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Polinomi
Corsi di Accompagnamento
Lezione 1
7 settembre 2009
Corsi di Accompagnamento
Polinomi
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Outline
1
Insiemi numerici
2
Definizione di polinomio
3
Operazioni tra polinomi
4
Fattorizzazione
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Insiemi numerici
R, N, Z, Q
Nello studio dell’Analisi Matematica si lavora di solito nell’insieme dei
numeri reali, che viene indicato con R. Nell’insieme dei numeri reali ci
sono dei sottoinsiemi particolarmente importanti:
i numeri naturali, indicati con N; N = {0, 1, 2, 3, ...};
i numeri interi relativi, indicati con Z;
Z = {. . ., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . };
i numeri razionali, indicati con Q; un razionale può essere scritto
come quoziente m/n tra due interi relativi, con n 6= 0.
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Cos’è un polinomio
Definizione
Un polinomio nella variabile x a coefficienti reali è un’espressione
algebrica della forma
An (x) = a0 + a1 x + ... + an x n ,
dove a0 , a1 , ..., an sono numeri reali (detti coefficienti del
polinomio) e an 6= 0.
I singoli addendi si dicono monomi.
Il grado di un polinomio è il massimo grado dei monomi non nulli
presenti
Proprietà
Due polinomi sono uguali se hanno lo stesso grado e hanno
ordinatamente uguali i coefficienti dei monomi di uguale grado.
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Somma
Somma di polinomi
Il polinomio somma di due polinomi si ottiene sommando
ordinatamente i coefficienti dei monomi dello stesso grado dei due
polinomi.
Esempio
(x 2 + 2x − 5) + (x 3 − x + 2) =
(0x 3 + x 2 + 2x − 5) + (x 3 + 0x 2 − x + 2) =
(0 + 1)x 3 + (1 + 0)x 2 + (2 − 1)x + (−5 + 2) =
x3 + x2 + x − 3
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Prodotto
Prodotto di polinomi
Il polinomio prodotto è della forma
An (x) ∗ Bm (x) = Cn+m (x) = c0 + c1 x + ... + cn+m x n+m ,
dove i coefficienti sono dati da:
c0 = a0 b0 , c1 = a1 b0 + a0 b1 ,
ck = a0 bk + a1 bk −1 + a2 bk −2 + ....ak −1 b1 + ak b0 .
Esempio
(x − 1)(x 2 + x + 1) =
− 1) + x(x − 1) + (x − 1) =
3
x − x2 + x2 − x + x − 1 =
x3 − 1
x 2 (x
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Divisione (I)
Divisione tra polinomi
Dati due polinomi An (x ) , Bm (x ), di grado n e m rispettivamente, con n ≥ m,
esistono due polinomi Q (x ) e R (x ) detti quoziente e resto tali che:
il grado di R (x ) è minore di m;
vale la relazione An (x ) = Bm (x ) Q (x ) + R (x ) .
Definizione
Se R (x ) = 0, allora si dice che An (x ) è divisibile per Bm (x ).
Osservazione
Il rapporto tra An (x ) e Bm (x ) può sempre essere ricondotto alla somma di un
polinomio e di un rapporto tra polinomi in cui il grado del numeratore è minore
del grado del denominatore.
An (x )
R (x )
= Q (x ) +
Bm (x )
Bm (x )
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Divisione (2)
Il metodo di calcolo del quoziente di due polinomi consiste nella
divisione secondo le potenze decrescenti
Divisione secondo le potenze decrescenti
Vogliamo calcolare il quoziente tra
A(x) = 2x 4 + x 3 − x + 2
e
B(x) = x 2 + 3
Ordiniamo i polinomi per potenze decrescenti.
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Esempio
A (x) →
2x 4
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+x 3
+0x 2
−x
Polinomi
+2
x2
+3
← B (x)
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Divisione secondo le potenze decrescenti
A(x) = 2x 4 + x 3 − x + 2
B(x) = x 2 + 3
Ordiniamo i polinomi per potenze decrescenti.
Calcoliamo il quoziente tra i monomi di grado massimo di
A(x) e B(x), ottenendo il monomio 2x 2
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Esempio
2x 4
+x 3
+0x 2
−x
+2
x2
+3
2x 2
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Divisione secondo le potenze decrescenti
A(x) = 2x 4 + x 3 − x + 2
B(x) = x 2 + 3
Ordiniamo i polinomi per potenze decrescenti.
Calcoliamo il quoziente tra i monomi di grado massimo di A(x) e
B(x), ottenendo il monomio 2x 2
Calcoliamo il prodotto 2x 2 B(x) e sottraiamolo da A(x); otteniamo in questo modo un polinomio di grado 3, che indichiamo con R3 (x).
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Esempio
2x 4
2x 2 B (x) →
R3 (x) →
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+x 3
2x 4
+0x 2
−x
+2
+6x 2
+x 3
−6x 2
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x2
+3
2x 2
−x
+2
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Divisione secondo le potenze decrescenti
A(x) = 2x 4 + x 3 − x + 2
B(x) = x 2 + 3
Ordiniamo i polinomi per potenze decrescenti.
