato può
9
essere visto in altro modo. Se il campo elettrico esistesse dentro il conduttore
esso sarebbe di tipo ohmico
E=
j
Ra
R
=j
=I
σ
L
L
Calcoliamo la circuitazione di questo campo
I
I
R
dl = RI
E · dl = I
L
Se il campo è conservativo
I
e di conseguenza
E · dl = 0
RI = 0
→
I =0
La corrente elettrica non può originarsi da un campo conservativo. Allora il
campo elettrico totale in un conduttore, quando vi è corrente, deve contenere
anche un campo elettrico non conservativo e questo deve originarsi dalla batteria. Pertanto, in presenza di una corrente il campo elettrico totale deve essere
la somma di due parti,
Etot = Ef em +Ec
dove Ef em è la parte non conservativa del campo elettrico, mentre Ec è la parte
conservativa. Allora
I
I
R
(Ef em +Ec ) · dl = I
dl = RI
L
Poiché,
avremo
La quantità
I
I
Ec · dl = 0
Ef em · dl = RI
Vf em =
I
Ef em · dl
è la forza elettromotrice della batteria.
4
La densità di energia elettrostatica
Abbiamo parlato di energia dissipata in un circuito percorso da corrente. Il
problema dell’energia elettrostatica, cioè dell’energia associata a cariche ferme,
è stato discusso, nei complementi del precedente capitolo. In questa sezione
vogliamo ridimostrare, usando un esempio molto semplice, che è possibile pensare che l’energia elettrostatica sia distribuita con continuità nello spazio dove
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è presente il campo elettrico. In altre parole, è possibile introdurre nello spazio
dove è presente il campo elettrostatico una densità di energia. In questo modo,
la realtà del campo assumerà un valore ancora maggiore.
Partiamo dall’energia immagazzinata in un condensatore piano. Che ci sia
energia immagazzinata lo si comprende dal fatto che accumulare cariche positive
e negative su due diverse armature ha un costo energetico che viene fornito dalla
batteria (vedi carica e scarica di un condensotore). Man mano che si accumulano
i due diversi tipi di carica sulle armature, si genera una differenza di potenziale
tra le due armature che dipende dalla carica istantanea che vi è presente
V (t)) =
Q (t)
C
(1)
Se ipotizziamo che inizialmente non vi sia alcuna energia accumulata nel condensatore possiamo calcolare il lavoro fatto dalla batteria (dal campo elettrico)
per accumulare sulle armature una carica Qf , come segue:
L (i → f ) =
Z
Qf
V (t) dQ =
0
Z
Qf
0
Q2f
Q (t)
dQ =
C
2C
(2)
Come possiamo notare, il lavoro dipende solo dalla stato iniziale e finale, perché
il campo elettrostatico è conservativo. Poiché inizialmente non vi era energia
nel condensatore possiamo affermare che l’energia elettrostatica accumulata nel
condensatore è
Q2
U=
(3)
2C
dove Q è la carica presente su un’armatura. Possiamo anche scrivere
U=
1
1
QV = CV 2
2
2
(4)
dove V è la differenza di potenziale tra le due armature. L’ultima relazione può
essere utilizzata per derivare l’espressione dell’energia elettrostatica in termini
del campo elettrico. Sappiamo che
C=
aε0
d
V = Ed
per cui possiamo scrivere
U=
1 aε0
1
1
2
CV 2 =
(Ed) = ε0 E 2 (ad)
2
2 d
2
(5)
Poiché ad è lo spazio compreso tra le due armature ed è solo in questo spazio
che il campo elettrico è diverso da zero, la quantità
ρE =
1
ε0 E 2
2
(6)
può essere considerata come una densità di energia elettrostatica (energia per
unità di volume). Questo risultato è generale e noi assumeremo che, in ogni caso,
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l’energia elettrostatica si può sempre esprimere come un integrale di volume su
tutto lo spazio dove il campo è diverso da zero:
Z
1
UE = d3 r ε0 E 2 (r)
(7)
2
5
Complementi: cenni sulle leggi di Kirchhoff
Nei circuiti più complessi, la legge di conservazione della carica e dell’energia e
la legge di Ohm generalizzata portano a due leggi, dette di Kirchhoff (Gustav
Kirchhoff, fisico tedesco 1824-1887; le sue leggi sono del 1847).
Per comprendere tali leggi dobbiamo analizzare gli elementi costitutivi di un
generico circuito. In un qualunque circuito si possono distinguere due elementi
caratteristici di base: i nodi e le maglie. Consideriamo il seguente circuito:
Un nodo è un punto del circuito in cui convergono più di due conduttori
(sono nodi i punti A e B della Figura)
Una maglia è un circuito chiuso che non contiene nodi e che, scelto un verso
di percorrenza, può essere percorso senza mai passare più di una volta in un
conduttore. Possibili maglie relative al precedente circuito sono:
Possiamo ora enunciare le due leggi di Kirchhoff.
