Stage Olimpionico Matematica febbraio 2022 Teoria dei numeri teoria

“Università degli Studi dell’Aquila”
1 febbraio 2022
Stage Olimpionico di Matematica
Teoria dei Numeri
a cura di Andrea PALMA
I seguenti sono brevi richiami di teoria. Gli esercizi proposti sono
tutti risolubili mediante gli “ingredienti” qui richiamati. Ovviamente non è escluso che si possano usare altri concetti per risolvere
gli esercizi in modo diverso, più efficace o più elegante.
1 - Proprietà dei numeri primi, e del MCD
Un numero p ∈ N si dice primo se p ≥ 2 e se, per ogni a, b ∈ Z, si
ha
p|ab ⇒ p|a oppure p|b.
L’insieme dei numeri primi verrà indicato con P. (Attenzione perché
a volte con quel simbolo si indica l’insieme dei numeri pari che io,
invece, indico con 2Z).
Tutti sanno che se p ∈ P allora p ha solo quattro divisori: 1, −1, p, −p.
Teorema Fondamentale dell’Aritmetica
Ogni numero n ∈ N diverso da zero si scrive in modo unico come
prodotto di potenze di primi.
Per ogni coppia di numeri interi a, b ∈ Z esiste un unico numero
naturale d che verifica le seguenti proprietà
1. d|a e d|b (cioè d è un divisore comune di a e b)
2. se d′ ∈ Z è un divisore comune di a e b allora d′ |d (cioè, rispetto
alla relazione |, d è il massimo)
d viene detto massimo comune divisore di a e b e verrà indicato con
MCD(a, b) o anche, se non c’è possibilità di confusione, semplicemente con (a, b).
Ovvie proprietà, sicuramente ben note, del massimo comune divisore
sono, per ogni a, b, c ∈ Z,
MCD(a, b) = MCD(b, a)
a|b
⇐⇒
MCD(a, b) = a
MCD(ac, bc) = c · MCD(a, b)
Spesso e volentieri siamo interessati a gestire numeri diversi da 0
ma il massimo comune divisore esiste anche se a = 0, se b = 0, o se
sono entrambi 0. Per amore di completezza sappiate che, per ogni
a, b ∈ Z, MCD(a, 0) = a e
MCD(a, b) = 0
⇐⇒
a = b = 0.
Dati a, b ∈ Z chiameremo combinazione lineare di a e b (a coefficienti
interi) un’espressione del tipo
xa + yb
dove x, y sono interi.
Valgono le seguenti proprietà, per ogni a, b ∈ Z.
1. Se x, y ∈ Z sono interi non nulli (cioè x ̸= 0 ̸= y), allora
MCD(a, b) = MCD(a, xa + yb)
2. Per ogni x, y ∈ Z, MCD(a, b)|(xa + yb)
Un’altra proprietà, importantissima e utilissima, che inspiegabilmente non si insegna nei corsi tradizionali di matematica nelle scuole
superiori è la seguente.
Identità di Bézout
Dati a, b ∈ Z allora
MDC(a, b) = min ({xa + yb | x, y ∈ Z} ∩ (N \ {0}))
A parole, il massimo comune divisore di a e b è uguale alla più piccola combinazione lineare positiva di a e b.
Due interi a, b sono detti coprimi o relativamente primi o primi
tra loro, se MDC(a, b) = 1.
Corollari immediati dell’identità di Bézout, e di quanto richiamato
finora, sono i seguenti. Siano a, b, c ∈ Z.
