Fotonica Prova scritta del 13 giugno2 005 Cognome e Nome Matricola Posto / Fila _______________________________________________________________________________________________ Es.1) Un'onda piana elettromagnetica incide su una buca di potenziale cubica di lato L=4Å, contenente un certo numero di elettroni all'equilibrio termodinamico. Trovate la massima lunghezza d'onda della radiazione che riesce ad indurre transizioni nel sistema quantistico, e controllate se questa cade nell'infrarosso, nel visibile o nell'ultravioletto. Le prime transizioni saranno alto-basso o basso-alto? Es.2) In un laser a semiconduttore alcune strutture esterne forzano la cavità complessiva ad oscillare solo ad una fissata lunghezza d'onda , che sarà ovviamente corrispondente ad una energia h >Eg. In questa situazione, calcolate una espressione analitica per la (piccola) differenza di potenziale elettrico che separa la tensione per la quale la emissione stimolata diviene dominante sull'assorbimento dalla massima tensione sostenibile dal sistema. Es.3) Descrivete la struttura epitassiale del laser a massima lunghezza d'onda di emissione basato sul sistema GaxIn1-xAsyP1-y. Provate a stimare la composizione della regione attiva, ed indicate la tensione di soglia del dispositivo. SOLUZIONI Es.1) Come è noto, in presenza di una perturbazione armonica (ed in questo rientra l'onda piana elettromagnetica), la regola di selezione è semplicemente E , dove E indica la differenza tra i livelli energetici di partenza e di arrivo, che nel caso unidimensionale è stata indicata con E k-En. Per gli elettroni entro una buca di potenziale tridimensionale, la cui funzione d'onda è: sen n x x sen n y y sen n z z L L L i livelli energetici sono dati da: 2 2k 2 2 2 2 2 2 2 k x k 2y k 2z nx ny nz 2m 2m 2m L ossia, inserendo valori numerici nelle costanti: E E h2 8mL 2 n n 2y n 2z 2 x 6.626 x10 n 8x9.11x10 x 4x10 27 2 28 8 2 2 x n 2y n 2z 3.76 x10 12 erg n 2x n 2y n 2z 2.35 eV n 2x n 2y n 2z Non resta che vedere la minima distanza tra livelli. Si escluda subito qualsiasi terna di interi nx, ny, nz che includa uno zero, perché la funzione d'onda sarebbe nulla. Possiamo andare per tentativi, e vedere che: (nx, ny, nz ) nx2+ny2+nz2 (1,1,1) 3 (1,1,2) 6 (1,1,3) 11 (1,1,4) 18 (1,2,2) 9 (2,2,2) 12 (2,2,3) 17 (2,3,3) 22 Come si vede, la minima differenza tra le somme dei quadrati vale 1 (ad esempio, tra i livelli con numeri quantici (1,1,3) e (2,2,2), oppure tra (2,2,3) e (1,1,4)). Questo significa che 2.35 eV (=3.76x10 -12 erg) è la minima energia E che può essere scambiata. Dalla relazione hc 6.626 x10 27 x 2.998 x10 10 hc 0.53 x10 4 cm 0.53m . otteniamo subito E 3.76 x10 12 Come è noto, questa è una lunghezza d'onda appartenente allo spettro del visible. E h Le prime transizioni, poiché si parte da uno stato di equilibrio termodinamico, vedranno i livelli più bassi con un maggior numero di elettroni dei livelli più alti, e quindi le transizioni inizieranno nella direzione basso-alto. Es.2) Essendovi solo una frequenza attiva, tutto il problema si risolve considerando questa come un valore fisso. Facendo riferimento alla trattazione della rate equation, abbiamo che il tasso di emissione stimolata ed il tasso di assorbimento si eguagliano quando BP N 0 2 e 1 a 1 2 BP N 0 2 e 2a e a 1 2 , ossia quando e 2a 1 . qV Ricordando che a , abbiamo subito che il pareggio tra i due tassi concorrenti avviene quando 2kT h qV . D'altra parte, la tensione limite per il sistema è quella che, annullando il denominatore della espressione di P conduce a densità nominalmente infinite, e dopo quel valore limite addirittura fornisce valori negativi per la densità di fotoni. 2 1 . Questa tensione, per frequenza fissa, è data da: qV h kT ln 1 E g 1 kT 1 kT 2kT Abbiamo quindi: V ln ln q 1 q E g 1 2kT 2 2 Es.3) Dal grafico del sistema quaternario GaxIn1-xAsyP1-y riportato nel testo, vediamo che solo due composti binari stechiometrici (InP e GaAs) possono essere usati come substrato, poiché sia GaP che InAs non consentono la costruzione di strati epitassiali compositi con la medesima costante reticolare. Il GaAs potrebbe dar luogo ad una struttura nella quale è proprio il binario stechiometrico GaAs a fungere da regione attiva, poichè tutte le altre strutture del sistema ad uguale spaziatura reticolare hanno gap maggiore. Nel caso del substrato in InP, invece, questo composto stechiometrico binario può fungere da strati di confinamento a grande gap rispetto ad una regione attiva, fatta di composto quaternario che, nel limite inferiore del band gap ottenibile (e quindi nel limite superiore delle InP lunghezze d'onda di emissione) è in effetti un ternario senza fosforo Ga0.4In0.6As InP GaxIn1-xAs. Questo limite inferiore è anche più basso del gap del GaAs, per cui la struttura ottimale prevede un substrato in InP, così come in InP si InP faranno gli strati di confinamento, mentre la regione attiva in GaxIn1-xAs si può stimare che abbia più Indio che Gallio, in una proporzione approssimativamente di 6:4, ossia x=0.4, per cui la composizione della regione attiva può essere indicata come: Ga0.4In0.6As. La lunghezza d'onda corrispondente è circa =1.8 m, ed essendo il gap pari a circa 0.8 eV, la tensione di soglia sarà approssimativamente di 0.8 V.