Note del Corso Di Disegno Tecnico Industriale
A.A. 2002-2003
Docenti: Prof. G. Monno, Prof. A.Uva
Appunti di Geometria Descrittiva
(tratta da C. Bonfigli – C. R. Braggio, GEOMETRIA DESCRITTIVA E PROSPETTIVA)
I. INTRODUZIONE
Lo scopo della Geometria descrittiva (G.D.) è quello di rappresentare sopra un piano (foglio da disegno, lavagna)
qualunque oggetto dello spazio, in modo che da tale rappresentazione sia sempre possibile ricavare gli elementi
geometrici che lo costituiscono.
Fra i metodi di rappresentazione esistenti, verrà sviluppato quello di Monge o delle doppie proiezioni ortogonali
perché, è in assoluto il più diffuso. Nel metodo delle proiezioni ortogonali il sistema di riferimento spaziale è costituito
da due piani fra loro ortogonali, uno orizzontale e l’altro verticale, che prendono il nome di piani principali o quadri,
sui quali si proiettano ortogonalmente i punti dell’oggetto da rappresentare: ogni punto P ha dunque due
rappresentazioni P’ e P” sui quadri e, viceversa, note queste, è possibile trovare la posizione spaziale di P nell’incontro
delle due normali ai quadri condotte per P’ e P”.
Per poter, però, eseguire il disegno sopra uno stesso piano (foglio da disegno) si conviene di far ruotare, in un certo
senso, il quadro verticale, intorno alla retta di intersezione di questo con il quadro orizzontale detta linea di terra (L.T.),
fino a sovrapporlo a quello orizzontale.
II. GENERALITÀ. RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO
1. RAPPRESENTAZIONE SPAZIALE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO
La fig. 1 illustra la rappresentazione spaziale del sistema di riferimento costituito, come si è detto, da due piani
principali o piani di proiezione. o quadri, l’uno π1 orizzontale, o I quadro (I q.) e l’altro π2 verticale, o II quadro (II q.)
che sono, di conseguenza, reciprocamente perpendicolari e si intersecano secondo una retta detta linea di terra (L.T.).
Questa divide ciascun piano in due semipiani: il piano orizzontale viene diviso nel semi piano orizzontale anteriore
(S.O.A.) e in semi piano orizzontale posteriore (S.O.P.); il piano verticale viene diviso nel semipiano verticale superiore
(S.V.S.) e nel semi piano verticale inferiore (S.V.I.). I quadri dividono lo spazio in quattro diedri o regioni: il primo
diedro (I D) è limitato dal S.O.A. e dal S.V.S., il secondo diedro (II D) dal S.V. S. e dal S.O. P., il terzo diedro (III D)
dal S.O.P. e dal S.V.I., il quarto diedro (IV D) dal S.V.I. e dal S.O.A.
2. RAPPRESENTAZIONE CONVENZIONALE
La fig. 2 illustra la rappresentazione convenzionale di Monge sul piano del disegno. Come si è detto nella
“Introduzione”, per rappresentare il I e il II quadro sopra l’unico piano del disegno, si conviene di far ruotare il II q.
intorno alla L.T. in modo che esso vada a sovrapporsi al I q. e precisamente in modo che il S.V.S., ruotando di un
angolo retto, vada a coincidere col S.O.P. e, di conseguenza, il S.V.I. vada sul S.O.A.
In alto, a destra, è disegnata la rappresentazione “di profilo” dei quadri, ossia la sezione ottenuta tagliando i quadri con
un piano normale ad entrambi, detto “piano di profilo”, del quale si parlerà al Cap. V.
È importante notare che, per convenzione, si usa eseguire la rappresentazione sul piano del disegno in modo che il
S.V.S., coincidente col S.O.P., sia al disopra della L.T. e il S.O.A., coincidente col S.V.I., sia al disotto della L.T. (fig.
2).
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Fig. 1 e 2: Rappresentazione spaziale del sistema di riferimento
3. RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO
Secondo quanto detto in precedenza, un punto P dello spazio viene proiettato ortogonalmente in P’ sul primo quadro π1
e in P” sul secondo quadro π2. I punti P, P’, P” giacciono sopra un piano di profilo, normale ai quadri, e nella rotazione
di π2 intorno alla L.T. si verifica evidentemente la condizione seguente:
Le proiezioni P’ e P” di un punto P giacciono sopra una medesima perpendicolare alla linea di terra.
Esaminando la situazione di un punto P nei diversi diedri si trovano le sue proiezioni P’, P” nei seguenti semipiani:
a) punto P nel I diedro (fig. a): P’ sul S.O.A., P” sul S.V.S., perciò nella rappresentazione convenzionale: P’ al
disotto della L.T. e P” al disopra della L.T. (fig. a);
b) punto P nel Il diedro (fig. b): P’ sul S.O.P., P” sul S.V.S.; perciò P’ e P” al disopra della L.T. (fig. b);
c) punto P nel III diedro (fig. c): P’ sul S.O.P., P” sul S.V.I.; perciò P’ al disopra della L.T. e P” al disotto della
L.T. (fig. c);
d) punto P nel IV diedro (fig. d): P’ sul S.O.A., P” sul S.V.I.; perciò P’ e P” al disotto della L.T. (fig. d).
Fig. 3: Rappresentazione del punto
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4. RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO POSTO SOPRA UN QUADRO
Si hanno i seguenti casi (fig. 4):
a) punto P sul S.O.A. (fig. a): P’ ==P. al disotto della L.T., P” sulla L.T. (fig. a1);
b) punto P sul S.V.S. (fig. b): P’ sulla L.T., P” == P. al disopra della L.T. (fig. b1);
c) punto P sul S.O.P. (fig. c): P’ == P. al disopra della L.T., P’’ sulla L.T. (fig. c1);
d) punto P sul S.V.I. (fig. d): P’ sulla L.T.. P” == P al disotto della L.T. (fig. d1).