1. Se esistono x, y ∈ Z tali che xa + yb = 1 allora MCD(a, b) = 1
2. Due interi successivi, a e a + 1, sono sempre coprimi
3. Due dispari consecutivi, 2a + 1 e 2a + 3, sono sempre coprimi
4. Se a|bc e MDC(a, b) = 1 allora a|c
5. p ∈ P è coprimo con ciascun intero compreso tra 1 e p − 1
a b
6. Se d = MCD(a, b) > 0 allora e sono interi coprimi
d d
2 - L’anello (Zn, +, ·) delle classi di resto
modulo n e il gruppo moltiplicativo dei
suoi invertibili (Un, ·)
In moltissimi esercizi di teoria dei numeri, la conoscenza delle proprietà dell’anello delle classi di resto gioca un ruolo cruciale. Qui
non dimostrerò nessuna di queste proprietà in dettaglio, ma vi informo (per chi non la conosce già) che la teoria necessaria si trova
nei primissimi capitoli in qualsiasi libro di algebra e le nozioni sono
davvero elementari ed accessibili a tutti! Potrebbero tranquillamente essere esplorate in una classe di prima superiore e ciò contribuirebbe a creare una connessione con le idee matematiche ben più
intima e solida rispetto a tutti quegli esercizi meccanici di calcolo
letterale che invece si trattano abitualmente. Una comprensione
dei pochi argomenti di base vi aiuterà a costruire un quadro molto
ben organizzato e chiaro di tante proprietà che altrimenti potrebbero risultare dispersive. Davvero consiglio caldamente a tutti di
interessarvi e di approfondire la conoscenza con questo “angolo” di
matematica. Sarebbe un investimento economico (dal punto di vista
della fatica) e di gran valore!
Richiamiamo comunque che roba è l’insieme Zn . Fissato un numero naturale n ∈ N positivo (l’ipotesi di positività potrebbe essere
arginata e quindi omessa, ma non porta a nulla di interessante il
caso n = 0 quindi la lasciamo), per ogni intero a ∈ Z possiamo
effettuare la divisione con resto di a per n (operazione che di certo
tutti ben conoscono). Il resto è ovviamente un intero non negativo
compreso tra 0 ed n − 1.
Possiamo dichiarare due elementi a, b ∈ Z in relazione di congruenza
modulo n, se dividendoli per n danno lo stesso resto. In tal caso
scriviamo
a ≡n b
oppure
a = b mod n
Equivalentemente
a ≡n b
⇐⇒
n|(b − a).
La relazione appena definita è una relazione di equivalenza e le classi
di equivalenza sono esattamente n, una per ogni resto possibile nella
divisione per n. Nominalmente per ogni i ∈ {0, 1, . . . , n−1} la classe
di i si indica con [i] e corrisponde all’insieme
[i] = {i + kn | k ∈ Z}.
L’insieme delle classi di equivalenza della relazione di congruenza
modulo n è, per definizione, l’insieme Zn .
Zn = {[0], [1], . . . , [n − 1]} = (per gli amici) = {0, 1, . . . , n − 1}
La relazione di congruenza modulo n è compatibile con le operazioni di somma e di prodotto in Z e quest’ultime inducono (sarebbe
meglio dire proiettano) una somma ed un prodotto in Zn che soddisfano analoghe proprietà (associatività, distributività, commutatività, esistenza dello zero e dell’unità) e di fatto con queste operazioni (Zn , +, ·) è un anello.
Fra le utilità nella risoluzione degli esercizi c’è indubbiamente questa:
mentre Z ha infiniti elementi, Zn ne ha solo n. Quindi se dobbiamo
trovare le soluzioni intere di un’equazione, passando alle classi di
resto dei due membri, abbiamo un numero di casi finito da gestire
e comunque di solito riusciamo ad escludere parecchie possibilità.
Sicuramente avrai affrontato un problema di teoria dei numeri dove
analizzi il caso pari e il caso dispari, e questa divisione in due casi
ti aiuta a risolvere il problema. Dividere in pari e dispari significa
di fatto passare modulo 2. Con l’introduzione delle classi di resto
modulo n hai a disposizione uno strumento molto più generale della
divisione in pari e dispari. Un esempio facile facile per farvi capire
in concreto cosa intendo.
Esercizio facile facile (tanto per capire cosa intendo...)
Trova tutte le coppie n, m di interi positivi soluzioni dell’equazione
4n = 5m + 3.