Prima legge: La somma algebrica dei valori delle correnti, in ogni nodo,
deve essere uguale a zero; o anche, la somma delle correnti entranti in un nodo
deve essere uguale alla somma delle correnti uscenti dal nodo stesso.
X
(±) Ik = 0
(C1)
k
Tale legge è una conseguenza della conservazione della carica nel caso di
correnti stazionarie. La (C1) può essere soddisfatta solo se non si accumulano
o si perdono, cariche nel nodo. Questo vuol dire, che la quantità di corrente
che arriva deve essere pari alla quantità di corrente che lascia il nodo. Si suole
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indicare con il segno positivo le correnti che lasciano il nodo e col segno negativo
quelle che vi arrivano.
Seconda legge: In ogni maglia, La somma dei prodotti dei valori algebrici
delle correnti per le resistenze deve essere uguale alla somma algebrica dei valori
delle f.e.m. presenti nella maglia considerata.
X
X
(±) Rk Ik =
(±) Vf emn
(C2)
n
k
Vogliamo tentare di spiegare la (C2) ed il suo utilizzo. Innanzitutto, ricordiamo
che, per convenzione, il verso positivo della corrente è quello in cui fluiscono le
cariche positive. Questo vuol dire che nei conduttori in esame il verso positivo è
opposto a quello in cui realmente si muovono i portatori della corrente, gli elettroni. Inoltre, poiché è la batteria che fornisce l’energia alle cariche (è la batteria
che ”spinge” le cariche nel circuito), il verso positivo per la forza elettromotrice
sarà (all’interno della batteria) quello che va dal polo negativo al polo positivo.
Nei precedenti grafici, nella prima maglia a sinistra sono entrambi positivi, negli
altri due grafici sono entrambi negativi. Quando la corrente attraversa la resistenza vi è una caduta di potenziale (le cariche perdono energia). Allora, se
la corrente nella resistenza circola nel verso "giusto" (che ricordiamo è fissato
dalla f.e.m della batteria) sarà riportato nella seconda legge con il segno negativo (perdita di energia), con il segno positivo se la corrente circola nel verso
contrario.
La seconda legge è una conseguenza della conservazione dell’energia e della
legge di Ohm.
Nei precedenti grafici le equazioni per le maglie sono:
Vf em1 − R2 I2 + Vel,2 = 0
−Vf em1 + R1 I3 = 0
−Vf em2 + R2 I2 + R1 I3 = 0
Infine, siccome occorrono un numero di equazioni indipendenti pari almeno al
numero di incognite circuitali, esiste una limitazione al numero di equazioni per
i nodi e le maglie. Si può suggerire di usare le equazioni per i nodi in numero
uguale al numero di nodi totali presenti nel circuito diminuito di una unità e,
nel caso delle maglie, di verificare che una maglia si differenzi da un’altra per la
presenza di almeno un elemento circuitale.
6
Complementi: teoria microscopica elementare
della conduzione
Supponiamo di avere una corrente stazionaria in un conduttore (campo elettrico costante!). Ciò vuol dire che i portatori della corrente nel conduttore (gli
13
elettroni) si muovono con velocità costante. La situazione è palesemente diversa
dal moto delle cariche nel vuoto. Se avessimo un campo costante nel vuoto, il
moto dell’elettrone sarebbe determinato da
Me
dv
= qe E
dt
(C3)
dove qe = −e; quindi il moto dell’elettrone nel vuoto risulterebbe accelerato.
Poiché l’elettrone nel mezzo si muove invece con velocità costante, dobbiamo
concludere che la presenza del mezzo fa apparire una seconda forza che annulla
quella del campo. Il modo più semplice di immaginare tale forza è in termini di
una forza di attrito, proporzionale alla velocità. Possiamo allora scrivere, per il
moto di una carica in un conduttore, la seguente equazione del moto:
Me
dv
= qe E − kv
dt
(C4)
dove k è una costante le cui dimensioni sono quelle di una massa divisa per un
tempo.
La soluzione di tale equazione, nel caso in cui al tempo t = 0 la particella
carica sia ferma, è:
¶¸
·
µ
qe
t
v (t) = E 1 − exp −
(C5)
k
tr
dove abbiamo introdotto il tempo di rilassamento:
tr ≡
Me
k
(C6)
Dopo un tempo pari al tempo di rilassamento, la velocità dell’elettrone diventa
praticamente costante (velocità di deriva) ed è pari a:
vD =
qe
E
k
(C7)
Possiamo far apparire il tempo di rilassamento nell’espressione della velocità di
deriva:
vD =
qe
tr E
Me
(C8)
La velocità di deriva per unità di campo elettrico definisce la mobilità della
carica:
qe
vD
tr
=
E
me
Se abbiamo ne cariche per unità di volume, la densità di corrente sarà:
14
(C9)
j = ne qe vD =
ne qe2 tr
E
me
(C10)
Notiamo che
vD =
j
ne qe
(C11)
Se si prende un valore di j = 106 A/m2 si trova che
m
vD ∼
= 7, 4 × 10−5
s
dove abbiamo usato ne = 8, 49 × 1028 el/m3 (rame) e qe = 1, 6 × 10−19 C.