Fig 4. Rappresentazione del punto posto sopra un quadro
5. RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO POSTO SOPRA UNO DEI PIANI
BISETTORI
Chiamasi piano bisettore un piano passante per la L.T. e formante angoli di 45° con i quadri; un punto P appartenente
ad uno dei piani bisettori è evidentemente equidistante dai quadri e pertanto. nella rappresentazione convenzionale, le
proiezioni del punto sono equidistanti dalla L.T. se questo è nel I o nel III diedro, sono coincidenti se esso è nel Il o nel
IV diedro (fig. 5):
a) punto P sul semipiano bisettore del I diedro (fig. a): P’ si trova sul S.O.A., P” sul S.V.S.; perciò P’ al disotto
e P” al disopra della L.T. (fig. a1);
b) punto P sul semipiano bisettore del Il diedro (fig. b): P’ si trova sul S.O.P., P” sul S.V.S.; perciò P’ == P” al
disopra della L.T. (fig. b1);
c) punto P sul semi piano bisettore del III diedro (fig. c): P’ si trova sul S.O.P., P” sul S.V.I.; perciò P’ al
disopra e P” al disotto della L.T. (fig. c1);
d) punto P sul semipiano bisettore del IV diedro (fig. d): P’ si trova sul S.O.A., . P” sul S.V.I.; perciò P’ == P”,
al disotto della L.T. (fig. d1).
Fig. 5: Rappresentazione del punto posto sopra uno dei piani bisettori
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III. RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA
Una retta r, potendosi pensare costituita da una successione di punti allineati, per quanto detto al n. 3, si rappresenta
mediante le sue proiezioni, r’ sul I quadro e r” sul Il quadro, che sono infatti le proiezioni dei punti che la costituiscono
(in particolare bastano le proiezioni di due soli punti della retta per individuare le due proiezioni della retta) (fig. 8).
Le proiezioni r’ e r” si possono anche pensare rispettivamente ottenute come intersezioni, col I e col Il quadro, dei piani
proiettanti la retta r sopra i quadri stessi, ossia dei piani contenenti la retta e normali a ciascun quadro (il piano
proiettante la r sul I q. è quello passante per T1 T2 T2”, il piano proiettante r sul Il q. è quello passante per T1 T2 T1”).
I punti T1 e T2 in cui la retta fora rispettivamente il I e il Il quadro si chiamano: la prima e la seconda traccia della
retta.
Nella rappresentazione convenzionale la prima proiezione T1’ di T1 coincide con T1 stesso, mentre la seconda
proiezione T1” di questa si trova evidentemente sulla L.T. ed è il piede della normale a questa condotta da T1.
Analogamente la prima proiezione T2’ di T2 si trova sul piede della normale alla L.T. condotta da T2 e la seconda
proiezione coincide con T2.
Da quanto precede si possono ricavare le seguenti regole per la rappresentazione convenzionale:
a) note le tracce T1 e T2 si ottengono le proiezioni r’ e r’’ congiungendo rispettivamente T1 con il piede T2’
della normale condotta da T2 alla L.T. e T2 con il piede T1’’ della normale condotta da T1 alla L.T.;
b) note le proiezioni r’ e r’’ si ottengono le tracce T1 e T2 rispettivamente nei punti d’incontro della
corrispondente proiezione con la normale alla L.T. per il punto in cui l’altra proiezione incontra la L.T.
Osservazione. Si noti che r’ e r’’, di solito limitate fra la L.T. e i punti T1 e T2 per maggior chiarezza del disegno, si
debbono sempre ritenere illimitate.
8. RETTA IL CUI SEGMENTO T1T2 È NEL I DIEDRO
La retta interseca il S.O.A. e il S.V.S. Per le regole precedenti la prima traccia T1 e la prima proiezione r’ sono al disotto
della L.T. mentre la seconda traccia T2 e la seconda proiezione r’’ sono al disopra della L.T.
Fig. 8: Rappresentazione della retta, I diedro
9. RETTA IL CUI SEGMENTO T1T2 È NEL II DIEDRO
La retta interseca il S.O.P. e il S.V.S. Per le regole precedenti: T1 e T2 nonché r’ ed r’’ sono al disopra della L.T.
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Fig. 9: Rappresentazione della retta, II diedro
10. RETTA IL CUI SEGMENTO T1T2 È NEL III DIEDRO
La retta interseca il S.O.P. e il S.V.I. Per le regole precedenti: T1 ed r’ sono al disopra della L.T. e T2 ed r’’ al disotto di
questa.
Fig. 10: Rappresentazione della retta, III diedro
11. RETTA IL CUI SEGMENTO T1T2 È NEL IV DIEDRO
La retta interseca il S.O.A. e il S.V.I. Per le regole precedenti: T1 e T2 nonché r’ ed r’’ si trovano al disotto della L.T.
Fig. 11: Rappresentazione della retta, IV diedro
12. RETTA r PARALLELA A π1 E COMUNQUE INCLINATA A π2 (RETTA
ORIZZONTALE)
La retta r, essendo parallela a π1 ha la prima traccia T1 all’infinito mentre la seconda traccia T2 è entro i limiti del
disegno. Nella rappresentazione convenzionale r” risulta parallela alla L.T.
13. RETTA r APPARTENENTE A π1 E COMUNQUE INCLINATA A π2
La retta r, giacendo sopra il I quadro, ha la seconda traccia T2 sulla L.T. e la seconda proiezione r” sulla L. T.
Fig. 12: Retta r parallela a π1 e comunque inclinata a π2
Fig. 13: Retta r appartenente a π1 e comunque inclinata a π2
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14. RETTA r COMUNQUE INCLINATA A π1 E PARALLELA A π2 (RETTA
FRONTALE)
La retta r, essendo parallela a π2 ha la seconda traccia all’infinito; la prima proiezione r’ della r è ovviamente parallela
alla L.T.
15. RETTA r PASSANTE PER LA L.T. E COMUNQUE DIRETTA
La retta r ha, evidentemente, entrambe le tracce T1 e T2 coincidenti, sulla L.T.; per lo stesso punto passano anche le
proiezioni r’ e r” della retta.