Risolviamo! Al variare di n il primo membro cambia, e cosı̀ pure
il secondo membro al variare di m. Se passiamo modulo 5, invece,
il secondo membro è sempre 3, che bello! E il primo membro? Analizziamo.
Se n = 1, 41 = 4 ha resto 4 modulo 5. Se n = 2, 42 = 16 ha resto 1
diviso per 5 e appena troviamo 1, trattandosi di potenze, le cose si
ripetono all’aumentare di n. Vediamo altri due casi.
Se n = 3, 43 = 64 ha resto 4 modulo 5. Se n = 4, 44 = 256 ha resto
1 modulo 5.
Dovrebbe essere chiaro che se n è pari il primo membro è congruo
ad 1 mod 5 e se n è dispari è congruo a 4 mod 5. In nessun caso il
primo membro è congruo a 3 mod 5, come il secondo, quindi non ci
sono soluzioni da trovare e l’esercizio è concluso. 2
Fra le tante formulette “tascabili” che le classi di resto ci mettono a
disposizione c’è certamente questa (che viene utilizzata spesso nella
risoluzione degli esercizi).
Per ogni a ∈ Z
(
0 se n è pari
a2 ≡4
1 se n è dispari
Da un punto di vista algebrico due sostanziali differenze fra Z e Zn
sono le seguenti.
1) In Z vale la famigerata legge di annullamento del prodotto, in Zn
in generale no: vale se e solo se n è primo.
Legge di annullamento del prodotto in Z
Dati a, b ∈ Z, se ab = 0 allora a = 0 oppure b = 0.
Legge di annullamento del prodotto in Zp
Dati p ∈ P, a, b ∈ Z, se ab ≡p 0 allora a ≡p 0 oppure b ≡p 0.
Se n non è primo la legge di annullamento del prodotto non vale
in Zn . Ad esempio con n = 6 gli elementi [2], [3] ∈ Z6 ed entrambi
sono diversi da [0], però [2][3] = [6] = [0].
Un elemento [a] non nullo di Zn per cui esiste un altro elemento non
nullo [b] ∈ Zn tale che [a][b] = [0] viene detto un divisore dello
zero.
2) In Z gli unici elementi invertibili (cioè gli elementi che ammettono un inverso moltiplicativo) sono 1 e −1. In Zn , ce ne sono
possono essere molti altri. Ad esempio in Z10 , [3][7] = [21] = [1]
quindi [3] e [7] sono invertibili in Z10 .
Invertibili e divisori dello zero di Zn
Sia [a] ∈ Zn un elemento non nullo, allora
[a] è invertibile
⇐⇒
[a] è un divisore dello zero
MCD(a, n) = 1
⇐⇒
MCD(a, n) > 1
Fissato un elemento [a] di Zn , la funzione che associa ad ogni [x] di
Zn la somma [a] + [x], oltre ad avere interessanti proprietà, è una
funzione biunivoca: in particolare
{[a] + [i] | i = 0, 1, . . . , n − 1} = {[i] | i = 0, 1, . . . , n − 1}.
Mentre la funzione che associa ad ogni [x] di Zn il prodotto [a][x],
ha sempre interessanti proprietà, ma è biunivoca se e solo [a] è invertibile. In particolare, se [a] è invertibile,
{[a][i] | i = 0, 1, . . . , n − 1} = {[i] | i = 0, 1, . . . , n − 1}.
L’insieme degli elementi invertibili di Zn viene denotato con Un . Per
quanto detto sopra si ha
Un = {[i] ∈ Zn | i = 1, . . . , n − 1 e MCD(i, n) = 1}
Un con l’operazione di moltiplicazione di Zn è un gruppo commutativo.
Sia n ∈ N, n > 1. La cardinalità (cioè il numero di elementi) di Un
è descritto al variare di n, dalla funzione di Eulero, indicata con φ.
|Un | = φ(n).