Calcoliamo il quoziente tra i monomi di grado massimo di A(x) e
B(x), ottenendo il monomio 2x 2
Calcoliamo il prodotto 2x 2 B(x) e sottraiamolo da A(x); otteniamo
in questo modo un polinomio di grado 3, che indichiamo con
R3 (x).
Ripetiamo ora il procedimento, dividendo il monomio di
grado più elevato di R3 (x) per x 2 ; il risultato x è sommato a
2x 2 .
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Esempio
2x 4
+x 3
2x 4
−x
+2
+6x 2
+x 3
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+0x 2
−6x 2
x2
2x 2
−x
Polinomi
+3
+x
+2
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Divisione secondo le potenze decrescenti
A(x) = 2x 4 + x 3 − x + 2
B(x) = x 2 + 3
Ordiniamo i polinomi per potenze decrescenti.
Calcoliamo il quoziente tra i monomi di grado massimo di A(x) e
B(x), ottenendo il monomio 2x 2
Calcoliamo il prodotto 2x 2 B(x) e sottraiamolo da A(x); otteniamo
in questo modo un polinomio di grado 3, che indichiamo con
R3 (x).
Ripetiamo ora il procedimento, dividendo il monomio di grado più
elevato di R3 (x) per x 2 ; il risultato x è sommato a 2x 2 .
Possiamo ora calcolare il polinomio di secondo grado
R2 (x) = R3 (x) − xB(x).
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Esempio
2x 4
+x 3
2x 4
R2 (x) →
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−x
+2
−6x 2
+x 3
x2
2x 2
+6x 2
+x 3
xB (x) →
+0x 2
−x
+3
+x
+2
3x
−6x 2
Polinomi
−4x
+2
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Divisione secondo le potenze decrescenti
A(x) = 2x 4 + x 3 − x + 2
B(x) = x 2 + 3
Ordiniamo i polinomi per potenze decrescenti.
Calcoliamo il quoziente tra i monomi di grado massimo di A(x) e
B(x), ottenendo il monomio 2x 2
Calcoliamo il prodotto 2x 2 B(x) e sottraiamolo da A(x); otteniamo
in questo modo un polinomio di grado 3, che indichiamo con
R3 (x).
Ripetiamo ora il procedimento, dividendo il monomio di grado più
elevato di R3 (x) per x 2 ; il risultato x è sommato a 2x 2 .
Possiamo ora calcolare il polinomio di secondo grado
R2 (x) = R3 (x) − xB(x).
Dividiamo ora R2 (x) per x 2 , ottenendo −6.
R(x) = R2 (x) − (−6)B(x).
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Calcoliamo
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Esempio
2x 4
+x 3
2x 4
+0x 2
−6x 2
+x 3
x2
2x 2
−x
+3
+x
−6
+2
3x
−6x 2
−4x
+2
−6x 2
−4x
R (x) →
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+2
+6x 2
+x 3
−6B (x) →
−x
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+20
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19 / 22
Esempio
2x 4
+x 3
2x 4
+0x 2
−x
+2
−6x 2
+x 3
−x
+2
−4x
−6x 2
+x
−6
↑
Q (x)
+3x
−6x 2
+3
2x 2
+6x 2
+x 3
x2
+2
−18
−4x
+20
←
R (x)
R (x)
−4x + 20
A (x)
= Q (x) +
= 2x 2 + x − 6 +
B (x)
B (x)
x2 + 3
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Fattorizzazione
Fattorizzare (o "ridurre in fattori") un polinomio significa trasformarlo in un
espressione equivalente, che appare come il prodotto di più fattori. Se un
polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile. Se si considerano
polinomi a coefficienti reali, i polinomi irriducibili sono i polinomi di primo
grado e i polinomi di secondo grado a discriminante negativo.
Esempi
x 2 − 5x + 6 = (x − 3) (x − 2)
Metodi utili
Raccoglimento a fattor comune
x 4 − 3x 3 + 5x 2 = x 2 x 2 − 3x + 5
Raccoglimento a fattor parziale
x 4 + a2 x 2 + b2 x 2 + a2 b2 = x 2 (x 2 + a2 ) + b2 (x 2 + a2 ) =
(x 2 + a2 )(x 2 + b2 )
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Proprietà utili
Teorema
Condizione necessaria e sufficiente affinchè un polinomio An (x ) sia divisibile
per (x − c) è che An (c) = 0.
Proposizioni
Il binomio x n − an è sempre divisibile per x − a; se n è pari è divisibile
anche per x + a.
Il binomio x n + an è divisibile per x + a se n dispari; se n è pari non è
divisibile né per x + a, né per x − a.
Osservazione
Per polinomi a coefficienti interi, esistono risultati che talvolta facilitano la ricerca delle radici:
le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresa
l’unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo;
le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma ±p/q, dove p è un
sottomultiplo del termine noto, mentre q è un sottomultiplo del coefficiente del termine di
grado massimo, compresa l’unità.
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