Fig. 14: Retta r comunque inclinata a π1 e parallela a π2
Fig. 15: retta r passante per la L.T. e comunque diretta
16. RETTA r PARALLELA A π1 E NORMALE A π2
La retta r, essendo parallela al I q., ha la prima traccia all’infinito; la prima proiezione r’ risulta normale a L.T. e la
seconda si riduce ad un punto, il quale coincide con la seconda traccia T2.
17. RETTA r PARALLELA AI QUADRI
La retta r, essendo parallela ai quadri, ha le tracce all’infinito; le proiezioni r’ e r” sono evidentemente parallele alla L.T.
Fig. 16: Retta r parallela a π1 e normale a π2
Fig. 17: Retta r parallela ai quadri
18. RETTA r GIACENTE SOPRA UN PIANO NORMALE AI QUADRI, NON
PASSANTE PER LA L.T.
La retta r, giacendo sopra un piano di profilo, ha entrambe le proiezioni r’ e r” normali alla L.T.
19. RETTA r GIACENTE SOPRA UN PIANO NORMALE AI QUADRI E
INCIDENTE LA L.T.
La retta r, giacendo sopra un piano di profilo, ha entrambe le proiezioni r’ e r” normali alla L.T. e, incontrando la L.T.,
ha le tracce T1 e T2 sopra questa.
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Fig. 18: Retta r giacente sopra un piano normale ai quadri,
non passante per la L.T.
Fig. 19: Retta r giacente sopra un piano normale ai quadri,
incidente la L.T.
20. RETTA r CHE INTERSECA IL S.V.S. E IL S.O.P.
Il problema è stato spiegato al n. 11.
21. RETTA r CHE INTERSECA IL S.O.A. E IL S.V.I.
Il problema è stato spiegato al n. 9.
Fig. 20: Retta r che interseca il S.V.S. e il S.O.P.
Fig. 21: Retta r che interseca il S.O.A. e il S.V.I.
Rette incidenti e rette sghembe.
Due rette sono incidenti se hanno un solo punto in comune; esse giacciono sopra uno stesso piano.
Due rette sono sghembe se non hanno alcun punto in comune, né al finito, né all’infinito; esse non possono essere
complanari.
Per avere nello spazio l’immagine di due rette sghembe si pensino sostenute da due aste (ad es. due matite) poste in
modo che non si tocchino e che non siano parallele (infatti due rette parallele non sono sghembe perché si incontrano
virtualmente all’infinito e sono perciò complanari).
Nella rappresentazione convenzionale di due rette incidenti, il loro punto comune avrà le proiezioni sulle proiezioni
omonime della retta per cui si possono enunciare le regole (n. 3):
a) due rette sono incidenti se le loro proiezioni omonime si incontrano rispettivamente in punti giacenti sopra
una stessa perpendicolare alla L.T.;
b) due rette sono sghembe se le loro proiezioni omonime non si incontrano sopra una stessa normale alla L.T.
22. RETTE r E f INCIDENTI
Per quanto si è detto sopra, la Fig. 22 rappresenta due rette r e f incidenti perché il punto Q’ di incontro delle prime
proiezioni r’ e f’ e il punto Q” .d’incontro delle seconde proiezioni r” e f” risultano sulla stessa normale alla L.T.
(condizione affinché Q’ e Q” rappresentino un punto Q, vedi n. 3).
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Fig. 22: Rette r e f incidenti
23. RETTE r E f SGHEMBE.
Per quanto si è detto sopra, la fig. 23 rappresenta due rette sghembe perché il punto Q’ d’incontro delle prime proiezioni
r’ e f’ e il punto Q” d’incontro delle seconde proiezioni r” ed f” non risultano sulla stessa normale alla L.T.
Fig. 23: Rette r e f sghembe
IV. RAPPRESENTAZIONE DEL PIANO
Un piano a qualsiasi taglia i quadri π1 e π2 secondo due rette α1 e α2 che prendono il nome di tracce del piano (che si
indicano con la lettera greca che distingue il piano, munita dell’indice 1 se si tratta della prima traccia, o dell’indice 2 se
si tratta della seconda; si ricordi che, invece, le proiezioni dei punti e delle rette sono provviste di “apici”).
Un piano, in posizione generica rispetto ai quadri, può attraversare tutti e quattro i diedri e tagliare i quadri secondo
rette che si incontrano sulla L.T. Si conviene però, al fine di rendere più chiara la rappresentazione, di considerare la
sola parte del piano che appartiene al primo diedro in quanto i quadri si possono porre in modo che la parte degli
elementi, appartenenti al piano, che interessano la costruzione geometrica, siano appunto nel primo diedro.
Con questa convenzione, il piano così limitato viene ad essere rappresentato, invece che da due rette, da due semi rette
α1 e α2 passanti per lo stesso punto O della L.T. e tali che α1 è sempre al disotto e α2 sempre al disopra della L.T.
Si noti però che tale limitazione non toglie nulla alla generalità del problema perché, volendo considerare il piano
illimitato, come è effettivamente, basterebbe sostituire alle due semirette le due rette che le contengono.
24. PIANO α GENERICO
Come si è già detto, il piano a interseca il primo quadro nella prima traccia α1 e il secondo quadro nella seconda traccia
α2, le quali si incontrano nel punto O della L.T.
25. PIANO α NORMALE AI QUADRI
Le tracce α1 e α2 sono sulla stessa retta, normale alla L.T.
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Fig. 24: Piano α generico
Fig. 25: Piano α normale ai quadri
26. PIANO α NORMALE AL PRIMO QUADRO (PIANO α VERTICALE)
La seconda traccia α2 risulta evidentemente normale alla L.T.
Osservazione. Tale piano si dice anche piano proiettante sul primo q. e serve spesso come piano ausiliario per eseguire
proiezioni di rette sopra il quadro orizzontale.
27. PIANO α NORMALE AL SECONDO QUADRO
La prima traccia α1 risulta evidentemente normale alla L.T.
Osservazione. Tale piano serve da piano ausiliario per proiettare rette sul II q.
Fig. 26: Piano α normale al primo quadro
Fig. 27: Piano α normale al secondo quadro
28. PIANO α PARALLELO AL PRIMO QUADRO (PIANO α ORIZZONTALE)
La prima traccia è all’infinito e la seconda traccia α2 è parallela alla L.T.