Una proprietà molto importante di φ è la seguente.
Se a, b ∈ N, a, b ≥ 2 relativamente primi allora φ(ab) = φ(a)φ(b).
Se p ∈ P si ha ovviamente φ(p) = p − 1. Se k è un intero positivo
si ha anche φ(pk ) = pk − pk−1 . Quindi per il teorema fondamentale
dell’aritmetica abbiamo che, se n ≥ 2, ed n = pk11 · · · · · pkmm è la sua
fattorizzazione in potenze di primi distinti, allora
1
1
k1 −1
k1
km −1
km
φ(n) = (p1 −p1 )·· · ··(pm −pm ) = n· 1 −
· ··· · 1 −
p1
pm
Per finire, elenchiamo tre importantissimi risultati.
Teorema di Wilson
Per ogni intero n ≥ 2, n è primo se e solo se (n − 1)! ≡n −1.
Teorema di Eulero
Per ogni intero n ≥ 2, ed a ∈ Z, se a è coprimo con n allora
aφ(n) ≡n 1.
Un caso particolare del teorema di Eulero è il seguente.
Piccolo Teorema di Fermat
Per ogni primo p ∈ P ed ogni a ∈ Z,
ap ≡p a
o, equivalentemente, per ogni a ∈ Z che non sia un multiplo di p,
ap−1 ≡p 1.
3 - Prodotti notevoli, somme interessanti
Siano a, b ∈ R ed n ∈ N.
Binomio di Newton
n X
n n−k k
(a + b) =
a b
k
k=0
n
Differenza di potenze n−esime
n
n
a − b = (a − b) ·
n
X
an−k bk−1
k=1
Somma di potenze n−esime
vale solo se n è dispari!
n
X
a + b = (a + b) ·
(−1)k−1 an−k bk−1
n
n
k=1
Somma dei primi n interi positivi
n
X
k=
k=1
n(n + 1)
2
Somma dei primi n quadrati
n
X
k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
6
Somma dei primi n cubi
n
X
n2 (n + 1)2
k3 =
=
4
k=1
n
X
k=1
!2
k
3 - Qualcosa di “nuovo”
Voglio introdurre due piccole formule interessanti di cui non si sente
parlare spessissimo ma che possono essere molto utili se ci si imbatte
in un esercizio che le richiede.
Un altro prodotto, poco noto, ma molto notevole!
La prima formula è un prodotto notevole. Ve lo presento subito.
Siano a, b, c ∈ R, si ha
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca).
Per la dimostrazione, basta avere il coraggio di eseguire i calcoli
letterali, ma c’è anche un modo di dimostrarla (e di ricavarla ottimizzando la memoria) utilizzando qualche piccola proprietà dei
determinanti.
Consideriamo la matrice


a b c
A = c a b
b c a
Possiamo calcolare detA con la regola di Laplace sulla prima riga
ottenendo
detA = a
c a
c b
a b
= a3 − abc − abc + b3 + c3 − abc =
+c
−b
b c
b a
c a
= a3 + b3 + c3 − 3abc
D’altra parte possiamo calcolare lo stesso determinante in un altro
modo. Sostituendo alla prima colonna la somma delle tre colonne,
a b c
a+b+c b c
detA = c a b = a + b + c a b
b c a
a+b+c c a
Possiamo portare fuori dall’operatore di matrice lo scalare a + b + c
ottenendo
1 b c
detA = (a + b + c) 1 a b
1 c a
e sviluppando con Laplace sulla prima colonna
detA = (a + b + c)(a2 − bc − ab + c2 + b2 − ca) =
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)
e il gioco è fatto.
Notiamo che il fattore (a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) può essere scritto
1
(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2
2
e questo porta ad un’altra versione del nostro prodotto notevole
1
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 .
2
Notiamo che una conseguenza molto simpatica dell’identità mostrata
è che se a + b + c = 0 oppure se a = b = c allora il secondo membro
è 0 e quindi abbiamo a3 + b3 + c3 = 3abc. Anche il viceversa è vero.
