Velocità vettoriale media ed istantanea t AB v ∆ = t

Velocità vettoriale media ed istantanea
Considero, come situazione generica, il moto di un corpo che si muove su traiettoria curvilinea, come mostrato nella
seguente figura:
La figura mostra chiaramente le due posizioni occupate dal corpo in due istanti diversi. Se il corpo all’istante tA si
trovava nel punto A, mentre all’istante tB ( > tA) si trova nel punto B, significa che avrà percorso il tratto curvilineo AB
nel tempo ∆t = tB – tA. Se parliamo in termini di spostamento, invece, posso col vettore
che subisce il corpo partendo dal punto A e arrivando al punto B.
Definisco velocità vettoriale media il vettore
vm =
AB indicare lo spostamento
AB
∆t
Essendo il tempo una grandezza sempre positiva e crescente, risulta sempre ∆t > 0. Questo risultato ci assicura che il
vettore velocità media
vm avrà stessa direzione e verso del vettore spostamento AB .
Dalla figura posso facilmente notare che più i due punti A e B sono tra di loro distanti e maggiore è la discrepanza tra
l’arco AB e il segmento AB . Questo significa, ovviamente, che la stima della velocità media sarà sempre più
approssimativa quanto più è grande la distanza tra i punti A e B.
Questo problema lo posso risolvere avvicinando sempre di più il punto B al punto A, cioè considerando spostamenti via
via più piccoli, ovviamente con conseguente riduzione dell’intervallo temporale ∆t. Questa volta vado a calcolare la
velocità vettoriale media su un intervallo spaziale “infinitamente piccolo”, quasi impercettibile.
Nella situazione limite, cioè quando tra il punto A e B ci sia una distanza “infinitesima”, il vettore spostamento AB
coincide con l’arco AB, per cui posso parlare non più di velocità vettoriale media, ma di velocità vettoriale istantanea,
cioè calcolata nell’istante in cui il corpo transita dal punto A al punto B, infinitamente vicini:
v = lim
B→ A
Anche in questo caso risulta ovvio che il vettore
AB
∆t
v avrà stesso verso e direzione del vettore spostamento infinitesimo
AB ma, come ho detto prima, questo spostamento coincide con l’arco AB. Ne deriva che il vettore velocità istantanea
v è, istante per istante, tangente alla traiettoria.
La figura seguente mostra il vettore velocità istantanea calcolato in quattro punti diversi durante il moto di un corpo:
prof. Valerio CURCIO
07/11/2007