29. PIANO α PARALLELO AL SECONDO QUADRO
È un caso particolare del n. 26. La prima traccia α1 è parallela alla L.T., α2 è all’infinito.
Fig. 28: Piano α parallelo al primo quadro
Fig. 29: Piano α parallelo al secondo quadro
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30. PIANO α PARALLELO ALLA L.T. MA NON AI QUADRI
La prima traccia α1 e la seconda traccia α2 risultano parallele alla L.T.
31. PIANO α PASSANTE PER LA L.T.
Evidentemente la prima e la seconda traccia coincidono con la L.T.
Fig. 30: Piano α parallelo alla L.T. ma non ai quadri
Fig. 31: Piano α passante per la L.T.
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V. CONDIZIONI DI APPARTENENZA
In questo capitolo vengono studiate le condizioni a cui debbono soddisfare gli elementi della rappresentazione
descrittiva, affinché un ente geometrico appartenga ad un altro, ossia, ad esempio, affinché un punto appartenga ad una
retta, una retta appartenga ad un piano, un punto appartenga ad un piano.
32. PUNTO P APPARTENENTE AD UNA RETTA r
Si ha la seguente regola, che si giustifica pensando la retta come un insieme di punti P le cui proiezioni P’ e P”
appartengono alle rispettive proiezioni r’ e r” della retta r:
REGOLA: Un punto appartiene ad una retta quando le proiezioni del punto appartengono alle proiezioni omonime
della retta.
Nella fig. 32 il punto P appartiene alla retta r, perché la sua prima proiezione P’ appartiene alla prima proiezione r’ della
retta e nello stesso tempo P” giace sopra r”.
Il punto S, invece, non avendo tali caratteristiche, non appartiene alla r.
33. RETTA r APPARTENENTE AD UN PIANO α
Si ha la seguente regola, la quale si giustifica pensando che le tracce α1 e α2 del piano α sono costituite dai punti di
intersezione, con i quadri, di tutte le rette che giacciono sul piano α, per cui le tracce di queste non possono che trovarsi
sopra quelle del piano:
REGOLA: Una retta appartiene ad un piano quando le sue tracce appartengono alle tracce omonime del piano.
Nella fig. 33 la retta r appartiene al piano α perché la prima traccia T1 della retta r giace sopra la prima traccia α1 del
piano α e T2 giace sopra α2.
Fig. 32: Punto P appartenente ad una retta r
Fig. 33: Punto P appartenente ad un piano α
34. RETTA ORIZZONTALE DI UN PIANO α, (RETTA DI α PARALLELA A π1)
Una retta orizzontale, si è già visto al n. 12, essendo parallela al primo quadro, ha la seconda proiezione parallela alla
L.T.; essa ha la prima traccia all’infinito e, per appartenere al piano α, dovrà avere la seconda traccia T2 sopra la
seconda traccia α2 del piano α.
Osservazione. Le rette orizzontali di un piano vengono spesso prese come rette ausiliarie per materializzare un luogo di
punti appartenenti al piano e sono assai utili in molti problemi di G.D.
35. RETTA FRONTALE DI UN PIANO α, (RETTA DI α PARALLELA A π2)
Una retta frontale, si è già visto al n. 14, essendo parallela al secondo quadro, ha la prima proiezione parallela alla L.T.;
essa ha la seconda traccia all’infinito e, per appartenere al piano α, dovrà avere la prima traccia T1 sopra la prima traccia
α1 del piano.
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Fig. 34: Retta orizzontale di un piano α, ossia retta di α
parallela a π1
Fig. 34: Retta frontale di un piano α, ossia retta di α
parallela a π2
36. RETTA r APPARTENENTE AD UN PIANO VERTICALE α, OSSIA
NORMALE A π1
Un piano verticale α, come si è visto al n. 26, ha la seconda traccia α2 normale alla L.T.; la retta r, per appartenere a
questo, avrà la prima proiezione r’ coincidente con la prima traccia α1 del piano e le tracce omonime si apparterranno,
ossia T1 sarà sopra α1 e T2 sopra α2.
Osservazione. Questo problema interessa quando si debba condurre per una retta un piano proiettante la stessa sopra il
primo quadro e, nella risoluzione di alcuni problemi, esso ha quindi la funzione di piano ausiliario.
37. RETTA r APPARTENENTE AD UN PIANO NORMALE A π2
Un piano normale al secondo quadro, come abbiamo visto al n. 27, ha la prima traccia al normale alla L.T.; la retta r,
per appartenere a questo, avrà la seconda proiezione r” giacente sopra la seconda traccia α2 del piano e le tracce
omonime si apparterranno, ossia T1 sarà sopra α1 e T2 sopra α2.
Osservazione. Questo problema, analogamente al precedente, interessa quando si debba condurre per una retta un piano
proiettante la retta stessa sul secondo quadro.
Fig. 36: Retta r appartenente ad un piano normale a π1
Fig. 37: Retta r appartenente ad un piano normale a π2
38. PUNTO P APPARTENENTE AD UN PIANO α
Regola: Un punto appartiene ad un piano quando giace sopra una retta del piano, ossia quando le proiezioni del
punto appartengono alle proiezioni omonime di una retta, la quale, a sua volta, ha le tracce contenute sulle tracce
omonime del piano.
Fra le infinite rette che passano per il punto e che giacciono sul piano si sceglie, di solito, quella orizzontale (n. 34)
perché la rappresentazione risulta più semplice.
La giustificazione della regola è intuitiva per quanto si è detto ai numeri 32 e 33 e perché la retta, o il fascio di rette che
passano per il punto, materializzano il piano e costituiscono il sostegno del punto sul piano.
Nella fig. 38, per collocare un punto P sopra il piano α basta tracciare una retta r appartenente ad α, prendendo le sue
tracce T1 e T2 rispettivamente su α1 e α2, quindi prendere le proiezioni p’ e p’’ rispettivamente sopra r’ e r” e sopra una
stessa normale alla L.T.
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Invece di una retta r qualsiasi, come si è detto, è meglio servirsi di una orizzontale. come la m della fig. 38.