Se a3 + b3 + c3 = 3abc allora sicuramente una delle due seguenti
condizioni è verificata: a + b + c = 0 oppure a = b = c. Molto
carino, non trovate?
Guarda meglio!
La seconda formula è un approfondimento, se vogliamo, sul classico
prodotto notevole, che vale solo per per n dispari, diciamo pure
n ≥ 3,
n−1
X
n
n
x + y = (x + y) ·
(−1)k xn−1−k y k .
k=0
Nel risolvere qualcuno degli esercizi, tra i più difficili, che vi propongo in questo stage dopo aver utilizzato il citato prodotto notevole
ho avuto l’esigenza di analizzare meglio il legame tra i due fattori a
secondo membro. Ho trovato che
n−1
X
(−a)k xn−1−k y k = (x + y) · S + ny n−1
k=0
dove
S=
n−2
X
(−1)k (k + 1)xn−2−k y k
k=0
La dimostrazione che vi scrivo è molto noiosa e tecnica (per non
dire brutta, saltatela con zero rimpianti), ma con l’esame di qualche
caso particolare (che consiglio di fare, e spero di farvi io stesso nello
stage se il tempo mi basta) la formula si rivela con molta facilità.
Sviluppando (x + y) · S troviamo
n−2
X
(−1)k (k + 1)xn−1−k y k + (−1)k (k + 1)xn−2−k y k+1 =
k=0
n−2
X
(−1)k xn−1−k y k + (−1)k kxn−1−k y k + (−1)k (k + 1)xn−2−k y k+1 =
k=0
n−2
X
(−1)k xn−1−k y k +
k=0
n−2
X
n−2
X
n−2
X
k=0
k=0
(−1)k kxn−1−k y k +
(−1)k xn−1−k y k +
n−2
X
(−1)k kxn−1−k y k +
n−2
X
n−2
X
k=0
k=1
(−1)k xn−1−k y k + 0 +
+
n−2
X
n−1
X
(−1)k−1 kxn−2−(k−1) y k =
k=1
k=0
k=0
(−1)k (k + 1)xn−2−k y k+1 =
(−1)k kxn−1−k y k +
−(−1)k kxn−1−k y k − (−1)n−1 (n − 1)y n−1 =
k=1
n−2
X
(−1)k xn−1−k y k − (n − 1)y n−1 =
k=0
n−1
X
(−1)k xn−1−k y k − y n−1 − (n − 1)y n−1 =
k=0
n−1
X
(−1)k xn−1−k y k − ny n−1
k=0
Dunque (x + y) · S + ny
n−1
=
n−1
X
(−1)k xn−1−k y k .
k=0
Una conseguenza molto utile di questa formulaccia è che
ci porge la
Pn−1
k n−1−k k
seguente combinazione lineare dei due fattori (x+y) e
y
k=0 (−1) x
n−1
X
k=0
!
(−1)k xn−1−k y k
− S · (x + y) = ny n−1
Pertanto il massimo comune divisore tra i due fattori deve dividere
ny n−1 .
Un caso particolare si trova quando y = 1.
Se n è dispari (tutto quello che abbiamo detto in quest’ultimo argomento vale solo se n è dispari e almeno 3) allora il massimo comune
divisore fra
n−1
X
(x + 1) e
(−1)k xn−1−k
k=0
è necessariamente un divisore di n. Questo può essere un fatto molto
utile.
E questo è tutto! Davvero! Ripeto che tutto quanto abbiamo
richiamato in queste veloci dispense basta a risolvere tutti gli esercizi proposti nello stage (anzi onestamente ci ho messo pure diverse cose che non ho avuto occasione di utilizzare), a parte forse
qualche stima elementare, qualche criterio di divisibilità per 2,3,5 e
9, e qualche osservazione sulle tabelline fino al 10. Tutte cose che,
son certo, conoscete meglio di me.