Poiché la velocità media degli elettroni di conduzione nei metalli è dell’ordine
di 106 m/s, possiamo concludere che l’alta conducibilità elettrica dei metalli è
dovuta all’alta concentrazione degli elettroni di conduzione piuttosto che alla
velocità con cui essi si muovono attraverso il metallo. Inoltre, se si usa la legge
di Ohm, la mobilità si può esprimere
vD
1
=
E
ne qe σ
(C12)
Da una teoria microscopica si può risalire ad un’espressione per la conducibilità
elettrica.
7
Complementi: carica di un condensatore
Supponiamo di avere un condensatore piano scarico e di collegarlo in serie ad
una resistenza R, in un circuito ove è presente una batteria con una certa Vf em
e una resistenza interna Rg .
Al tempo t = 0 (iniziale) facciamo la connessione (cioè chiudiamo il circuito)
e una certa corrente incomincia a fluire nel circuito, mentre il condensatore si
carica. L’aumento di carica sulle armature continuerà fino a che la quantità di
carica accumulata non sarà tale da ostacolare l’arrivo di una qualunque altra
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carica sulle armature (il segno della differenza di potenziale ai capi del condensatore è sempre opposto a quello della batteria). Cerchiamo di descrivere
quantitativamente tale fenomeno. Abbiamo visto che in assenza del condensatore l’equazione del circuito era
(R + RG ) I = Vf em
Poiché il condensatore è in serie con la resistenza, l’equazione per il circuito
diventa
∆VC + (R + RG ) I = Vf em
(C13)
dove ∆VC è la differenza di potenziale ai capi del condensatore, vale a dire
∆VC (t) = Q(t)/C
(C14)
Q (t)
+ Rt I (t) = Vf em
C
(C15)
Rt = R + RG
(C16)
Allora, la (C13) diventa
dove abbiamo posto
Differenziamo la (C15):
1 dQ (t)
dI
+ Rt
C dt
dt
La corrente che circola è pari alla variazione temporale della carica sul condensatore, cioé I = dQ/dt, quindi
0=
0=
dI
1
I + Rt
C
dt
ovvero
dI
dt
=
I
Rt C
che può essere facilmente risolta. Si trova
I (t) = I0 e−t/τ
(C17)
dove I0 = Vf em /Rt , è il valore della corrente all’istante iniziale e τ = 1/Rt C.
Per ottenere la legge di carica, basta integrare la (C17):
dQ
= I0 e−t/τ
dt
quindi
16
Q (t) = I0
Z
t
0
dt0 e−t /τ
(C18)
0
Ritornando all’espressione della carica troviamo:
Q (t) =
dove abbiamo posto
´
³
´
I0 ³
1 − e−t/τ = QM 1 − e−t/τ
τ
QM = CVf em
(C19)
(C20)
In particolare, QM rappresenta la carica massima che si può depositare su
un’armatura. Per t À τ , si ha
Q (t) → QM
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(C21)
Complementi: scarica di un condensatore
Supponiamo di avere un condensatore piano di capacità C, con una certa carica iniziale Q0 . Cortocircuitiamo la batteria (cioé eliminiamola e chiudiamo il
circuito) ed esaminiamo quello che accade nel circuito diventato
Indichiamo con Q (t) , I (t) , ∆V (t) i valori istantanei rispettivamenbte della
carica dell’armatura positiva, della corrente che circola (la corrente è positiva
quando fluisce dall’armatura positiva a quella negativa) e della differenza di
potenziale tra le armature del condensatore. Il condensatore, in questo caso,
funziona come un generatore: le cariche vengono spinte attraverso il circuito. La
differenza di potenziale ai capi della resistenza è quella fornita dal condensatore
∆VC (t) = Q (t) /C per cui la legge di Ohm
∆VC (t) = RI
diventa
Q (t)
= RI
C
La corrente elettrica che fluisce nel conduttore è uguale alla diminuzione di carica
subita dal condensatore, cioè I = −dQ/dt. La precedente equazione diventa
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dQ
Q
+
=0
dt
RC
(C22)
ovvero,
dt
dQ
=−
Q
RC
la cui soluzione è
t
Q (t) = Q0 e− τ
(C23)
τ = RC
(C24)
dove
è il tempo durante il quale il valore iniziale della carica del condensatore
si riduce del fattore 1/e. Derivando, rispetto al tempo, la carica, otteniamo il
valore corrente nel circuito, ad ogni istante:
Q0 −t/τ
= I0 e−t/τ
(C25)
e
RC
dove I0 è il valore istantaneo della corrente al tempo t = 0. Notiamo che,
durante la scarica, sia la carica che la corrente diminuiscono con la stessa legge
esponenziale:
I (t) =
Q (t)
= e−t/τ
Q0
I (t)
= e−t/τ
I0
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