Fig. 38: Punto P appartenente ad un piano α
39. PUNTO P APPARTENENTE AD UN PIANO α PARALLELO ALLA L.T.
Affinché il punto P sia sopra α occorre (n. 38) che sia situato sopra la retta r del piano α, ossia che le sue proiezioni p’ e
p’’, oltre che essere sopra una stessa normale alla L.T., siano anche sulle proiezioni omonime r’ ed r’’ della r, le cui
tracce T1 e T2 appartengano ad α1 ed α2, rispettivamente.
Fig. 39: Punto P appartenente ad un piano α parallelo alla L.T.
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VI. TERZO PIANO DI PROIEZIONE π3 O PIANO DI PROFILO
Per quanto i due quadri πl e π2 siano sufficienti per servire da riferimento per qualunque punto dello spazio, è utile,
talvolta, specialmente per alcune rappresentazioni particolari, prendere un terzo piano di riferimento, detto anche terzo
quadro π3 o piano di profilo, normale a πl e a π2, mediante il quale la rappresentazione risulta più evidente.
Si abbia, ad esempio, da rappresentare una figura contenuta in un rettangolo ABCD (fig. 40), situato sopra un piano
normale ai due quadri πl e π2; la rappresentazione solita si riduce a due segmenti A’ D’ su πl e A” B” su π2, mentre la
proiezione A’’’ B’’’ C’’’ D’’’ sopra il quadro di profilo π3 risulta identica alla figura obbiettiva, con tutti i suoi
particolari.
Per poter rappresentare convenzionalmente il terzo quadro sul foglio da disegno, si immagina di far ruotare π3 intorno
alla retta di intersezione di π3con π2 (retta che prende anche il nome di 2a linea di terra) fino a far coincidere π3 con π2.
Di solito si conviene eseguire la rotazione in modo che la parte anteriore di π3si adagi su π2 ruotando verso sinistra.
Pertanto, per ottenere la rappresentazione descrittiva, si proiettano prima di tutto i punti e le rette sui tre quadri, o si
individuano sopra questi le tracce delle rette o dei piani da rappresentare, poi si eseguono le rotazioni del quadro
verticale e di quello di profilo nei modi indicati, allo scopo di portarli sul piano orizzontale della rappresentazione.
40. LE TRE PROIEZIONI DEL PUNTO P
Si proietta il punto P, ortogonalmente, sui tre quadri in P’, P” e P’’’, indi si fanno avvenire le rotazioni descritte sopra,
ricavando la rappresentazione della fig. 40, il cui schema è evidente.
Fig. 40: Le tre proiezioni del punto P
41. LE TRE PROIEZIONI DELLA RETTA r
Si proietta la retta r sui tre quadri in r’, r” e r’’’; nella rappresentazione convenzionale siano r’ e r”, T1 e T2 i soliti
elementi della retta r. Per determinare r’’’ basta pensare che questa passerà per T1’’’ e T2’’’ proiezioni rispettivamente
di T1 e T2 sul terzo quadro; nella rappresentazione basta proiettare T1 in T1’’’ e T2 in T2’’’ secondo la costruzione della
fig. 40.
Per ricavare la terza traccia T3 si può operare in due modi, sia pensando T3 come intersezione di r’’’ col piano
proiettante r su π1sia come intersezione dì r’’’ col piano proiettante r sopra π2. Il secondo modo è preferibile perché
nella rappresentazione convenzionale basta trovare T3 T3’’ (sopra r” e 2a L. T.) e condurre per esso l’orizzontale che
incontra r’’’ in T3.
La costruzione col primo modo, più complessa, è chiaramente indicata in figura.
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Fig. 41: Le tre proiezioni della retta r
VII. APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI ALLA
RAPPRESENTAZIONE DI FIGURE PIANE E SOLIDE CON
L’USO ANCHE DEL TERZO QUADRO
Come applicazione delle cose già dette, rappresentiamo in questa sezione diversi tipi di figure geometriche piane, di
solidi appoggiati sul primo quadro o inclinati, oppure sovrapposti, nonché alcuni particolari oggetti che si incontrano
nei diversi campi d’impiego della geometria descrittiva, dalle costruzioni architettoniche alla meccanica.
Sono disegnati segmenti in posizione diversa, un rettangolo orizzontale ed un triangolo verticale, in proiezione
prospettica, che vengono poi rappresentati al numero successivo in proiezione ortogonale.
Con le regole già date in precedenza si sono rappresentati i segmenti, il rettangolo e il triangolo di cui sopra, in
proiezione ortogonale.
Fig, 43 e 44: Prospettiva e proiezioni ortogonali
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VIII. PROBLEMI DI POSIZIONE
Finora si sono studiati i modi di rappresentare i diversi enti geometrici, il punto, la retta, il piano, anche nelle condizioni
particolari in cui si possono presentare, sia separatamente, sia quando si appartengono.
Nei problemi di posizione, invece, vengono studiate le situazioni spaziali reciproche di tali enti come, ad esempio, la
retta che passa per due punti dati, la retta intersezione di due piani dati, ecc., problemi che si potrebbero definire di
“appartenenza e di intersezione” insieme, nei quali, perciò, sono alla base delle varie soluzioni le “condizioni di
appartenenza” già viste. Nei problemi di posizione non vengono prese in considerazione le questioni relative alla misura
di lunghezze o di angoli, né quelle di parallelismo o di perpendicolarità. I fondamentali problemi di posizione, dei quali
saranno date soluzioni anche dei casi; particolari, sono i seguenti.
65. RETTA r PASSANTE PER DUE PUNTI A E B
Per la condizione di appartenenza (n. 32) le proiezioni r’ e r’’ della retta si ottengono congiungendo rispettivamente A’
con B’ e A” con B”.
Fig, 65: Retta r passante per due punti A e B
66-67. RETTA r D’INTERSEZIONE DI DUE PIANI α e β
Per le condizioni di appartenenza. (n. 33), la retta r, dovendo essere comune ad α e a β, avrà le tracce T1 e T2
rispettivamente nell’incontro di α1 e β1 e di α2 e β2; quindi le proiezioni r’ e r” si determineranno come al n. 8.
