pendolo

Pendolo fisico
November 2021
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Introduzione
Scopo dell’esperimento è quello di misurare il periodo del pendolo in funzione della distanza
del centro di massa dal punto di sospensione e confrontarlo con il fit dei dati.
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Materiale a disposizione
• Cronometro (risoluzione 0.01 s)
• Metro a nastro (risoluzione 1 mm)
• Calibro ventesimale
• Asta metallica forata d’alluminio (ρ = 2.7g/cm3 )
• Calibro ventesimale (risoluzione 0.05mm)
• Supporto di sospensione
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Metodo di misurazione
L’asta metallica dispone di 10 fori sui quali agganciare il supporto di sospensione per le
oscillazioni. L’angolo al quale è portato il pendolo è di 10° cosı̀ da rispettare la condizione
di piccole oscillazioni. Verrà misurato il tempo trascorso in 10 oscillazioni per ognuno dei
fori di modo da contenere l’incertezza dovuta ai tempi di reazione dell’osservatore.
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Trascurabilità dei fori
L’asta di metallo è di 105.0cm ±1mm di lunghezza ed i fori distano tra loro 10 cm a partire
da un’estremità. Questa disposizione asimmetrica può essere un fattore non indifferente
per il calcolo del centro di massa. Verifichiamo dunque se il volume occupato dai fori è
inferiore all’incertezza del volume dell’asta.
Per farlo propaghiamo gli errori sul volume:
l1 = (15.5 ± 0.05)mm
l2 = (15.3 ± 0.05)mm
l = (1050 ± 1)mm
V = l1 ∗ l2 ∗ l = 249007.5mm3
r
∂V
∂V
∂V
σV=
σl1 +
σl2 +
σ h =1167.74mm3
∂l1
∂l2
∂l
Calocoliamo ora il volume dei fori e verifichiamo che questo sia minore di σ V
r = (2.8 ± 0.025)mm
V f ori = 10πr2 l2 = 2768.6mm3
V f ori > σ V quindi i fori non sono trascurabili e la loro presenza va presa in considerazione per il calcolo del centro di massa.
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Centro di massa dell’asta
La distribuzione dei fori sull’asta non è simmetrica (i fori distano tra di loro tutti 10cm
ma i due fori estremi distano dalle estremità rispettivamente 5cm e 10cm), è ragionevole
dedurre che il centro di massa non sia al centro dell’asta. Pensando l’asta come un sistema
di punti materiali e fissando l’origine sull’estremità distante 5cm dal primo foto, possiamo
trovare il centro di massa:
P
105cm/2 ∗ V − V f ori ∗ 9i=0 di
Cm =
= 47.47cm
V − V f ori
dove 0 cm è l’estremità che dista 5cm dal primo foro.
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Raccolta dati
Per raccogliere i dati abbiamo portato la sbarra ad una inclinazione di 10o svolgendo
un rapido calcolo trigonometrico che ci consentisse di sapere di quanti centimetri era
necessario spostare un preciso punto della sbarra rispetto alla sua posizione verticale di
equilibrio. Se chiamiamo x1 la distanza del punto di sospensione da un punto qualsiasi P
della sbarra allora:
x2 = tg(10o ) · x1
(1)
dove x2 è la distanza orizzontale con cui spostare il punto P.
Sia per comodità che per accuratezza delle misure abbiamo preso il valore massimo possibile di x1 .
Un problema che abbiamo riscontrato è stata la difficoltà nel far oscillare la sbarra esattamente lungo il suo grado di libertà senza che l’oscillazione venisse smorzata dalla reazione
vincolare che il sostegno impone sui movimenti perpendicolari a quelli studiati.
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Tabella bracci, valori medi dei periodi ed incertezze
Di seguito la tabella con i bracci, le 5 misure per 10 oscillazioni, il periodo medio per
singola oscillazione e la deviazione standard della media:
d(cm)
2.47
7.53
12.47
17.53
22.47
27.53
32.47
37.53
42.47
47.53
8
38.42,
22.50,
18.33,
16.47,
15.78,
15.55,
15.40,
15.66,
15.93,
16.23,
10 · T (s)
38.61, 38.81, 38.53,
22.69, 22.60, 22.62,
18.49, 18.61, 18.59,
16.57, 16.52, 16.73,
15.71, 15.74, 15.81,
15.47, 15.61, 15.73,
15.43, 15.44, 15.51,
15.55, 15.62, 15.72,
15.89, 15.85, 15.90,
16.13, 16.33, 16.22,
38.46
22.84
18.43
16.60
15.77
15.68
15.37
15.57
16.01
16.39
T medio(s)
3.856
2.265
1.849
1.658
1.576
1.560
1.543
1.562
1.592
1.627
σ T (s)
0.0069
0.0056
0.0052
0.0044
0.0017
0.0046
0.0023
0.0031
0.0027
0.0045
Cenni teorici
Se il pendolo viene spostato di un angolo ’piccolo’ θ ≤ 10o dalla posizione di equilibrio
allora possiamo considerare il momento delle forze come:
τ = −d · mg · θ
(2)
Il momento delle forze è la derivata rispetto al tempo del momento angolare L = Iω:
τ=
∂L
∂ω
∂2θ
=I
= 2
∂t
∂t
∂t
2
(3)
Dalla (1) e (2) si ha:
dmgθ ∂ 2 θ
+ 2 =0
I
∂t
Il cui periodo è, specificando il momento d’inerzia:
s
l2 /12 + d2
T (d) = 2π
dg
(4)
(5)
Ci apettiamo quindi di vedere il periodo aumentare sia al tendere di d a 0 e sia al crescere
di d, con un minimo assoluto.
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Grafici
Di seguito il grafico T m − d ed il fit dei dati:
ed il grafico dei residui:
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Analisi dei dati
Abbiamo eseguito un fit dei dati utilizzando l’equazione (4) ed i dati in tabella nella funzione Python:
curve-fit(period-model, d, Tm, sigma=sigma-T)
con l parametro libero. Il valore di best − f it di ˆl è 105.40cm e la deviazione standard è
0.48cm.
Guardando il grafico dei residui si può notare che tutti i dati si trovano al di sotto del fit,
probabilmente per una non banale disattenzione nel capire quando il perido dell’oscillazione
finisce. Infatti non basta che la sbarra arrivi alla posizione iniziale ma anche che la sbarra
decelleri completamente la sua velocità angolare.
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Conclusioni
La misura effettuata con il metro a nastro sulla lunghezza della sbarra è di 105cm ± 0.1cm
mentre il valore del best fit è 105.40cm ± 0.48cm.
I due valori sono compatibili di conseguenza possiamo dire che i dati sperimentali rispecchiano bene il modello matematico.
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