Fig. 66-67: Retta r d’intersezione di due piani α e β
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68. RETTA r D’INTERSEZIONE DI DUE PIANI α e β, ESSENDO β
PARALLELO A π2
La retta d’intersezione del piano α qualsiasi e del piano β frontale, giacendo sopra questo ultimo, è parallela al secondo
quadro, ossia è una retta frontale. Perciò (n. 14) la seconda traccia della retta è all’infinito, mentre la prima T1 si trova
facilmente nell’incontro delle prime tracce α1 e β1 dei piani dati.
Fig. 68: Retta r d’intersezione di due piani α e β, essendo β parallelo a π2
79. PIANO α PASSANTE PER TRE PUNTI A, B, C
Questo problema si risolve facilmente conducendo la retta f per due punti dati, ad esempio A e B (n. 65). Sopra tale
retta si prenda un punto D e si tracci la retta r passante per C e D; il piano passante per le due rette r e f è quello cercato.
È evidente che si può prendere, al posto del punto D, il punto A o il punto B, ma la libertà di una opportuna scelta di D
può condurre ad un disegno più chiaro.
Perciò tracciate f’ per A’ e B’ e f’’ per A’’ e B’’, si fissa un punto D’ sopra f’, quindi D’’ su f’’ in corrispondenza alla
normale alla linea di terra condotta per D’; le proiezioni della retta r passante per C e D si ricavano come si è fatto per la
f. Individuando, nel solito modo, le tracce delle rette f ed r, si ricavano le tracce α1 ed α2 del piano cercato
congiungendo rispettivamente T1f con T1r e T2f con T2r.
Fig. 79: Piano α passante per tre punti A, B, C
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IX. RIBALTAMENTO E RADDRIZZAMENTO
Il ribaltamento di un piano α sopra un altro piano β è l’operazione per mezzo della quale si porta il piano α a
sovrapporsi a β, mediante la rotazione del primo intorno alla retta di intersezione dei due piani.
Nei successivi problemi, i ribaltamenti si eseguono sempre sopra uno dei quadri. Ribaltando il piano α si intendono
trascinati con α, nella rotazione, tutti gli elementi geometrici contenuti in α. I problemi sul ribaltamento hanno avuto
origine dalla necessità di procurarsi la vera forma delle figure situate sopra piani qualsiasi, le cui proiezioni sui quadri,
in generale, danno di esse immagini deformate.
L’operazione inversa del ribaltamento si dice raddrizzamento o rialzamento ed è utile per trovare le proiezioni di una
figura piana disegnando prima la figura vera sul piano raddrizzato.
Si conviene di indicare con lettere fra parentesi i simboli degli elementi ribaltati.
96. RIBALTARE UN PIANO α VERTICALE (AUSILIARIO) SOPRA π1
Facendo ruotare il piano α attorno alla sua prima traccia al fino a sovrapporlo a π1 la sua seconda traccia α2 viene a
trovarsi sopra π1 e si indica con (α2); sarà (α2) normale ad α1 che è restata ferma nella rotazione.
Fig. 96: Ribaltare un piano α verticale (ausiliario) sopra π1
97. RIBALTARE UN PIANO VERTICALE AUSILIARIO β E UNA SUA RETTA
s, SOPRA π1
Ribaltando il piano β sopra π1 come al n. 96, si ribalta con esso anche la retta s che gli appartiene. Mentre la prima
traccia T1s della retta resta ferma, la seconda traccia T2s giacente sulla seconda traccia β2 del piano ruota con questa,
rimanendo alla stessa distanza dal punto T2s’ d’incontro di β2 e di β1 sulla L.T. In altre parole il ribaltamento (s) della
retta s si ha congiungendo T1s col punto (T2s) che è ottenuto riportando T2s’T2s in T2s’(T2s) con un arco di cerchio
centrando in T2s’’.
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Fig. 97: Ribaltare un piano verticale ausiliario β e una sua retta s, sopra π1
98. RIBALTARE UN PIANO α QUALSIASI SOPRA π1
Nella rotazione del piano α, tutti i punti della prima traccia α1, come O, restano fermi, mentre la seconda traccia α2
ruota; il problema è quello di trovare la posizione su π1 della retta (α2) ribaltamento di α2, sapendo che essa passerà per
O; in definitiva basterà trovare il ribaltamento (A) di un altro punto A di α2 perché poi, congiungendo O con (A), si
trova (α2).
L’operazione può essere eseguita in due modi:
Primo metodo: Si prenda un punto A sopra α2 e si conduca per esso la retta m normale ad α1, che incontra al in Q: essa
avrà la prima proiezione m’ normale ad α1, Il triangolo spaziale OQA è rettangolo in Q, con OQ e QA cateti e OA
ipotenusa; nella rotazione intorno al cateto OQ, il cateto QA si ribalta in Q(A) rimanendo normale ad OQ. Pertanto il
punto (A) si troverà su m’, normale ad OQ, alla distanza O(A) == OA e si troverà quindi nel punto di incontro di m’ con
l’arco di cerchio di centro O e raggio OA. Congiungendo, come si è detto, O con (A), si ha il ribaltamento (α2) cercato.
Secondo metodo: Si prenda un punto B (in figura, distinto da A per non creare confusione con la costruzione
precedente) e si conduca ancora una retta n normale ad α1, che incontrerà α1 in R: essa avrà la prima proiezione n’
normale ad α1’. Il triangolo spaziale RB’B è rettangolo in B’, con RB’ e B’B cateti e RB ipotenusa. Ribaltandolo in
B’(B)*R su π1 il cateto RB’ si mantiene fermo, il cateto B’B va in B’(B)* rimanendo normale al precedente e la sua
lunghezza, uguale a B’B, si riporta col compasso centrando in B’; l’ipotenusa che si ottiene congiungendo R con (B)*,
rappresenta la distanza spaziale di B da R, per cui centrando in R con raggio = R(B)* si traccia l’arco che taglia in (B) la
(n) == n’; la congiungente O(B) è la (α2) cercata.
Osservazione: Fra i due metodi, quello più comodo è evidentemente il primo, quando l’incontro delle tracce è nei limiti
del foglio da disegno.
Fig. 98: Ribaltare un piano α qualsiasi sopra π1
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99. RIBALTARE, SU π1 UNA RETTA r APPARTENENTE AD UN PIANO α
Con uno dei metodi indicati al n.98, si ribalti il piano α su π1; con esso si ribalterà anche la retta r. La prima traccia di
questa resta ferma mentre la seconda traccia T2 seguirà α2 nel ribaltamento e il punto (T2) si troverà alla stessa distanza
di T2 da O; è facile perciò trovarne la posizione su (α2) col compasso.
Il segmento T1(T2) rappresenta anche la vera lunghezza del segmento T1T2.
Fig. 99: Ribaltare, su π1 una retta r appartenente ad un piano α
100. RIBALTARE SU π1 UNA RETTA APPARTENENTE AD UN PIANO α
PARALLELO ALLA L.T.
Nella figura si è usato necessariamente il secondo metodo di ribaltamento di cui al n. 98, perché le tracce α1 ed α2 del
piano α sono fra loro parallele.
Con procedimento analogo a quello indicato per il problema n. 99, ossia facendo ruotare il piano intorno ad α1 e quindi
la retta r intorno alla sua prima traccia T1’ si è trovato il ribaltamento (T2) della seconda traccia della r, indi il
ribaltamento (r) cercato.
Fig. 100: Ribaltare su π1 una retta appartenente ad un piano α parallelo alla L.T.
101. RIBALTAMENTO, SU π1 DI UN PUNTO A DEL PIANO α
Nei problemi precedenti si sono ribaltati punti particolari giacenti sulle tracce di un piano α. Vediamo ora come si deve
procedere quando il punto è in posizione generica, come il punto A della fig. 101. Sappiamo già che per materializzare
un punto sopra un piano occorre pensarlo come appartenente ad una retta del piano (n. 38) che, per comodità, si prende
orizzontale. Nel caso della fig. 101 si consideri la retta s, orizzontale che ha s’ parallela ad α1 e s’’ parallela alla L.T.
Ribaltando il piano α sopra π1 la orizzontale ribaltata (s) rimane parallela ad α1 e per trovarne la posizione basta ribaltare
un suo punto ad esempio la sua seconda traccia T2s, nel solito modo (n. 98); il punto (A) ribaltato si troverà sopra (s) e
sulla normale ad α1 condotta per A’ come si è visto al n. 98.
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101’. RIBALTAMENTO, SU π1 DI UN TRIANGOLO GIACENTE SOPRA UN
PIANO α
Partendo dalla solita rappresentazione del piano e dei vertici A, B, C del triangolo che sta sul piano α (vertici sostenuti
sul piano dalle rispettive orizzontali s, r e f del piano α), si ribalta la seconda traccia α2 del piano α nel solito modo (n.
98) sopra π1, nonché le orizzontali precedenti e i punti A, B, C che si trovano su di esse come al n. 101 ricavando i
ribaltamenti di questi ultimi (A), (B), (C). Essi rappresentano i vertici del triangolo spaziale che appare così nella sua
vera forma.
Fig. 101: Ribaltamento, su π1 di un triangolo giacente sopra un piano α
102. RIBALTAMENTO, SU π1 DI UN RETTANGOLO GIACENTE SOPRA
PIANO VERTICALE α
Il procedimento seguito è quello stesso del numero precedente, ribaltando α2 in (α2) come al n.96. Indi si individuano i
vertici nel ribaltamento per mezzo delle solite orizzontali e si ottiene la figura ribaltata (A) (B) (C) (D).
Fig. 102: Ribaltamento, su π1 di un rettangolo giacente sopra piano verticale α
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RADDRIZZAMENTO DI UN PIANO α
È l’operazione inversa del ribaltamento e serve per ricavare le proiezioni sui quadri di una figura disegnata sopra un
piano a qualsiasi.
Si pensa allora di rappresentare la figura nella sua vera forma sopra il ribaltamento di α sul quadro orizzontale, indi di
rialzare il piano a fino a portarlo nella giacitura voluta e da questa posizione trarre le due proiezioni sui quadri.
Le operazioni che si debbono fare sono quelle del ribaltamento, pensando però di eseguirle in senso inverso.
103. RADDRIZZAMENTO, DA π1 DI UN CERCHIO GIACENTE SOPRA UN
PIANO α
La fig. 103 rappresenta il rialzamento di un piano in posizione particolare, ossia parallelo alla L.T., per il quale è quindi
necessario l’uso del piano di profilo. Il piano pensato su π1 ruota intorno ad α1 fino ad assumere la posizione α,
individuabile facilmente per mezzo della terza traccia α3, rispetto alla quale si ottengono le proiezioni della figura,
punto per punto, tenendo presente quanto si è detto nei problemi relativi al ribaltamento.
Osservazione: Come si è già detto, nel caso di una figura giacente sopra un piano α qualsiasi, si pensa tale piano
ribaltato sopra π1 si disegna su tale ribaltamento la figura voluta nella sua vera forma, indi si raddrizza il piano α con
l’operazione inversa di quella relativa al ribaltamento (ossia, n. 101, da (α2) si passa ad α2) e si ricavano poi le
proiezioni prime e seconde.
Fig. 103: Raddrizzamento, da π1 di un cerchio giacente sopra un piano α
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X. RAPPRESENTAZIONE DI SOLIDI
125. RAPPRESENTAZIONE DI SOLIDI REGOLARI AD ASSE VERTICALE
Sono rappresentati: a) una piramide retta su base quadrata; b) un cono retto; c) un cubo con sovrastante sfera; d) un
parallelepipedo.
Tutti i solidi rappresentati, ad eccezione della sfera, hanno la base sopra il primo quadro, la quale risulta in prima
proiezione nella sua vera forma.
Nella rappresentazione del cono è anche indicato il modo di individuare un punto P della superficie conica: esso può
essere pensato come appartenente ad una generatrice g del cono, oppure alla circonferenza c ottenuta sezionando il cono
con un piano orizzontale σ.
Di conseguenza le proiezioni P’ e P’’ di P, oltre che essere sopra una stessa normale alla L.T., debbono anche stare sulle
proiezioni omonime della generatrice g o della circonferenza c.
Le altre rappresentazioni non hanno bisogno di spiegazioni, essendo i solidi tutti regolari.
Fig. 125: Rappresentazione di solidi regolari ad asse verticale
127. SEZIONE DI PIRAMIDE RETTA, APPOGGIATA SU π1 CON UN PIANO α
NORMALE A π2
Rappresentata in prima e in seconda proiezione la piramide, nonché le tracce di α, si ricavino D”, E”, F”, seconde
proiezioni dei punti di incontro degli spigoli con α e successivamente le loro prime proiezioni D’, E’, F’ che dovranno
trovarsi sulle prime proiezioni degli spigoli stessi.
La prima proiezione della sezione sarà il triangolo D’E’F’ mentre la seconda proiezione sarà evidentemente il segmento
D”F”.
Per trovare la vera sezione basta eseguire il ribaltamento di questa sopra uno dei quadri; nella fig. 127 si è ribaltato il
piano α sopra π2 (analogamente al n. 102 ove però il ribaltamento è stato fatto sopra π1) indi si è trovata la vera
rappresentazione della sezione triangolare (D)(E)(F) con la costruzione nota ed evidente sulla figura.
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Fig. 127: Sezione di piramide retta, appoggiata su π1 con un piano α normale a π2
128. SEZIONE DI PIRAMIDE RETTA, APPOGGIATA SU π1 CON UN PIANO α
NORMALE A π2 CHE TAGLIA ANCHE LA BASE
È analogo al caso precedente ma col piano α che taglia anche la base. Si risolve come al n.127.
Il piano α incontra la base C’D’H’ secondo il segmento A’B’ della prima traccia αl e gli spigoli CV e DV nei punti E ed
F le cui seconde proiezioni si individuano subito in E” ed F”, quindi, successivamente, le prime proiezioni in E’ ed F’
sopra C’V’ e D’V’.
Per ricavare la vera forma della sezione basta eseguire il ribaltamento di questa sul secondo quadro con il solito
procedimento, ricavando la figura (A)(B)(E)(F) cercata.
Fig. 128: Sezione di piramide retta, appoggiata su π1 con un piano α normale a π2 che taglia anche la base
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130. SEZIONE DI CILINDRO RETTO, AVENTE UNA BASE SU π1 CON UN
PIANO α NORMALE A π2
Il procedimento è analogo al n. 127, considerando i punti A, B, C ... della sezione come appartenenti alle generatrici del
cilindro. Nella fig. 130, in basso, è anche rappresentato lo sviluppo della superficie laterale situata al disotto del piano α,
che si ottiene stendendo sopra il piano del disegno la superficie stessa, dopo averla tagliata lungo la generatrice E’E,
ossia riportando E’E pari allo sviluppo della circonferenza di base e le successive ordinate uguali ai corrispondenti
segmenti di generatrice.
133. SEZIONE DI PRISMA RETTO, APPOGGIATO SU π1 CON UN PIANO a
NORMALE A π2
Il procedimento è analogo a quello indicato a proposito del n.127.
Fig. 130: Sezione di cilindro retto, avente una base su π1
con un piano α normale a π2
Fig. 133: Sezione di prisma retto, avente una base su π1
con un piano α normale a π2
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XI. SEZIONI CONICHE
Prima di parlare delle sezioni coniche occorre generalizzare il concetto di superficie conica. Dicesi superficie conica
circolare quella individuata dalle rette che passano per i punti di una circonferenza (direttrice) e per un punto fisso
(vertice) non complanare con questa.
Quando il vertice giace sulla retta (asse) passante per il centro della circonferenza direttrice e normale al piano di
questa, la superficie conica si dice rotonda o di rotazione perché essa si può anche pensare ottenuta facendo ruotare
rigidamente intorno al”asse una retta (generatrice) passante per il vertice.
Tutte le generatrici si incontrano nel vertice, il quale le divide in due semirette che appartengono ognuna ad una delle
due falde distinte della superficie conica.
In particolare una superficie cilindrica si può sempre pensare come una superficie conica il cui vertice è un punto
improprio (v. Introduzione).
Dicesi sezione conica, o semplicemente conica, la figura ottenuta tagliando una superficie conica con un piano non
passante per il vertice (Fig A). Essa prende il nome di:
a) ellisse quando il piano taglia tutte le generatrici di una falda; la linea è chiusa e diventa una circonferenza se il piano
è normale all’asse del cono;
b) parabola quando il piano taglia una falda essendo parallelo ad una sola generatrice; la linea è aperta;
c) iperbole quando il piano taglia entrambe le falde essendo parallelo a due generatrici e la linea è aperta e costituita da
due rami distinti.
Se il piano passa per il vertice le sezioni coniche degenerano rispettivamente in un punto, una retta e due rette.
Nel caso di una superficie cilindrica la sezione con un piano non parallelo all’asse, che taglia quindi tutte le generatrici,
è sempre una ellisse (Fig B).
Fig. A. Sezioni di un cono con un piano: A) posizione dei vari piani; B) piano perpendicolare all’asse del cono, sezione
circolare; C) piano formante con l’asse un angolo minore di 90° (maggiore però della semiapertura del cono), sezione
ellittica; D) piano parallelo ad una generatrice, sezione parabolica; E) piano formante con l’asse un angolo minore
della semiapertura del cono, sezione iperbolica.
Fig. B. Sezioni di un cilindro con un piano a) piano parallelo all’asse, sezione rettangolare b) piano perpendicolare
all’asse, sezione circolare c) piano inclinato rispetto all’asse, sezione ellittica.
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Per ottenere graficamente le ‘sezioni coniche’ è necessario procedere con le proiezioni ortogonali applicando il metodo
delle generatrici (Fig E) o il metodo dei piani di sezione ausiliari (Fig D).
Fig. C. Sezione di un cono retto, ottenuta con il metodo delle generatrici.
Fig. D. Sezione di un cono retto, ottenuta con il metodo dei piani di sezione ausiliari.
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Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 27/27
